Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI 1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Hoạt động 1 trang 6 SCĐ Toán lớp 10 Khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Xét hệ phương trình với ẩn là x, y, z sau x y z 2 x 2y 3z 1 2x y 3z 1 + + = + + =[.]
BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Hoạt động trang SCĐ Toán lớp 10: Khái niệm hệ phương trình bậc ba ẩn Xét hệ phương trình với ẩn x, y, z sau: x + y + z = x + 2y + 3z = 2x + y + 3z = −1 a) Mỗi phương trình hệ có bậc ẩn x, y, z? b) Thử lại ba số (x; y, z) = (1; 3;–2) thoả mãn ba phương trình hệ c) Bằng cách thay trực tiếp vào hệ, kiểm tra ba số (1; 1; 2) có thoả mãn hệ phương trình cho khơng Hướng dẫn giải a) Mỗi phương trình hệ có bậc ẩn x, y, z b) Bộ số (x; y; z) = (1; 3;–2) có thoả mãn ba phương trình hệ Thử lại: + + (–2) = 2; + + (–2) = 1; + + (–2) = –1 c) Bộ số (x; y; z) = (1; 3;–2) không thoả mãn hệ phương trình cho Vì thay vào phương trình thứ hệ ta + + = 2, đẳng thức sai Luyện tập trang SCĐ Toán lớp 10: Hệ hệ phương trình bậc ba ẩn? Kiểm tra xem ba số (–3; 2;–1) có phải nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng x + 2y − 3z = a) 2x − 3y + 7z = 15 ; 3x − 4y + z = −3 − x + y + z = b) 2x + y − 3z = −1 3x − 2z = −7 Hướng dẫn giải a) Bộ ba số (–3; 2;–1) khơng nghiệm hệ phương trình bậc cho Vì thay số vào phương trình thứ hệ ta (–3) + – (–1) = 1, đẳng thức sai b) Bộ ba số (–3; 2;–1) có nghiệm hệ phương trình bậc cho Vì thay số vào phương trình chúng có nghiệm đúng: –(–3) + + (–1) = 4; (–3) + – (–1) = –1; (–3) – (–1) = –7 Hoạt động trang SCĐ Toán lớp 10: Hệ bậc ba ẩn có dạng tam giác Cho hệ phương trình: x + y − 2z = y + z = 2z = Hệ phương trình dạng tam giác có cách giải đơn giản Từ phương trình cuối tính z, sau thay vào phương trình thứ hai để tìm y, cuối thay y z tìm vào phương trình đầu để tìm x Hướng dẫn giải +) Từ phương trình cuối ta tính z = +) Thay z = vào phương trình thứ hai ta y + = 7, suy y = +) Thay y = z = vào phương trình đầu ta x + – = 3, suy x = Luyện tập trang SCĐ Tốn lớp 10: Giải hệ phương trình: =3 2x =2 x + y 2x − 2y + z = −1 Hướng dẫn giải +) Từ phương trình đầu ta tính x = +) Thay x = 3 vào phương trình thứ hai ta + y = 2, suy y = 2 +) Thay x = 1 y = vào phương trình thứ ba ta − + z = −1, suy z 2 2 = –3 3 Vậy nghiệm hệ cho (x; y; z) = ; ; −3 2 Hoạt động trang SCĐ Toán lớp 10: Giải hệ phương trình bậc ba ẩn phương pháp Gauss Cho hệ phương trình: x + y − 2z = − x + y + 6z = 13 2x + y − 9z = −5 a) Khử ẩn x phương trình thứ hai cách cộng phương trình với phương trình thứ Viết phương trình nhận (phương trình khơng cịn chứa ẩn x phương