Ôn tập chương X A Lý thuyết 1 Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu – Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một hoạt động mà ta không thể biết trước được kết quả của nó – Tập hợp tất cả các kết[.]
Ôn tập chương X A Lý thuyết Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu – Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) hoạt động mà ta biết trước kết – Tập hợp tất kết có phép thử ngẫu nhiên gọi khơng gian mẫu, kí hiệu Ω – Chú ý: Trong chương ta xét phép thử mà khơng gian mẫu gồm hữu hạn phần tử Ví dụ: Xúc xắc có mặt đánh số chấm từ chấm đến chấm Không gian mẫu lần tung xúc xắc Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Phép thử: Tung xúc xắc lần có khơng gian mẫu gồm 6.6 = 36 cách xuất mặt xúc xắc Biến cố – Mỗi tập không gian mẫu gọi biến cố, kí hiệu A, B, C, … – Một kết thuộc A gọi kết làm cho A xảy ra, kết thuận lợi cho A – Biến cố chắn biến cố ln xảy ra, kí hiệu Ω – Biến cố biến cố không xảy ra, kí hiệu ∅ – Đơi ta cần dùng quy tắc đếm công thức tổ hợp để xác định số phần tử không gian mẫu số kết thuận lợi cho biến cố Ví dụ: Một nhóm có bạn nam bạn nữ Chọn ngẫu nhiên lúc bạn làm vệ sinh lớp a) Xác định số phần tử không gian mẫu b) Xác định số kết thuận lợi cho biến cố “Chọn bạn nam bạn nữ” Hướng dẫn giải a) Do ta chọn bạn khác từ bạn nhóm khơng tính thứ tự nên số phần tử khơng gian mẫu C52 = 10 b) Chọn bạn nữ từ bạn nữ có C12 = cách chọn; Chọn bạn nam từ bạn nam có C13 = cách chọn Theo quy tắc nhân có tất 2.3 = cách chọn bạn nam bạn nữ từ nhóm bạn Do số kết thuận lợi cho biến cố “Chọn bạn nam bạn nữ” Xác suất biến cố – Giả sử phép thử có khơng gian mẫu Ω gồm hữu hạn kết có khả xảy A biến cố Xác suất biến cố A số, kí hiệu P(A), xác định công thức: P(A) = n (A) n () Trong n(A) n( ) kí hiệu số phần tử tập A Chú ý: + Định nghĩa gọi định nghĩa cổ điển xác suất + Với biến cố A, ≤ P(A) ≤ + P( ) = 1, P(∅) = + Xác suất biến cố đo lường xảy biến cố Biến cố có khả xảy cao xác suất gần Ví dụ: Trong hộp có viên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên hộp viên bi Tính xác suất biến cố A: “Lấy viên bi màu đỏ” Hướng dẫn giải – Tính số phần tử không gian mẫu: Lấy viên bi ngẫu nhiên viên bi có C83 cách Do số phần tử khơng gian mẫu n ( ) = C83 = 56 – Tính số kết thuận lợi cho biến cố A: Lấy viên bi màu đỏ số viên bi màu đỏ có C35 cách Do đó, số kết thuận lợi cho biến cố A n(A) = C35 = 10 Xác suất biến cố A: “Lấy viên bi màu đỏ” là: P(A) = n ( A ) 10 = = n ( ) 56 28 Vậy xác suất biến cố A P(A) = 28 Tính xác suất sơ đồ hình – Trong chương VIII, làm quen với phương pháp sử dụng sơ đồ hình để liệt kê kết thí nghiệm Ta sử dụng sơ đồ hình để tính xác suất Ví dụ: Tung đồng xu cân đối đồng chất lần liên tiếp Tính xác suất biến cố A: “Trong lần tung có lần xuất mặt ngửa” Hướng dẫn giải Kí hiệu S tung mặt sấp, N tung mặt ngửa Các kết xảy lần tung thể sơ đồ hình đây: Có tất kết xảy ra, có kết thuận lợi cho biến cố A Do đó: P(A) = Biến cố đối – Cho A biến cố Khi biến cố “Khơng xảy A”, kí hiệu A , gọi biến cố đối A ( ) A = \ A ; P A + P(A) = Ví dụ: Trong giỏ có cam, táo đào Lấy ngẫu nhiên từ giỏ Tính xác suất để lấy có táo Hướng dẫn giải Gọi A biến cố “Trong lấy có táo” Thì biến cố đối A A : “Trong lấy khơng có táo nào” Ta tính