Đang tải... (xem toàn văn)
Đối với học sinh lớp 10 mới tiếp xúc với khái niệm vectơ và làm quen với hình học vectơ thì các em còn thấy nhiều bỡ ngỡ và trừu tượng,bài toán phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng[r]
(1)B
A
C M
M1 M2
Rèn luyện cho phọc sinh kỹ phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương. Mở đầu:
Đối với học sinh lớp 10 tiếp xúc với khái niệm vectơ làm quen với hình học vectơ em cịn thấy nhiều bỡ ngỡ trừu tượng,bài tốn phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương tốn khó kỹ phân tích vectơ theo hai vectơ không phương kỹ quan trọng giải tốn hình học vectơ Để giúp em tháo gỡ toán kinh nghiệm giảng dạy thân mạnh dạn trao đổi với em quý đồng nghiệp số toán nhằm củng cố rèn luyện cho học sinh kỹ
A Cơ sở lí thuyết. Định lí Cho hai vectơ
vµ
a b
0
b
Điều kiện cần đủ để
a phương với b tồn tạị số thực k cho
a kb.
Hệ quả: Nếu
µ
a v bcùng phương akbthì
a k
b
Nếu a b
a k
b
; a bthì
a k
b
Đặc biệt:
AB AC
AB
AB AC
AC ;
AB AC AB
AB AC
AC .
Định lí Cho hai vectơ không phương
,
a b Khi với vectơ c phân tích cách theo hai vectơ
,
a b nghĩa tồn cặp số x y, sao cho = +
r r r
c xa yb. Đặc biệt: *,Tứ giác ABCD hình bình hành ta có: = +
uuur uur uuur
AC AB AD.
*, Với
uuur
AM trung tuyến tam giác ABC ta có: = +
uuur 1uur 1uuur
2 2
AM AB AC
B Một số tập.
Bài CHo tam giác ABC Trên đường thẳng chứa cạnh BC lấy điểm M cho + =
uuur uuur r
2MB 3MC 0 Hãy phân tích vectơ uuurAM theo
uur uuur
vµ AC
AB .
Bài giải:
Cách Vẽ hình bình hành AM1MM2, ta có = +
uuur uuuur uuuur
1
AM AM AM Từ giả thiết 2uuurMB+3uuurMC=0r.
Ta có = = = =
2 3, 2
5 5
AM BM AM MC
AC BC AB BC Do đó:
= = = =
uuuur uur uur uuuur uuur uuur
2
1
2 3
;
5 5
AM AM
AM AB AB AM AC AC
AB AC .
Vậy: = +
uuur 2uur 3uuur
5 5
AM AB AC
Cách Ta có:
( )
= + Þ = +
uuur uur uuur uuur uur uuur1
2 2 2
AM AB BM AM AB BM ; ( )
= + Þ = +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
3 3 3
AM AC CM AM AC CM Cộng (1) (2) theo vế ta
( ) ( )
= + + + = +
uuur uur uuur uuur uuur uur uuur
5AM 2AB 3AC 2AM 3BM 2AB 3AC
.Û = +
uuur 2uur 3uuur
5 5
AM AB AC
Cách 3.Theo giả thiết ta có: + = Û ( + ) (+ + )= Û ( + ) (+ + )=
uuur uuur r uuur uur uuur uuur r uuur uuur uur uuur r
2MB 3MC 0 2 MA AB 3 MA AC 0 2MA 3MA 2AB 3AC 0
Û 5uuur=2uur+3uuurÛ uuur=2uur+3uuur
5 5
AM AB AC AM AB AC
(2)
A
B C
M
M1
M2
*,Với cách thứ hai rèn luyện cho học sinh cách phân tích vectơ theo nhiều hướng khác nhờ kĩ thuật xen điểm *,Với cách thứ ba rèn luyện cho học sinh kĩ phân tích vectơ cách khai thác giả thiết kĩ thuật xen điểm Bài Trên đường thẳng chứa cạnh BC tam giác ABC lấy điểm M cho =
uuur uuur
3
MB MC Hãy phân tích vectơ uuurAM theo
uur uuur
vµ
AB AC. Bài giải.