trình thứ hai hệ mới, tương đương với hệ ban đầu) b) Khử ẩn x phương trình thứ ba cách nhân phương trình thứ với –2 cộng với phương trình thứ ba Viết phương trình thứ ba nhận Từ viết hệ nhận sau hai bước (đã khử x hai phương trình cuối) c) Làm tương tự hệ nhận câu b), từ phương trình thứ hai thứ ba khử ẩn y phương trình thứ ba Viết hệ dạng tam giác nhận d) Giải hệ dạng tam giác nhận câu c) Từ suy nghiệm hệ cho Hướng dẫn giải a) Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ nhất, ta được: (x + y – 2z) + (–x + y + 6z) = = 13 2y + 4z = 16 y + 2z = b) Nhân phương trình thứ với –2 cộng với phương trình thứ ba, ta được: –2(x + y – 2z) + (2x + y – 9z) = –2 + (–5) –y – 5z = –11 y + 5z = 11 x + y − 2z = Hệ nhận sau hai bước là: y + 2z = y + 5z = 11 c) Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ ba, ta được: (y + 2z) – (y + 5z) = – 11 –3z = –3 z = x + y − 2z = Hệ tam giác nhận là: y + 2z = z = x + y − 2z = x + y − 2z = x + y − 2z = y + 2.1 = y = d) y + 2z = z = z = z = x + − 2.1 = x = −1 y = y = z = z = Vậy nghiệm hệ cho (x; y; z) = (–1; 6; 1) Luyện tập trang 11 SCĐ Toán lớp 10: Giải hệ phương trình sau: 2x + y − 3z = a) x + y + 3z = ; 3x − 2y + z = −1 4x + y + 3z = −3 b) 2x + y − z = ; 5x + 2y = x + 2z = −2 c) 2x + y − z = 4x + y + 3z = −3 Hướng dẫn giải 2x + y − 3z = 2x + y − 3z = 2x + y − 3z = 2x + y − 3z = − y − 9z = −1 − y − 9z = −1 a) x + y + 3z = − y − 9z = −1 3x − 2y + z = −1 3x − 2y + z = −1 7y − 11z = 11 −74z = 55 2x + − − = x = 25 2x + y − 3z = 37 37 37 55 55 − y − − = −1 y = y = 37 37 37 2 z = − z = − z = − 37 37 37 25 55 Vậy nghiệm hệ cho (x; y; z) = ; ; − 37 37 37 4x + y + 3z = −3 4x + y + 3z = −3 4x + y + 3z = −3 −3y + 15z = −15 b) 2x + y − z = − y + 5z = −5 5x + 2y = −3y + 15z = −19 −3y + 15z = −19 Từ hai phương trình cuối, suy –15 = –19, điều vơ lí Vậy hệ cho vô nghiệm x + 2z = −2 x + 2z = −2 x + 2z = −2 x + 2z = −2 − y + 5z = −5 c) 2x + y − z = − y + 5z = −5 − y + 5z = − 4x + y + 3z = −3 4x + y + 3z = −3 − y + 5z = −5 Rút y theo z từ phương trình thứ hai hệ ta y = 5z + Rút x theo z từ phương trình thứ hệ ta x = –2z – Vậy hệ cho có vơ số nghiệm tập nghiệm hệ S = {(–2z – 2; 5z + 5; z) | z } Vận dụng trang 11 SCĐ Toán lớp 10: Hà mua văn phịng phẩm cho nhóm bạn lớp gồm Hà, Lan Minh hết tổng cộng 820 nghìn đồng Hà qn khơng lưu hố đơn bạn, nhớ số tiền trả cho Lan nửa số tiền trả cho Hà nghìn đồng, số tiền trả cho Minh nhiều số tiền trả cho Lan 210 nghìn đồng Hỏi bạn Lan Minh phải trả cho Hà tiền? Hướng dẫn giải Gọi số tiền Hà, Lan, Minh phải trả x, y, z (nghìn đồng) Theo đề bài, ta có: – Số tiền tổng cộng 820 nghìn đồng, suy x + y + z = 820 (1) – Số tiền