Giải toán 10 bài 8 (kết nối tri thức) tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 8 Tổng và hiệu của hai vectơ Mở đầu trang 51 SGK Toán 10 tập 1 Một con tàu chuyển động từ bờ bên này sang bờ bên kia của một dòng sông với vận tốc riêng không đổi Giả sử vận tốc dòng nước là không[.]

Bài Tổng hiệu hai vectơ Mở đầu trang 51 SGK Toán 10 tập 1: Một tàu chuyển động từ bờ bên sang bờ bên dịng sơng với vận tốc riêng khơng đổi Giả sử vận tốc dịng nước khơng đổi đáng kể, yếu tố bên ngồi khác khơng ảnh hưởng đến vận tốc thực tế tàu Nếu không quan tâm đến điểm đến cần giữ lái cho tàu tạo với bờ sơng góc để tàu sang bờ bên nhanh nhất? Lời giải Sau học ta giải toán sau: Ta biểu thị hai bờ sông hai đường thẳng song song d1, d2 (H.4.17) Giả sử tàu xuất phát từ A  d1 bánh lái ln giữ để tàu tạo với bờ góc  Gọi v r v n vận tốc riêng tàu vận tốc dòng nước Gọi M, N điểm cho v r = AM, v n = MN Khi tàu chuyển động với vectơ vận tốc thực tế v = v r + v n = AM + MN = AN Gọi B, C tương ứng giao điểm AN, AM với d2 Tàu chuyển động thẳng từ A đến B với vận tốc thực tế AN , thời gian cần thiết để tàu sang bờ d2 Mặt khác, AM = v r AB AC = AN AM không đổi nên AC AM nhỏ  AC nhỏ  AC ⊥ d  AM ⊥ d Vậy để tàu sang bờ bên nhanh nhất, ta giữ bánh lái để tàu ln vng góc với bờ Hoạt động trang 51 SGK Toán 10 tập 1: Với hai vectơ a, b cho trước, lấy điểm A vẽ vectơ AB = a, BC = b Lấy điểm A' khác A vẽ vectơ A 'B' = a, B'C' = b Hỏi hai vectơ AC, A 'C' có mối quan hệ gì? Lời giải + Vì AB = a nên AB hướng với a AB = a Vì A 'B' = a nên AB hướng với a AB = a  AB hướng với A 'B' AB = AB (= a )  AB = A 'B'  ABB'A' hình bình hành  AA ' = BB' (1) + Vì BC = b nên BC hướng với b BC = b VÌ B'C' = b nên B'C' hướng với b B'C' = b  BC hướng với B'C' BC = B'C' (= b )  BC = B'C'  BB'C'C hình bình hành  CC' = BB' (2) ( Từ (1) (2) suy AA ' = CC ' = BB )  AA'C'C hình bình hành  AC = A 'C' Vậy AC = A 'C' Hoạt động trang 51 SGK Toán 10 tập 1: Cho hình bình hành ABCD Tìm mối quan hệ hai vectơ AB + AD AC Lời giải Ta có AB + BC = AC (tổng hai vecto) Mà AD = BC (Vì ABCD hình bình hành) Suy AC = AB + BC = AB + AD Vậy AB + AD = AC Hoạt động trang 52 SGK Toán 10 tập 1: a) Trong Hình 4.14a, vectơ a + b vectơ b + a ( ) ( ) b) Trong Hình 4.14b, vectơ a + b + c vectơ a + b + c Lời giải + Trong Hình 4.14a ta có: a + b = AB + BC = AC b + a = AD + DC = AC + Trong ( Hình 4.14b ta có: ( a + b ) + c = AC + CD = AD ) a + b + c = AB + BD = AD Luyện tập trang 51 SGK Tốn 10 tập 1: Cho hình thoi ABCD với cạnh có độ dài BAD = 120 Tính độ dài vectơ CB + CD, DB + CD + BA Lời giải + Tứ giác ABCD hình thoi nên ABCD hình bình hành Do CB + CD = CA (quy tắc hình bình hành)  CB + CD = CA = CA ABCD hình thoi nên AB = BC AC tia phân giác BAD (tính chất hình thoi)  BAC = CAD = BAD 120 = = 60 2 Xét ΔABC có AB = BC BAC = 60 ⇒ ΔABC ⇒ AC = AB = BC = Suy CB + CD = ( ) + Ta có: DB + CD + BA = CD + DB + BA = CD + DB + BA = CB + BA = CA (quy tắc ba điểm)  DB + CD + BA = CA = CA = Vậy độ dài vectơ CB + CD DB + CD + BA Hoạt động trang 52 SGK Toán 10 tập 1: Thế hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vectơ để biểu diễn hai lực cân hai vectơ có mối quan hệ với nhau? Lời