Giới thiệu các phương pháp giải toán hệ thức lượng trong tam giác: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 tài liệu Phương pháp giải toán hệ thức lượng trong tam giác, phần 2 cung cấp cho người học các kiến thức: Nhận dạng tam giác (không dùng bất đẳng thức), bất đẳng thức trong tam giác. Mời các bạn cùng tham khảo.

Trang 1

Chong 2 NHAN DANG TAM GIAC (khụng dựng bat dang thiic)

m Phương phỏp chung : De lam dạng toỏn này, tạ biờn đụi cỏc biộu thức lượng giỏc (trong tam giac) ve dang : =0 lab=0 2 a b=0 : a,=0 \a=0 $ | dạ =0 3: dbc=0e^|b=0 ở 0ữ¿ 0y,=0 | lềeộ <0 —— ~ |; =0 Hay cac dang dang thie don gian

4.0 =0 2 a=0 5 ua +b? =0 oo @=6=0 6 a; HGS + 407 =0 => ay = Ge = = a, =0 L 2

A NHAN DANG TAM GIAC ĐỀU BÀI TẬP Cể LỜ! GIẢI

BÀI 135 Cho \ABC thea : 20084

asinA+bsinB+esinC

+ b-cosB + ccoSC _ 2p |

9R

Chứng minh XABC dẻu

mg Hướng dõn : Sử dụng kột qua bai 5 :

sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC và định lớ hàm sin [pat 136 Cho AABC thoa : cosA + cosB + cosC = - Nhận dạng tam giỏc m lướng dõn : Biến đổi : cosA + cosB + cosC = tw] co

ve dang tong cac bỡnh phương

BÀI 137 Cho \ABC thoa : 2(a" + b' +c") = alb* + c*) + ble? + a”) + cla” + bể)

Chứng minh \ABC dộu

99

Trang 2

m Hướng dẫn : Chỳ ý rằng : atbŸ + cổ) + b(cỔ + gŸ) + cla’ + b*) = abia + b) + be(b +c) + calc +

[cosB.cosC = 1)

BAI 138 Cho AABC thỏa : /

| 2 a? -b*-c? a =——————— (2) | a-b-c Chung minh AABC dộu m Hướng dẫn : Dựng định lớ hàm cos {a = 2b.cosC q)

BÀI 139 Cho AABC thỏa : |p3 ¿c3 — a3 2 QO

Ss b+e-

thi \ABC dộu

m Hướng dẫn : Dựng định lớ ham cos ý a# -bŠ - cŠ a"=——————— (1)

BÀI 140 Cho AABC thỏa : | So Đề

sinB.sinC = : (2)

Chứng mỡnh ABC đều m Hướng dẫn : Dựng định lớ hàm cos

BAI 141 Cho \ABC thoa : h, + hy, + h, = 9r thỡ VABC đều

m Hướng dẫn : Dựng cụng thức :

| (a+b+c}r hạ =—————— a è h or Stepr = Sh „SỐ „ SỐ o i, ằ eB Een

2 2 2 | b

|

i, = —=

fa+b+eyr \ € BÀI 142 Cho AABC cú : sin sin = ay Chimg minh AABC dộu / 2 c = Huong dan: Ding dinh li ham cos

BÀI 143 Cho AABC thỏa :

sinB+sinC = 2sinA (1)

tanB + tanC = 2tanA (2)

Chứng minh VABC đều

Trang 3

m Hướng dẫn :

â Cach 1 â Cỏch 2: Ban đọc lưu ý cụng thức : Bạn đọc cố gắng tớnh : re be +c? -a? B C ea? 2 tan— + tan— =? ĂcotB = 5 c | Ề i tan—.tan— =? ,_a +b -c 2 2 cotC = | 4S r——— ——————— =

| nà! 144 Cho AABC cú b +c= V3h, + = Chứng minh AABC đều

m Hướng dẫn : Dựng định lớ hàm sin biến đổi b + Â = V3h, + 5

ve dang : sin B) 1- sin(C + 4 + sinC| 1 - vin(B + ;) =0

6 6)|

BÀI 145 Cho AABC thỏa : 2(a.cosA + b.cosB + c.cosC) = a + b + e

Chứng minh \ABC đều

m Hướng dẫn : Sứ dụng cỏc cụng thức sau : Â sin2x = 2sinxcosx (cong thức nhõn 2)

 sinA + sinB + sinC = 4eos cos coằ (Ban doc xem lai bai 4)

 sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC (Ban doc xem lại bài 5)

1 1

+ +

sinA sinB sinC Chứng minh VABC đều

Trang 4

BÀI 147 Cho AABC thỏa : = eee 3

Chứng minh AABC đều

mg Hướng dẫn : Đặt õn phụ :2x=b+c; 2y=e+a; 2z=a+b

BÀI 148 Cho AABC thỏa : 3S = 2Rí(sin”A + sin*B + sinẺC)

Chứng minh AABC đều

m Hướng dẫn : Sử dụng định lớ hàm sin và hằng đẳng thức :

a’ +b’ +? — 3abe = sớa +b + cJ[(a - bJ + (b - e)ấ + (c - a)}

LỜI GIẢI BÀI 135

vụ cay, tất R(sin2A +sin2B+sin2C) a+b+e

Gia thiột SEE - = 1 2 2 72 9R —(a* +b* +e) 2R

â_ 18RŸ4sinA.sinBsinC) = (a +b + e(a” + bỶ + e?) <= 9abe=(a+b+el(a?+ bể + c?)

