Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 9 Tích của một vectơ với một số Mở đầu trang 55 SGK Toán 10 tập 1 Với mỗi cặp vật đặt trên hai đầu của một cánh tay đòn AB, luôn có duy nhất một điểm M thuộc AB để nếu đặt trụ đỡ tại M thì cánh ta[.]
Bài Tích vectơ với số Mở đầu trang 55 SGK Toán 10 tập 1: Với cặp vật đặt hai đầu cánh tay địn AB, ln có điểm M thuộc AB để đặt trụ đỡ M cánh tay đòn trạng thái cân (H.4.20) Điều trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn, cánh tay địn thay ván hình đa giác n đỉnh A1, A2, A3, …, An, đỉnh Ai có đặt vật nặng mi (kg) Ở đây, ta coi cánh tay đòn, ván khơng có trọng lượng Trong Vật lí, điểm M gọi điểm khối tâm hệ chất điểm A1, A2, A3, …, An ứng với khối lượng m1, m2, m3, …, mn (kg) Qua học này, ta thấy Hình học cho phép xác định vị trí khối tâm hệ chất điểm Hoạt động trang 55 SGK Toán 10 tập 1: Cho vecto AB = a Hãy xác định điểm C cho BC = a a) Tìm mối quan hệ AB a + a b) Vecto a + a có mối quan hệ hướng độ dài với vecto a Lời giải +) AB = a nên AB hướng độ lớn với a ; +) BC = a nên BC hướng độ lớn với a Do AB BC hướng độ lớn với a Suy ba điểm A, B, C thẳng hàng AB = BC Hay B trung điểm AC Vậy điểm C điểm cho B trung điểm AC a) Ta có: a + a = AB + BC = AC (quy tắc ba điểm) Suy a + a = AC = AC Mà AC = AB + BC = 2AB nên a + a = 2AB Lại có AC hướng với AB Vậy a + a hướng với vecto AB a + a = 2AB = AB b) Vì AB = a nên AB hướng vecto a AB = a hay AB = a Mà a + a hướng với vecto AB a + a = 2AB Do a + a hướng với vecto a a + a = a Câu hỏi trang 55 SGK Toán 10 tập 1: 1a a có hay khơng? Lời giải Tích vectơ a với số thực k = > vectơ kí hiệu 1a , vectơ hướng với vectơ a có độ dài a = a Do 1a = a Vậy 1a = a Hoạt động trang 56 SGK Toán 10 tập 1: Trên trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu diễn số 0;1; 2; − Hãy nêu mối quan hệ hướng độ dài vecto OM,ON với vecto a = OA Viết đẳng thức thể mối quan hệ hai vecto OM OA Lời giải Trên trục số Hình 4.22 ta thấy: - Về hướng: Điểm M điểm A nằm phía điểm O trục số nên OM hướng với OA ; Điểm N điểm A nằm khác phía điểm O trục số nên ON ngược hướng với OA - Về độ dài: + Điểm A biểu diễn cho số nên OA = OA = OA = + Điểm M biểu diễn cho số nên OM = OM = OM = Suy OM = OA = a + Điểm N biểu diễn cho số − nên ON = − = ON = ON = Suy ON = OA = a Vậy OM hướng với a = OA OM = a ON ngược hướng với a = OA ON = a Đẳng thức biểu thị mối quan hệ hai vecto OM OA OM = 2OA Câu hỏi trang 56 SGK Tốn 10 tập 1: −a ( −1) a có mối quan hệ gì? Lời giải + Vectơ −a vectơ đối vectơ a nên −a ngược hướng với a có độ dài a + Vectơ ( −1) a tích vectơ a với số thực k = ‒1 < nên ( −1) a ngược hướng với a có độ dài − ( −1) a = a = a Do vectơ ( −1) a hướng với −a có độ dài độ dài