trả cho Lan nửa số tiền trả cho Hà nghìn đồng, suy x − y = hay x – 2y = 10 (2) – Số tiền trả cho Minh nhiều số tiền trả cho Lan 210 nghìn đồng, suy z – y = 210 hay –y + z = 210 (3) x + y + z = 820 Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình: x − 2y = 10 − y + z = 210 Giải hệ ta x = 310, y = 150, z = 360 Vậy Lan phải trả Hà 150 nghìn đồng, Minh phải trả Hà 360 nghìn đồng Hoạt động trang 12 SCĐ Tốn lớp 10: Dùng máy tính cầm tay đề tìm nghiệm hệ: −2x − 3y + z = 2x + y + 2z = −3 − x + 2y − 3z = Hướng dẫn giải Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: MODE – = – = = = = = = – = – = = – = = = Ta thấy hình x = –4 Ấn tiếp phím = ta thấy hình y = 11 Ấn tiếp phím = ta thấy hình z = 12 11 12 Vậy nghiệm hệ phương trình (x ; y ; z) = −4; ; 7 Luyện tập trang 13 SCĐ Toán lớp 10: Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm hệ phương trình Ví dụ 3, Ví dụ 4, Ví dụ Luyện tập Hướng dẫn giải +) Ví dụ 3: Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: MODE = = = = = = = = – = = – = = = Ta thấy hình x = Ấn tiếp phím = ta thấy hình y = Ấn tiếp phím = ta thấy hình z = Vậy nghiệm hệ phương trình (x ; y ; z) = (0; 1; 1) +) Ví dụ 4: Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: MODE 2 = = – = = = = = = = = = = = Ta thấy hình No-Solution Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm +) Ví dụ 5: Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: MODE 5 = = – = = = – = – = – = = = – = = = Ta thấy hình Infinite Sol Vậy hệ cho có vơ số nghiệm +) Luyện tập 3: a) Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: MODE 2 = = – = = = = = = = – = = – = = Ta thấy hình x = 25 37 Ấn tiếp phím = ta thấy hình y = 55 37 Ấn tiếp phím = ta thấy hình z = − 37 25 55 Vậy nghiệm hệ cho (x; y; z) = ; ; − 37 37 37 b) Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: MODE = = = – = = = – = = = = = = = Ta thấy hình No-Solution Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm c) Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: MODE = = = – = = = – = = = = = – = = Ta thấy hình Infinite Sol Vậy hệ cho có vơ số nghiệm Vận dụng trang 13 SCĐ Toán lớp 10: Tại quốc gia, khoảng 400 loài động vật nằm danh sách lồi có nguy tuyệt chủng Các nhóm động vật có vú, chim cá chiếm 55% lồi có nguy tuyệt chủng Nhóm chim chiếm nhiều 0,7% so với nhóm cá, nhóm cá chiếm nhiều 1,5% so với động vật có vú Hỏi nhóm động vật có vú, chim cá chiếm phần trăm lồi có nguy tuyệt chủng? Hướng dẫn giải Giả sử nhóm động vật có vú, chim cá chiếm x, y, z (%) lồi có nguy tuyệt chủng Theo đề bài, ta có: – Ba nhóm động vật chiếm 55% lồi có nguy tuyệt chủng, suy x + y + z = 55 (1) – Nhóm