<= 9abe=aẽ + a(b + e”) + bè + b(c? + a”) + c' + c(a” + b”)

< alb* + c* — 2be) + b(c” + a”— 2ca) + c(a” + bỂ - 2ab) + +a’ +b" +c’ ~ 3abe = 0 â_ a(b-c)”+b(e- aj + c(a— b)’ +

+ gia +b+ âlA = bỂ + (b— e)Ÿ + (e ~ a] = 0

â a=b=c câ AABC đều

m Chỳ ý :

1 Trong lỳc chứng minh, ta sứ dụng cụng thức quen thuộc :

a’ + bđ +c! — 3abe = (a + b + eJ(a” + bể + eđ— ab — be — ca) = sa +b + e)[(a =b)” + (b — e)” + (e — a)?|

Trang 5

>la+b+4 cia’ +b’ +07) > 3Ơabe.3Ơa7b*c?_ = Gabe Dau “=" <>a=b=c Vay ta+b+ela’ +b? +eÂ)=9abe a=b=c << AABC dộu À 3 BAI 136 Ta co : cosA + cosB + cosC = 3 = 2cos———.cos= + 1-2sin~ C =— 3 2 = "` (1) 2 2 2

A-B 1 a 1 .A-

= |sin? = - sin, cos +—cos +—sin =Ũ 4 2

Ê_12Ã= BỶ 1 ,A-B

2 = = —sinˆ——— =0 sỹ 2 2° 7 2 2 [sin (oe dees -B sin "' —_ 2 i aa Z = 220 | - <> AABC đều

sin PIN 0 A=B A=B

m Chỳ ý : Cú thể dựng tớnh chất tam thức bậc 2 để làm bài này 1

Quỏ vậy : (1) â ft) = 2 - roosts 2 = O(vộit = sing e (0; 1))

Phương trỡnh này luụn cú ngiệm (?!) "` ==.a.= >0 â sinŠ-8 =0 => A=B Khi đú te é ~ 1gs-é „1 c ane <2 = C=60° a 2 2 2 2 2 A=B Vay <= AABC dộu C = 60°

BÀI 137 Ta cú :

2(a” + bŸ + e?) = atbŸ + e”) + b(e? + a”) + cla? + b*) <= = 2a" + bđ + c*) = abla + b) + be(b + e) + ca(e + a)

â_ [ađ + bđ- ab(a + b)| + (bđ +c’ — be(b + c)] + [c* + ađ — ca(c + a)] = 0 = (a+ bab)? + (b+ ellb—c)? + (e + a)(e — a)? = 0

= azb=c @ AABCdộu = (dpem)

Trang 7

28 25 2S

BÀI 141 Ta cú: h,+h,+h,=9r “+

a b

+“ =0

€ => 28[S + +C] =9 c apr +242] = or sa b e \a bee c* bạn b BS ki + =9 (Ll) a bee cỏ lš~z->)*|‡*š->)*{$>2-?)= 0 a je b } La co => (a—by? , tb-ey? | te-a)? =0 œ6 a=b=c & AABC đều ab be ca

m Chỳ ý: Xột (1) Ta cú thờ dựng BĐT Cauchy trực tiếp, như sau :

Trang 8

b B 5 Chứng mỡnh tương tự : sin— s Dau "=" = c=a

2 2Vca

Vậy : sin in? < 7 3 2 2 de a ° a=b ` Dau "=" œ 4 <> \ABC deu = (dpem) \Â=a

BAI 143

e Cach 1: (1)<= b+ec=2a_ tđịnh lớ hàm sin) 2 (2)= 1 + ern cotB cotC cotA 45 45 8S

=> BI DI TIENG TRE LH DU TY?

c€O+a?-bŸ a?+bf°-c? bể+c?°-a?

Trang 9

< tanA.tanB.tanC = BtanA o tanB.tanC = 3 (vi tanA luon + 0) B dtan—.tan— 2 2 = =ủ ( 2B\ € ạ - tan” — I i= tan = 24 2 4 ở = a =3 = [ant + tanS è = i

(, B cy 2.1 2 3/9

1 [tans tan | t—*+— 2 2) 3 9

( cy 3 3 1

= to - tan C | = | ean + tan” | - ean? tan = us - a =0 2 2 \ 3 2) 3 2 9 3 => ran” = tan > Bad pi deđ, 22%) 2 2 2 2 2

sinB + sinC = 2sinA {sinB = sinA B=A 4

Vậy : ee € om ae i € se ôâ b =Â < AABC dộu

m Chỳ ý:

1 Trong tam giỏc khụng vuụng :

tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC (xem bài 9) 2 Ta cú thể chứng minh tanB.tanC = 3, theo cỏch khỏc :

That vay: tanB + tanC = 2tanA = 3tan|[x - (B + €)| tanB + tanC <> tanB + tanC = -2tan(B + C) = -2————_— 1- tanB.tanC (vi trong AABC, tanA luụn z 0 = tanB + tanC = 2tanA z 0) Nờn :1= tt 1- tanB.tanC

BÀI 144 A

Theo dinh li ham sin :

a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC,

va h, = b.sinC = 2R.sinB.sinC

â tanB.tanC = 3

Vi vay: b+ce= V3h, +2 h

2 H

â — 2(sinB + sinC) = 23 sinB.sinC + sinA = sinB + sinC = V3 sinB.sinC + = sin(B +C)

Trang 10

1 "

— sinB + sinC = v3 sinB.sinC + 5 (GUNE;6080 + sinC.cosB)

= sinB}1- [Leosc + 38 nc) +sinC|1~ a cosB + X ng =0 2 2 } 2 2 \ els = dan| - si| C+ )| + sin! - sin{ B + x)| =0

‘J

L \

67)

Vỡ : sinB, sinC > 0 va 1 - sinx >0, Vx e R nờn : |i "

nị B se, +—|=1

ae

Jer foes lp =

<= AABC đều " asia aie me m Chỳ ý : Ta giải cỏch khỏc : Dat: BH=x20,CH=y20 (x+y>a) Ta cú: b+c= yx? +h? + Vy? +hị Theo BĐT B.C.5 (V3h, +x)? <4(h? +x?) Dấu "=" âh„= xv3

(V3h, +y?? < 4th? +y?) Dấu "=" âh„= yV3

= b+c2 5h, +X)+ 5h, +y)2> v3h, + s0 +y)> v3h, + : Dau "=" <> h, = Ơ8x = vầy <> \ABC dộu

BAI 145

108

e Cdch 1 : Theo dinh li ham sin :

2(a.cosA + b.cosB + c.cosC)=a+b+c

Trang 11

1 : sin— = —cos : a 2â |sin 2 2 su - è As 60 = 60° <= AABC dộu lite â 9 IB=C "ơ ja = b.cosC + c.cosB â Cach 2: Theo cong thuc hinh chiếu : ‘b= c.cosA + a.cosC je = a.cosB + b.cosC Nờn : 2(a.cosA + b.cosB + c.cosC)=a+b+e

