Bài báo Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào dạy học giải bài toán cầu phương các hình phẳng và dựng đồ thị hàm số trình bày cách nhìn nhận các hệ thức lượng trong tam giác vuông theo quan điểm cấu trúc trong Lí thuyết phát sinh nhận thức của J. Piaget. Trên cơ sở đó làm rõ mối liên hệ giữa các hệ thức này với các vấn đề cầu phương các hình phẳng và sử dụng để dựng đồ thị của một hàm số có liên quan đặc biệt với với một hay hai hàm số đã cho.
ầấặ ầ ậ ặ ầ ặ ỉ ểề é ậ ắẳẵẵá ẻểé ặể ễễ ậ ặ è ặ èấầặ è ẻ ặ ẻ ầ èầ ặ ẩ Ỉ ÀìỈÀ ÈÀDZỈ Ỵ Ỉ ÌÀü À Å Ë Ù ÌƯ Ị Ì Ị ÌƯ Ị ¹Đ Ð Ø Ị ẵ ẵ ẻề ẹ é ểẹ ể ỉệứề í ề øỊ Ị Ị ÷Ø Ð Ị ØƯĨỊ Ø Đ ÚÙ Ị Ø Ĩ ÕÙ Ị ưĐ Ù ØƯ ØƯĨỊ Ä Ø ÙÝ Ơ Ø × Ị Ị Ị Ø Âº È Øº ÌƯịỊ × Ð Đ Ư Đ Ð ịỊ ÷ ÷Ø Ị ÝÚ Ú Ị ó ÙƠ Ị øỊ Ơ Ị Ú × Ị Ị Ø Đ Ø ẹ ì é ũề ế ề ữỉ ẹ ỉ í ẹì ể è ẹ ỉ ỉ ẵ Ù Å Ø ØƯĨỊ Ị Ị ÷ Ø Ð Ị ØƯĨỊ Ø Đ ÚÙ Ị Ị Ị ÐĨ ơỊ ØƯĨỊ Ø Ị Ù Ĩ Ị ØĨ Ị × ƠÐ Ò Ð È Ø Óº Ò Ú Ò Ð È Ø Ĩ¸ ØƯĨỊ Đ Ø Ø Đ Ị Ị Ị ÷Ø Ð Ị º ÌƯĨỊ Ø Ỵ ØƯ Ị ề íũề è ặà ề ỉể ề íé ễ ề ịỊ Ù ØĨ Ị Đ Ø Ĩ ØƯ ¸ Ị Đ Ø øỊ ÚÙ Ị ÷Ị Øù Ị ÷Ị Øù Đ Ø øỊ ÚÙ Ị Ĩ ØƯ Ú ØĨ Ị Ị Đ Ø øỊ Ð Ơ Ơ Ị Ø Øù Ơ Ð Ị Ø Øù Đ Ø øỊ Ð Ơ Ơ Ị Ĩ ØƯ º ØĨ Ị Ị Ý óÙ Ø Ð û × Ị Ø Ú ĨĐƠ º Ý Ị Ð ØĨ Ị Ị Ị Ị Ú÷ Ị Đ Ị ØùỊ Ị Ị Đ Ø Ø û ỴÁÁÁ Ú Á Ị ØĨ Ị Đ Ø ÷Ị º Ĩ Ú ịỊ Ø Ø Đ ÕÙ Ị ÷ ÷Ø Ð Ị ØƯĨỊ Ø Đ ÚÙ Ị Ú Ĩ Ú ÷ Ø Ĩ ØøỊ Ù Ị Ú ề úá ề ể ỉ ề ểữ ỉ ể × Ị Ơ Ø ÷Ị Ý Ị Ị Ị Ð ÈØ ĨÚ ÷Ø Ð Ị ØƯĨỊ Ø Đ ÚÙ Ị Ý Ị Ị ơỊ Ø Ị Ý ØƯ Ị Ơ ỉ ề ắ ặ ắẵ ề ề ũề ề Ð ÈØ Ĩ Ù íØ Đ Ø Ị Ð Ị Ĩ ØƯĨỊ ØĨ Ị × ƠÐ Ù Ị Ị óÙ Ị Ị Ị Ð È Ø Ĩº ÌƯĨỊ Ø Ð ÷Ù Ð × ØĨ Ị Ị Ð Ị Ý Ị Ð Ị Ð ĨÌ Ị Ú × ÕÙ Ị Ø ẹ ề èệề ẫ ễ ỉệểề ì ẵ Ò ØÓ Ò Ø Ù Ø Ó Ò ØÓ Ò ÌƯ Ị Ë Ị ịỊ ×Ĩ Ị Ø Ị Đ ẵ ắ è ặà ỉ é ữ é ì ỉể Ị óÙ Ĩ Ư Ị ùỊ È Ø Ĩ ĐƠ Ú Ị ĐỊ Ị Ð Ị Ý Ø Ø ỷ ẻ è ặà èệểề ẹ ỉ ỉ ẹ Ị Ú Ị ÙÝóỊ Ð ¸ Ị 2 a =b +c º ÚÙ Ò Ð Ú Ø ÐÙ Ị ÷Ø Ì Ĩ ÕÙ Ị ưĐ Ù ØƯ Ị Ị Ø ØƯĨỊ Ð Ø ÙÝ Âº È Ø¸ Đ öÙ Ø Ò x Ø ÐÙ Ò Ø ö ể é ì ể ữề ỉự ẹ ỉ ứề Ị Ị Ð |x|º Ỉ øỊ Ị Ị Ú Ị ó Ị Ú Ý Ø ø ÷ Ø a2 = b2 + c2 Ị ú Ð Ø Ị Ø Đ Ø øỊ ÚÙ Ị ÷Ị Øù Ị Ø Ị ÷Ị Øù øỊ ÚÙ Ị Ĩ ØƯ º Ỉ Ú Ð ÷Ø ØƯịỊ Ị a2 − b2 = c2 Ị Ø Ð Ø ưỊ ơỊ × Ø Ị Ø Đ Ø øỊ ÚÙ Ị ÷Ị Øù Ị ÷Ù ÷Ị Øù øỊ ÚÙ Ị Ĩ ØƯ º Ỵ Ú 2 2 a − b = c Ø Ò c = (a − b).(a + b)¸ Ø Ð Ø ưỊ ơỊ × Ø Ị Ø Ị Ø Đ Ø øỊ ÚÙ Ị ÷Ị Øù Ị ÷Ị Øù Đ Ø øỊ Ị Ø Ĩ ØƯ º Ị Ð ÈØ Ĩ Ò û Ò Ò × Ø ÒØ øÒ ÚÙ Ò Ị Ú Ý Đ Ị ûƯ Ị øỊ ÚÙ Ị Ò Ý Ð Ñ Ø Ò ¿ Ò Ñ ØØ Đ ÚÙ Ị º 2 2 Ỉ ứề ề ề ề ú ề íá ữỉ a = b + c Ú a − b = c2 Ị Ý Ị ÙỊ Ð ØĨ Ị Ù Ơ ề ẹ ỉỉ ề í ữ ữề ỉự øỊ ÚÙ Ị Ĩ ØƯ º ùỊ Ú ÷ Ị ĐỊ Ị Ð ÈØ Ĩ Ø ÷Ị Ø Ĩ ÕÙ Ị Ị ÷Đ Ị