chim chiếm nhiều 0,7% so với nhóm cá, suy y – z = 0,7 (2) – Nhóm cá chiếm nhiều 1,5% so với động vật có vú, suy z – x = 1,5 hay –x + z = 1,5 (3) x + y + z = 55 Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình: y − z = 0,7 − x + z = 1,5 Giải hệ ta x = 17,1; y = 19,3; z = 18,6 Vậy nhóm động vật có vú, chim cá chiếm 17,1%; 19,3%; 18,6% loài có nguy tuyệt chủng Bài tập 1.1 trang 14 SCĐ Toán lớp 10: Hệ hệ phương trình bậc ba ẩn? Kiểm tra xem số (2; 0;–1) có phải nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng =4 x − 2z a) 2x + y − z = ; −3x + 2y = −6 x − 2y + 3z = b) 2x − y + z = x + 2y = −1 Hướng dẫn giải a) Đây hệ phương trình bậc ba ẩn Bộ ba số (2; 0;–1) có nghiệm hệ phương trình bậc cho Vì thay số vào phương trình chúng có nghiệm đúng: – (–1) = 4; + – (–1) = 5; –3 + = –6 b) Đây không hệ phương trình bậc ba ẩn phương trình thứ hai hệ có chứa y Bài tập 1.2 trang 14 SCĐ Toán lớp 10: Giải hệ phương trình sau: 2x − y − z = 20 ; a) x + y = −5 x = 10 x − y − 3z = 20 b) x − z = x + 3z = −7 Hướng dẫn giải 2x − y − z = 20 2x − y − z = 20 2.10 − ( −15 ) − z = 20 z = 15 10 + y = −5 y = −15 y = −15 a) x + y = −5 x = 10 x = 10 x = 10 x = 10 Vậy nghiệm hệ phương trình (x ; y ; z) = (10; –15; 15) x − y − 3z = 20 x − y − 3z = 20 x − y − 3z = 20 x − y − 3z = 20 5 x − z = x − − = x = b) x − z = x + 3z = −7 −4z = 10 2 z = − z = − 1 5 − y − − = 20 y = −12 1 x = x = 2 5 z = − z = − 2 5 1 Vậy nghiệm hệ phương trình (x ; y ; z) = ; −12; − 2 2 Bài tập 1.3 trang 14 SCĐ Tốn lớp 10: Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss: 2x − y − z = a) x + y = ; x − y + z = 3x − y − z = b) x + 2y + z = ; − x + y = x − 3y − z = −6 c) 2x − y + 2z = ; 4x − 7y = −6 x − 3y − z = −6 d) 2x − y + 2z = ; 4x − 7y = 3x − y − 7z = e) 4x − y + z = 11 ; −5x − y − 9z = −22 2x − 3y − 4z = −2 f) 5x − y − 2z = 7x − 4y − 6z = Kiểm tra lại kết tìm cách sử dụng máy tính cầm tay Hướng dẫn giải 2x − y − z = 2x − y − z = 2x − y − z = 2x − y − z = x + y = x + y = x + = a) x + y = x − y + z = 3x − 2y = 5y = y = 2.2 − − z = z = x = x = y = y = Vậy nghiệm hệ phương trình (x ; y ; z) = (2; 1; 1) 3x − y − z = 3x − y − z = 3x − y − z = 3x − y − z = 4x + y = 4x + = b) x + 2y + z = 4x + y = − x + y = − x + y = 5y = 15 y = 3.1 − − z = z = −2 x = x = y = y = Vậy nghiệm hệ phương trình (x ; y ; z) = (1; 3; –2) x − 3y − z = −6 x − 3y − z = −6 x − 3y − z = −6 c) 2x − y + 2z = 4x − 7y = −6 4x − 7y = − 4x − 7y = −6 4x − 7y = −6 Rút x theo y từ phương trình thứ hai hệ ta x = phương trình thứ hệ ta z = x – 3y + = 7y − Rút z theo x y từ 7y − −5y + 18 − 3y + = Vậy 4 −5y + 18 7y − hệ cho có vơ số nghiệm tập nghiệm hệ S = { ; y; | y } x − 3y − z = −6 x − 3y − z = −6 d) 2x − y + 2z = 4x − 7y = −6 4x − 7y = 4x − 7y = Từ hai phương trình cuối, suy –6 = 3, điều vơ lí Vậy hệ cho vô nghiệm e) 3x − y − 7z = 3x − y − 7z = 3x − y − 7z = 3x − y − 7z = − y − 31z = −25 − y − 31z = −25 − y − 31z = −25 4x − y + z = 11 −5x − y − 9z = −22 −5x − y − 9z = −22 −8y − 62z = −56 −186z = −144 87 3x − y − 7z = x = 31 24 − y − 31 = −25 y = 31 24 24 z = 31 z = 31 87 24 Vậy nghiệm hệ phương trình (x ; y ; z) = ;1; 31 31 f) 2x − 3y − 4z = −2 2x − 3y − 4z = −2 2x − 3y − 4z = −2 2x − 3y − 4z = −2 5x − y − 2z = −13y − 16z = −16 −13y − 16z = −16 − 13y − 16z = − 16 7x − 4y − 6z = 7x − 4y − 6z = −13y − 16z = −16 Rút y theo z từ phương trình thứ hai hệ ta y = phương trình 3y + 4z − = thứ hệ 16 − 16z Rút x theo y z từ 13 ta x = 16 − 16z + 4z − 36z + 22 18z + 11 13 = = Vậy hệ cho có vô số 26 13 18z + 11 16 − 16z nghiệm tập nghiệm hệ S = { ; ;z | y } 13 13 Bài tập 1.4 trang 14 SCĐ Toán lớp 10: Ba người làm việc cho cơng ty với vị trí quản lí kho, quản lí văn phịng tài xế xe tải Tổng tiền lương năm người quản lí kho người quản lí văn phịng 164 triệu đồng, cịn người quản lí kho tài xế xe tải 156 triệu đồng Mỗi năm, người quản lí kho lĩnh lương nhiều tài xế xe tải triệu đồng Hỏi lương năm người bao nhiêu? Hướng dẫn giải Gọi lương năm quản lí kho, quản lí văn phịng tài xế xe tải x, y, z (triệu đồng) Theo đề bài, ta có: – Tổng tiền lương năm người quản lí kho người quản lí văn phịng 164 triệu đồng, suy x + y = 164 (1) – Tổng tiền lương năm người quản lí kho tài xế xe tải 156 triệu đồng, suy x + z = 156 (2) – Mỗi năm, người quản lí kho lĩnh lương nhiều tài xế xe tải triệu đồng, suy x – z = (3) x + y = 164 Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình: x + z = 156 x − z = Giải hệ ta x = 82, y = 82, z = 74 Vậy lương năm quản lí kho, quản lí văn phịng tài xế xe tải 82, 82, 74 triệu đồng Bài tập 1.5 trang 14 SCĐ Toán lớp 10: Năm ngoái, người ta mua ba mẫu xe ơtơ ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền 2,8 tỉ đồng Năm nay, lạm phát, để mua ba xe cần 3,018 tỉ đồng Giá xe ơtơ hãng X tăng 8%, hãng Y tăng 5% hãng Z tăng 12% Nếu năm ngoái giá xe hãng Y thấp 200 triệu đồng so với giá xe hãng X giá xe năm ngoái bao nhiêu? Hướng dẫn giải Gọi giá xe hãng X, Y, Z năm ngoái x, y, z (tỉ đồng) Theo đề bài, ta có: – Năm ngối, người ta mua ba mẫu xe ôtô ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền 2,8 tỉ đồng, suy x + y + z =2,8 (1) – Năm nay, lạm phát, để mua ba xe cần 3,018 tỉ đồng, suy 108%x + 105%y + 112%z = 3,018 hay 108x + 105y + 112z = 301,8 (2) – Trong năm ngoái giá xe hãng Y thấp 200 triệu đồng so với giá