Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 2 Tổng và hiệu của hai vectơ A Lý thuyết 1 Tổng của hai vectơ Cho hai vectơ a và b Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho AB a, BC b= = Khi đó AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b và đ[.]
Bài Tổng hiệu hai vectơ A Lý thuyết Tổng hai vectơ Cho hai vectơ a b Từ điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C cho AB = a, BC = b Khi AC gọi tổng hai vectơ a b kí hiệu a + b Vậy a + b = AB + BC = AC Phép tốn tìm tổng hai vectơ gọi phép cộng vectơ Quy tắc ba điểm Với ba điểm M, N, P, ta có MN + NP = MP Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối vectơ thứ phải điểm đầu vectơ thứ hai Ví dụ: Cho điểm A, B, C, D, E, F phân biệt Thực phép cộng vectơ: AC + CD; BC + CB; DC + CE + EF Hướng dẫn giải Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có: AC + CD = AD BC + CB = BB = DC + CE + EF = DE + EF = DF Quy tắc hình bình hành Nếu OACB hình bình hành ta có OA + OB = OC Ví dụ: Cho hình chữ nhật MNPQ hai vectơ x, y hình bên Tính tổng hai vectơ x y Hướng dẫn giải Ta có x = AD, y = AB Suy x + y = AD + AB Theo quy tắc hình bình hành, ta có AD + AB = AC Vậy x + y = AC Tính chất phép cộng vectơ Phép cộng vectơ có tính chất sau: + Tính chất giao hốn: a + b = b + a ( ) ( ) + Tính chất kết hợp: a + b + c = a + b + c + Với a , ta ln có: a + = + a = a Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta xác định tổng ba vectơ a, b, c , kí hiệu ( ) a + b + c với a + b + c = a + b + c Ví dụ: Cho tứ giác MNPQ Thực phép cộng vectơ sau: ( ) a) MN + PM + NQ b) MN + QP + NQ + PM Hướng dẫn giải Áp dụng tính chất giao hốn tính chất kết hợp phép cộng vectơ, ta được: ( ) ( ) a) MN + PM + NQ = PM + MN + NQ = PN + NQ = PQ ( ) ( ) b) MN + QP + NQ + PM = MN + NQ + QP + PM = MQ + QM = MM = Chú ý: Cho vectơ tùy ý a = AB ( ) Ta có a + ( −a ) = AB + −AB = AB + BA = AA = Tổng hai vectơ đối vectơ-không: a + ( −a ) = Hiệu hai vectơ ( ) Cho hai vectơ a b Hiệu hai vectơ a b vectơ a + −b kí hiệu a − b Phép tốn tìm hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ Ví dụ: Cho điểm D, E, F, G phân biệt Thực phép trừ vectơ sau: DE − FE; GD − GF Hướng dẫn giải ( ) Ta có: DE − FE = DE + −FE = DE + EF = DF ( ) GD − GF = GD + −GF = GD + FG = FG + GD = FD Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có: OB − OA = AB Ví dụ: Cho hình vng ABCD điểm M tùy ý Thực phép trừ vectơ sau: ( ) ( ) OB − OD; OC − OA + DB − DC Hướng dẫn giải Ta có OB − OD = DB ( OC − OA ) + ( DB − DC) = AC + CB = AB Tính chất vectơ trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB MA + MB = Điểm G trọng tâm tam giác ABC GA + GB + GC = Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Hai điểm E, F trung điểm AB, BC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: a) OA + OC + OD + OE + OF = b) GA + GC + GD = BD Hướng dẫn giải a) Vì ABCD hình bình hành tâm O nên O trung điểm AC (tính chất hình bình hành) Lại có E trung điểm AB (gt) Do OE đường trung bình tam giác ABC Suy OE // BC OE = BC = BF (với F trung điểm