ݺ Ị Ø Ị Ø ưĐ Ư Ị Ú Ị ó Ĩ ØĨ Ị Ị Đ Ø øỊ ÚÙ Ị ÷Ị Øù Ị Ø Ị ÷Ị Øù Ị øỊ ÚÙ Ị Ĩ ØƯ º Ê Ư ề ỉ ửì ề ề é ẩ ỉ ể ềạẵ Ð Ị Ø ơỊ Ð º Ị Ø Ị ĐỊ Ø óÙ Ị Ý Ị Ơ Ị Ơ Ơ ÕÙÝ Ị Ơ ØĨ Ị º Ị ĐỊ Ü ĐÐ ÈØ Ĩ Ị Ư Ø Ĩ Ø Ơ øỊ Ú Ị Ị Ø ØùỊ ÷Ị Øù øỊ Ị Ị ìí ệ ữ ỉ ỉệểề ỉ ẹ 2 ÚÙ Ị a = b + c ¸ ØƯĨỊ é ì ể ề íúềá b, c é ì ể Ò ÚÙ Ò Ò Ñ ØØ Ñ ÚÙ Ò º Ị ĐỊ ÈØ ĨỊ ÝỊ Ý Ø ÷Ù ØƯĨỊ Ù × Ĩ Ĩ ØĨ Ị ØỨỊ × ´Ü Đ ½ µº óÙ Ị Ị Ð Ị Ĩ Ị ĐỊ ÈØ ĨỊ Ø Ø Ị ị ¿ ¼ Ị ĐỊ Ò Ð Ò Ýº ÕÙ Ð Ñ Ø û Ð Ị Ị Ị Ø ịĐ Ư Ị Ị Ð ÈØ ể ề ẹ ỉì ỷé ề ạè ề éể ề ØøĐ ơĐ Ø ịĐ Ị ĐỊ Ð ÙỊ Ø Ø ỉ ụ ẻ è ặà ụề ỉ ụ ỷ ì ề ề íũề ề ẹ ẵ ẵ ạè Ị Ơ ỊỊ Ị Ị Ø Đ ØøĐ ơĐ Ị ĐỊ Ị Ị Ø Ị ØĨ Ị Ị È Ø Ĩ¸ Рظ Ị Ị Ị Ð Ĩ Ị Ị ỉ íá ìỳ é ề ề ểề ệ ẻề Ú ùỊ ØƯ Ị Ø ơỊ Ð Ø Ị Ø ề ẹ ì ệ é ề È Ị Ơ Ơ Ị ĐỊ × Ơ Ị Ø Ú × Ị Ð Ơ Ð Ị óÙ Ð Ị ề ỉ ỉệểề ì ẳ ề ẹề ụỉ óÙ Ị Ơ Ị Ơ Ơ Ø Ơ øỊ º Ỵø Ú Ý Ú ÷ ØøĐ Ð Ị Ị Ø Ơ øỊ ÚÙ Ị Ø Ị Ị Ú Ị ĐỊ Ị Ð ÈØ Ĩ× Ð óÙ Ø Ú Ú Ùù í ìề ẹễ ề é ề í ắắ ữ ỉ Ð Ị ØƯĨỊ Ø Đ Ơ Ị øỊ Ơ Ị Ø ÚÙ Ò Ú Ò Ú Ò Ð È Ø Ĩ¸ ØƯĨỊ Ø Đ ÚÙ Ị ÚÙ Ị ¸ ¸ Ị ĨØ Ù Ị ÙÝóỊ Ð ¸ øỊ Ị Ị é ỉ ề ẹ ỉì ữỉ é Ò b2 = a.b c2 = a.c h2 = b c Ì Ð Ø ØĨ Ị Ù Ú ề ề íúề ề éũề ề íúề ắẵà ắắà ắà ữỉ ề í ỉ ề ỉ ề ề Ù ỊịỊ û Ị ÕÙ Ị Ø Đ Đ Ø ữ ỉ ề ề ỉ ĩ ỉ ắà è Ĩ ÕÙ Ị ưĐ Ù ØƯ ØƯĨỊ Ð Ø ÙÝ ẩ ỉá ỉ ề ứề ữ ỉ ắà Ò Ð h : b = c : h Ò ỉ ề ứề ề ề ữ ỉ ắà Ị ú Đ Ø ØƯĨỊ Ĩ Ị Ø Ị ´hµ Ð ØỨỊ øỊ Ị Ị Ĩ Ị ´b Ú c µ Ð Ị Ø Ị øỊ Ị Ị ´¾º¿µ Ú Ị ú ÷Ị Øù øỊ ÚÙ Ị Ị Ị ÷Ò Øù øÒ Ò Ø Ò b Ú cº Å Ị øỊ Ị Ị ØƯịỊ Ý Ĩ Ø Đ Ø × Ø ÷Ị Ù ØƯ Ị Ị Ø Ị ữỉ ắà ậ í ề ỉ ì ề Ị øỊ Ị Ị Ø Ú ỊịÙ ØƯịỊ Ü Ø ØĨ Ị Ù Ơ Ị Đ Ø × øỊ Ơ Ị º ØĨ Ị ½º Ị Đ Ø øỊ ÚÙ Ị ÷Ị Øù Ị ÷Ị Øù Đ Ø øỊ ề ỉ ể ỉệ ậ ề ữỉ ắà ì Ð ØĨ Ị Ị ݺ à Ĩ Ị øỊ Ị Ø Ĩ ØƯ Ð ³ Ú ³Ø ø × Ị ắà ỉ ề ứề ề ề ề ựề é Ị Ĩ ØƯĨỊ Ø Đ ÚÙ Ị Ị ÙÝóỊ Ð a = b + c Ú b , c Ð øỊ Ị ÚÙ Ị ÐịỊ Ị ÙÝóỊº ØĨ Ị ¾º Ị Đ Ø øỊ ÚÙ Ị ÷Ị Øù Ị ÷Ị Øù Đ ØØ Đ Ĩ ØƯ º Ê Ư Ị Ú Ø Đ Ị Ý Ú Ị ĨØ Ị Ò Ð Ø ÷Ò h a ah Øù S = a = hº Ỉ Ú Ý Ị Ị ØùỊ Ø Ĩ Ị Ø S= Ø 2 h a ÷Ị Øù Đ Ø øỊ Ị Ø Ị Ð Ĩ Ị Ð Ú Ĩ SÐ 2 õỊ Ø Ị Ý ØĨ Ị Ù Ơ Ị Đ Ø øỊ Ø Đ Ị Ð hº Ì Ĩ Úó ØĨ Ò Ò øÒ Ò Ø ÷Ò Ø ù Ò ÷Ò Øù øỊ Ø Đ Ĩ Ú ØĨ Ị Ù Ơ Ị Đ Ø øỊ Ị غ ØĨ Ị ¿º Ị Đ Ø øỊ ÚÙ Ị ÷Ị Øù Ị ÷Ị Øù Đ Ø øỊ Ĩ ØƯ º ØĨ Ị Ị Ý Ø Ị Ị Ị Ĩ øỊ Ĩ Ơ Ị Đ óỊ ØƯĨỊ Ø Ị Ơ Đ óỊ Ø Đ Ị ÐịỊ Ị Ù ´Ø Ð Ị ưĐ ØƯĨỊ ề ữề ỉự ề ỉ ề ữề ỉự Ø Đ Ø Ư ØƯĨỊ Ơ Ơ Ơ Ị ØƯịỊº ØĨ Ị Ù Ơ Ị øỊ Ĩ Úó ØĨ Ị Ò øÒ ÚÙ Ò ÷Ò Øù Ò Ø Ò ÷Ò ỉự ỉ ẹ ể ẻứ ữ ễ ề ẹ ỉ ẹ ỉ ữề ề ỉể ề ắ ỉệũề ềũề ØĨ Ị Ù Ơ Ị Đ Ø Ð ØƯ Ø Ị Ú Ị ó Ị øỊ ÚÙ Ị ÷Ị Øù Ị Ø Ị ÷Ị Øù øỊ ÚÙ Ị Ĩ ØƯ ẻ ề ú ề í ếíụỉ ề ì ề Ị Ð È Ø Ĩ Ị Ú Ð Ơ ÐÙ Ị ÕÙÝ Ị Ơ ØĨ Ị Ị ØỊ Ý ØƯịỊº Ỵ Ị ó Ø