Ôn tập chương V A Lý thuyết 1 Định nghĩa vectơ Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối + Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là AB , đọc là vectơ AB[.]
Ôn tập chương V A Lý thuyết Định nghĩa vectơ Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa điểm đầu điểm cuối + Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B kí hiệu AB , đọc vectơ AB + Đường thẳng qua hai điểm A B gọi giá vectơ AB + Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài AB kí hiệu AB Như ta có AB = AB Chú ý: Một vectơ khơng cần rõ điểm đầu điểm cuối viết a, b, x, y, Hai vectơ phương, hướng Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng Ví dụ: Tìm vectơ phương hình bên Hướng dẫn giải Trong hình trên, ta có: +) MN có giá đường thẳng MN, PQ có giá đường thẳng PQ, mà hai đường thẳng MN PQ trùng Do MN PQ hai vectơ phương chúng có giá trùng +) Ta có: EF có giá đường thẳng EF, GH có giá đường thẳng GH, mà hai đường thẳng EF GH song song với Do EF GH hai vectơ phương chúng có giá song song Chú ý: + Trong hình trên, hai vectơ MN PQ phương có hướng từ trái sang phải Ta nói MN PQ hai vectơ hướng + Hai vectơ EF GH phương ngược hướng với ( EF có hướng từ xuống GH có hướng từ lên trên) Ta nói hai vectơ EF GH hai vectơ ngược hướng Nhận xét: + Hai vectơ phương hướng ngược hướng + Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng hai vectơ AB AC phương Giải thích: Ta thấy ba điểm A, B, C thẳng hàng hai vectơ AB AC có giá trùng nên chúng phương Ngược lại, hai vectơ AB AC phương ta suy ta hai đường thẳng AB AC phải song song trùng Mà hai đường thẳng có điểm A điểm chung, đường thẳng AB AC trùng Khi ta có ba điểm A, B, C thẳng hàng Vì vậy, ba điểm A, B, C thẳng hàng hai vectơ AB AC phương Vectơ – Vectơ đối Hai vectơ a b gọi chúng hướng có độ dài, kí hiệu a = b Hai vectơ a b gọi đối chúng ngược hướng có độ dài, kí hiệu a = −b Khi vectơ b gọi vectơ đối vectơ a Chú ý: + Cho vectơ a điểm O, ta ln tìm điểm A cho OA = a Khi độ dài a độ dài đoạn thẳng OA, kí hiệu a + Cho đoạn thẳng MN, ta ln có NM = −MN Vectơ-khơng Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng gọi vectơ-khơng, kí hiệu Chú ý: + Quy ước: vectơ-khơng có độ dài + Vectơ-không phương, hướng với vectơ + Mọi vectơ-không nhau: = AA = BB = CC = , với điểm A, B, C, + Vectơ đối vectơ-khơng Tổng hai vectơ Cho hai vectơ a b Từ điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C cho AB = a, BC = b Khi AC gọi tổng hai vectơ a b kí hiệu a + b Vậy a + b = AB + BC = AC Phép tốn tìm tổng hai vectơ gọi phép cộng vectơ Quy tắc ba điểm Với ba điểm M, N, P, ta có MN + NP = MP Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối vectơ thứ phải điểm đầu vectơ thứ hai Quy tắc hình bình hành Nếu OACB hình bình hành ta có OA + OB = OC Tính chất phép cộng vectơ Phép cộng vectơ có tính chất sau: + Tính chất giao hoán: a + b = b + a ( ) ( ) + Tính chất kết hợp: a + b + c = a + b + c + Với a , ta ln có: a + = + a = a Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta xác định tổng ba vectơ a, b, c , kí ( ) hiệu a + b + c với a + b + c = a + b + c Chú ý: Cho vectơ tùy ý a = AB ( ) Ta có a + ( −a ) = AB + −AB = AB + BA = AA = Tổng hai vectơ đối vectơ-không: a + ( −a ) = Hiệu hai vectơ ( ) Cho hai vectơ a b Hiệu hai vectơ a b vectơ a + −b kí hiệu a − b Phép tốn tìm hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có: OB − OA = AB Tính chất vectơ trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB MA + MB = Điểm G trọng tâm tam giác ABC GA + GB + GC = Tích số với vectơ tính chất Cho số k ≠ a Tích số k với a