Bài 3 Tích của một số với một vectơ A Lý thuyết 1 Tích của một số với một vectơ và các tính chất Cho số k ≠ 0 và a 0 Tích của số k với a 0 là một vectơ, kí hiệu là ka Vectơ ka cùng hướng với a nếu k[.]
Bài Tích số với vectơ A Lý thuyết Tích số với vectơ tính chất Cho số k ≠ a Tích số k với a vectơ, kí hiệu ka Vectơ ka hướng với a k > 0, ngược hướng với a k < có độ dài k.a Ta quy ước 0a = k0 = Người ta gọi tích số với vectơ tích vectơ với số Ví dụ: Cho tam giác ABC có D, E, F trung điểm cạnh AB, BC, CA Tìm vectơ bằng: 2DE; − CA; − 2EC Hướng dẫn giải + Vectơ 2DE : Tam giác ABC có D, E trung điểm AB, BC Do DE đường trung bình tam giác ABC Suy DE // AC 2DE = AC Vì k = > nên vectơ cần tìm hướng với DE có độ dài 2DE Ta có AC hướng với DE 2DE = AC Do 2DE = AC + Vectơ − CA : Ta có F trung điểm CA Do FA = CF = Vì k = − CA 1 < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với CA có độ dài CA 2 Ta có AF, FC ngược hướng với CA AF = FC = CA Do AF = FC = − CA + Vectơ −2EC : Ta có E trung điểm BC Do CB = 2EC Vì k = –2 < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với EC có độ dài 2EC Ta có CB ngược hướng với EC CB = 2EC Do CB = −2EC Tính chất: Với hai vectơ a b bất kì, với số thực h k, ta có: ( ) +) k a + b = ka + kb ; +) ( h + k ) a = + ka ; +) h ( ka ) = ( hk ) a ; +) 1.a = a ; +) ( −1).a = −a Ví dụ: Ta có: a) ( x + y ) = 6x + 6y ; b) ( + x ) u = 3u + xu ; ( ) c) −5i = 6.( −5 ) i = −30i ; d) 2c − 7c = ( − ) c = −5c Ví dụ: Cho tam giác ABC Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC MA + MB + MC = 3MG Hướng dẫn giải Ta có MA + MB + MC = 3MG MG + GA + MG + GB + MG + GC = 3MG (quy tắc ba điểm) 3MG + GA + GB + GC = 3MG GA + GB + GC = ⇔ G trọng tâm tam giác ABC (đpcm) Điều kiện để hai vectơ phương Hai vectơ a b ( b ) phương có số k cho a = kb Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k ≠ để AB = kAC Chú ý: Cho hai vectơ a b không phương Với c tồn cặp số thực (m; n) cho c = ma + nb Ví dụ: Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N, P cho MB = 3MC , NA + 3NC = , PA + PB = a) Biểu diễn MP theo AB, AC b) Biểu diễn MN theo AB, AC c) Chứng minh rằng: điểm M, N, P thẳng hàng Hướng dẫn giải a) Ta có MB = 3MC MB = MC MB = 3MC Mà MB, MC hướng (do k = > 0) Do ba điểm B, C, M thẳng hàng C nằm B, M cho MB = 3MC Ta có PA + PB = nên P trung điểm AB Do AP = AB Mà AP, AB hướng Suy AP = AB Ta có: MB = MC + CB MB = MB + CA + AB 3 MB = −AC + AB MB = AB − AC 2 3 Ta có AM = AB + BM = AB − MB = AB − AB + AC = − AB + AC 2 2 1 3 Ta có MP = AP − AM = AB + AB − AC = AB − AC 2 2 Vậy MP = AB − AC (1) b) Ta có NA + 3NC = NA = −3NC Do NA = −3 NC hay NA = 3NC Khi ta có AN = AC Mà NA, NC ngược hướng (do k = ‒3 < 0) Do ba điểm A, N, C thẳng hàng N nằm hai điểm A C cho AN = Suy AN = AC 3 Ta có MN = AN − AM = AC + AB − AC = AB − AC 2 Vậy MN = AB − AC (2) c) Từ (1), ta suy 2MP = 2AB − 3AC Từ (2), ta suy 4MN = 2AB − 3AC Do ta có 2MP = 4MN hay MP = 2MN Vậy ba điểm M, N, P thẳng hàng B Bài tập tự luyện AC Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD O trung điểm MN Chứng minh OA + OB + OC + OD = Hướng dẫn giải Gọi E F điểm đối xứng với O qua M N Suy M trung điểm AB EO; N trung điểm DC OF Khi tứ giác OAEB OCFD hình bình hành OA + OB = OE (quy tắc hình bình hành hình bình hành OAEB) Và OD + OC = OF (quy tắc hình bình hành hình bình hành OCFD) OA + OB + OC + OD = OE + OF Vì O trung điểm MN nên OM = ON, mà OM = ME, ON = MF Do OE = OF hay O trung điểm EF Suy OE + OF = OA + OB + OC + OD = Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC Hãy biểu thị AM theo hai vecto AB AD Hướng dẫn giải Gọi E điểm đối xứng với A qua M Khi M trung điểm BC AE Suy tứ giác ABEC hình bình hành AB + AC = AE (quy tắc hình bình hành) Mà AE = 2AM (M trung điểm AE) AB + AC = 2AM AM = AB + AC Xét hình bình hành ABCD có: AC = AB + AD (quy tắc hình bình hành) AM = AM = ( AB + AB + AD ) = AB + AB + AD 2AB + AD 2AB AD = + = AB + AD 2 2 Vậy AM = AB + AD Bài Cho tam giác ABC a) Hãy xác định điểm M để MA + MB + 2MC = b) Chứng minh với điểm O, ta có: OA + OB + 2OC = 4OM Hướng dẫn giải a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC suy GA + GB + GC = Ta có: MA + MB + 2MC = ( ) ( ) ( ) MG + GA + MG + GB + MG + GC = MG + GA + MG + GB + 2MG + 2GC = ( ) ( ) MG + MG + 2MG + GA + GB + GC + GC = 4MG + GC = (vì GA + GB + GC = ) 4MG = −GC −4GM = −GC GM = GC Do vecto GM hướng với vecto GC GM = GC Vậy điểm M nằm G C cho GM = GC ( ) ( ) ( b) Ta có: OA + OB + 2OC = OM + MA + OM + MB + OM + MC = OM + MA + OM + MB + 2OM + 2MC ( ) ( = OM + OM + 2OM + MA + MB + 2MC ) = 4OM + (vì MA + MB + 2MC = ) = 4OM Vậy với điểm O, ta có: OA + OB + 2OC = 4OM ) ... GB + GC + GC = 4MG + GC = (vì GA + GB + GC = ) 4MG = −GC −4GM = −GC GM = GC Do vecto GM hướng với vecto GC GM = GC Vậy điểm M nằm G C cho GM = GC ( ) ( ) ( b) Ta có: OA + OB + 2OC = OM... + OB + OC + OD = Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC Hãy biểu thị AM theo hai vecto AB AD Hướng dẫn giải Gọi E điểm đối xứng với A qua M Khi M trung điểm BC AE Suy tứ giác ABEC