Cách Vẽ hình bình hành AM1MM2 Ta có:
= +
uuur uuuur uuuur
1
AM AM AM Từ giả thiết uuurMB=3uuurMC ta có
= = = =
Þ = =
+
1
2
2
1 2
;
2 1
2 AC 2
3 AM 3
M A MC AC CB
AB CB M C CM
AC
hay AC CM
Do đó: =- =
uuuur uur uuuur uuur
1
1 3
;
2 2
AM AB AM AC
.Vậy:
=- +
uuur 1uur 3uuur
2 2
AM AB AC
Cách Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:
( ) ( )
= + = + Þ = +
uuur uur uuur uuur1 uuur uuur uuur uuur uuur2
; 3 3 3
AM AB BM AM AC CM AM AC CM Lấy (2) trừ (1) theo vế ta được: 2AMuuur=- uurAB+3uuurAC Vậy
=- +
uuur 1uur 3uuur
2 2
AM AB AC
Cách Từ giả thiết = Û + = ( - ) Û + =- +
uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uur uuur
3 3 3 3
MB MC MA AB AC AM AM MA AB AC
=- +
uuuuur uur uuur
2AM AB 3AC Vậy
=- +
uuur 1uur 3uuur
2 2
AM AB AC
Nhận xét: Trong toán điểm M nằm B C Trong toán điểm M nằm ngồi đoạn BC học sinh gặp khó khăn việc dựng hình bình hành làm thao tác phân tích theo cách giải
Bài Cho tam giác ABC Trên đường thẳng chứa cạnh BC lấy điểm N cho 2NC = 3NB Hãy phân tích vectơuuur uur uuur
theo ,
AN AB AC.
Bài giải: Nhận xét điểm N nằm đường thẳng chứa cạnh BC 2NC= 3NB nên có hai điểm N thỏa mãn tốn. TH1:, Điểm N nằm đoạn BC, + =
uuur uuur r
3 0
NC NB ta trở tập Giải hoàn toàn tương tự tập ta được
= +
uuur 3uur 2uuur
5 5
AN AB AC
TH2: Điểm N nằm đoạn BC, =
uuur uuur
2NC 3NB,cụ thể điểm N nằm tia đối tia BC. Giải hồn tồn tương tự tập hai ta có =
-uuur uur uuur
3 2
AN AB AC.
Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm M cho MB=3MC, tia đối tia BC lấy điểm N cho 2NC=3NB Hãy phân tích vectơ
uuur uuur
,
AM ANtheo vectơ uur uuurAB AC, .
Bài giải: Bài tập kết hợp tập Cụ thể điểm M thỏa mãn + =
uuur uuur r
3 0
MB MC , điểm N thỏa mãn
=
uuur uuur
2NC 3NB Kết quả: = + =
-uuur 1uur 3uuur uuur uur uuur
; 3
4 4
(3)A C
B H
M Tổng quát: Với M điểm thỏa mãn + =
uuur uuur r
x MB y MC với x+ ¹y 0thì ta có phân tích: = + + +
uuur x uur y uuur
AM AB AC
x y x y
*,Đặc biệt với điểm M nằm cạnh BC tam giác ABC ta có: = +
uuur MCuur MBuuur
AM AB AC
BC BC
*,Ngồi tốn phân tích vectơ theo hai vectơ không phương trở nên dễ dàng giải toán mặt phẳng tọa độ Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba vectơ (- ) ( - ) (- - )
r r r
2;3 , 1; vµ c 3; 5
a b
Hãy phân tích vectơ
r r r
theo c¸c vectơ
c a b.
Bi gii:
Ta tìm cặp số thực x y, cho = +
r r r
c xa yb.
Ta có = - =( - )
r r
( ;3 ), ; 2
xa x x yb y y
Vậy = +
r r r
c xa yb
ì- + =- ì =
ï ï
ï ï
Û íï Û íï
- =- =
ï ï
ỵ ỵ
2 3 11
3 2 5 19
x y x
x y y .
Vậy = +
r r r
11 19
c a b.
Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, biết
( ) ( ) ổ ửỗỗ ữữ ữ ữ ỗố ứ
3 4;6 , 1; , 7;
2
A B C
M giao điểm AB với Oy Hãy phân tích vectơ
uuur uur uur
theo vµ
CM CA CB. Bài giải: Trước hết ta tìm tọa điểm M
Vì M thuộc Oy nên tọa độ M có dạng M(0;y) Ta có =( - ) = -( - )
uuur uur
4;6 , 3; 2
MA y AB
Vì M, A, B thẳng hàng nên
-= Û =
-
-6 4 10
.
2 3 3
y
y
Vậy M
ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữữ
ỗố ứ
10 0;
3 .
