Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Hệ thức lượng trong tam giác

A. SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: ĐẶNG THỊ HỒNG VÂN. 2. Ngày tháng năm sinh: 01 - 05 - 1978. 3. Giới tính: Nữ. 4. Địa chỉ: 1/4, Tổ 24, Kp 4, P. Bửu Long, Tp Biên Hòa. 5. Điện thoại: 0613 951729. 6. Chức vụ: Giáo viên. 7. Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền. II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO 1. Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học. 2. Năm nhận bằng: 2000. 3. Chuyên ngành đào tạo: Toán học. III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC 1. Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy toán. 2. Số năm kinh nghiệm: 11 năm. Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác B. Đề tài HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hệ thức lượng trong tam giác là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng của chương trình toán học phổ thông. Mặt khác, nó còn gắn liền với thực tế qua những bài toán tìm cạnh, góc, diện tích đơn giản, … trong một tam giác cho đến những bài toán khó đòi hỏi nhiều tính toán, suy luận. Trong chương trình toán học lớp 10, sách giáo khoa giới thiệu cho học sinh một số bài toán khá thú vị cho thấy ứng dụng thực tế của hệ thức lượng trong tam giác. Đồng thời sách giáo khoa cũng cho học sinh giải một số bài tập về giải tam giác. Tuy nhiên những bài tập đó chủ yếu chỉ rèn cho học sinh khả năng sử dụng máy tính cầm tay, không có nhiều dạng bài tập đòi hỏi khả năng tư duy, suy luận. Bên cạnh đó, với thời lượng học toán 7 tiết/ 1 tuần ở học kỳ II, tôi tin rằng việc cung cấp cho học sinh thêm một số bài tập về “ Hệ thức lượng trong tam giác” là điều cần thiết để các em trao dồi, rèn luyện thêm những kỹ năng, khả năng suy luận toán học. Đó cũng là lý do mà tôi chọn viết chuyên đề này. Chắc chắn rằng chuyên đề không thể tránh khỏi những thiếu sót, xin quý thầy cô đóng góp ý kiến để nội dung chuyên đề được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Người viết chuyên đề Đặng Thị Hồng Vân Trang 2 Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác II. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ A. KIẾN THỨC CẦN NẮM: I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH; gọi BH, CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên cạnh huyền BC, đặt AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, CH = b′, BH = c′. Ta có các hệ thức sau: 1. 2 2 2 a b c= + 2. 2 ' .b b a = ; 2 ' .c c a = 3. b.c = a.h 4. 2 ' 'h b c= 5. 2 2 2 1 1 1 h b c = + 6. sin b B a = ; cos c B a = ; tan b B c = ; cot c B b = 7. sin c C a = ; cos b C a = ; tan c C b = ; cot b C c = II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a và AC = b 1. Định lý côsin : 2 2 2 2 .cosa b c bc A= + − 2 2 2 2 .cosb a c ac B= + − 2 2 2 2 .cosc a b ab C= + − 2. Định lý sin : 2 sin sin sin a b c R A B C = = = (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC) Trang 3 A c b c’ b’ h H C B a B A C c b a Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác 3. Công thức tính độ dài đường trung tuyến : Cho tam giác ABC, gọi m a , m b , m c lần lượt là độ dài các đường trung tuyến ứng với các cạnh a, b, c. Ta có: 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 b c a m a a c b m b a b c m c + = − + = − + = − 4. Công thức tính diện tích :  1 1 1 . . . 