TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ LÊ QUANG XE LUYỆN THILUYỆN THILUYỆN THILUYỆN THILUYỆN THILUYỆN THILUYỆN THILUYỆN THILUYỆN THILUYỆN THILUYỆN THILUYỆN THILUYỆN THILUYỆN THILUYỆN THILUYỆN THILUYỆN THILUYỆN THIL[.]
LÊ QUANG XE LUYỆN THI d1 = d2 1z + c 2z = d 1y +c z = +b 1x + b 2y + c a b 3y a 2x x+ a3 TOÁN TOÁN CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ Muåc luåc Phần I ĐẠI SỐ Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Bài HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN A Tóm tắt lí thuyết B Một số dạng toán | Dạng Giải hệ phương trình bậc ba ẩn phương pháp Gauss | Dạng Tìm nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn máy tính cầm tay C Bài tập luyện tập D Bài tập rèn luyện 13 Bài ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 23 A Các dạng tốn ví dụ 23 | Dạng Giải tốn cách lập hệ phương trình 23 | Dạng Ứng dụng giải tốn Vật Lý, Hóa Học, Sinh Học 24 | Dạng Ứng dụng giải toán kinh tế 26 B Bài tập rèn luyện 27 C Bài tập tự luận 30 Bài A B C BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ 45 Bài tập tự luận 45 Bài tập sách giáo khoa 50 Bài tập nâng cao 56 PHẦN I ĐẠI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BAChûúng ẨNBẬC NHẤT HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN A BA ẨN TĨM TẮT LÍ THUYẾT Hệ phương trình bậc ba ẩn Định nghĩa 1.1 ○ Phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát ax + by + cz = d, x, y, z ba ẩn; a, b, c, d hệ số a, b, c không đồng thời không Mỗi ba số (x0 ; y0 ; z0 ) thỏa mãn ax0 + by0 + cz0 = d gọi nghiệm phương trình bậc ba ẩn cho ○ Hệ phương trình bậc ba ẩn hệ gồm số phương trình bậc ba ẩn Mỗi nghiệm chung phương trình gọi nghiệm hệ phương trình cho ○ Hệ ba phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 a3 x + b3 y + c3 z = d3 x, y, z ba ẩn; chữ số lại hệ số Ở đây, phương trình, hệ số , bi , ci (i = 1, 2, 3) phải khác Ví dụ Hệ phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn? Kiểm tra xem ba số (1; 1; 2), (−1; 3; 0) có phải nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng 2x − 2y + x = − 2xy + y = x + 3y + 2z = a) x + 2y − 2z = b) 2x + 3y + 5z = −2 c) 2x + 2y + z = − 4x − 7y + z − 4; 3x + y + z = − x + 3y − 2z = −2; Ê Lời giải GV: LÊ QUANG XE Trang HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Hệ phương trình câu a) khơng phải hệ phương trình bậc ba ẩn phương trình thứ ba chứa x2 Hệ phương trình câu b) khơng phải hệ phương trình bậc ba ẩn phương trình thứ chứa xy Hệ phương trình câu c) hệ phương trình bậc ba ẩn ○ Thay x = 1; y = 1; z = vào vế trái phương trình hệ câu c) so sánh với vế phải, ta được: — Phương trình thứ nhất: + · + · = (thỏa mãn); — Phương trình thứ hai: · + · + = (thỏa mãn); — Phương trình thứ ba: · + + = (thỏa mãn) Vậy (1; 1; 2) nghiệm hệ phương trình ○ Thay x = −1; y = 3; z = vào vế trái phương trình hệ câu c) so sánh với vế phải, ta được: — Phương trình thứ nhất: (−1) + · + · = (thỏa mãn); — Phương trình thứ hai: · (−1) + · + = 6= (không thỏa mãn) Vậy (−1; 3; 0) nghiệm hệ phương trình B MỘT SỐ DẠNG TỐN Dạng Giải hệ phương trình bậc ba ẩn phương pháp Gauss Để giải hệ phương trình dạng tam giác, trước hết ta giải từ phương trình chứa ẩn, sau thay giá trị tìm ẩn vào phương trình chứa hai ẩn để tìm giá trị ẩn thứ hai, cuối thay giá trị tìm vào phương trình cịn lại để tìm giá trị ẩn thứ ba Ví dụ Giải hệ phương trình x + y + 3z = 10 (1) y − z = (2) 2z = (3) Ê Lời giải Từ phương trình (3) ta có z = Thay z = vào phương trình (2) ta y − = hay y = Thay