BC) Khi ta có tứ giác OEBF hình bình hành Áp dụng quy tắc hình bình hành cho OEBF, ta được: OE + OF = OB Vì ABCD hình bình hành tâm O nên O trung điểm AC BD (tính chất hình bình hành) Do OA + OC = OD + OB = Ta có OA + OC + OD + OE + OF ( ) ( = OA + OC + OD + OE + OF ) = + OD + OB = + = Vậy OA + OC + OD + OE + OF = b) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên GA + GB + GC = Theo quy tắc ba điểm, ta có: GD = GB + BD = GB + BC + CD Ta có GA + GC + GD = GA + GC + GB + BC + CD ( ) ( = GA + GC + GB + BC + CD ) = + BD = BD Vậy GA + GC + GD = BD B Bài tập tự luyện Bài Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh rằng: a) OA + OB + OC + OD = b) DA − DB + DC = c) DO + AO = AB Hướng dẫn giải a) Vì O tâm hình bình hành ABCD nên O trung điểm AC BD (tính chất hình bình hành) Do ta có OA + OC = (1) OB + OD = (2) Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được: OA + OB + OC + OD = + = b) Vì ABCD hình bình hành nên BA // DC BA = DC Mà BA, DC ngược hướng Do BA = −DC Ta suy BA + DC = Ta có DA − DB + DC = BA + DC = c) Ta có O trung điểm BD nên DO = OB Mà DO, OB hướng Do DO = OB Ta có DO + AO = OB + AO = AO + OB = AB Bài Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài vectơ: a) AB + AD b) OA − CB Hướng dẫn giải A B O D C a) Vì ABCD hình vng nên AB + AD = AC Do AB + AD = AC = AC Tam giác ABC vuông B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go) ⇔ AC2 = a2 + a2 = 2a2 ⇒ AC = a Vậy AB + AD = a b) Vì ABCD hình vng nên ta có BD = AC = a AD = CB Mà CB, AD ngược hướng Do AD = −CB Ta có OA − CB = OA + AD = OD Do OA − CB = OD = OD Vì O tâm hình vng ABCD nên O trung điểm BD Do OD = BD a = 2 Vậy OA − CB = a Bài Một thuyền trôi theo hướng nam vận tốc 25 km/h, dịng nước chảy theo hướng đơng với vận tốc 10 km/h Tính độ dài vectơ tổng hai vectơ nói (làm tròn kết đến hàng trăm) Hướng dẫn giải Gọi A vị trí thuyền xuất phát Vận tốc thuyền biểu diễn AB Vận tốc dòng nước biểu diễn BC Khi ta có vectơ tổng hai vectơ nói AB + BC = AC Do độ lớn vectơ cần tìm là: AB + BC = AC = AC Vì thuyền trơi theo hướng nam dịng nước chảy theo hướng đơng Nên ta có AB ⊥ BC Ta có độ lớn vận tốc thuyền 25 km/h Suy AB = AB = 25 Ta có độ lớn vận tốc dòng nước 10 km/h Suy BC = BC = 10 Tam giác ABC vuông B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go) ⇔ AC2 = 252 + 102 = 725 ⇒ AC = 29 ≈ 26,93 Vậy độ dài vectơ tổng hai vectơ nói đến xấp xỉ 26,93 (km/h) ... = AB + BA = AA = Tổng hai vectơ đối vectơ-không: a + ( −a ) = Hiệu hai vectơ ( ) Cho hai vectơ a b Hiệu hai vectơ a b vectơ a + −b kí hiệu a − b Phép tốn tìm hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ... lớn vận tốc dòng nước 10 km/h Suy BC = BC = 10 Tam giác ABC vuông B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go) ⇔ AC2 = 252 + 102 = 725 ⇒ AC = 29 ≈ 26,93 Vậy độ dài vectơ tổng hai vectơ nói đến xấp... trơi theo hướng nam vận tốc 25 km/h, dịng nước chảy theo hướng đông với vận tốc 10 km/h Tính độ dài vectơ tổng hai vectơ nói (làm tròn kết đến hàng trăm) Hướng dẫn giải Gọi A vị trí thuyền xuất