2 2 2 S a h b h c h a c b = = =  1 1 1 sin sin sin 2 2 2 S ab C ac B bc A= = =  4 abc S R = ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác )  S pr= ( với 2 a b c p + + = ; r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác )  ( )( )( )S p p a p b p c= − − − (công thức Hê rông) Trang 4 Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác B. BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, hai trung tuyến AM = 2 và BN = 3. Tính các cạnh của tam giác ABC . Giải Vì ∆ ABC vuông tại A, nên: BC = 2AM = 4 Ta có: BN 2 = AB 2 + AN 2 ⇔ 9 = AB 2 + 2 1 4 AC ⇔ 36 = 4AB 2 + 2 AC (1) Mặt khác: BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇔ 16 = AB 2 + AC 2 (2) Từ (1)và (2), ta được: AB = 20 3 và AC = 28 3 Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và EM là đường cao của tam giác EBC. Chứng minh rằng: a) 2 2 2 5BE CF AD+ = b) 2 2 2 MB MC AB− = Giải a) 2 2 BE CF+ = 2 2 2 2 AB AE AC AF+ + + = 2 2 2 2 1 1 4 4 AB AC AC AB+ + + = 2 2 5 ( ) 4 AB AC+ = 2 5 4 BC = 2 5AD (đpcm) b) 2 2 MB MC− = 2 2 2 2 BE EM EC EM− − + = 2 2 BE EC− = 2 2 BE AE− = 2 AB (đpcm) Trang 5 C A B N M A C B E D F M Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác Bài 3: Cho hình thang ABCD với đường cao AB. Biết rằng AD = 3a, BC = 4a, · 0 90BDC = . Tính AB, CD và AC. Giải Vẽ DH ⊥ BC ( H ∈ BC) Ta có ADHB là hình chữ nhật, nên: BH = AD = 3a AB = DH    ∆ BCD vuông tại D, nên: ( ) 2 .DH HB HC HB BC BH= = − = ( ) 2 3 4 3 3a a a a− = ⇒ DH = 3a ⇒ AB = DH = 3a Ta lại có: 2 2 . .4 4CD CH CB a a a = = = ⇒ CD = 2a Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC, ta có: AC = 2 2 2 2 3 16 19AB BC a a a+ = + = Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 4BK BC AH = + Giải Trong tam giác vuông AHC, dựng đường cao HI Tam giác vuông BKC có: //HI BK HB HC   =  ⇒ HI = 1 2 BK (1) Ta lại có: 2 2 2 1 1 1 HI AH HC = + (2) ( HI là đường cao của tam giác vuông AHC) Từ (1) và (2) ⇒ 2 2 2 1 1 1 4 4 BK BC AH = + ⇒ 2 2 2 1 1 1 4BK BC AH = + Trang 6 A B D C H A B H C K I Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác Bài 5: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ vuông tại A và A’ và đồng dạnh với nhau. Chứng minh rằng: a) ' ' 'aa bb cc= + b) 1 1 1 ' ' 'hh bb cc = + Giải a) Do ∆ABC ∼ ∆A’B’C’, nên: sinα = ' ' c c a a = cosα = ' ' b b a a = ⇒ ( ) 2 2 ' ' ' sin cos 'cc bb aa aa α α + = + = Vậy: ' ' 'aa bb cc= + b) Do ∆ABC ∼ ∆A’B’C’, nên: sinα = ' ' h h b b = cosα = ' ' h h c c = ⇒ 2 2 1 1 sin cos 1 ' ' ' ' 'bb cc hh hh hh α α + = + = Vậy: 1 1 1 ' ' 'hh bb cc = + Trang 7 A B α α C H h Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BD là đường phân giác trong của góc ˆ B (D ∈ AC). Tính chu vi của tam giác trong mỗi trường hợp sau: a) AD = 4, DC = 5 b) AD = 1, BD = 10 Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A , có 2 3 AB AC = , đường cao AH = 6. Tính HB, AB và AC. Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có chu vi bằng 36. Tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với cạnh huyền chia cạnh huyền làm hai đoạn theo tỉ số 2 3 . Tính độ dài các cạnh. Bài 4: Một tam giác vuông nội tiếp đường tròn đường kính 37 và ngoại tiếp đường tròn đường kính 10. Tính các cạnh của tam giác này. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác trong của góc A chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài bằng 15 7 và 20 7 . Tính các cạnh góc vuông và đường cao AH . Bài 6: Cho hình vuông ABCD, từ A kẻ đường bất kỳ cắt BC và CD lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 AE AF AB + = Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là một điểm trên cạnh huyền BC. Chứng minh rằng: 2 2 2 2MB MC MA+ = . Bài 8: Cho tam giác ABC, có A, B, C là các góc nhọn. Gọi AA’là đường cao hạ từ A, H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh: tanB. tanC = ' ' AA HA b) Chứng minh: HG // BC ⇔ tanB.tanC = 3 Trang 8 Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC = a và Â = α a) Tính BC theo a và α . b) Gọi r là bán kínnh đường tròn nội tiếp ∆ ABC . CM: .sin 2(1 sin ) 2 a r α α = + Giải a) 2 2 2 2 . .cosBC AB AC AB AC A= + − = 2 2 2 2 osa a a c α + + = 2 2 (1 cos )a α − b) Ta có: BC = 2BH = 2a sin 2 α Diện tích ∆ ABC là S = 2 1 .sin 2 a α Mặt khác: S = p.r Do đó: r = S p = 2 1 .sin 2 2 .sin 2 a a a a α α + + = 2 1 .sin 2 2 (1 sin ) 2 a a α α + = .sin 2(1 sin ) 2 a α α + (đpcm) Bài 2: Cho góc · 0 60xOy = . Từ điểm M trong góc · xOy , ta dựng MA ⊥ Ox và MB ⊥ Oy. Biết AB = 5. Tính OM. Giải Vì MA ⊥ Ox và MB ⊥ Oy Nên tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn đường kính OM Do đó ∆ OAB nội tiếp đường tròn đường kính OM Áp dụng định lý sin cho ∆ OAB, ta có: 0 sin 60 AB OM= ⇒ 5 10 3 3 2 OM = = Trang 9 A B C H O y x M A B 60 0 5 Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: ( ) 2 2 2 2 2AC BD AD AB+ = + Giải Áp dụng định lý côsin cho ∆ACD, ta có: 2 2 2 2 . .cosAC DA DC DA DC D = + − Áp dụng định lý côsin cho ∆BC, ta có: 2 2 2 2 . .cosBD AB AD AB AD A = + − = 2 2 2 . .cosDC AD DC AD D + + ( vì AB = DC và cosD = -cosA ) Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, cho AB = c, AC = b; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC và a l là độ dài đường phân giác trong của góc A. a) Chứng minh rằng: 2 a bc l b c = + b) Chứng minh rằng: ( ) 2 2 1 2 r b c b c   = + − +   c) Gọi M là điểm trên cạnh BC thỏa · 0 60BAM = . Chứng minh rằng: 2 3 bc AM b c = + . Giải a) Ta có: ABC ABD ACD S S S= + ⇔ 0 0 1 1 1 . . .sin 45 . .sin 45 2 2 2 b c AB AD AC AD= + ⇔ 1 1 . . . . . 2 2 a a b c c l b l= + ⇔ ( ) 1 . 2 a b c c b l= + ⇔ ( ) 2 a bc l b c = + (đpcm) b) Ta có: . 2 ABC a b c S r + + = ⇔ 2 2 1 . 2 2 b c b c bc r + + + = ⇒ 2 2 bc r b c b c = + + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 bc b c b c b c b c   + − +   + − + = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 bc b c b c b c b c bc   + − +     = + − +   Trang 10 A C D B A B l a C M D [...]... tam giác ABC là tam giác đều (trong đó ha , hb , hc là các đường cao kẻ từ A, B, C và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC) Trang 16 Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác SỬ DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC Bài 1: Cho tam giác ABC CMR: a.cosA + b.cosB + c.cosC = 4R.sinA.sinB.sinC Giải VT = 2RsinA.cosA + 2RsinB.cosB + 2R.sinC.cosC = R(sin2A... 256 16 Áp dụng định lý sin cho tam giác BCM, ta có: 46 CM 4 46 CM 2 = = = 2x ⇒ x = 2sin B 3 15 3 15 sin B 2 16 Bài 6: Ba cạnh của một tam giác có số đo là : x 2 + x + 1 ; 2x + 1; x 2 − 1 a) Tìm x để tồn tại tam giác như trên b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc là 1200 Trang 11 Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác Giải a) Để tồn tại tam giác thỏa yêu cầu bài toán, điều kiện là: 1  x>− 2... các góc của tam giác ABC biết: a) a = 2 3 ; b = 3 2 ; c = 3 + 3 b) a = 6 ; b = 2 6 ; c = 3 2 − 6 Bài 2: Cho tam giác ABC có cạnh a = 6, b = 7, c = 8 Chỉ áp dụng định lý côsin một lần, chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn Bài 3: Cho tam giác ABC Tính độ dài AC, biết: ˆ a) B = 1200 , AB = 6, BC = 10 b) Â = 600 , AB = 8, BC = 13 Trang 14 Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác Bài 4: Cho tam giác ABC,... cạnh BC sao cho 9 16 · · Tính chu vi tam giác