= (a.cosA + b.cosB — a.cosB — b.cosA) +

+ (c.cosC + a.cosA — c.cosA — a.cosC) = 0 = (a — bl(€eosA — cosB) + (b — e)(eosH — cosC) + (e — a)(cosC — cosA) = 0 Ta nhận thấy 3 biểu thức của vế trỏi đều nhỏ hơn hay bằng khụng (ban đọc tự kiểm tra điều nay)

(ta ~ bl(eosA - cosB) = 0

Vỡ vậy; {(b—e)teosB -eosC)=0 < XABC đều |(e = a)teosC - eosA) = 0 s Cỏch 3: Theo định lớ hàm cos :

a” =bf+c”- 2be.cosA = (b.cosB + e.cosƠ?” + (b.sinB + Â.sinC)’ (b.cosB + Â.cosC

Vv = a> |b.cosB + c.cosC| = c.cosB + c.cosC (Bạn đọc tự kiểm tra) Dau "=" <> bsinB=csinC = b=c

Chimg minh tuong tu :

Trang 12

Vậy : a > b.cosB + c.cosC Dấu "=” = B=C (Sau đú tiếp tục như cỏch 3)

â Cỏch ừ : Theo định lớ ham cos :

2 2 2 pee e+a?-b? a? +b? -c?

b.cosB + c.cosC = b.——————— -c 2ca 2ab

_ b#(e? +a” - b”)+ c?(a? + bể -c)

s 9abe

_ tb~c! la” -(b+e)°|+9a?be

2abe 2a-be s =a 2abe > b.cosB + c.cosC <a

(vỡa<b+c œ6 a <tb+c” s a?”-(b+c<0)

Dau "=" âb=ec (tiếp tục như cỏch 3)

HÃI 140 Giỏ thiết cú SỐ ,1-90EE 1-0480 „ ưy

sinA sinB sinC

asin? asin? S asin? =

TA

2sin—.cos—

CA cũ

2sin—.cos—

B '—c

2sin—.eos—

gw

2 2 2 2 2 2 ^ = tan“ + tanỀ + tan’ = V3 2 2 2

ay

<= | tan—+ ate + tan— 2 2 2) 2A ằB sẽ ( A B B C Cc A = tan” — + tan” — + tan” — + 4 tan—.tan— + tan—.tan— + tan—.tan— |

2 2 2 2° 2 2° 2 2° 2) ( A.B B.C ÂC,_ A)

= Stans tansy + tan—.tan— + tan—.tan—

3.2 23 2.2)

2A ằB ằC A B B Cc Cc A = tan*— + tan? = + tan? — = tan—.tan— + tan—.tan— + tan—.tan— 2 2 2 2 2 2 2 2

2 x2 2

= — - ran (ang 2 + (tant = tan” | + [tang - tan= 20° 2)

/

2 "9 =0 eo tan = tan = tan = A=B=C = AABC dộu

Trang 13

2x=b+œ =0 Ws Vrs =e

BÀI 147 Dat: 2y=c+as0 = (b-o2z*x-y

2z=a+b>0 |(=x+y~z Luc do: — bi t— 8

-

(x-y (y-z” @-x)

= ——— + =0) xy yz zx > Va "=z = 2x ay = 2z \ABC dộu

Ũ

II i = 1 1 = Chỳ ý: 3a + b + â)| + = ) \b+e c+a a+b ( 1 1 1 = fla+b)+(b +e) +(e + a)l! + + b+c c+a a+b

M————Ù—— se

(a+ bib + elle +a) > BY(a + bib + celle + are ( 1 1 3 9 = a+b +e + + |z= \b+e c+a atb) 2 { a b \ = | a +1 ba etiel Ê ơ- (bee i) \Ctra / ca+b 2 a b € 3 = + + _ b+c cxa a+b 2

Dấu "=" âb+ce=ec+a=a+beằa=b=z=e âAABC đều = (dpem) (BĐT cuối này cú tờn là BDT Nesbit)

BÀI 148 Giả thiết : 38 = 2Rf(sin'A + sin'A + sin'C)

Trang 14

<= Babla+b+c)sla+b)' +e 3ab(a + b + €) = (a + b + €)|(a + b)ˆ - ta + b)e + cí|

ỹ 3ab = ta + b)Ể— (a + bJe + e7 0

= a +bf+c-ab-be-ca=0 â (a-bl+(b-c+(te-al=0 = a=b=zc œ AABC deộu m Chỳ ý : 1 Nộu ding truc tiộp BDT Cauchy : a’ + b’ +c’ > 3Ơ(abe)đ = 3abe

Dau "=" a =b'=c'o a=b=c â AABC dộu

Vay:a'+b'+c'=3abe <= \ABC dộu = (dpem)

2 Ban doc cing cộ thộ ding truc tiộp hang dang tht :

ý 8 4 1 y 2 ằ

ađ + b* +c! — 3abe = ma +b+e)[(a - b” + (b— e} + (e — a}”I B NHAN DANG TAM GIAC CAN VA TAM GIAC VUONG

BAI TAP CO LOI GIAI

BAI 149 Cho AABC thoa : sin“A + sin“B + sin’C = 2 Chứng mỡnh VABC vuụng m Hướng dẫn : Xem lại kết quả bài 8 c a + “ ————:

cosB_ cosC sinB.sinC

BÀI 150 Cho VABC thỏa :

Chứng mỡnh \ABC vuụng m Hướng dẫn : Dựng định lớ hàm sản BAI 151 Cho AABC thỏa : sin cos’ = sine.cos* = Chứng mỡnh \ABC can mg Hướng dẫn : Dựng tớnh chất đơn diệu tăng của ham f(x) = x(1 + x*) trờn RR

BÀI 152 Cho AABC thỏa sinC = 2cosA Chứng minh AABC cõn sin

m Hướng dẫn : Chi y rang:

2sinB.cosA = sin(B + A) + sin(B — A) = sinC + sin(B - A)