xe hãng X, suy x – y = 0,2 (3) x + y + z = 2,8 Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình: 108x + 105y + 112z = 301,8 x − y = 0, Giải hệ ta x = 1,2; y = 1; z = 0,6 Vậy giá xe hãng X, Y, Z năm ngoái 1,2; 0,6 tỉ đồng Bài tập 1.6 trang 14 SCĐ Toán lớp 10: Cho hệ ba phương trình bậc ba ẩn sau a1 x + b1 y + c1z = d1 a x + b y + c z = d a x + b y + c z = d 3 a) Giả sử (x0; y0; z0) (x1; y1; z1) hai nghiệm phân biệt hệ phương trình x + x1 y0 + y1 z + z1 ; ; Chứng minh nghiệm hệ 2 b) Sử dụng kết câu a) chứng minh rằng, hệ phương trình bậc ba ẩn có hai nghiệm phân biệt có vơ số nghiệm Hướng dẫn giải a) Vì (x0; y0; z0) (x1; y1; z1) hai nghiệm phân biệt hệ phương trình nên: a1 x + b1 y + c1z = d1 a1 x1 + b1 y1 + c1z1 = d1 a x + b y + c z = d a x1 + b y1 + c z1 = d a x + b y + c z = d a x + b y + c z = d 3 3 3 ( a1 x + b1 y0 + c1z ) + ( a1 x1 + b1 y1 + c1z1 ) = 2d1 ( a x + b y0 + c2 z ) + ( a x1 + b y1 + c2 z1 ) = 2d ( a x + b y + c z ) + ( a x + b y + c z ) = 2d 3 3 3 a1 ( x + x1 ) + b1 ( y0 + y1 ) + c1 ( z + z1 ) = 2d1 a ( x + x1 ) + b ( y + y1 ) + c ( z + z1 ) = 2d a ( x + x ) + b ( y + y ) + c ( z + z ) = 2d 3 ( x + x1 ) ( y0 + y1 ) ( z0 + z1 ) a + b + c1 = d1 1 2 ( x + x1 ) ( y + y1 ) (z + z ) a + b2 + c2 = d 2 2 ( x + x1 ) ( y0 + y1 ) ( z + z1 ) a + b + c = d3 3 2 x + x1 y0 + y1 z + z1 ; ; Mặt khác (x0; y0; z0) (x1; y1; z1) phân biệt nên 2 đôi phân biệt với (x0; y0; z0) (x1; y1; z1) x + x1 y0 + y1 z + z1 ; ; Do nghiệm hệ 2 a1 x + b1 y + c1z = d1 b) Xét hệ phương trình bậc ba ẩn a x + b y + c z = d a x + b y + c z = d 3 có (x0; y0; z0) (x1; y1; z1) hai nghiệm phân biệt hệ phương trình Giả sử hệ có n nghiệm đôi phân biệt (x0; y0; z0), (x1; y1; z1), , (xn; yn; zn) Ta chọn hai nghiệm (xi; yi; zi) (xj; yj; zj) thoả mãn xi xj hai số nhỏ tập hợp A = {x0; x1; ; xn} x i + x j yi + y j z i + z j ; ; Khi đó, áp dụng câu a) ta nghiệm hệ 2 Mặt khác xi + x j khác xi, xj xi + x j < max{xi, xj} nên xi + x j không trùng với phần tử tập hợp A Do hệ cho có n + nghiệm phân biệt (vơ lí) Vậy hệ có vơ số nghiệm ... cá chiếm 17 ,1% ; 19 ,3%; 18 ,6% lồi có nguy tuyệt chủng Bài tập 1. 1 trang 14 SCĐ Toán lớp 10 : Hệ hệ phương trình bậc ba ẩn? Kiểm tra xem số (2; 0;? ?1) có phải nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng... 2 .10 − ( ? ?15 ) − z = 20 z = 15 ? ?10 + y = −5 y = ? ?15 y = ? ?15 a) x + y = −5 x = 10 x = 10 x = 10 x = 10 Vậy nghiệm hệ phương trình (x ; y ; z) = (10 ; ? ?15 ; 15 )... x = 16 − 16 z + 4z − 36z + 22 18 z + 11 13 = = Vậy hệ cho có vơ số 26 13 18 z + 11 16 − 16 z nghiệm tập nghiệm hệ S = { ; ;z | y } 13 13 Bài tập 1. 4 trang 14 SCĐ Toán lớp 10 : Ba người