ơƠ Ø Ĩ ØĨ Ị Ù Ơ Ị × Ð Ð ØĨ Ị Ù Ơ Ị ứề ỉệ ề ĩ ỉ ữề ỉệểề ì ề ì Ị ÷Ø Ð Ị ØƯĨỊ Ø Đ ÚÙ Ị ÕÙÝ ØĨ Ị Ù Ơ Ị Ị Ị ØƯịỊº ÌÙÝ Ị ịỊ ÙÝưỊ Ø ØĨ Ị Ù Ơ Ị Đ Ø × Ị ØĨ Ị Ù Ơ Ị Đ Ø øỊ ØƯ Ị ´Ø Ị Ø Ị øỊ ØƯ Ị ề ẹ ì ề ề ú ỉệ ềũề Ị Ơ Ị óÙ Ð Ịº à Ị ơỊ Ị Đ Ù Ø ỴÁÁÁ ÐĨ Ị Đ Ị ỊƯ Ư Ị Ị Ị Ú Ị Ø Ú ĨĐƠ º ¾º¿º À÷ Ø Ð Ị ØƯĨỊ Ø Đ ÚÙ Ị Ú Ú Ị ó Ị Ø Đ Ø × Đ × Ð ịỊ ÕÙ Ị Ú Đ Ø Đ × Ĩ ØƯ Ị Ø Ð Ø ơƠ Ø ØøĐ Ù Ị ºÌ ¸ Ø ØøĐ c b b h2 1= º Øu= Ú h h h ÝØ Ð Đ Ø Ù ØƯ Ị Ø Ĩ ÕÙ Ị ưĐ Ù ØƯ Ị Ý Ú Ĩ Ư ØƯĨỊ ØĨ Ị × Ù ØĨ Ị º × ØƯĨỊ Đ Ø Đ ì y = f (x) ề ề ữỉ ắà ỉệũề ể ẹ ỉ ì ỉứề ề ữỉ ắà ề ắ ụ ể c v= áỉ u.v = Ý v Ð Ị Ĩ uº h ỊØ Ị Ú ắà è ì ỉ ắà ẹ ỉ éỳề ÌøỊ Ù Ị Ð Ị Ý Ø Đ Ø ÷Ø ỉệ ề ầĩí ỉ f (x) Ò Ò Ø Ò Ø Ò Ò ôÒ Ú Ø Đ× Ø û Ø ưÜ Ị Ị Ị ưĐ Ø Đ Ø º Ø Ý ´Ø Ị ùỊ Ü ỉ ỉ ễ ễề ề ề ẹ ỉì ửẹ Ø Ú × Ị Ø Ù ØùỊ Đ× ưỊ ưĐ é ỉ ề ề ỉ ẻ ỉ ề óỊ Ú ÝØ Ú Ị ó Ị ÕÙÝ Úó ØĨ Ị × Ù Ĩ ưĐ ) ØƯịỊ Đ Ø M(x0 , f (x0 )) Ø Ù Ø Ñ ì àá í ề ửẹ M (x0 , f (x0 ) Oxy ữỉ ỉệ ềà ễ ề Ø ÌƯ Ø Ị Ị Ĩ ưĐ Ø ´ µ Ú ØƯ Ĩ Ị Ị Ø Ù Ø ứ ỉ =0 f (x) ỉệ ữỉ ỉ ịÙº Ỵ ØƯ x0 Đ f (x0 ) = Ø ÐÙ Ị f (x0 ) ´ µº À Ý Ị Ø Đ× y= Ë Ị Ú Ị Ơ Ị Ø ÷ Ø ÙÚ Ð Ị ØƯĨỊ f (x0 )º ×Ĩ Ú ØƯ Ø Đ óÙ Ị Ý Ị Oxº Ỵ Ị ó Ị |.