Trang 15

BAI 153 Cho \ABC thoa : a.cosB — b.cosA = a.sinA — b.sinB Chứng mỡnh VABC vuụng hoặc cần mg Hudng dan: Ding dinh li ham sin bee , BAL 154 Cho \ABC thea : cosB + cos = 2 Chung minh AABC vudng a @ Huong dan: Ding dinh li ham sin hoae dinh li ham cos BAT 155 Cho \ABC co S = Tư, +b”) Chứng mỡnh VABC vuụng can tai C

: z - - on sie < ad M Hướng dỏn : Dựng cụng thức diện tớch : S= s absinC BÀI 156 Cho \ABC co h, = Vbe.cos (1) thi \ABC can @ Huong dan : Dimg cong thie: fh, = c.sinB = b.sinC

BAI 157 Cho \ABC cộ : a.sin(B — C) + b.sin(C - A) = 0

Chứng mỡnh \ABC can mg /lướng dẫn : Dựng định lớ hàm sin BÀI 158 Cho VABC cú : tp — bicotC = pane Chứng minh AABC cõn

m Hướng dẫn : đô Cỳch 7 - Dụng định lớ ham sin đ Cứch 2: Dựng cỏc cụng thức : lane = Epes „ tun = (p~al(p-b) -

3 plp~b) 2 ptp-e)

(Cỏc cụng thức này suy ra được từ định lớ hàm cos)

BÀI 159 Cho \ABC thoa : sin2A + sin2B = 4sinA.sinB

Chứng minh \ABC yuong tai C,

m Hướng dẫn : Biến dối đẳng thức da cho : sin2A + sin2B = 4sinA.sinB

Trang 16

BÀI 160 Cho VABC cú : rạ = r + rị + rụ Chứng mỡnh rằng AABC vuụng tai A m Hướng dẫn : ứôẲ Cỏch 1: Sư dụng cỏc cụng thức : ;A B r= 4Rsin—.sin—.sin— 2 2 2 Cc A ằ, = 4Rsin—.cos—.cos— 2 2 2 r= #Reos*” sti Bont 2 2 2 Cc A r= 4Rcos—.cos—.sin— 2 2 2

 Cdch 2 : Sử dụng cỏc cụng thie vộ diộn tich cua \ABC :

S = pr =(p - aw, = (p — bir, = (p - er,

BAI 161 Cho AABC cộ : (a — b*)sin(A + B) = (a* + b*)sin(A - B)

Trang 17

BÀI 165 Cho \ABC thoa : cos2A + eos2B + cos2C = -1 —_ Chứng mớnh VABC vuụng m Hướng dõn : Dựng cỏc cụng thức : đ cus2v = 3cos v - è #8 cosx + cosy = 3608 = COS

BÀI 166 Cho \ABC co : h, = op Bsin= sin,

Chứng mỡnh VABC vuụng tại A

mg Hướng dõn : Chỳ ý rang : e h,=csinB = 2R.sinB.sine

e p= RisinA + sinB + sinC) = #Reodtcos eos 2 2 2 x ` ơ A b-€ x : ˆ BÀI 167 Cho \ABC cú : tan “Vos Chứng minh AABC vuụng ‘ +Â

we liướng dõn : Dựng định lớ ham sin LỜI GIẢI BÀI 149 Ta cú : sin“A + sin*B + sin’C = 2

c ơ" 411 ~ cos2Bi + sin’ - 2 = 0 = ~teos2A + cos2B) — cos“C = 0

Trang 18

BÀI 150

ôChet:

`

Cadi, SOB sme sina _-

cosB cosC sinB.sinC

ơ sinB.eos€ +sinŒ.eosB - sinA

: cosB.cosC ~ sinB.sinC

_ sitB+C) — sinA _ sina sinA

cosB.cosC — sinB.sinC ~ cosB.cosC sinB.sinC <= cosB.cosC = sinB.sinC (vi sinA > 0)

= cosiB+C)= câ cosA=0 = A= :

<> AABC vuụng tại A

ôCabo: Giả thiết @

cosB

Z2 BC, KHẢ _

cosC sinB.sinC

<= tanB +tanC = sin + â) = cotB + cotC sinB.sinC

<= (tanB — cotB) + (tanC — cotC) =

2 cot2B + cot2C =0 = (vi: cotx — tanx = 2cot2x)

Trang 19

ô Cỳch 2: Xột: fix) =x +x”),x>0 fix) = 14+ 3x°>0 vx >0 = fla ham tang trộn (0; +ô) A Bỡ B B Vỡ vậy : (10 f tan— '=f|tan— | = tan— = tan— 2) ON 2) 2 2 = A=B = \ABC can tai C sinC sinB = 2cosA <> sinC = 2sinB.cosA

BAI 152

sinC = sin(B + A) + sin(B — A) SinC = sinC + sintB - A)

so simB-Ar=0 & B-A=0 (vi |B-Al <x) => A=B & AABC can tai C

BÀI 153 Theo dinh li ham sin: acosB — beosA = asinA — bsinB

<> sinA.cosB — sinB.cosA = sin*A — sin*B

= sin\A — B)= Fil = eos2a) - 5 (1 = c0s2B)

ụ

sin(A - B)= 5 (cose — cos2A) = sin(\A = Bỡ = sin(A - B).sin(A + B)

sin\A — BxsinC - 1) = 0

[ = i -

[sintA Bỡ=0 | {A= B=0 (vila -Bl<m

jsinC = 1 7 ic=2 2 (vid<C<n)

<> .XABC cõn hoặc vuụng tại C

BÀI 154

bie

a

e Cach 1: cosB + cosC =

Trang 20

Nờn : asin? =1 â sin— = v2 e A= 90" 2 ‹ 2 œ& YABC vuụng tại À 4.2 4% bio pe 3

: đ+a "bề at +b ?—c?