a Vậy ( −1) a = −a Luyện tập trang 56 SGK Toán 10 tập 1: Cho đường thẳng d qua hai điểm phân biệt A B (H.4.25) Những khẳng định sau đúng? a) Điểm M thuộc đường thẳng d tồn số t để AM = tAB b) Với điểm M bất kì, ta ln có: AM = AM AB AB c) Điểm M thuộc tia đối tia AB tồn số t ≤ để AM = tAB Lời giải a) + Nếu điểm M thuộc đường thẳng d ba điểm A, B, M thẳng hàng nên AM phương AB Do ta có tồn số thực t thỏa mãn AM = tAB + Nếu tồn số t thỏa mãn AM = tAB AM phương AB Hay đường thẳng AM song song trùng với đường thẳng AB Mà hai đường thẳng qua A nên đường thẳng AM trùng với đường thẳng AB Do A, M, B thẳng hàng hay M thuộc đường thẳng d Vậy khẳng định a) b) Nếu M khơng thuộc đường thẳng d AM khơng phương với AB Do ta khơng thể viết dạng AM = AM AB AB Vậy khẳng định b) sai c) Nếu điểm M thuộc tia đối tia AB hai vectơ AM AB hai vectơ phương, ngược hướng Khi tồn số thực t ≤ thỏa mãn AM = tAB Ngược lại, tồn số t ≤ để AM = tAB hai vectơ AB AM ngược hướng (với t < 0) M ≡ A (với t = 0) Do khẳng định c) Hoạt động trang 57 SGK Toán 10 tập 1: Với u hai số thực k, t, khẳng định sau đúng? ( ) a) Hai vectơ k tu ( kt ) u có độ dài kt u ( ) b) Nếu kt ≥ hai vectơ k tu , ( kt ) u hướng với u ( ) c) Nếu kt < hai vectơ k tu , ( kt ) u ngược hướng với u ( ) d) Hai vectơ k tu ( kt ) u Lời giải ( ) a) Ta có: k tu = k tu = k t u = kt u ( kt ) u = kt u ( ) Suy k tu = ( kt ) u = kt u ( ) Do hai vectơ k tu ( kt ) u có độ dài kt u Vậy khẳng định a) b) - Với kt ≥ vectơ ( kt ) u hướng với vectơ u k k - Với kt ≥ t t +) Trường hợp 1: k ≥ t ≥ Với t ≥ vectơ tu hướng với vectơ u ; ( ) Với k ≥ vectơ k tu hướng với vectơ tu ; ( ) Do với k ≥ t ≥ k tu hướng với vectơ u (do hướng với tu ) +) Trường hợp 2: k ≤ t ≤ Với t ≤ vectơ tu ngược hướng với vectơ u ; ( ) Với k ≤ vectơ k tu ngược hướng với vectơ tu ; ( ) Do với k ≤ t ≤ k tu hướng với vectơ u (do ngược hướng với tu) ( ) Kết hợp hai trường hợp ta có: với kt ≥ k tu hướng với vectơ u ( ) Suy ra: kt ≥ hai vecto k tu , ( kt ) u hướng với u Vậy khẳng định b) c) – Với kt < vectơ ( kt ) u ngược hướng với vectơ u k k - Với kt < t t +) Trường hợp 1: k > t < Với t < vectơ tu ngược hướng với vectơ u ; ( ) Với k > vectơ k tu hướng với vectơ tu ; ( ) Do với k > t < k tu ngược hướng với vectơ u +) Trường hợp 2: k < t > Với t > vectơ tu hướng với vectơ u ; ( ) Với k < vectơ k tu ngược hướng với vectơ tu ; ( ) Do với k < t > k tu ngược hướng với vectơ u ( ) Kết hợp hai trường hợp ta có: với kt < k tu ngược hướng với vectơ u ( ) Suy kt < hai vectơ k tu , ( kt ) u ngược hướng với u Vậy khẳng định c) ( ) d) Theo câu a hai vectơ k tu ( kt ) u có độ dài ( ) + Nếu kt ≥ hai vectơ k tu , ( kt ) u hướng với u ( ) Suy hai vectơ k tu , ( kt ) u hướng ( ) + Nếu