giải Nếu có hai lực tác dụng vào vật mà vật đứng yên hai lực hai lực cân Ví dụ: Hai đội kéo co kéo sợi dây Nếu hai đội mạnh ngang họ tác dụng lên dây hai lực cân Sợi dây chịu tác dụng hai lực cân đứng yên Hai vectơ F1 F2 biểu diễn cho hai vectơ cân hai vectơ có chung gốc, phương, ngược hướng có độ lớn (hay độ dài) Luyện tập trang 53 SGK Toán 10 tập 1: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD O trung điểm MN Chứng minh OA + OB + OC + OD = Lời giải Gọi E F điểm đối xứng với O qua M N Suy M trung điểm AB EO; N trung điểm DC OF Khi tứ giác OAEB OCFD hình bình hành  OA + OB = OE (quy tắc hình bình hành hình bình hành OAEB) Và OD + OC = OF (quy tắc hình bình hành hình bình hành OCFD)  OA + OB + OC + OD = OE + OF Vì O trung điểm MN nên OM = ON, mà OM = ME, ON = NF Do OE = OF Suy hai vectơ OE OF có độ dài ngược hướng nên chúng hai vectơ đối nhau, OE + OF =  OA + OB + OC + OD = Vận dụng trang 54 SGK Toán 10 tập 1: Tính lực kéo cần thiết để kéo pháo có trọng lượng 22 148 N (ứng với khối lượng xấp xỉ 260 kg) lên dốc nghiêng 30° so với phương nằm ngang (H.4.18) Nếu lực kéo người 100 N cần tối thiểu người để kéo pháo? Chú ý: Ta coi pháo chịu tác động ba lực: trọng lực P (có độ lớn P = 22148N, có phương vng góc với phương nằm ngang hướng xuống dưới), phản lực W (có độ lớn W = P cos30 , có phương vng góc với mặt dốc hướng lên trên) lực kéo F (theo phương dốc, hướng từ chân dốc lên đỉnh dốc) Lời giải Do pháo chịu tác động ba lực: trọng lực P , phản lực W lực kéo F Để kéo pháo lên ta cần lực kéo F có độ lớn lớn độ lớn tổng hai lực P W , tức là: F  W + P Xét hình bình hành OACB có W + P = OC suy W + P = OC Xét ΔOBC vng O, có: OC = BC.sin30 = P sin 30 Do W + P = OC = P sin 30 = 22 148 = 11 074 (N)  F  11074N Ta có: 11 074 : 100 = 110,74 Nếu lực kéo người 100 N cần tối thiểu số người để kéo pháo 111 người Vậy ta cần lực kéo lớn 11 074 N để kéo pháo lên lực kéo người 100 N cần tối thiểu 111 người để kéo pháo lên Bài 4.6 trang 53 SGK Toán 10 tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: a) AB + BC + CD + DA = 0; b) AC − AD = BC − BD; Lời giải ( ) ( ) a) Ta có: AB + BC + CD + DA = AB + BC + CD + DA = AC + CA = AA = (quy tắc ba điểm) b) Ta có: AC − AD = DC (quy tắc hiệu) BC − BD = DC (quy tắc hiệu)  AC − AD = BC − BD Bài 4.7 trang 53 SGK Tốn 10 tập 1: Cho hình bình hành ABCD Hãy tìm điểm M để BM = AB + AD Tìm mối quan hệ hai vecto CD CM Lời giải Vì ABCD hình bình hành nên AB + AD = AC (quy tắc hình bình hành) Theo đề BM = AB + AD , ta cần tìm điểm M thỏa mãn AC = BM ⇔ ACMB hình bình hành Vậy điểm M cần tìm đỉnh thứ tư hình bình hành dựng hai cạnh AB, AC Do tứ giác ACMB hình bình hành  CM = AB Mà DC = AB (ABCD hình bình hành) (  CM = DC = AB )  CM = −CD Suy CD CM hai vecto đối Bài 4.8 trang 53 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có cạnh a Tính độ dài vectơ AB − AC, AB + AC Lời giải Ta có: AB − AC = CB (quy tắc hiệu) Suy AB − AC = CB = CB = a Gọi D điểm thoả mãn điều kiện ABDC hình hình hành  AB + AC = AD (quy tắc hình bình hành)  AB + AC = AD = AD Gọi M giao điểm AD BC ⇒ M trung điểm BC AD (tính chất hình bình hành)  AM vừa đường trung tuyến vừa đường cao tam giác