xác suất biến cố A : Lấy tổng số + + = có C94 cách Do đó, số phần tử khơng gian mẫu n ( ) = C94 = 126 Lấy số cam đào có C54 cách ( ) Do đó, số kết thuận lợi cho biến cố A là: n A = C54 = ( ) Xác suất biến cố A là: P A = Suy xác suất biến cố A là: ( ) P(A) = – P A = 121 126 Nguyên lí xác suất bé ( )= n A n () 126 Trong thực tế, biến cố có xác suất xảy gần gần ln xảy phép thử Ngược lại, biến cố mà xác suất xảy gần thi gần không xảy phép thử Trong Lí thuyết Xác suất, Nguyên lí xác suất bé phát biểu sau: Nếu biến cố có xác suất bé phép thử, biến cố khơng xảy Ví dụ: Khi tàu lưu thơng biển, xác suất bị đắm số dương Tuy nhiên, tuân thủ quy tắc an toàn thi xác suất xảy biển cố nhỏ, tàu yên tâm hoạt động Nếu nhà sản xuất tuyên bố tỉ lệ gây sốc phản vệ nặng tiêm loại vắc xin nhỏ, khoảng 0,001, tiêm vắc xin cho người khơng? Câu trả lời khơng, sức khoẻ tính mạng người vơ giá, tiêm loại vắc xin cho hàng tỉ người khả có nhiều người bị sốc phản vệ nặng cao B Bài tập tự luyện Bài Cho tập hợp A gồm số nguyên dương nhỏ 50 Chọn phần tử tập hợp A a) Tìm số phần tử không gian mẫu b) Gọi B biến cố “Phần tử chọn chia hết cho 10” Tính số kết thuận lợi cho biến cố B Hướng dẫn giải a) Liệt kê phần tử tập A: A = {1; 2; 3; …; 50} Dễ dàng thấy A có 50 phần tử Chọn phần tử số 50 phần tử có 50 cách chọn Do khơng gian mẫu có 50 phần tử, = {1; 2; 3; …; 50} b) Các phần tử A chia hết cho 10: {10; 20; 30; 40; 50} Như A có phần tử chia hết cho 10, số phần tử thuận lợi cho biến cố B “Phần tử chọn chia hết cho 10” Bài Trên bàn có táo cam Xác định không gian mẫu phép thử sau: a) Lấy lúc bàn b) Lấy bàn sau bỏ ngồi lấy tiếp Hướng dẫn giải a) Lấy bàn khơng tính thứ tự nên số phần tử không gian mẫu C37 = 35 b) Lấy bàn khơng tính thứ tự nên số cách là: C72 = 21 (cách) Sau bỏ lại Lấy bàn có cách Vậy số phần tử khơng gian mẫu là: 21 = 105 Bài Trong hộp đựng viên bi đỏ, viên bi xanh, 10 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên viên bi a) Tính số phần tử khơng gian mẫu b) Cho biến cố: A: “4 viên bi lấy có hai viên bi màu trắng” B: “4 viên bi lấy có viên bi màu đỏ” Tính số kết thuận lợi biến cố Hướng dẫn giải a) Lấy ngẫu nhiên lúc viên bi + + 10 = 24 viên bi có số cách là: C424 = 10 626 Vậy số phần tử không gian mẫu 10 626 b) • Lấy viên bi màu trắng 10 viên màu trắng có C10 cách Lấy viên bi + = 14 viên bi đỏ xanh có C14 cách Theo quy tắc nhân số phần tử biến cố A: " viên bi lấy có hai viên bi màu 2 trắng" là: C10 C14 = 095 Vậy biến cố A: “4 viên bi lấy có hai viên bi màu trắng” có 4095 kết thuận lợi • Lấy viên bi 18 viên bi xanh, trắng có C18 cách Như biến cố “Lấy viên bi khơng có màu đỏ” có C18 kết thuận lợi Biến cố B: “4 viên bi lấy có viên bi màu đỏ” có số kết thuận lợi là: 10 626 – C18 = 566 Vậy có 7566 kết thuận lợi cho biến cố B Bài Bộ tú lơ khơ có 52 quân Rút ngẫu nhiên quân Tính số kết thuận lợi biến cố: A: “Rút tứ quý K” B: “4 qn rút có Át” Hướng dẫn giải – Trong có tứ quý K nên muốn rút quân tứ q K có cách Vậy số phần tử thuận lợi biến cố A: “Rút tứ quý K” – Ta tìm số kết thuận lợi cho biến cố “Rút qn khơng có qn Át nào” Trong 52 qn có quân Át nên có tất 52 – = 48 quân quân Át Rút qn 48 qn (khơng có Át) có C448 cách Rút quân 52 quân có: C52 cách Như vậy, rút qn có qn Át có số cách là: – C448 = 76 145 C52 Vậy biến cố B: “4 qn rút có Át” có 76 145 kết thuận lợi Bài Trong hộp có 20 viên bi, có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh viên bi màu vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi lấy màu đỏ Hướng dẫn giải Gọi biến cố A: “3 viên bi lấy màu đỏ” Số cách lấy viên bi từ 20 viên bi là: C320 Do số phần tử không gian mẫu là: n ( ) = C320 = 1140 Lấy viên bi màu đỏ từ viên bi đỏ là: C83 Số kết thuận lợi cho biến cố A là: n(A) = C83 = 56 Xác suất biến cố A: “3 viên bi lấy màu đỏ” là: P(A) = n (A) 56 14 = = n ( ) 1140 285 Vậy xác suất để viên bi lấy màu đỏ 14 285 Bài Bạn Nam có ảnh giấy Nam tung ảnh lên để rơi bàn Tính xác suất để sau lần tung ảnh có sấp, ngửa (Tính theo phương pháp sơ đồ hình cây) Hướng dẫn giải Gọi A biến cố “Sau lần tung ảnh có sấp, ngửa” Kí hiệu S Nam tung mặt sấp, N Nam tung mặt ngửa Các kết xảy lần tung thể sơ đồ hình đây: Có tất kết xảy ra, có kết thuận lợi cho biến cố A Do đó: P(A) = Vậy xác suất để sau lần tung ảnh có sấp, ngửa Bài Chọn ngẫu nhiên ba số tự nhiên số tự nhiên từ đến 50 Tính xác suất biến cố B: “Trong ba số có số số phương, hai số cịn lại chia hết cho 5” Hướng dẫn giải Từ đến 50 có 50 số tự nhiên Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên 50 số ta có C350 cách Do số phần tử không gian mẫu là: n ( ) = C350 = 19 600 Từ đến 50 có số phương là: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 (7 số) Từ đến 50 có số chia hết cho là: 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50 (10 số) Chọn số số phương có C17 cách Chọn số 10 số phương có C10 cách Theo quy tắc nhân, số kết thuận lợi cho biến cố B là: n(B) = C17 C10 = 315 Xác suất biến cố B là: P(B) = n ( B) 315 = = n ( ) 19600 560 Vậy xác suất biến cố B: “Trong ba số có số số phương, hai số cịn lại chia hết cho 5” 560 Bài Ngân hàng đề thi mơn Tốn gồm 100 câu hỏi nằm chương I II Thầy giáo chọn 10 câu hỏi để đề Tính xác suất để thầy giáo chọn câu chương I, biết số câu hỏi chương I gấp lần số câu hỏi chương II Hướng dẫn giải Số câu hỏi chương I gấp lần số câu hỏi chương II mà tổng số câu hỏi chương 100 nên số câu hỏi chương I 75 câu số câu hỏi chương II 25 câu Thầy giáo chọn 10 câu hỏi 100 câu hỏi có C10 100 cách Do số phần tử không gian mẫu n ( ) = C10 100 Gọi A biến cố: “Thầy giáo chọn câu chương I” Suy biến cố A là: “Thầy giáo không chọn câu chương I” Chọn 10 câu hỏi 25 câu hỏi chương II có C10 25 cách ( ) Do sối kết thuận lợi cho biến cố A là: n A = C10 25 ( ) Xác suất biến cố A là: P A = ( )= C n A n () 10 25 10 100 C Xác suất biến cố A là: ( ) C10 P(A) = – P A = – 1025 ≈ 0,9999998112 C100 Vậy xác suất để thầy giáo chọn câu chương I khoảng 0,9999998112 ... câu hỏi chương 100 nên số câu hỏi chương I 75 câu số câu hỏi chương II 25 câu Thầy giáo chọn 10 câu hỏi 100 câu hỏi có C10 100 cách Do số phần tử không gian mẫu n ( ) = C10 100 Gọi A biến... chương I” Chọn 10 câu hỏi 25 câu hỏi chương II có C10 25 cách ( ) Do sối kết thuận lợi cho biến cố A là: n A = C10 25 ( ) Xác suất biến cố A là: P A = ( )= C n A n () 10 25 10 100 C Xác suất... Lấy ngẫu nhiên lúc viên bi + + 10 = 24 viên bi có số cách là: C424 = 10 626 Vậy số phần tử khơng gian mẫu 10 626 b) • Lấy viên bi màu trắng 10 viên màu trắng có C10 cách Lấy viên bi + = 14 viên