Ôn tập chương VI A Lý thuyết 1 Số gần đúng Trong thực tế cuộc sống cũng như trong khoa học kĩ thuật, có nhiều đại lượng mà ta không thể xác định được giá trị chính xác Mỗi dụng cụ hay phương pháp đo k[.]
Ôn tập chương VI A Lý thuyết Số gần Trong thực tế sống khoa học kĩ thuật, có nhiều đại lượng mà ta khơng thể xác định giá trị xác Mỗi dụng cụ hay phương pháp đo khác cho kết khác Vì kết thu thường số gần Sai số tuyệt đối sai số tương đối 2.1 Sai số tuyệt đối Nếu a số gần số a a = a − a gọi sai số tuyệt đối số gần a * Độ xác: Trên thực tế ta thường số a nên tính xác ∆a Khi đó, ta thường tìm cách khống chế sai số tuyệt đối ∆a khơng vượt mức d > cho trước: a = a − a d hay a – d ≤ a ≤ a + d Khi đó, ta nói a số gần số a với độ xác d Quy ước viết gọn: a = a d 2.2 Sai số tương đối Sai số tương đối số gần a, kí hiệu δa, tỉ số sai số tuyệt đối ∆a |a|, tức a = a |a| Nếu a = a d ∆a ≤ d Do a d d Nếu δa hay nhỏ chất lượng phép |a| |a| đo đạc hay tính tốn cao Chú ý: Người ta thường viết sai số tương đối dạng phần trăm Số quy tròn 3.1 Quy tắc làm tròn số Quy tắc làm trịn số đến hàng (gọi hàng quy tròn): + Nếu chữ số sau hàng quy trịn nhỏ ta thay chữ số bên phải chữ số + Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn ta làm cộng thêm đơn vị vào chữ số hàng quy tròn Chú ý: + Khi thay số số quy trịn đến hàng sai số tuyệt đối số quy trịn khơng vượt q nửa đơn vị hàng quy trịn Ta nói độ xác số quy trịn nửa đơn vị hàng quy tròn + Khi quy tròn số a đến hàng ta nói số gần a nhận xác đến hàng Ví dụ số gần π xác đến hàng phần trăm 3,14 3.2 Xác định số quy tròn số gần với độ xác cho trước Các bước xác định số quy trịn số gần a với độ xác d cho trước: Bước 1: Tìm hàng chữ số khác bên trái d Bước 2: Quy tròn số a hàng gấp 10 lần hàng tìm Bước 3.3 Xác định số gần số với độ xác cho trước Để tìm số gần a số a với độ xác d, ta thực bước sau: Bước 1: Tìm hàng chữ số khác bên trái d Bước 2: Quy tròn a đến hàng tìm Bảng số liệu Dựa vào thông tin biết sử dụng mối liên hệ toán học số liệu, ta phát số liệu khơng xác số trường hợp Biểu đồ Ta biểu diễn số liệu thống kê dạng biểu đồ Một số dạng biểu đồ thường gặp: biểu đồ cột, biểu đồ cột kép, biểu đồ quạt, biểu đồ tranh,… Quan sát biểu đồ ta đưa nhận xét số liệu thống kê Số trung bình 6.1 Cơng thức tính số trung bình • Giả sử ta có mẫu số liệu x1, x2, …, xn Số trung bình (hay số trung bình cộng) mẫu số liệu này, kí hiệu x , tính cơng thức x= x1 + x + + x n n • Giả sử mẫu số liệu cho dạng bảng tần số Giá trị x1 x2 … xk Tần số n1 n2 … nk Khi đó, cơng thức tính số trung bình trở thành x= n1x1 + n x + + n k x k n Trong n = n1 + n2 + … + nk Ta gọi n cỡ mẫu Chú ý: Nếu kí hiệu f k = nk tần số tương đối (hay gọi tần suất) xk mẫu n số liệu số trung bình cịn biểu diễn là: x = f1x1 + f x + + f k x k 6.2.