vectơ, kí hiệu ka Vectơ ka hướng với a k > 0, ngược hướng với a k < có độ dài k a Ta quy ước 0a = k0 = Người ta cịn gọi tích số với vectơ tích vectơ với số Tính chất: Với hai vectơ a b bất kì, với số thực h k, ta có: ( ) +) k a + b = ka + kb ; +) ( h + k ) a = + ka ; +) h ( ka ) = ( hk ) a ; +) 1.a = a ; +) ( −1).a = −a 10 Điều kiện để hai vectơ phương Hai vectơ a b ( b ) phương có số k cho a = kb Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k ≠ để AB = kAC Chú ý: Cho hai vectơ a b không phương Với c tồn cặp số thực (m; n) cho c = ma + nb 11 Góc hai vectơ Cho hai vectơ a b khác Từ điểm O ta vẽ OA = a , OB = b Góc AOB với số đo từ 0° đến 180° gọi góc hai vectơ a b ( ) Ta kí hiệu góc hai vectơ a b a, b ( ) Nếu a, b = 90 ta nói a b vng góc với nhau, kí hiệu a ⊥ b Chú ý: ( ) ( ) + Từ định nghĩa, ta có a, b = b, a + Góc hai vectơ hướng khác 0° + Góc hai vectơ ngược hướng khác ln 180° + Trong trường hợp có hai vectơ a b ta quy ước số đo góc hai vectơ tùy ý (từ 0° đến 180°) 12 Tích vơ hướng hai vectơ Cho hai vectơ a b khác Tích vơ hướng a b số, kí hiệu a.b , xác định công thức: ( ) a.b = a b cos a, b Chú ý: a) Trường hợp có hai vectơ a b , ta quy ước a.b = b) Với hai vectơ a b , ta có a ⊥ b a.b = c) Khi a = b tích vơ hướng a.b kí hiệu a gọi bình phương vơ hướng vectơ a Ta có a = a a cos 0 = a Vậy bình phương vơ hướng vectơ ln bình phương độ dài vectơ Chú ý: Trong Vật lí, tích vơ hướng F d biểu diễn công A sinh lực F thực độ dịch chuyển d Ta có cơng thức: A = F.d 13 Tính chất tích vơ hướng Với ba vectơ a, b, c số k, ta có: ( ) a b + c = a.b + a.c ; a.b = b.a ; ( ka ).b = k ( a.b ) = a.( kb ) Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta có: (a + b) = a + 2a.b + b ; ( a + b )( a − b ) = a − b2 B Bài tập tự luyện Bài Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm đoạn BC a) Gọi tên vectơ hướng với BC b) Gọi tên vectơ ngược hướng với BM c) Chỉ cặp vectơ đối có điểm đầu điểm cuối A, B, C, D, M Hướng dẫn giải a) Vectơ-không phương, hướng với vectơ nên hướng với BC Các vectơ hướng với vectơ BC khác vectơ có giá song song trùng với BC có hướng từ xuống giống BC Các vectơ thỏa mãn điều kiện là: BM, MC, AD Vậy có vectơ thỏa mãn yêu cầu toán là: 0, BM, MC, AD b) Vì vectơ-khơng phương, hướng với vectơ nên vectơ đối vectơkhông ngược hướng với BM Vectơ đối vectơ-khơng nên ngược hướng với vectơ BM Các vectơ ngược hướng với BM vectơ có giá song song trùng với BM có hướng ngược lại với BM , nghĩa vectơ cần tìm có hướng lên Các vectơ thỏa mãn điều kiện là: MB, CM, CB, DA Vậy có vectơ thỏa mãn yêu cầu toán là: 0, MB, CM, CB, DA c) - Vì ABCD hình chữ nhật nên AB // CD AB = CD (tính chất hình chữ nhật) Mà hai vectơ AB, DC hướng hai vectơ BA, CD hướng Do AB = DC BA = CD + Tương tự ta có: AD = BC DA = CB + M trung điểm BC nên BM = MC = BC Mà hai vectơ BM, MC hướng hai vectơ MB,CM cúng hướng Do BM = MC MB = CM - AB CD hai vectơ độ dài ngược hướng nên AB = −CD Do AB CD hai vectơ đối Tương tự ta có cặp vectơ đối là: BA DC ; AD CB; DA BC ; BM CM; MB MC Bài Một thuyền trôi theo hướng nam vận tốc 25 km/h, dịng nước chảy theo hướng đơng với vận tốc 10 km/h Tính độ dài vectơ tổng hai vectơ nói (làm trịn kết đến hàng trăm) Hướng dẫn giải Gọi A vị trí thuyền xuất phát Vận tốc thuyền biểu diễn AB Vận tốc dòng nước biểu diễn BC Khi ta có vectơ tổng hai vectơ nói AB + BC = AC Do độ lớn vectơ cần tìm là: AB + BC = AC = AC Vì thuyền trơi theo hướng nam dịng nước chảy theo hướng đơng Nên ta có AB ⊥ BC Ta có độ lớn vận tốc thuyền 25 km/h Suy AB = AB = 25 Ta có độ lớn vận tốc dịng nước 10 km/h