â Cach 2: cosh + eos = D*S ô= Ê8 2 xó Hi ĐC DU a 2ca 2ab a

<= ~~ ble* + a” — b*) + cla” + bí— e”) = 9be(b + e)

= (be* + b’e) + (ta b + ca”) — (b" +c") — 2be(b + c) = 0 = (b+ ofa’ — (b* + c* — be) — be] = 0

â a =bf+cT” o& \ABC vuụng tại A

BÀI 155

Ta cú: S= ligt + bY oi { sbainG = dia? +b’)

4 2 4

<= QabsinC=a°+b* = (a* +b’ - 2ab) + 2ab— 2absinC =0

<= (a—b) + 23ab(1 - sinC) = 0

(a-by =0 a=b

1-sinC=0_ (vỡ0<sinC <1) C =90° <> AABC vuụng cõn tai C

m Chỳ ý: Tacú: S= Labsine ôtap <2 Lae y b*) = dia +bŸ)

2 2 239 4

ơ.- ˆ

4

Dau "=" = {sinc = d â _ ABC vuụng cõn tại C {

a= Vay: S= fa’ +b*) <= AABC vudng can tai C BÀI 156 Ta cú:

= Nờn (1)

9

118 h, = c.sinB = b.sinC h2 = be.sinB.sinC 2 hệ ý =Be cos” A 2

|> be.sinB.sinC = be.cos” B H ẻ NS b

Trang 21

= ceo(B-Œ)=1 @œ B-C=0 6ỡ |B-C| <n)

\ABC ean tai A

m Chỳ ý: Cỏch giải khỏc, dựng BĐT Cauchy :

2be.cos* 2be cos= A

Ta co a peg ees bets bee 2Vbe h, sl, < đc cox2 Dau “=" <> b=c = (dpem)

BÀI 157 Ta cú : a.sin(B — C) + b.sin(C — A) = 0

sinA.sin(B — C) + sinB.sin(C — A) = 0

cđ sin(B + C).sin(B — C) + sin(C + A).sin(C — A) = 0 2 5 (082 — cos2B) + 5 (cosa — cos2C) =

l1—cos2A _ 1~-cos2B

= cos2A = cos2B = -

2 2

<= sin’A = sin’B <> sinA = sinB

= A=B = _ AABC can tai C

BAI 158

â Cỏch 1: Giả thiết = (c+a- byeotS =(a+b+ otans <> (sinC + sinA - sinB)eot S = (sinA + sinB + sinC) tan =|zsin ers cos’ a sinB Jeotâ = [2sin4 = ST =E + sinC lan, B C- B Bỡ Cc <= | 2cos—.cos ~ 2cos—.sin— |cot— = 2 2 3 27 2 / A _ \ = 8eosE -sgs : + 2cos— 23g lang \ 2 2 2

= C-A C+A) C sl A-B a B

Trang 22

1

=â tan tan cotC = tanB > tan = tan oA=B

<= AABC cõn tại C : B (p - cp - -a)\p- b ứe Cỏch 2: Ta đó biết :tan— = {polly a) ‡ tan” =, eae) 2 pip -b) 3 7 pip -cÂ) Nộn :(p - byeot â a p(p~ (p-€)(p- a) p-b 2 (p-b) = = ý _a Be (p- ae a pip — b) [p-a i = p-b=p-a <= a=b = AABC can tai C

BAI 159

sin2A + sin2B = 4sinA.sinB = sinA.cosA + sinB.cosB = 2sinA.sinB

â (sinA.cosA — sinA.sinB) + (sinB.cosB — sinA.sinB) = < sinA(cosA — sinB) + sinB(eosB — sinA) = 0 = ơ- - A] = sinB | + da s5 - a] - sna | = > sinA.2eos| â - ( = +B) + sinB.2eos| + = “)an| - pa =0 4 2 4 }

(a ^I BỊ „ Íớn A-B

2 sin|= sin A sin + \* sin B sin | — - ——— O

4 Ji 2) 4 2 (2 2] A-B A

â sin|— sin AJ sin + COS + 4 2 1 2 2 + sinB|=sin^ =5 + eas =5I| =0 8 2

o sin( es ; =) sin—— tin -sinB)+ cose —(sinA +sinB) =

in(đ 2 8l A-B A+B A-B

= sin sin 2cos sin +

2 1 2

+ cos—— asin AZ eos AB = 0

5 A+B) .A-B C ằA-B Cc

Trang 23

>0 { A+B a A+B

Nan: sinf2-4*B).9 =o

: 4 2 4 4

T-A*đ

2

26

sự +B ot nm mn A+B 8 (wid< <—=C—-—<—- = ‹ 4 4 2 4

Ag B= & Â

2 ủ C= 5 (vỡA+B+C=m) Vay XADC vuụng tai C

BAI 160

â Cach 1: Ta co rs 4Rsin’ sinB sin& (xem bai 30) À : l A ra = pum = RisinA + sinB + sinC) tan > A Cc A A C dees woe? cue tai = asin cos so” (xem bai 4) 2 2 2 2 2 2 2 Chứng mỡnh tương tự : À B 3 A rn, = 4Reos—.sin—.cos— ; iy = dReos” cos sin 2 2 2 2 2 2 Do đú: r,=r+n +r, ộ 3 } ằ A a Bo B 2 = dttein sang eos ộitsinđ sin” in Š + AReos sin cứe2 + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + 4Ricos cos” sin = 2 2 ôA B Cc B <| 2Í B Cc B ) ô> sin—| €0S—.€0Đ— - Sin—.sin— | = cos—] sin—.cos— + cos—.sin— 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B+C = cos—.sin A B+C 2 A, <= sin—‘cos 2

= cos’ 5 sin? = 0 @cosA=0 â A=

<> \ABC vuụng tại A

Trang 24

â Cach 2

ỡ 5 ẮẰ p | tp b)tp -€) —s a Xp=c T ơ p-a = aco: | 8 pip - ep -ai

[ep b p-b

in _ S _ |PtP- a1p- b) \ Đ-C€ : p-C€ Lỳc đú : r„=r +, +1 & p(p — bXp—c) =(p - ap — bp — c) + p(p — ap — b) + p(p — exp - = (p -— b\ip - elp — p+ a) = p(p— a(p=b+p-—e€)

<> (p — biip — cla = ap(p— a) = (p — biip-c) = p(p- a) oa’ -tb-c) = (b+ ce -—a* â 2a* = (b+ c+ (b-c)* <> a’ = b* + c* = AABC vuong tai A