Ý nghĩa số trung bình Số trung bình mẫu số liệu dùng làm đại diện cho số liệu mẫu Nó số đo xu trung tâm mẫu Trung vị tứ phân vị 7.1 Trung vị 7.1.1 Định nghĩa cách tính số trung vị Khi số liệu mẫu số liệu chênh lệch lớn, ta dùng đặc trưng khác mẫu số liệu, gọi trung vị để so sánh mẫu số liệu với Trung vị định nghĩa sau: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn Trung vị mẫu, kí hiệu Me, giá trị dãy x1, x2, …, xn Cụ thể: - Nếu n = 2k + 1, k (tức n số tự nhiên lẻ), trung vị mẫu Me = xk + - Nếu n = 2k, k (tức n số tự nhiên chẵn), trung vị mẫu Me = ( x k + x k +1 ) 7.1.2 Ý nghĩa số trung vị Trung vị dùng để đo xu trung tâm mẫu số liệu Trung vị giá trị nằm mẫu số liệu theo nghĩa: ln có 50% số liệu mẫu lớn trung vị 50% số liệu mẫu nhỏ trung vị Khi mẫu xuất thêm giá trị lớn nhỏ số trung bình bị thay đổi đáng kể trung vị thay đổi 7.2 Tứ phân vị • Trung vị chia mẫu thành hai phần Trong thực tế người ta quan tâm đến trung vị phần Ba trung vị gọi tứ phân vị mẫu Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn Tứ phân vị mẫu số liệu gồm ba giá trị, gọi tứ phân vị thứ nhất, thứ hai thứ ba (lần lượt kí hiệu Q1, Q2, Q3) Ba giá trị chia tập hợp liệu xếp thành bốn phần Cụ thể: - Giá trị tứ phân vị thứ hai, Q2, số trung vị mẫu - Giá trị tứ phân vị thứ nhất, Q1, trung vị nửa số liệu xếp bên trái Q2 (không bao gồm Q2 n lẻ) - Giá trị tứ phân vị thứ ba, Q3, trung vị nửa số liệu xếp bên phải Q2 (khơng bao gồm Q2 n lẻ) • Ý nghĩa tứ phân vị Các điểm tứ phân vị Q1, Q2, Q3 chia mẫu số liệu xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bốn phần, phần chia khoảng 25% tổng số liệu thu thập Tứ phân vị thứ Q1 gọi tứ phân vị đại diện cho nửa mẫu số liệu phía Tứ phân vị thứ ba Q3, gọi tứ phân vị đại diện cho nửa mẫu số liệu phía Mốt Cho mẫu số liệu dạng bảng tần số Giá trị có tần số lớn gọi mốt mẫu số liệu kí hiệu Mo Ý nghĩa mốt: Mốt đặc trưng cho giá trị xuất nhiều mẫu Chú ý: Một mẫu số liệu có nhiều mốt Khi tất giá trị mẫu số liệu có tần số xuất mẫu số liệu khơng có mốt Khoảng biến thiên khoảng tứ phân vị 9.1 Khoảng biến thiên khoảng tứ phân vị Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: x1 ≤ x2 ≤ … ≤ x n • Khoảng biến thiên mẫu số liệu, kí hiệu R, hiệu giá trị lớn giá trị nhỏ mẫu số liệu đó, tức là: R = xn – x1 • Khoảng tứ phân vị, kí hiệu ∆Q, hiệu Q3 Q1, tức là: ∆Q = Q3 – Q1 9.2 Ý nghĩa khoảng biến thiên khoảng tứ phân vị: Khoảng biến thiên đặc trưng cho độ phân tán toàn mẫu số liệu Khoảng tứ phân vị đặc trưng cho độ phân tán nửa số liệu, có giá trị thuộc đoạn từ Q1 đến Q3 mẫu Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng giá trị lớn bé mẫu 9.3 Giá trị ngoại lệ Khoảng tứ phân vị dùng để xác định giá trị ngoại lệ mẫu, giá trị nhỏ hay lớn so với đa số giá trị mẫu Cụ thể, phần tử x mẫu giá trị ngoại lệ x > Q3 + 1,5∆Q x < Q1 – 1,5∆Q Sự xuất giá trị ngoại lệ làm cho số