Suy BC = BC = 10 Tam giác ABC vuông B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go) ⇔ AC2 = 252 + 102 = 725 ⇒ AC = 29 ≈ 26,93 Vậy độ dài vectơ tổng hai vectơ nói đến xấp xỉ 26,93 (km/h) Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC Hãy biểu thị AM theo hai vecto AB AD Hướng dẫn giải Gọi E điểm đối xứng với A qua M Khi M trung điểm BC AE Suy tứ giác ABEC hình bình hành AB + AC = AE (quy tắc hình bình hành) Mà AE = 2AM (M trung điểm AE) AB + AC = 2AM AM = AB + AC Xét hình bình hành ABCD có: AC = AB + AD (quy tắc hình bình hành) AM = AM = ( AB + AB + AD ) = AB + AB + AD 2AB + AD 2AB AD = + = AB + AD 2 2 Vậy AM = AB + AD Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD O trung điểm MN Chứng minh OA + OB + OC + OD = Hướng dẫn giải Gọi E F điểm đối xứng với O qua M N Suy M trung điểm AB EO; N trung điểm DC OF Khi tứ giác OAEB OCFD hình bình hành OA + OB = OE (quy tắc hình bình hành hình bình hành OAEB) Và OD + OC = OF (quy tắc hình bình hành hình bình hành OCFD) OA + OB + OC + OD = OE + OF Vì O trung điểm MN nên OM = ON, mà OM = ME, ON = MF Do OE = OF hay O trung điểm EF Suy OE + OF = OA + OB + OC + OD = Bài Cho tam giác ABC a) Hãy xác định điểm M để MA + MB + 2MC = b) Chứng minh với điểm O, ta có: OA + OB + 2OC = 4OM Hướng dẫn giải a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC suy GA + GB + GC = Ta có: MA + MB + 2MC = ( ) ( ) ( ) MG + GA + MG + GB + MG + GC = MG + GA + MG + GB + 2MG + 2GC = ( ) ( ) MG + MG + 2MG + GA + GB + GC + GC = 4MG + GC = (vì GA + GB + GC = ) 4MG = −GC −4GM = −GC GM = GC Do vecto GM hướng với vecto GC GM = GC Vậy điểm M nằm G C cho GM = GC ( ) ( ) ( b) Ta có: OA + OB + 2OC = OM + MA + OM + MB + OM + MC = OM + MA + OM + MB + 2OM + 2MC ( ) ( = OM + OM + 2OM + MA + MB + 2MC ) = 4OM + (vì MA + MB + 2MC = ) = 4OM Vậy với điểm O, ta có: OA + OB + 2OC = 4OM Bài Cho tam giác ABC cạnh a trọng tâm G Tính: a) AB.AC b) AG.AB Hướng dẫn giải a) Tam giác ABC nên ta có AB = AC = BC = a BAC = 60 ) ( ) Ta có AB.AC = AB AC cos AB, AC = AB.AC.cos BAC = a.a.cos60 = a2 b) Vì G trọng tâm tam giác ABC Nên AG đường trung tuyến tam giác ABC Do AG đường phân giác đường cao tam giác ABC Ta suy GAB = BAC 60 = = 30 2 Gọi I giao điểm AG BC Ta suy I trung điểm BC Do BI = BC a = 2 Tam giác ABI vuông I: AI2 = AB2 – BI2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go) 2 a 3a AI = a − = 2 AI = a Tam giác ABC có G trọng tâm Ta suy AG = a AI = 3 ( ) a a2 Ta có: AG.AB = AG AB cos AG, AB = AG.AB.cosGAB = a.cos30 = Bài Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh rằng: a) OA + OB + OC + OD = b) DA − DB + DC = c) DO + AO = AB Hướng dẫn giải a) Vì O tâm hình bình hành ABCD nên O trung điểm AC BD (tính chất hình bình hành) Do ta có OA + OC = (1) OB + OD = (2) Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được: OA + OB + OC + OD = + = b) Vì ABCD hình bình hành nên BA // DC BA = DC Mà BA, DC ngược hướng Do BA = −DC Ta suy BA + DC = ... vận tốc thuyền 25 km/h Suy AB = AB = 25 Ta có độ lớn vận tốc dòng nước 10 km/h Suy BC = BC = 10 Tam giác ABC vuông B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go) ⇔ AC2 = 252 + 102 = 7 25 ⇒ AC = 29 ≈... a2 b) Vì G trọng tâm tam giác ABC Nên AG đường trung tuyến tam giác ABC Do AG đường phân giác đường cao tam giác ABC Ta suy GAB = BAC 60 = = 30 2 Gọi I giao điểm AG BC Ta suy I trung điểm BC... BI = BC a = 2 Tam giác ABI vuông I: AI2 = AB2 – BI2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go) 2 a 3a AI = a − = 2 AI = a Tam giác ABC có G trọng tâm Ta suy AG = a AI = 3 ( ) a a2 Ta có: AG.AB =