ABC Do tam giác ABM vng M có AB = a, BM = 1 BC = a , áp dụng định lí 2 Pythagore ta có: AB2 = AM2 + BM2 3a 1  ⇒ AM = AB – BM = a −  a  = a − a = 4 2   AM = 2 a Mà M trung điểm AD nên AD = 2AM = a =a  AB + AC = AD = a Vậy AB − AC = a AB + AC = a Bài 4.9 trang 53 SGK Tốn 10 tập 1: Hình 4.19 biểu diễn hai lực F1 , F2 tác động lên vật, cho F1 = 3N, F2 = 2N Tính độ lớn hợp lực F1 + F2 Lời giải Vẽ điểm D cho ABCD hình bình hành AB biểu diễn F1 ; AD biểu diễn F2 BAD = 120 (như hình vẽ trên) Suy F1 + F2 = AB + AD = AC (quy tắc hình bình hành) Do F1 + F2 = AC = AC Xét tam giác ABC, áp dụng định lí cơsin ta có: AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC.cos ABC +) AB = AB = F1 mà F1 = nên AB = +) Vì ABCD hình bình hành nên BC = AD (tính chất hình bình hành) Mà AD = AD = F2 = Do BC = +) Vì ABCD hình bình hành nên AD // BC ABC + BAD = 1800 (hai góc phía) Suy ABC = 180 − BAD = 180 − 120 = 60 +) Ta có AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC.cos ABC  AC2 = 32 + 22 – 2.3.2.cos 60°  AC2 =  AC =  F1 + F2 = Vậy độ lớn hợp lực F1 + F2 (N) Bài 4.10 trang 53 SGK Toán 10 tập 1: Hai tàu xuất phát lúc từ bờ bên sang bờ bên dịng sơng với vận tốc riêng khơng đổi có độ lớn Hai tàu ln giữ lái cho chúng tạo với bờ góc nhọn tàu hướng xuống hạ lưu, tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên) Vận tốc dịng nước đáng kể, yếu tố bên ngồi khác không ảnh hưởng tới vận tốc tàu Hỏi tàu sang bờ bên trước? Lời giải Ta biểu thị hai bờ sông hai đường thẳng song song d1, d2 Giả sử tàu xuất phát từ A  d1 đến M (hướng xuống hạ lưu) bánh lái giữ để tàu tạo với bờ góc α Giả sử tàu xuất phát từ A  d1 đến M' (hướng lên thượng nguồn) bánh lái giữ để tàu tạo với bờ góc α Gọi v r(1) , v r( 2) v n biểu diễn vận tốc riêng tàu 1, tàu vận tốc dòng nước + Gọi B, C điểm cho v r(1) = AB, v n = BC Khi tàu chuyển động với vectơ vận tốc thực tế v1 = v r(1) + v n = AB + BC = AC Vậy tàu chuyển động theo hướng AC với đích đến điểm N bờ d2 với độ lớn v1 = AC = AC Thời gian để tàu di chuyển sang bờ d2 t1 = AN AC + Gọi B', C' điểm cho v r( 2) = AB, v n = BC Khi tàu chuyển động với vectơ vận tốc thực tế v = v r( 2) + v n = AB + BC = AC Vậy tàu chuyển động theo hướng AC với đích đến điểm N' bờ d2 với độ lớn v = AC = AC Thời gian để tàu di chuyển sang bờ d2 t2 = AN AC + Vì v n = BC = BC nên B, B', C, C' thẳng hàng nằm đường thẳng song song với hai đường thẳng d1 d2 Khi theo định lý Thales, ta có: AN AN = hay t1 = t2 AC AC Suy hai tàu cần thời gian để sang đến bờ bên Vậy hai tàu sang đến bờ bên lúc  ... dài vectơ CB + CD DB + CD + BA Hoạt động trang 52 SGK Toán 10 tập 1: Thế hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vectơ để biểu diễn hai lực cân hai vectơ có mối quan hệ với nhau? Lời giải Nếu có hai lực... trang 51 SGK Toán 10 tập 1: Với hai vectơ a, b cho trước, lấy điểm A vẽ vectơ AB = a, BC = b Lấy điểm A'' khác A vẽ vectơ A ''B'' = a, B''C'' = b Hỏi hai vectơ AC, A ''C'' có mối quan hệ gì? Lời giải + Vì... dụng vào vật mà vật đứng yên hai lực hai lực cân Ví dụ: Hai đội kéo co kéo sợi dây Nếu hai đội mạnh ngang họ tác dụng lên dây hai lực cân Sợi dây chịu tác dụng hai lực cân đứng yên Hai vectơ