BAI 161 Ta cộ : (a* — b*)sin(A + B) = (a” + b*).sin(A — B) BÀI 162 Ta cú

122

<> a’[sin(A + B) — sintA - B)] = b’[sin(A — B) + sin(A - B)|

<2 ađ.2cosA.sinB = b*.2sinA.cosB = sin*A.cosA.sinB = sin“B.sinA.cosB

< sinA.cosA = sinB = cosB_ (vỡ sinA, sinB > 0) c sin2A - sin2B =0 6 sin(A - B).cos(A + B) =0 in(A - B) =0 [en = A (vỡ0<C<m,-m<A-B<m) cosC = 0 C= nla ow

Vậy : VABC vuụng hoặc cõn tại C

Trang 25

ẹ s”A + cos”B) il 1

BAL 163 Gia thiet +———-

sin“B

A+sin?B sim A

902 ~ sin” A - sin” Bỡ 1

az

1

sin’ A + sin’ B sin?A sin’B 4 1 25 + : sin? A + sin? B sin?A sin’B " + 1 1 4 =(sin-A + sin“B) \sin-A : s+ sinˆB a | (1)

- Ap=iix (SEU, a2 ‘sin>B sin? 4

(sinA sinB ~ =0 _ sinA - sinB | sinH sinA/ — ~ sinB_ sinA

SinA =sinB = A=B AABC cõn tại C m Chu y: Tacộ thộ dung BDT Cauchy true tiộp :

sin’ A + sin’ B > 2sinA.sinB > 0| 5 ei 1 1 1 2 => IsinA + si°B)| —— it - >4 — 1 - > >) sin?A_ sin?B)

sin°A sin*B_— sinA.sinB |

Dau “=" <> sinA=sinB = A=B + VABC cảntạiC â (dpem)

BÀI 164

 Cach 1; Theo dinh li ham sin :

l+cosB ða+c +eosBỞ (2a+cj” đa+c

sinB lạa? - c° ~ sin?B 4a?-c?- 2a-c

ơ (L+cosB)* 2a+c ss 1+cosB _ 2sinA +sinC

- l-cos*?B 2a-c ` 1-ceosB 2sinA -sinC

ô 2sinA — sinC + 2sinA.cosB — sinC.cosB =

= 2sinA + sinC - 2sinA.cosB — sinC.cosB <> 4sinA.cosB = 2sinC <> 2|sin(A + B) + sin(A - B)| = 2sinC ô — 9|lsinC + sin(A - B)|=2sinC â sin(A-B)=0

Trang 26

" 1 J2arc _ tan? 2a-c _ (p-c(p-a) 2a-c B Qa-c 2 Qa+e ptp-b) 2a + Â tan— 2

b? -(e-a)? 2a-e b? -(e-a)? 2a-c

= = = => = 7t+l= +1 (e+a)> -b> are (e+ ay -b° 2a+e đạc 4a ) 2 = —— = ô c(2a +€)=(c + a)“— bế (c+al!-b“ 2a+e

= 2ac +c = Â* + a” + 2ca - b

= be =a @& a=b @ AABCcan tai C BAI 165 Ta co: cos2A + cos2B + cus2C = -1

<> 2cos(A + B).cos(A — B) + 2cos*C — 1 = -1

= ~2eosŒ.eos(A — B) + 2eos”C = 0 << cosC|—cos(A — B) + cosC| =0 cosCl|costA + B) + cos(A + B)| = 0 cosC.2cosA.cosB = 0 ỊA = a cosA = 0 2 c cosB = 0 = B= <> AABC vuụng |cosC = 0

lợơ„ * 3 m Chỳ ý:

1 Ban doe xem lại bài 7

2 Tacú: sin°A + sin*B + sin*C = 2 <> cos*A + cos*B + cos*C = 1

<> cos2A + cos2B + cos2C = -1

BAI 166

e Cach 1; Taco: h, = Â.sinB = 2RsinB.sinC

p = R(sinA + sinB + sinC) = 4Reos cos cos

(Ban doc xem lai bai 4)

Nờn: h,= epvZsin& sin `

= 8Rsin B ais” cos” cos’ = BRyBcosScosđ cox’ sin Bn c

2 2 2 2 2 2 2 2 2

Trang 27

A 1 Ag A ot cos— = — c —= => Vi ỦUô—<—]

2 2 2 4 2 2

Vậy CA = Ễ, tức là VÀBC vudng tai A 3 C e Coch 2° Gia thiột <> hi = 2pVệsin sing 2Vbpb alLp - b)tp —Ẳ) - 9p2 apa | - cp -a) 2 -a)(p ~ b) a ca ab be = V2 Jp —w > bes si +€J — a”| 23be=tb+ec-afé s3 a=b+c XABC vuụng tại A => (dpem)

BÀI 167

e Cuch 1: Gia thiet = tan” — 2 1=€osA ——— = ———_——— sinB~—sin€ (Dinh li ham sin) 4 & ie 4 1l+cosA sinB+sinC

1-cosA _ sinB = sinC = 2 _2sinB

1+ cosA sinB + sinC 1+eosA_ sinB+sinC

sinB + sinC = sinB + sinB.cosA = sin(A + B) = sinB.cosA

<= sinA.cosB + sinB.cosA = sinB.cosA

<> sinA.cosB = 0 = cosB=0 @° Be

5

(vi sinA > 0) 2

VABC vuụng tại B,

ô Cỳch 2: Ta cú : tan = vee = tp bXp= cy _ bre

Trang 28

C NHAN DANG MOI SO TAM GIÁC KHÁC

BAI TAP CO LOI GIAI

BÀI 168 Cho \ABC thoa : siniB + C) + sin(C + A) +cos(A + B) = > Nhan dang tam giac š Š Cc = sinA + sinB = 2cos—.cos— m Hướng dẫn : Chỳ ý rằng : - ? 2 | iC jcosC = 2cos> — - 1 | 2 BAI 169 Cho \ABC thoa : 2cosA.sinB.sinC + V3 (sinA + cosB + cosC) = a 1