trung bình phạm vi mẫu thay đổi lớn Do đó, mẫu có giá trị ngoại lệ, người ta thường sử dụng trung vị khoảng tứ phân vị để đo mức độ tập trung mức độ phân tán đa số phần tử mẫu số liệu 10 Phương sai độ lệch chuẩn 10.1 Cơng thức tính phương sai độ lệch chuẩn * Giả sử ta có mẫu số liệu x1, x2, …, xn • Phương sai mẫu số liệu này, kí hiệu S2, tính cơng thức: S2 = 1 2 x1 − x ) + ( x − x ) + + ( x n − x ) , ( n x số trung bình mẫu số liệu • Căn bậc hai phương sai gọi độ lệch chuẩn, kí hiệu S Chú ý: Có thể biến đổi cơng thức tính phương sai thành: S2 = 2 x1 + x 22 + + x n2 ) − x ( n Trong thống kê, người ta quan tâm đến phương sai hiệu chỉnh, kí hiệu s , tính cơng thức: s = 2 x1 − x ) + ( x − x ) + + ( x n − x ) ( n −1 * Giả sử mẫu số liệu cho dạng bảng tần số: Giá trị x1 x2 … xk Tần số n1 n2 … nk Khi đó, cơng thức tính phương sai trở thành: S2 = 1 2 n1 ( x1 − x ) + n ( x − x ) + + n k ( x k − x ) , n n = n1 + n2 + … + nk Có thể biến đổi cơng thức tính phương sai thành S2 = n1x12 + n x 22 + + n k x k2 ) − x ( n 10.2 Ý nghĩa phương sai độ lệch chuẩn Phương sai trung bình cộng bình phương độ lệch từ giá trị mẫu số liệu đến số trung bình Phương sai độ lệch chuẩn dùng để đo mức độ phân tán số liệu mẫu quanh số trung bình Phương sai độ lệch chuẩn lớn giá trị mẫu cách xa (có độ phân tán lớn) B Bài tập tự luyện Bài Cho số = 2,236067977 a) Hãy quy tròn đến hàng phần trăm b) Hãy tìm số gần với độ xác 0,005 Hướng dẫn giải a) Quy trịn số Vậy đến hàng phần trăm ta số gần 2,24 2,24 (quy tròn đến hàng phần trăm) b) Hàng chữ số khác bên trái độ xác 0,005 hàng phần nghìn Quy trịn Vậy đến hàng phần nghìn ta số gần 2,236 2,236 với độ xác 0,005 Bài Làm trịn số 4372,8 đến hàng chục 8,125 đến hàng phần trăm tính sai số tuyệt đối số quy trịn Hướng dẫn giải + Số quy tròn số 4372,8 đến hàng chục 4370 Sai số tuyệt đối ∆ = |4370 − 4372,8| = 2,8 + Số quy tròn số 8,125 đến hàng phần trăm 8,13 Sai số tuyệt đối ∆' = |8,13 – 8,125| = 0,005 Bài Hãy viết số quy tròn số gần trường hợp sau: a) 3678008 ± 1000; b) 21,02345 ± 0,001 Hướng dẫn giải a) 3678008 ± 1000 Hàng lớn độ xác d = 1000 hàng nghìn, nên ta quy trịn đến hàng phần chục nghìn Vậy số quy trịn trường hợp 3680000 b) 21,02345 ± 0,001 Hàng lớn độ xác d = 0,001 hàng phần nghìn, nên ta quy trịn đến hàng phần trăm Vậy số quy trịn cần tìm 21,02 Bài Một tam giác có ba cạnh đo sau: a = 5,4 cm ± 0,2 cm; b = 7,2 cm ± 0,2 cm c = 9,7 cm ± 0,1 cm Tính chu vi tam giác Hướng dẫn giải Chu vi tam giác là: P = a + b + c = (5,4 ± 0,2) + (7,2 ± 0,2) + (9,7 ± 0,1) = (5,4 + 7,2 + 9,7) ± (0,2 + 0,2 + 0,1) = 22,3 ± 0,5 (cm) Vậy chu vi tam giác cho P = 22,3 cm ± 0,5 cm Bài Một đội gồm 15 thợ điêu khắc chia vào tổ Trong ngày, người thợ làm sản phẩm Cuối ngày, đội trưởng thống kê lại số sản phẩm mà tổ làm bảng sau: Tổ Số sản phẩm 10 15 17 Đội trưởng thống