Ta có
ỉ ư÷ ỉ ư÷ ỉ ư÷
ỗ ỗ ỗ
= -ỗốỗ ữữứữ = -ỗốỗ - ữữữứ = -ốỗỗ ữữữứ
uuur 11 uur 9 uur 5
7; ; 3; ; 6;
6 2 2
CM CA CB
,ta tìm số thực a, b cho = +
uuur uur uur
CM aCA bCB.
Ta có = +
uuur uur uur
CM aCA bCB
ì - =-
-ïï ïï Û íï
=- +
ïïïỵ
7 3 6
11 9 5
6 2 2
a b a b
Giải ta a = =
13 74
,
69 b 69 .
Vậy = +
uuur 13uur 74uur
69 69
CM CA CB
Bài Cho tam giác ABC vuông A, AB =1, AC =2 Dựng điểm M cho AMuuur uur uuur ^BC AM, =2 5 Hãy phân tích vectơ
theo vµ
AM AB AC. Bài giải.
Cách Gọi H hình chiếu vng góc A lên BC TH1:
uuur uuur AH AM.
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có:
= + = + = Þ =
2 2
1 1 1 1 5 2 5
1
4 4 AH 5
(4)A y
x H
B C
Do đó: = =
uuur uuur 1uuur
5
AH
AH AM AM
AM .
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: = + = = = = =
2
2 4 5 5
5, ,
5 5
CA AB
CB CA CB CH BH
CB CB Từ
ta có
= + = +
uuur uuur uur 1uuur 4uur
5 5
HB HC
AH AC AB AC AB
BC BC Þ = +
uuur uur uuur
4
AM AB AC TH2:
uuur uuur
AH AM, khi lấy điểm M1 đối xứng với M qua A ta có M1 điểm đóng vai trị điểm M TH1 đó
= + Þ = - = -
-uuuur uur uuur uuur uuuur uur uuur
1 4 4
AM AB AC AM AM AB AC.
*,Bằng cách kết hợp với tích vơ hướng ta có phân tích vectơ
Cách Ta tìm cặp số = +
uuur uur uuur , cho AM
x y x AB y AC.
Ta có: =( + ) = + + = +
uuur2 uur uuur2 uur2 uuur2 uuruuur
2 2
AM x AB y AC x AB y AC 2xy AB AC x 4y
, theo AM = ( )
+ =
2
2 nªn ta cã x y 20 .
Ta có: =
-uur uuur uur
BC AC AB, mà ^ Þ = Û ( - )( + ) =
uuruuur uuur uur uur uuur
0 0
BC AM BCAM AC AB x AB y AC ( )
Û uuur2- uur2 = Û - = Û =
0 4
yAC x AB y x x y Thay (2) vào (1) ta y= ±1,x= ±4.
Vậy = + =-
-uuur uur uuur uuur uur uuur
4 hc AM
AM AB AC AB AC.
Cách Ta dựng hệ trục tọa độ xAy hình vẽ (0; ,) ( ) (1; , 0;2)
A B C
Trước hết ta tìm tọa độ điểm M Gọi M(x y; ) Ta có:
( ) ( ) = -( ) =( )
uur uuur uur uuur
1;0 , 0;2 , BC 1;2 , ;
AB AC AM x y
Theo AM = Þ = + = ( )
3
2 2
2 AM x y 20 .
Mặt khác,
( )
^ Þ uuuruur= Û - + = Û =
0 2
AM BC AM BC x y x y .
Thay (4) vào (3) ta y= ±2;x= ±4 TH1: x =4, y=2 ta có: =( ) = +
uuur uur uuur
4;2 4
AM AB AC
TH2: x = -4, y = -2 ta có: = -( - ) =-
-uuur uur uuur
4; 2 4
AM AB AC
Bài tập áp dụng.
1, Cho tam giác ABC Gọi I điểm đối xứng B qua C, Jlà trung điểm AC, K điểm cạnh AB cho
1 3
AK AB Chứng minh rằng: I,J,K thẳng hang
2, Cho tam giác ABC M,N,P điểm thỏa mãn
1 3
, , 4
6 2
MB MC NC NA PA PQ
Chứng minh AM,BN,CP đồng quy
3, Cho tam giác ABC, AB =1 M điểm thỏa mãn AM 2,MAB450 Hãy phân tích vectơ
theo vµAC
AM AB .
4 Cho tam giác ABC có AB=1,AC=2,
120
A Dựng điểm M cho AMBC AM, 3 Hãy phân tích vectơ
theo vµAC
AM AB .
(5)