Nhận dạng tam giỏc

m Hướng dõn : Biến doi dang thức đó cho về dang

coxB 2

2}

allege

"|

3 |

al

sina 2

BÀI 170 Cho \ABC thoa : sin?A + sin*B + 2sinA.sinB = : + 3.cosC + cos”C

M Hướng dẫn : Biến đổi đẳng thức đó cho về dang : sinA + sin B= cosC re te | BÀI 171 Nhan dạng VABC, biết : sin5A + sin5B + sinốC = 0

m Hướng dẫn : Chỳ ý ràng :

5A 5B 5Œ 4cos—.cos—.cos— 2 2 2

sindA + sin5B + sin5C = BÀI 1 172 Nhận dang \A \ABC, bi biết

M liướng dẫn : Chỳ ý ràng : sin3A + sin3B + sin3C = deus cos cose FT

è HÃY 128 Nhận dụng A4BO, biỏi Ă E562 sấ+ KẾ „ dó ay!

| oe TH _ C0SÀ ~ cosB + cosC z ` 7ỡ w Huong dan: Chi y rang: sinx - V3 cosx = 2sin| x - 3| ————— ——

S081 "4, Nhan dang tam giỏc này | BAI 174 Cho \ABC thoa : bta* - b*) = cle? —

m Hướng dõn : Dựng dinh li ham cos

Trang 29

mg Hướng dõn : Chủ ý ràng - ô cox2A + cos2)B = -2cusC.costA ~ B) đ cos2€ = 2eas’C - 1

LOI GIAI

: : : 3 BÀI 168 Gia thiết <> sinA + sinB — cosC = 5

2sin daa ls cos pe cosC = 5 2 2 2 3 Yous? & Hoos coa 5 + i =0 (1) 3 3 2

wt A-B 1 4A „w ẹ= B

> cos” — ~ cos—.cos + —COS + —sin° —— =0 2 2 2 4 2 4 2

f C 1 A-ByY 1 ,A-B

=> ' cos— - —cos +—sin =0 \ 2: 3 2 4 2

| C 1 A-B

leos— = —cos | 0s 2 3° 2 Hee = _ A = B= 30°

“ARB

jsin =0

I2 8E lp-lap

(A=B c

Trang 30

BAI 169 Gia thiột <=

Et

4

=)

<= cosAlcos(B — C) — cosiB + C)| + v3 (sinA + cosB + cosC) =

<= -cos(B + C)cos(B — C) + cos*A + V3 (sinA + cosB + cosC) = —

= 5 (cose + cos2C) + cos?A + V3 (sinA + cosB + cosC) = :

= 5 (2e0s'B ~ 1+ 2cus*C - 11+ cos“A + V3 (sinA + cosB + cosC) = 7

Trang 31

to 30 qd) 2 dca? cos°™ cos?” = 6 <> |cos— =0 (2) 2 2 2 2 cos! 2 (3) 2 a Gein co = 8 S 5A â ite (ke) = A-1, 2k" 2 2 2 5 5 Do: 0<A<z â= oxo se 2 1.2 5 5 5 5 5

1 k=0

=> —<k<3 => 2 k=1 lÄ,~Z 5

=-

5 Tương tự giai (2), (3)

 Túm lại : VABC thoa giả thiết trờn thỡ cú một gúc 5 (tức là 36") hay Ki (tức là 108")

m Chỳ ý: Bạn dọc xem lại bài 4, ta cú ngay :

Trang 32

Tương tự : (3) B= cu (42)âC=<

3 3

Vậy AABC cú ớt nhất một gúc 5 (tức là gúc 60")

BÀI 173

(1)â sinA + sinB + sinC = V3 (cosA + eosB + cosC)

Trang 33

BÀI 174

z Cỏch 1: bla* — b*) = ee? = ađ) ss ba?-bf=cè- ca?

ba* 4 ca? = b+ = a‘(b + Â) = (b + e)(b* — be + c7) = a =b -be+ c7 <> bí+cˆ- ỉbc.cosA = -bc

= cosA = 5 â A=60'

Vay \ABC co goc A la 60"

 Cach 2: Ctng tit: bla — b*) = ete* - a*)

= — btb* + ce — 2be.cosA — b*) = ele - (b* + ce” — 2be(cosA)| bie? — 2be.cosA) = e(2be.cosA — b*)

<= be + b*e = 2cosA\be* + b*c) < cosA= Ê = A=60" Vay \ABC co A = 60"

BÀI 175 cos2A + cos2B - cos2C= :

2cos(A + B).cos(A — B) - (2cos*C - 1) =

ủ plo

Ũ

~2cosC.cos(A — B) - 2eos”C = ặ 4 1 <> — 2cos°C + 2cosC.cos(A — B) + a= 0 (1) <= cos*C + cosC.cos(A - B) + 7 cost -B)+ FsinttA -B)=0 i L J

[eos + s005IA nl : saint -B)=0

|cosc = — eog(A -B) |eosc = _* C = 120°

= 2 =) 2 = o

|simcA -B) = 0 |A=B A=B =30

m Chỳ ý : Giải tương tự bài 168 ta cựng cú kết quả cần tỡm Qua vay: Dat: t = cosC â (-1: 1), taco:

= (1)< fit) = 2t? + 2costA - Bit + 5 =0 (cú nghiệm)

cos(A - B)- 1 = ~sin({A- B) <0

Nờn:V=0 <= A=B

Đ "

Trang 34

176 177, 178 179 180 181” a) b) €) 182 183 184 132

i Lie dộ: t= -— = _— =B) L = cosC = atk = C=120 a 2 2 2 |A=B |A=B =30 Vay > } =

\C = 120° |C = 120°

BAI TAP TU GIAI

Cho \ABC thoa aS visti ~ ese : {eosA + cosB = 2cosC Chứng minh VABC đều

Cho \ABC nhọn, thỏa : tanA + tan*B = 2tan? Be Bo

Ching minh VABC cõn tại C

Cho \ABC co : sin(B — Ad.sinC + sinA + cosB = 3 Nhan dang tam giỏc nay Ầ 3 9Q Cho VABC thoa : os cose + eos (cỏ 2 cos cos 22 : 2 2 2 2 2 2 4 Chiing minh \ABC đều a+e