ABC ABC = DAC , DA = 6, BD = 3 Bài 18: Cho tam giác ABC có độ đài ba cạnh a, b, c; p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó Chứng minh: 1 1 1 1 + + ≥ 2 2 2 2 ( p − a ) ( p − b) ( p − c ) r Bài 19: Chứng minh rằng, nếu tam giác ABC thỏa hệ thức: ha + hb + hc = 9r thì tam giác ABC là tam giác đều (trong đó ha , hb , hc là các đường cao... rằng: a) 2b 2 = a 2 − c 2 b) sin 2 A = 2sin 2 B + sin 2 C Bài 13: Cho tứ giác lồi ABCD, gọi α là góc tạo bởi hai đường chéo AC và BD 1 a) Chứng minh diện tích của tứ giác ABCD là S = AC.BD.sinα 2 b) Nêu kết quả trong trường hợp AC và BD vuông góc nhau Trang 15 Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác Bài 14: Chứng minh trong tam giác ABC, ta có: a 2 + b2 + c 2 R a) cot A + cot B + cot C = abc 2 2 b)... a 2 + b 2 + 2ab ⇒ 2c 2 ≥ ( a + b) 2 Diện tích của tam giác: S = ⇒ c 2 ≥ a+b c 1 r c ≥ = = 2 − 1 > 0, 4 (2) Do đó: = 2 +1 h a+b+c c 2 +c r Từ (1) và (2) suy ra : 0, 4 < < 0,5 h Trang 13 Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác Bài 9: Chứng minh công thức Hê rông S = p( p − a)( p − b)( p − c) trong đó S là a+b+c diện tích , a, b, c là ba cạnh của tam giác và p = 2 Giải a+b+c b+c−a Ta có p = ⇒ p–a = 2...Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác c) Ta có: S ABC = S ABM + S ACM 1 1 1 b.c = AB AM sin 600 + AC AM sin 300 2 2 2 3 1 + b AM ⇔ b.c = c AM 2 2 ⇔ ⇔ 2b.c = ⇔ AM = ( ) 3.c +b AM 2bc (đpcm) b + 3c Bài 5: Cho tam giác ABC có a = 4, b = 3, c = 2 Gọi M là trung điểm của AB Tính bán kính x của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM Giải Xét tam giác ABC, ta có: A 9 + 16 4 23 b2 +... 2 Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A , hai cạnh góc vuông là b và c M là một b.c · điểm trên cạnh BC sao cho BAM = α CMR: AM = b.cos α + c.sin α ˆ Bài 10: Cho tam giác ABC có B = 600 , R = 2, I là tâm đường tròn nội tiếp Tính bán kính x của đường tròn ngoại tiếp ∆ ACI 1 3 1 4 1 5 Bài 11: Cho tam giác ABC có các đường cao ha = , hb = , hc = Tính diện tích tam giác ABC Bài 12: Cho tam giác ABC có ba... lượt là độ dài của ba cạnh của tam giác ABC Tam giác ABC là tam giác gì nếu: a) a cos B = b cos A sin A = 2cos C b) sin B  b3 + c 3 − a 3 = a2  c)  b + c − a a = 2b cos C  Bài 16: Gọi S là diện tích tam giác Chứng minh a) S = 2 R 2 sin A.sin B.sin C 1 − cos C 2 b) c 2 = ( a − b ) + 4S sin C c) S = R.r ( sin A + sin B + sin C ) A d) S = p ( p − a ).tan 2 Bài 17: Cho tam giác ABC có cosA = 5 Gọi D... Chứng minh: 1 1 1 = + a b c Bài 4: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: a) b cos B + c cos C = a cos ( B − C ) b) S = 2R 2 sin A.sin B.sin C c) 2S = R ( a cos A + b cos B + c cos C ) A B C d) r = 4 R sin sin sin 2 2 2 - Trang 18 Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác LỊCH SỬ CỦA HERON ( Thế kỷ I - II sau công nguyên) Heron là nhà toán học và vật lý vùng Alexandria, không biết ngày . đề: Hệ thức lượng trong tam giác B. Đề tài HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hệ thức lượng trong tam giác là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng của chương trình toán. nội tiếp tam giác )  ( )( )( )S p p a p b p c= − − − (công thức Hê rông) Trang 4 Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác B. BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Cho tam giác ABC. đề Đặng Thị Hồng Vân Trang 2 Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác II. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ A. KIẾN THỨC CẦN NẮM: I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao