Đang tải... (xem toàn văn)
Như vậy, để xác định tâm mặt cầu chứa hai hai đường tròn cắt nhau chính là giao điểm của hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng chứa đường tròn đó tại tâm của[r]
(1)DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT Chuyên đề 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Câu
Cho tứ diện ABCD có AB CD a Gọi M, N trung điểm AD, BC Biết
3 3
12
ABCD
a
V , d AB CD ; a
Xét mệnh đề sau: (1) Góc
, 60
AB CD (2)
2 a MN (3)
3
3 24
MNCD
a
V (4)
2 a MN Có mệnh đề đúng?
A B C D Giải:
Bài toán phụ: Cho tứ diện ABCD Gọi d khoảng cách hai đường thẳng chéo AB CD, góc hai đường thẳng đó Khi thể tích tứ diện ABCD là:
1
.sin
ABCD
V AB CD d
Chứng minh:
Cách 1: Dựng hình hộp AEBF MDNC
(2)Ta có
1
3
1 1
.sin sin
3
ABCD AEBF MDNC MDNC
V V S d
MN CD d AB CD d
Cách 2: Dựng hình bình hành ABCE Khi đó:
A BCD E BCD
V V
(do AE // BCD) (1)
E BCD B ECD
V V (2)
1
,
3
B ECD ECD
V S d B CDE (3)
1
.sin sin
2
ECD
S CE CD ECD AB CD (4)
, ,
d B CDE d AB CD (do AB // CDE) (5) Từ (2), (2), (3), (4), (5) suy sin
6
ABCD
V AB CD d Áp dụng:
Ta có sin .sin
6
ABCD
V AB CD d a a a
Suy sin
hay 600
Gọi P trung điểm BD Khi ta có
2 a MPNP Và MP/ /AB NP/ /CD
(3)DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT TH1: Góc
60
MPN Suy tam giác MNP
2 a MN
TH2: Góc MPN 1200
Áp dụng định lý cosin cho tam giác MNP có:
2 2 2 . .cos
4 MN MP NP MP NP MPN a
Suy
2 a
MN
Câu
Cho hình nón trịn xoay N có đỉnh S đáy hình trịn
tâm O bán kính r nằm mặt phẳng P , đường cao
SO h Điểm O’ thay đổi đoạn SO cho SO x,
0 x h Hình trụ trịn xoay T có đáy thứ hình trịn tâm O bán kính r, 0 r r nằm mặt phẳng P
, đáy thứ hai hình trịn tâm O’ bán kính r’ nằm mặt phẳng Q , Q vng góc với SO O’ ( đường tròn đáy thứ hai T giao tuyến Q với mặt xung quanh N Hãy xác định giá trị x để thể tích phần khơng
gian nằm phía N nằm phía ngồi T
, đạt giá trị nhỏ
A h
x B
3 h
x C
3 h
x D.
(4)Phân tích lời giải: Đề yêu cầu người giải phải biết cơng thức tính thể tích hình nón thể tích hình trụ ngồi cịn phải đọc hiểu đề cách chắn
Giải:
Nhận xét: Thể tích cần tìm phần thể tích nón lớn (đỉnh S đáy đường trịn tâm O bán kính r) trừ nón nhỏ (đỉnh S đáy hình trịn tâm O bán kính r ) trừ thể tích hình trụ
, , ,
2 2
1
3
ct S O S O O O
V V V V
h r x r h x r
Thể tích cần tìm nhỏ
A x r h x r lớn
nhất
3h r khơng đổi Ta có x r r xr
h r h
Do
2
2 2
2
1 2
3 3
x r
A x r h x r r h x h x
h
(5)DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT Xét
2 2
2
2
3
x r x r x r
f x h x
h
h h
, x 0;h
2
2
0
2
; ' x
xr x r
f x f x
x h
h h
Do 0 x h nên f x 0
Do hàm đồng biến 0; h nên nhìn đáp án Chọn câu C
Câu 3:
Cho mặt phẳng (P) chứa hình vng ABCD Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (P) A, lấy điểm M Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (P) C, lấy điểm N (N phía M so với mặt phẳng (P)) Gọi I trung điểm MN Thể tích tứ diện MNBD ln tính cơng thức sau ?
A
3 IBD
V AC S B
3 BDN
V AC S
C
3 BMN
V BD S D
3 MBD
V BD S Phân tích lời giải:
Bài tốn yêu cầu cần chọn xác mặt đáy mặt nào Nếu chọn đường cao BD sau tách khối cần tìm thể tích thành hai khối nhỏ
;
(6)lúc sau đáp án khơng có SOMN Vậy khơng bắt đầu từ AC thử xem ? Tại đề gợi nhắc điểm I chưa sử dụng ? Hãy thử tách khối cần tìm thành khối nhỏ MIBD;NIBD ý tưởng xem xem lợi thế có đáy IBD đáp án có IBD Điều khó hướng đường cao
Giải:
Gọi I trung điểm MN, O tâm hình vng Ta có:
,( ) ,( )
1
3
MNBD MIBD NIBD M IBD IBD N IBD IBD
V V V d S d S
Lại có d M IBD , d N IBD , (do I trung điểm MN)
Do AM/ /IO nên AM/ /IBDd(M IBD;( )) d( ;(A IBD)) AO
Suy
3
MNBD IBD IBD
V AO S AC S
Vậy chọn đáp án A Câu 4:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 60 Gọi M điểm đối 0 xứng C qua D, N trung điểm SC Mặt phẳng BMN chia khối chóp S.ABCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần
A 7
5 B
1
7 C
7
3 D.
(7)DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT Cách xác định thiết diện mặt BMN hình vẽ Ta có E SD MN nên E trọng tâm tam giác SCM Do DF // BC nên F trung điểm BM
Ta có
, 60
SD ABCD SDO
Tính , 2
2
a a
SO SF SO OF
Ta có
2
6
, ;
2
2 SAD
a a
d o SAD OH S SF AD
Lại có
6 MEFD
MNBC
V ME MF MD
V MN MB MC
5 1
,
6 72
BFDCNE MNBC SBC
a
V V d M SAD S
3
1
3
S ABCD ABCD
a
V SO S
3
7
36
SABFEN S ABCD BFDCNE
a
V V V
Suy
5 SABFEN BFDCNE
V
V
Câu
(8)AEFcắt khối lập phương cho thành hai phần, gọi V1
là thể tích khối chứa điểm A V2 thể tích khối chứa điểm C.Khi
2
V V là:
A 25
47 B C
17
25 D
8 17
Phân tích đề bài: Để làm dạng cần tạo thành thiết diện tập xác định thiết diện lớp 11 Cần kéo dài mặt thiết diện khối chóp để kết hợp mặt khối chóp tạo thành tứ diện Sau sử dụng cơng thức tỷ số thể tích tứ diện để thao tác
Giải
Đường thẳng EF cắt A D A B N, M, AN cắt DD tại P, AM cắt BB Q mặt phẳnAEF cắt khối lập phương làm hai phần riêng biệt xác định
1 AA QB EFD P; ABCDC QEFP
V V V V
Gọi V VABCD A B C D. ,V3 VA A MN. ,V4 VPFD N ,V5 VPFD N Do tính đối xứng hình lập phương nên ta cóV4 V5 Nhận thấy :
3
1 3
6 2
a a a
V AA A M A N a
3
1
6 2 72
a a a a V PD D F D N
3
1
25 47
2 ,
72 72
a a
(9)DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
1
25 47
V V
Vậy chọn A
Câu Group Nhóm Tốn 12
Cho hình nón N có đỉnh S, có đáy hình trịn O tâm O, bán kính R Người ta cắt N mặt phẳng P song song với mặt đáy N , thiết diện đường tròn O tâm O bán kính r, P cách mặt đáy đoạn bằng h Gọi phần hình nón gồm P mặt đáy hình nón khối T tích
2
3 b h
Phần đường sinh hình nón giới hạn mặt P mặt đáy bằng a gọi cạnh bên T Tính R theo a, b, h A
2 2
2
1
2
b h a
R a h
B
2 2
2
1
2
b h a
R a h
C
2 2
2
1
2
b h a
R a h
D
2 2
2
1
2
b h a
R a h
(10)“Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần mặt phẳng nằm hình nón hình trịn Phần hình nón nằm mặt phẳng nói trên mặt đáy gọi một hình nón cụt.”