y = z = vào phương trình (1) ta x + + · = 10 hay x = −1 Vậy nghiệm hệ phương trình cho (−1; 5; 2) o a) Để giải hệ phương trình bậc ba ẩn, ta đưa hệ hệ đơn giản (thường có dạng tam giác), cách sử dụng phép biến đổi sau đây: ○ Nhân hai vế phương trình hệ với số khác ○ Đổi vị trí hai phương trình hệ ○ Cộng vế phương trình (sau nhân với số khác 0) với vế tương ứng phương trình khác để phương trình có số ẩn THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131 Trang Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Từ giải hệ cho Phương pháp gọi phương pháp Gauss b) Hệ phương trình bậc ba ẩn có nghiệm nhất, vơ nghiệm có vơ số nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss x − 2y + 3z = 10 x − y + 2z = b) 2x + 3y − z = a) 2x + y − z = −1 x + 5y − 4z = 1; x + y + z = 5; Ê Lời giải 2x − y + 3z = c) x + y + 2z = 5x + 2y + 9z = a) Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−2) cộng với phương trình thứ hai theo vế tương ứng ta hệ phương trình x − y + 2z = 3y − 5z = −9 x + y + z = Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−1) cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng ta hệ phương trình x − y + 2z = 3y − 5z = −9 2y − z = Nhân hai vế phương trình thứ hai với − cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng ta hệ phương trình x − y + 2z = 3y − 5z = −9 z = Từ phương trình thứ ba, ta có z = Thế vào phương trình thứ hai ta 3y − · = −9 hay y = Thay z = y = vào phương trình đầu tiên, ta x − + · = hay x = Vậy nghiệm hệ phương trình cho (0; 2; 3) b) Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−2) cộng với phương trình thứ hai theo vế tương ứng ta hệ phương trình x − 2y + 3z = 10 7y − 7z = −18 x + 5y − 4z = Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−1) cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng ta hệ phương trình x − 2y + 3z = 10 7y − 7z = −18 7y − 7z = −9 GV: LÊ QUANG XE Trang HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Từ hai phương trình thứ hai thứ ba, suy −18 = −9, điều vơ lí Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm c) Đổi chỗ phương trình thứ phương trình thứ hai ta hệ phương trình x + y + 2z = 2x − y + 3z = 5x + 2y + 9z = Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−2) cộng với phương trình thứ hai theo vế tương ứng ta hệ phương trình x + y + 2z = −3y − z = −1 5x + 2y + 9z = Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−5) cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng ta hệ phương trình x + y + 2z = −3y − z = −1 −3y − z = −1 Nhận thấy phương trình thứ hai thứ ba hệ giống nhau, ta hệ tương đương dạng hình thang ® x + y + 2z = −3y − z = −1 Rút z theo y từ phương trình thứ hai hệ ta z = −3y + Thế vào phương trình thứ ta x + y + 2(−3y + 1) = hay x = 5y − Vậy hệ phương trình cho có vơ số nghiệm tập nghiệm hệ S = {(5y − 1; y; −3y + 1) | y ∈ R} Ví dụ Ba bạn Lan, Anh Khoa chợ mua trái Bạn Lan mua kí cam kí ổi hết 295 nghìn đồng, bạn Khoa mua kí táo kí ổi hết 345 nghìn đồng bạn Anh mua kí táo, kí cam kí ổi hết 355 nghìn đồng Hỏi giá kí loại cam, táo ổi bao nhiêu? Ê Lời giải Gọi x, y, z (nghìn đồng) giá kí loại cam, táo ổi (điều kiện x, y, z ≥ 0) Bạn Lan mua kí cam kí ổi hết 295 nghìn đồng nên ta có 2x + 3z = 295 Bạn Khoa mua kí táo kí ổi hết 345 nghìn đồng nên ta có 4y + z = 345 THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131 Trang Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN bạn Anh mua kí táo, kí cam kí ổi hết 355 nghìn đồng nên ta có 3x + 2y + z = 355 Do đó, ta có hệ phương