kt < hai vectơ k tu , ( kt ) u ngược hướng với u ( ) Suy hai vectơ k tu , ( kt ) u hướng ( ) Do hai vectơ k tu , ( kt ) u hướng với k, t ( ) k tu = ( kt ) u ( ) Hay hai vectơ k tu ( kt ) u Vậy khẳng định d) Hoạt động trang 57 SGK Toán 10 tập 1: Hãy Hình 4.26 hai vectơ ( ) ( ) u + v 3u + 3v Từ đó, nêu mối quan hệ u + v 3u + 3v Lời giải Giả sử OE = u,OF = v biểu diễn hình vẽ + Xét hình bình hành OEMF, ta có: u + v = OE + OF = OM (quy tắc hình bình hành) ( ) u + v = 3OM Trên hình vẽ ta thấy OC = 3OM OC hướng với OM ( ) Do u + v = 3OM = OC (1) + Trên hình vẽ ta thấy OA = u OA hướng với u OB = v OB hướng với v Do OA = 3u, OB = 3v Xét hình bình hành OACB, ta có: 3u + 3v = OA + OB = OC (quy tắc hình bình hành) ( ) ( Từ (1) (2) u + v = 3u + 3v = OC ( (2) ) ) Vậy u + v = 3u + 3v Luyện tập trang 57 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có: OA + OB + OC = 3OG Lời giải Vì G trọng tâm tam giác ABC nên ta có: GA + GB + GC = (Tính chất trọng tâm tam giác) ( ) ( ) ( Với điểm O ta có: OA + OB + OC = OG + GA + OG + GB + OG + GC ( ) ( = OG + OG + OG + GA + GB + GC ) ) = 3OG + = 3OG Vậy OA + OB + OC = 3OG Luyện tập trang 57 SGK Toán 10 tập 1: Trong Hình 4.27, biểu thị vectơ u, v theo hai vectơ a, b , tức tìm số x, y, z, t để u = xa + yb, v = ta + zb Lời giải Giả sử điểm O, A, B, C, M, N, P điểm hình vẽ Khi ta có: OA = a;OB = 2b;OC = u;OM = 3b;ON = −2a;OP = v Xét hình bình hành OACB, có: OC = OA + OB (quy tắc hình bình hành) Suy u = a + 2b Xét hình bình hành OMPN, có: OP = OM + ON (quy tắc hình bình hành) ( ) Suy v = 3b + −2a = −2a + 3b Vậy u = a + 2b, v = −2a + 3b Bài 4.11 trang 58 SGK Toán 10 tập 1: Cho hình bình hành ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC Hãy biểu thị AM theo hai vecto AB AD Lời giải Gọi E điểm đối xứng với A qua M Khi M trung điểm BC AE Suy tứ giác ABEC hình bình hành AB + AC = AE (quy tắc hình bình hành) Mà AE = 2AM (M trung điểm AE) AB + AC = 2AM AM = AB + AC Xét hình bình hành ABCD có: AC = AB + AD (quy tắc hình bình hành) AM = AM = ( AB + AB + AD ) = AB + AB + AD 2AB + AD 2AB AD = + = AB + AD 2 2 Vậy AM = AB + AD Bài 4.12 trang 58 SGK Toán 10 tập 1: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N tương ứng trung điểm cạnh AB, CD Chứng minh BC + AD = 2MN = AC + BD Lời giải ( ) ( ) Ta có: AC + BD = AD + DC + BC + CD = AD + DC + BC + CD ( ) AC + BD = AD + BC + DC + CD = AD + BC + = AD + BC Do AC + BD = AD + BC ( (1) ) ( ) Ta có: BC + AD = MC − MB + MD − MA = MC − MB + MD − MA ( ) ( BC + AD = MC + MD − MA + MB ) Lại có M trung điểm AB nên MA + MB = N trung điểm DC, với điểm M ta có MC + MD = 2MN Suy BC + AD = 2MN − BC + AD = 2MN (2) Từ (1) (2) suy BC + AD = 2MN = AC + BD Bài 4.13 trang 58 SGK Toán 10 tập 