kê chưa? Tại sao? Hướng dẫn giải Mỗi tổ có 15 : = người thợ Trong ngày, người thợ làm sản phẩm nên tổ làm từ 10 đến 15 sản phẩm Do đó, bảng ghi Tổ làm 17 sản phẩm khơng xác Vậy đội trưởng thống kê chưa Bài Sản lượng nuôi tôm phân theo địa phương tỉnh Cà Mau Tiền Giang thể hai biểu đồ sau (đơn vị: tấn): a) Hãy cho biết phát biểu sau hay sai: i Sản lượng nuôi tôm năm tỉnh Tiền Giang cao tỉnh Cà Mau ii Ở tỉnh Cà Mau, sản lượng nuôi tôm năm 2018 tăng gấp lần so với năm 2008 iii Ở tỉnh Tiền Giang, sản lượng nuôi tôm năm 2018 tăng gấp 2,5 lần so với năm 2008 b) Để so sánh sản lượng nuôi tôm hai tỉnh Cà Mau Tiền Giang, ta nên sử dụng loại biểu đồ nào? Hướng dẫn giải a) i Quan sát biểu đồ ta thấy: Sản lượng nuôi tôm năm Tiền Giang thấp 30 000 tấn, sản lượng nuôi tôm năm Cà Mau cao 75 000 Do sản lượng ni tơm năm tỉnh Cà Mau cao nhiều so với tỉnh Tiền Giang Vậy phát biểu i sai ii Ở tỉnh Cà Mau: - Sản lượng nuôi tôm năm 2018 175 000 - Sản lượng nuôi tôm năm 2008 khoảng 90 000 Vì 175000 90000 Do sản lượng ni tơm năm 2018 tỉnh Cà Mau tăng khoảng gần lần so với năm 2008 Vậy phát biểu ii sai iii Ở tỉnh Tiền Giang: - Sản lượng nuôi tôm năm 2018 khoảng 29 000 - Sản lượng nuôi tôm năm 2008 10 000 Vì 29000 = 2,9 10000 Do sản lượng ni tơm năm 2018 tỉnh Tiền Giang tăng gấp khoảng 2,9 (> 2,5) lần so với năm 2008 Vậy phát biểu iii b) Để so sánh sản lượng nuôi tôm hai tỉnh Cà Mau Tiền Giang, ta nên sử dụng loại biểu đồ cột ghép Bài Hoa vẽ biểu đồ biểu thị tỉ lệ chi phí xây dựng nhà gia đình theo bảng thống kê đây: Loại chi phí Số tiền (triệu đồng) Tiền cơng 250 Gỗ 100 Giám sát thi công 150 Thép 150 Gạch 200 Xi măng 150 Bạn cho biết biểu đồ Hoa vẽ xác chưa Nếu chưa cần điều chỉnh lại cho đúng? Hướng dẫn giải Theo bảng thống kê loại chi phí giám sát thi công, thép xi măng nên biểu đồ quạt, hình quạt biểu diễn tỉ lệ giám sát thi công, thép xi măng phải Do biểu đồ bạn Hoa vẽ chưa xác Ta cần đổi chỗ phần chữ thích biểu đồ xi măng cho gạch biểu đồ xác Bài Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị mốt mẫu số liệu sau: 56; 45; 65; 45; 56; 78; 100; 78; 78 Hướng dẫn giải Cỡ mẫu: n = Số trung bình: x = ( 56 + 45 + 65 + 45 + 56 + 78 + 100 + 78 + 78) 66,78 Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 45; 45; 56; 56; 65; 78; 78; 78; 100 Vì cỡ mẫu 9, số lẻ nên tứ phân vị thứ hai Q2 = 65 Tứ phân vị thứ trung vị mẫu: 45; 45; 56; 56 Do Q1 = ( 45 + 56 ) = 50,5 Tứ phân vị thứ ba trung vị mẫu: 78; 78; 78; 100 Do Q3 = ( 78 + 78 ) = 78 Giá trị 78 có tần số lớn nên mốt mẫu số liệu Mo = 78 Bài Hãy tìm số trung bình, trung vị mốt mẫu số liệu sau: Giá trị 20 25 30 35 Tần số Hướng dẫn giải Cỡ mẫu n = + + + = 17 Số trung bình: x = ( 2.20 + 3.25 + 5.30 + 7.35) = 30 17 Sắp xếp số liệu cho theo thứ tự không giảm, ta được: 20; 20; 25; 25; 25; 30; 30; 30; 30; 30; 35; 35; 35; 35; 