|f (x)| = 1¸ f (x0 ) ưĐ ØƯịỊ Ox Ø Ãù ÷Ù K Ð (x0 − 1, 0) Ó (x0 + 1, 0)º à ûỊ ÚÙ Ị Ø A Ú Đ Ø Ị ÝØ ÚÙ Ị | Ú Ĩ Ý ØĨ Ị Ù Ơ Ị ººº ú Ð M Ú M Ị Đ Úó Ò Ñ Ø Ò Ñ Ø | ÒÐ Ð Ü Ị | |f (x)|º f (x0 ) ÷Ø ắà ể M ề ề (x0 , 0) ề ửẹ A ØƯịỊ ØƯ Ĩ Ị Ø Ø AK = 1º Ị Ø Đ ÚÙ Ị ÚÙ Ị ÕÙ ưĐ M º Ãù ÷Ù Ĩ ưĐ KN = | Ị Ò ÚÙ Ò Ú MK Ð N º à |º ưĐ M f (x0 ) Ị ùỊ Ð N Ý ưĐ Ü Ị Ú N ÕÙ Ox Ø Ý Ø Ù ưĐ M Ị Đ Ị Ý Ị ØƯịỊ Đ ØƠ Ị Ø ×Ĩ Ú ØƯ Ĩ Ị º Ị ỉ ể ì ề ữỉ é ề ắà ỉệểề ỉ Đ ÚÙ Ị ¸ Ø Ø Ø ØĨ Ị Ð ịỊ ÕÙ Ị ơỊ Ú ÷ Ị Ø Ñ × y = |f (x)g(x)| Ñ × y = f (x) Ú y = g(x)º ¿º à ÐÙ Ị Ì Ị ÕÙ Ú ÷ ØøĐ Ø Ð ÷Ù Ð × ØĨ Ị Ú Ị øỊ Ị Ị Đ Ø × ơỊ Ø Đ Ị ØĨ Ị Ø Ĩ ÕÙ Ị ưĐ Ù ØƯ Ị Ị Ø Âº È ỉá ỉ ề ề ữ ỉ ể ìề ể ỉ ề ễ ỉ ữề ụề ỉ ẹễ ụề Ø Đ Ú Ị Ị ơỊ Ø Ú Ĩ ó Ị Ù ØƯĨỊ Ý Đ Ị ØĨ Ị ØƯ Ị ễ ỉ ề ấ ấ ặ ậ ẵ ể ệ ìá ẵ ỉ ữ é ì èẩ ựề ắ ẩểé ẵ ậ Ị Ø Ĩ ØĨ Ị º ỈÜ ¿ Ù ÌƯ ề è ề ắẳẳ ậ ề ìề ề ÒØ Ú º º È ØÓ Òº Ó Ò ØÝ × Ø º Ị ÷Đ Ị Ø Ú Ĩ Đ Ị ØĨ Ịº Ì Ơ ù Ĩ ØƯ Ị ỉệểề é ỉ íụỉ ễ ỉ ì ắẳ ỉệ ậèấ è ì ỉ é ệ é Ø ĨỊ Ị Ư ع Ị Ð ØƯ Ị Ð ØĨ Ø Ị ƠÐ Ị ÙƯ × ÕÙ Ư ØÙƯ Ø × Ị Ù Ð Ø Ư Đ Ĩ ÙỊ Ø ĨỊ Ì × Ơ Ơ Ư ƠƯ × ỊØ× Ø Ú Û× Ĩ Ø Ð Ư Ð Ø ĨỊ× Ị Ư ع Ị Ð ØƯ Ị Ð ĨƯ ¹ Ị ØĨ Ø ƯĐ Ĩ ×ØỨ ØÙƯ Ị º È Ø³× Ĩ Ị Ø Ú Ú ÐĨƠĐ ỊØ Ø ĨƯݺ ÇỊ Ø × × ØĨ Ð Ư Ý Ø Ư Ð Ø ĨỊ× Ơ ØÛ Ị Ø Ð Ư Ð Ø ĨỊ Û Ø ƠÐ Ị ÙƯ × ÕÙ Ư ØÙƯ Ø × Ị Ù× × ØĨ Ù Ð Ø Ư Đ Ĩ ÙỊ Ø ĨỊ Ư Ð Ø ×Ơ ÐÐÝ ØĨ ĨỊ ĨƯ ØÛĨ ÙỊ Ø ĨỊ× Ú Ịº