Trong sách giải tích 12 nâng cao, có đề cập đến cơng thức tính thể tích hình chóp cụt:
“Gọi B B diện tích đáy lớn đáy nhỏ hình chóp cụt; h chiều cao (h khoảng cách hai mặt phẳng chứa hai đáy; khoảng cách từ điểm bất kì đáy đến mặt phẳng chứa đáy kai Khi thể tích khối chóp cụt:
3 h
V B B BB ”
Từ thể tích khối chóp chụt, ta tính thể tích khối nón cụt
“Gọi R r h, , bán kính đáy lớn, bán kính đáy nhỏ hình nón cụt Khi thể tích khối nón cụt:
2
h
V R r Rr ”
(11)DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT “(1) Diện tích xung quanh hình nón cụt: Sxq R r l (2) Diệc tích tồn phần
2
tp xq dn dl
S S S S R r R r l ”
Bài toán áp dụng kiến thức để giải áp dụng số kiến thức liên quan khác Chẳng hạn như: Định lý Ta – lét
Giải: Thể tích khối T là:
2 2 2
3
T
h b h
V R r Rr R r Rr b (1) Vấn đề bây giờ, cần biểu diễn r theo a, b, h
Mặt khác, hình nón cụt sinh quay hình thang vng OO AB quay quanh trục OO nên ta có
, , ,
O A r OB R OOh AB a
Gọi H hình chiếu A lên OB Khi ta có OH r HB R r Xét tam giác AHB vuông H nên
2
R r a h
Suy r R a2h2 Thế vào (1)
2
2 2 2
0 R R a h R R a h b
2 2 2 2 2
2
R R R a h a h R R a h b
2 2 2
3R 3R a h a h b
2 2 2 2
9 a h 12 a h b 12b a h
(12)
2 2
2 2
2
3 12
6
1
2
a h b a h
R
b a h
a h
Chọn đáp án B mà không cần làm tiếp nghiệm thứ Câu Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Sở Giáo dục & Đào tạo Nam Định
Cho tứ diện ABCD có ADABC, đáy ABC thỏa mãn điều kiện cot cot cot
2
A B C BC CA AB
AB AC BA BC CA CB
Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên BD BC Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp khối chóp
A BCHK A
3
V B 32
V C
V D
4 3 V
(13)DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT Tập hợp tâm mặt cầu ln chứa đường trịn cố định cho trước đường thẳng d vng góc với mặt phẳng chứa đường trịn tâm
Như vậy, để xác định tâm mặt cầu chứa hai hai đường tròn cắt giao điểm hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng chứa đường trịn tâm hai đường trịn
Đối với tốn hồn tồn xác định hai đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB, AKC hình chóp A.BCKH hai tam giác tam giác vng Như cần từ tâm hai đường trịn đó, kẻ đường thẳng vng góc với tới mặt phẳng chứa hai đường trịn tâm hai đường trịn Giao hai đường thẳng tâm mặt cầu
“Gọi E, F trung điểm AC, AB Kẻ dường thẳng d d, vng góc với AC AB, E, F Do
,
DAd DAd (DAABC) nên dDAC, d DAB Do d d hai đường thẳng mà ta nói Gọi I là giao điểm d d, I tâm mặt cầu chứa hai đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC, AKC
(14)bằng IAR, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC”
Đến lúc này, ta hoàn toàn xác định tâm bán kính Vấn đề cịn lại tính bán kính Chính dựa vào giả thiết đáy ABC thỏa mãn điều kiện
Một số liên kiến thức liên quan tới hệ thức lượng tam giác
“Cho tam giác ABC, gọi AH đường cao, R, r là bán kính ngoại tiếp nội tiếp tam giác, p nửa chu vi Kí
hiệu aBC b, AC c, AB, diện tích S (1) Định lý cosin:
2 2
2 2
2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
(2) Định lý sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
(15)DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
2 2
2
2 2
2
2 2
2 4 a b c
b c a
m
a c b
m
a b c
m
(4) Các cơng thức tính diện tích tam giác
1 1
2 2
1 1
sin sin sin
2 2
4
a b c
S h a h b h c
bc A ac B ab C
abc
pr p p a p b p c R
”
Ngồi ra, cịn số hệ thức lượng nâng cao khác như: “(1) Định lý tan:
tan tan A B a b A B a b ; tan tan