35; 35; 35 Vì cỡ mẫu 17 số lẻ nên trung vị Me = 30 Giá trị 35 có tần số lớn nên mốt mẫu số liệu Mo = 35 Bài 10 Trong thi nghề, người ta ghi lại thời gian hoàn thành sản phẩm số thí sinh bảng sau: Thời gian (đơn vị: phút) 35 Số thí sinh a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị mốt thời gian thi nghề thí sinh b) Năm ngối, thời gian thi thí sinh có số trung bình trung vị Bạn so sánh thời gian thi nói chung thí sinh hai năm Hướng dẫn giải a) Cỡ mẫu n = + + + + = 12 Số trung bình là: x = 1.5 + 3.6 + 5.7 + 2.8 + 1.35 9,08 12 Số thí sinh thời gian phút nhiều nên mốt mẫu Mo = Sắp xếp giá trị mẫu theo thứ tự không giảm, ta được: 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 35 Vì cỡ mẫu số chẵn nên tứ phân vị thứ hai Q2 = (7 + 7) = Tứ phân vị thứ trung vị mẫu: 5; 6; 6; 6; 7; Do Q1 = Tứ phân vị thứ ba trung vị mẫu: 7; 7; 7; 8; 8; 35 Do Q3 = 7,5 b) Dựa theo số trung bình, 9,08 > nên thời gian thi thí sinh năm nhiều năm ngoái Dựa theo trung vị, hai năm trung vị nên thời gian thí sinh hai năm ngang Vì mẫu số liệu năm có số liệu 35 lớn so với số liệu cịn lại nhiều, ta dùng trung vị để so sánh phù hợp Vậy thời gian thi nói chung thí sinh hai năm ngang Bài 11 Người ta tiến hành thăm dò ý kiến khách hàng mẫu 1, 2, 3, loại sản phẩm sản xuất nhà máy Dưới bảng phân bố tần số theo số phiếu bình chọn tín nhiệm cho mẫu kể Mẫu Cộng Tần số 195 300 356 149 1000 a) Tìm mốt mẫu số liệu b) Trong sản xuất, nhà máy nên ưu tiên cho mẫu nào? Hướng dẫn giải a) Quan sát bảng tần số ta thấy mẫu có tần số lớn nên mốt mẫu số liệu cho Mo = b) Vì Mo = nên sản xuất, nhà máy nên ưu tiên cho mẫu Bài 12 Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị giá trị ngoại lệ (nếu có) mẫu số liệu sau: 6; 8; 3; 4; 5; 6; 7; 2; Hướng dẫn giải Số trung bình: x = 6+8+3+ 4+5+6+7 + 2+ = Phương sai mẫu số liệu là: 10 S2 = (62 + 82 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 22 + 42) – 52 = Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là: S = S2 = 10 30 = 3 Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; Khoảng biến thiên mẫu là: R = – = Vì cỡ mẫu là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai Q2 = Tứ phân vị thứ trung vị mẫu: 2; 3; 4; Do Q1 = 3,5 Tứ phân vị thứ ba trung vị mẫu: 6; 6; 7; Do Q3 = 6,5 Khoảng tứ phân vị mẫu là: ∆Q = 6,5 – 3,5 = Ta có: Q3 + 1,5∆Q = 6,5 + 1,5 = 11 Q1 – 1,5∆Q = 3,5 – 1,5 = – Do mẫu số liệu khơng có giá trị ngoại lệ Bài 13 Hai lớp 10A, 10B trường Trung học phổ thông đồng thời làm thi mơn Tốn theo đề thi Kết thi trình bày hai bảng phân bố tần số sau đây: Điểm thi Toán lớp 10A Điểm thi 10 Cộng Tần số 12 14 40 Điểm thi Toán lớp 10B Điểm thi Cộng Tần số 18 10 40 a) Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn mẫu số liệu cho b) Xét xem kết làm thi mơn Tốn lớp đồng hơn? Hướng dẫn giải a) * Lớp 10A: Số trung bình: x A = (3 + + 12 + 14 + + 10) = 7,25 40 Phương sai mẫu số liệu: S2A = (3 52 + 62 + 12 72 + 14 82 + 92 + 102) – 7,252 = 1,2875 40 Độ lệch chuẩn: SA = S2A = 1,2875 1,135 * Lớp 10B: Số trung bình: x B = (8 + 18 + 10 + 9) = 7,25 40 Phương sai mẫu số liệu: S2B = (8 62 + 18 72 + 10 82 + 92) – 7,252 = 0,7875 40 Độ lệch chuẩn: SB = S2B = 0,7875 0,887 b) Vì 0,887 < 1,135 nên SB < SA hay độ lệch chuẩn mẫu số liệu lớp 10B nhỏ lớp 10A Vậy kết làm thi học sinh lớp 10B đồng Bài 14 Kết điều tra mức lương tháng số công nhân hai nhà máy A B cho bảng sau (đơn vị: triệu đồng): a) Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị độ lệch chuẩn hai mẫu số liệu lấy từ nhà máy A nhà máy B b) Hãy tìm giá trị ngoại lệ mẫu số liệu Công nhân nhà máy có mức lương cao hơn? Tại sao? Hướng dẫn giải a) * Nhà máy A: + Số trung bình mức lương hàng tháng: x A = + + + 47 + + + + = 10 + Giá trị có tần số lớn nên mốt mẫu số liệu nhà máy A + Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 47 Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai Q2A = Tứ phân vị thứ trung vị mẫu: 4; 4; 4; Do Q1A = Tứ phân vị thứ ba trung vị mẫu: 5; 5; 6; 47 Do Q3A = 5,5 + Phương sai mẫu: S2A = (42 + 52 + 52 + 472 + 52 + 62 + 42 + 42) – 102 = 196 S2A = 196 = 14 + Độ lệch chuẩn: SA = * Nhà máy B: + Số trung bình mức lương hàng tháng: x B = + + + + 10 + + + 11 + 8,4 + Giá trị có tần số lớn nên mốt mẫu số liệu nhà máy B + Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 2; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 11 Vì cỡ mẫu là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai Q2B = Tứ phân vị thứ trung vị mẫu: 2; 8; 9; Do Q1B = 8,5 Tứ phân vị thứ ba trung vị mẫu: 9; 9; 10; 11 Do Q3B = 9,5 + Phương sai mẫu: S2B = (22 + 82 + 92 + 92 + 92 + 92 + 92 + 102 + 112) – 8,42 = 6,55 + Độ lệch chuẩn: SB = S2B = 6,55 2,6 b) + Khoảng tứ phân vị mẫu số liệu nhà máy A là: ∆QA = 5,5 – = 1,5 Ta có: Q3A + 1,5∆QA = 5,5 + 1,5 1,5 = 7,75 Q1A – 1,5∆QA = – 1,5 1,5 = 1,75 Do giá trị ngoại lệ mẫu số liệu nhà máy A 47 + Khoảng tứ phân vị mẫu số liệu nhà máy B là: ∆QB = 9,5 – 8,5 = Ta có: Q3B + 1,5∆QB = 9,5 + 1,5 = 11 Q1B – 1,5∆QB = 8,5 – 1,5 = Do giá trị ngoại lệ mẫu số liệu nhà máy B ... phân vị mốt mẫu số liệu sau: 56; 45; 65 ; 45; 56; 78; 100 ; 78; 78 Hướng dẫn giải Cỡ mẫu: n = Số trung bình: x = ( 56 + 45 + 65 + 45 + 56 + 78 + 100 + 78 + 78) 66 ,78 Sắp xếp số liệu theo thứ... không giảm, ta được: 45; 45; 56; 56; 65 ; 78; 78; 78; 100 Vì cỡ mẫu 9, số lẻ nên tứ phân vị thứ hai Q2 = 65 Tứ phân vị thứ trung vị mẫu: 45; 45; 56; 56 Do Q1 = ( 45 + 56 ) = 50,5 Tứ phân vị thứ ba... (nếu có) mẫu số liệu sau: 6; 8; 3; 4; 5; 6; 7; 2; Hướng dẫn giải Số trung bình: x = 6+ 8+3+ 4+5 +6+ 7 + 2+ = Phương sai mẫu số liệu là: 10 S2 = (62 + 82 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 22 + 42) – 52 =