- Chứng minh VABC vuụng Cho VABC thoa : cot = Cho \ABC, ee 3 asinB.sinC Chứng mỡnh : /, = sin A.cos Cho 1, = 4, = / Chung minh \ABC deộu JsinB = (V2 - eosC)sinA Cho |sinC = (V2 - cosB)sinA Chung minh \ABC can tai A

tant B -Â p.t ear =p

Cho \ABC thoa:

ằ au—.tan—=p-b ta 9 tại 2

Ching minh \ABC dộu

Trang 35

1887 189 190

1918

192* 1937 194 195 196 5 Cho \ABC thoa : _ Cc * Cho \ABC thoa : sine = cos sin? A 1 1 Hệ q b- €

Nhõn dang tam giỏc nay

Nhan dang \ABC, biết :

S.sinA.sinB.sinC = (sinA + sinB + sinC) - Nhan đang tam giỏc VABC, biết : ar b c a+bee b+e c+a a+b 2 Cho \ABC thoa : sin*A.sin*B.sin°C = = \ „” Chung minh VABC cõn [r + rạ = 4R.cosC |r +1, = 4R.cosA Ching minh \ABC dộu

Cho VABC thỏa :

Chung minh \ABC dộu

(2A +8B=a

|4ta + b) - 5C” Nhõn dạng tam giỏc trờn

Cho AABC thoa :

5sin* A = sin? B + sin’C Cho XABC thỏa: ¿- sinA = orl co Nhõn dạng tam giỏc

Cho VABC thỏa : (a+b rer = abe la <bôc

Nhõn dạng tam giỏc này

Cho \ABC thoa : abe(sinA + cosA) = a*(p — a) + b*(p — b) + e*(p — e), Chứng mỡnh VABC vuụng

AABC thoa : abe.eosB = 2[(a + b)(p — a).(p — b)|

Trang 36

197 a) 198, a) c) 199 a) €) 134 Nhan dang AABC, biột rang tam giỏc thỏa một trong cỏc điều kiện sau

sin9A + sin9B + sin9C = 0 b) sin10A + sin10B + sin10C = 0 Nhận dạng AABC, biết rằng tam giỏc thỏa một trong cỏc điều kiện sau

Trang 37

Chuwsug 3 BAT DANG THUC TRONG TAM GIAC

MOT SO BAT DANG THỨC CẦN NHỚ

1 BAT DANG THUC CAUCHY

Nếu a), ay, ., d, 20(2 <n e 22 thị : dị; +d„ + + dụ ——————- Nˆaa› d, a Dộu"=" â dị =dq›= = tụ 2 BẤT DANG THỨC BUNHIACOPSKI (B.C.S)

Nếu : ay, d›, , Gy, 0), by, b, ER = (2sne8 thi:

(a;b; + doby + G0.) < (az +3 + + a7 Mb? +03 + +b?) Ddu ”=” œ a =kb; (i= 1, 2, -., nN

3 BAT DANG THUC TREBUSEP

@, 2a, 2 24

\a, "

b, why 2nd, (2 <n e2) thỡ : e Dang1: Nếu : da, +d›¿ + +dy Dị + é¿ + +D, < đĂÙy + a¿b¿ + + québ„ n n n [a; = ứ; = = Đấu =" 6 |1 * 4

|b, = by =.=,

2Q@ 2 2

ệỔ Dụng 9: Nộu: b _ ` % thỡ :

Ă S Oy SS Oy a, +@)+ +a, 0, +b) + +6, 5 ab, + Goby + + a,b, n na n

4, BAT BANG THUC BERNOULLI e Dang nguyộn thiy:

Trang 38

 Dạng mở rộng :

+ g>-1,ư2]1 thi: (1+) >TI1+ ưa

Trang 39

7 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP TRONG AABC

1 6 N 10 11 13 14 16 17 Oô< sinA + sinB + sinC =

sử

Oô< simnA.sinB.sinC < — 8 1 1 sinA sinB xiaC —

1 < cosA + cosB + cosC š = cosA.cosB.cosC s = 8 1 1 1

cos A cosệ— cosC

>6 thờu thờm điều hiện ABC nhọn) tanA + tanB + tanC@ = tanA.tanB.tanC > 3V3

(nộu thộm diộu kiộn AABC nhon)

Trang 40

c €

18 worth + wat: + cot— = bửI 2 80FE- sotE > 3J5

3 2 2 2 2 2

19 sin?A + sinđB + sin?C s

20 cos*A + cos*B + cos*C >

Aloe

ALO

21 tan*A + tan ”B + tan °C >9 (nộu thờm điều kiộn AABC nhon) 22 cot"A + cot"B + cot?C >1 3 ằB 9 3 23 sin> — + sin” — + sin= — > — 2 2 2 4 A ằB sử 9 24 2< cos? —+cos* — + cos*° =< = 2 2 2 4 25 tat? A ton? 8 stan? â 21 2 2 2 2 ằB aC

26 cot" = + cot” 37 cot” s 29

|m = sin? A+ sin” B+ sin? C

27 Dat: , 2 „

n= cos’ A +cos” B+ cos”C

e AABCnhon = cosA.cosB.cosC>O 2 m>2 cụ nel *đ AABCtuụng = cosA.cosB.cosC =O = m=2 cv n=l e ABC tu = cosA.cosB.cosC <0 2 m<2 cv nol

m Chỳ ý: + BDT(1 > 26)c6 dau"=" <= AABC dộu

+ Cac BBT nay "đi thi" phải chứng minh lại 8 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP KHÁC

e -l<sinx, cosx <1, Ww eR # SỈHXY #COSX Š V2, tr eR l 7 1D Â asinx + b.cosx < Va>+b°, te eR e tanx + cotx 22, rx # = th e Z2)

0 < SRA SAB sin <1 ieee eae ees (A, B, C là ba gúc AABC)

=1< cosA,cosB,cosC < 1 (A, B, C la ba gộc AABC)

cosA + cosB; cosB + cosC; cusC + cosA > 0 cotA + cotB; cotB + cotC; cotC + cotA >0

138