2 ;
tan tan
2
B C C A
b c c a
B C C A
b c c a
(2) Định lý cotan:
2 2 2 2 2
cot ; cot ; cot
4 4
b c a a c b a b c
A B C
S S S
Suy
2 2
cot cot cot
4
a b c
A B C
S
”
Việc chứng minh công thức hệ thức lượng tam giác (nâng cao) dành cho bạn đọc
(16)Việc xác định tâm bán kính nêu trên, khơng nói lại vào thẳng vấn đề xác định bán kính R
Áp dụng định lý cotang cho tam giác ABC ta có:
2 2
cot cot cot
2
8 ABC
A B C BC CA AB
AB AC BA BC CA CB
AB AC BC BC CA AB
S AB AC BA BC CA CB
2 2 2
8 ABC
AB AC BC BC AC AB
S AB AC BC
8
4
ABC
AB AC BC
S AB AC BC AB AC BC R
R
Vậy 32
3
V R
Lưu ý: Học sinh học hệ thức lượng sách giáo khoa lớp 10 (cả nâng cao, lẫn bản) nên việc giải khó khăn
Câu Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Sở Giáo dục & Đào tạo Bắc Ninh
(17)DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT A 3
3
r
B
2
2
3 r
C r
D
2
1
3 r
Giải:
Gọi I I I I1, , ,2 3 4 tâm mặt cầu giả sử I 4 tâm mặt cầu thứ tự đề
Khi ta có I I1 2 I I1 3 I I2 32r (do ba mặt cầu tiếp xúc với nhau) Tương tự có I I4 1 I I4 2I I4 3 2r
Do bốn điểm I I I I1, , ,2 3 4 tạo thành tứ diện cạnh 2r
Gọi G trọng tâm tam giác I I I1 3 1 3 r I G
Gọi hình nón sinh tam giácSOA vuông O với SO đường cao, OA bán kính Khi SO qua điểm
4,
I G
Suy SO SI 4I G GO4 Dễ thấy GO r Bây cần tính SI I G4, 4 theo r
Do I G đường cao tứ diện 4 I I I I nên 1 4
2
4
2
3 r
I G I I I G Như đến loại đáp án A, B
Gọi C D, lầm lượt điểm tiếp xúc mặt cầu
(18)Do I I G1 4 DSI4 mà hai tam giácSDI3 I I G1 4 hai tam giác vuông nên SDI4 I GI4 1
Suy 4
4
1 1
3
.2
2
SI I D I D r
SI I I r r
I I I G I G r
Vậy chọn C Câu 9:
Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi góc tạo SAB , SBC , SCD , SDA với mặt đáy 90 ,60 ,60 ,60 Biết tam giác SAB vng cân S có AB a chu vi tứ giác ABCD 9a Tính thể tích hình chóp S ABCD
A a3 3 B 3
4 a
C 3
9
a D 3
9 a
Phân tích đề tốn: Do mặt SABtạo với đáy góc
vng nên mặt SABvng góc với đáy tam giác SAB
vuông cân nên đường cao từ đỉnh S tam giác SABcũng chiều cao khối chóp Cần nhớ thêm diện tích hình lớn tính tổng hình nhỏ cộng lại
(19)DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Kẻ SH vng góc với
AB tam giác SAB
(H thuộc AB) Từ phân tích đề có H chân đường cao hình chóp S.ABCD
Trong mặt đáy, kẻ
HE vuông với BC E, HF vng góc với CD F, HG vng góc với AD
ở G Từ xác định SEH SFH SGH 60 Do tam giác SAB vng cân S có AB a nên
2 a SH
Từ SH SEH SFH SGH 60 nên
3 a HE HF HG Ta có
1 1
.8
2 2
P ABCD AB BC CD DA a BC CD DA a
a
HE BC HF CD HG AD a
Do
6 a
HE HF HG nên
2
2 3
ABCD
a
S
Thể tích khối chóp
2
3
1 3
3 3
SABCD ABCD
a a
V SH S a
(20)Câu 10 Đề minh họa THPT Quốc gian 2017 – Lần
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R Xét mặt phẳng P thay đổi cắt mặt cầu giao tuyến đường trịn C Hình nón N có đỉnh S nằm mặt cầu, có đáy đường trịn C
và có chiều cao h hR Tính h để thể tích khối nón tạo N có giá trị lớn
A h R 3 B hR C
R
h D
2 R h
Phân tích lời giải: Nhận thấy câu tìm h để thể
tích khối nón đạt giá trị lớn Xuất phát từ đây, bước đầu cần phải xác định thể tích khối nón Bài tốn đặt ra, thể tích lớn nên nghĩ đến tốn tìm cực trị Phương pháp nghĩ đến dùng kiến thức giá trị lớn nhỏ hàm số để tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức thể tích khối nón Muốn làm điều cần phải biến đổi thể tích khối nón biến, lúc xét hàm
Một chút kiến thức phần này:
“(1) Thể tích khối nón có bán kính đáy r, chiều cao h:
2
1 V r h