trình bậc ba ẩn 2x + 3z = 295 4y + z = 345 3x + 2y + z = 355 Giải hệ phương trình ta x = 50, y = 70 z = 65 Vậy giá kí cam 50 nghìn đồng, giá kí táo 70 nghìn đồng giá kí ổi 65 nghìn đồng Dạng Tìm nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn máy tính cầm tay Ta dùng máy tính cầm tay để giải hệ phương trình bậc ba ẩn Sau mở máy, ta thực thao tác sau: ○ Vào chương trình giải hệ phương trình ba ẩn, ấn — Đối với máy tính CASIO fx-570VN PLUS: MODE — Đối với máy tính CASIO fx-580VNX: MENU ○ Nhập hệ số để giải hệ phương trình Ví dụ Dùng máy tính cầm tay tìm nghiệm hệ phương trình sau: x − 3y + z = x − y + z = −3 − 2x + y + 2z = c) b) a) 3x + 2y + 3z = 2x − y − 4z = 3; x + 2y − 3z = 2; Ê Lời giải 5x + y − 4z = 3x + 3y − 2z = x − y − z = −1 Vào chương trình giải hệ phương trình ba ẩn, ấn ○ Đối với máy tính CASIO fx-570VN PLUS: MODE ○ Đối với máy tính CASIO fx-580VNX: MENU a) Nhập hệ số để giải hệ phương trình: ○ Nhập hệ số phương trình thứ nhất: = − = = − = ○ Nhập hệ số phương trình thứ hai: = = = = ○ Nhập hệ số phương tình thứ ba: = − = − = = Ấn tiếp phím = , ta thấy hình x = Ấn tiếp phím = , ta thấy hình y = Ấn tiếp phím = , ta thấy hình z = −1 Vậy nghiệm hệ phương trình (1; 3; −1) GV: LÊ QUANG XE Trang HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN b) Nhập hệ số để giải hệ phương trình: ○ Nhập hệ số phương trình thứ nhất: = − = = = ○ Nhập hệ số phương trình thứ hai: − = = = = ○ Nhập hệ số phương tình thứ ba: = = − = = Ấn tiếp phím = , ta thấy hình No Solution Vậy phương trình cho vơ nghiệm c) Nhập hệ số để giải hệ phương trình: ○ Nhập hệ số phương trình thứ nhất: = = − = = ○ Nhập hệ số phương trình thứ hai: = = − = = ○ Nhập hệ số phương tình thứ ba: = − = − = − = Ấn tiếp phím = , ta thấy hình Infinite Solution Vậy phương trình cho có vơ số nghiệm BÀI TẬP LUYỆN TẬP C Bài Hệ hệ phương trình bậc ba ẩn? Kiểm tra xem ba số (−3; 2; −1) có phải nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng x + 2y − 3z = −x+y+z = a) 2x − 3y + 7z = 15 b) 2x + y − 3z = −1 3x − 2z = −7 3x − 4y + z = −3; Ê Lời giải Hệ phương trình câu a) khơng phải hệ phương trình bậc ba ẩn phương trình thứ ba chứa x2 Hệ phương trình câu b) hệ phương trình bậc ba ẩn Thay x = −3; y = 2; z = −1 vào vế trái phương trình hệ câu c) so sánh với vế phải, ta được: ○ Phương trình thứ nhất: −(−3) + + (−1) = (thỏa mãn); ○ Phương trình thứ hai: · (−3) + − · (−1) = −1 (thỏa mãn); ○ Phương trình thứ ba: · (−3) − · (−1) = −7 (thỏa mãn) Vậy (−3; 2; −1) nghiệm hệ phương trình Bài Hệ phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn? Mỗi ba số (1; 5; 2), (1; 1; 1) (−1; 2; 3) có nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng? 4x − 2y + z = x + 2z = a) 4xz − 5y + 2z = −7 b) 2x − y + z = −1 − x + 3y + 2z = 3; 3x − 2y = −7 THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131 ... SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BAChûúng ẨNBẬC NHẤT HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN A BA ẨN TĨM TẮT LÍ THUYẾT Hệ phương trình bậc ba ẩn Định nghĩa 1.1 ○ Phương trình bậc ba ẩn có... GV: LÊ QUANG XE Trang HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Hệ phương trình câu a) khơng phải hệ phương trình bậc ba ẩn phương trình thứ ba chứa x2 Hệ phương trình câu b) khơng phải hệ phương trình bậc. .. nghiệm hệ phương trình (1; 3; −1) GV: LÊ QUANG XE Trang HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN b) Nhập hệ số để giải hệ phương trình: ○ Nhập hệ số phương trình thứ nhất: = − = = = ○ Nhập hệ số phương trình