1: Cho hai điểm phân biệt A B a) Hãy xác định điểm K cho KA + 2KB = b) Chứng minh với điểm O, ta có: OK = OA + OB 3 Lời giải a) Cách 1: Giả sử có điểm K thỏa mãn KA + 2KB = Khi KA = −2KB Suy hai vectơ KA KB phương, ngược hướng KA = 2KB Suy điểm K thuộc đoạn AB KA = 2KB Cách 2: Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB suy MA + MB = Khi ta có: KA + 2KB = ( ) ( ) KM + MA + KM + MB = KM + MA + 2KM + 2MB = ( ) ( ) KM + 2KM + MA + MB + MB = 3KM + MB = (Vì MA + MB = ) 3KM = − MB 3KM = BM KM = BM MK = MB Suy vecto MK hướng với vectơ MB thỏa mãn MK = MB Vậy điểm K điểm nằm M B cho thỏa mãn MK = MB b) Cách 1: Ta có: ( ) ( ) 2 1 2 OA + OB = OK + KA + OK + KB = OK + KA + OK + KB 3 3 3 3 ( 2 1 1 = OK + OK + KA + KB = OK + KA + 2KB 3 3 3 Mà KA + 2KB = (theo câu a) ) OA + OB = OK + = OK 3 Vậy với điểm O, ta có: OK = OA + OB 3 Cách 2: Ta có: OK = OM + MK ( ) ( ) 1 Theo câu a ta có MK = MB = MO + OB 3 Do OK = OM + MK = OM + 1 MO + OB = OM + MO + OB 3 1 = OM − OM + OB 3 = OM + OB 3 Vì M trung điểm AB nên OA + OB = 2OM OM = ( ) ( ) 1 1 OK = OA + OB + OB = OA + OB + OB 3 3 1 1 OK = OA + OB + OB = OA + OB 3 3 Vậy với điểm O, ta có: OK = OA + OB 3 ( OA + OB ) Bài 4.14 trang 58 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC a) Hãy xác định điểm M để MA + MB + 2MC = b) Chứng minh với điểm O, ta có: OA + OB + 2OC = 4OM Lời giải a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC suy GA + GB + GC = Ta có: MA + MB + 2MC = ( ) ( ) ( ) MG + GA + MG + GB + MG + GC = MG + GA + MG + GB + 2MG + 2GC = ( ) ( ) MG + MG + 2MG + GA + GB + GC + GC = 4MG + GC = (vì GA + GB + GC = ) 4MG = −GC −4GM = −GC GM = GC Do vecto GM hướng với vecto GC GM = GC Vậy điểm M nằm G C cho GM = GC ( ) ( ) ( b) Ta có: OA + OB + 2OC = OM + MA + OM + MB + OM + MC ) = OM + MA + OM + MB + 2OM + 2MC ( ) ( = OM + OM + 2OM + MA + MB + 2MC ) = 4OM + (vì MA + MB + 2MC = ) = 4OM Vậy với điểm O, ta có: OA + OB + 2OC = 4OM Bài 4.15 trang 59 SGK Toán 10 tập 1: Chất điểm A chịu tác động ba lực F1 , F2 , F3 Hình 4.30 trạng thái cân (tức F1 + F2 + F3 = ) Tính độ lớn lực F2 ,F3 , biết F1 có độ lớn 20 N ... SGK Toán 10 tập 1: 1a a có hay khơng? Lời giải Tích vectơ a với số thực k = > vectơ kí hiệu 1a , vectơ hướng với vectơ a có độ dài a = a Do 1a = a Vậy 1a = a Hoạt động trang 56 SGK Toán 10. .. có AC hướng với AB Vậy a + a hướng với vecto AB a + a = 2AB = AB b) Vì AB = a nên AB hướng vecto a AB = a hay AB = a Mà a + a hướng với vecto AB a + a = 2AB Do a + a hướng với vecto a a + a... trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu diễn số 0;1; 2; − Hãy nêu mối quan hệ hướng độ dài vecto OM,ON với vecto a = OA Viết đẳng thức thể mối quan hệ hai vecto OM OA Lời giải Trên trục số Hình