Đang tải... (xem toàn văn)
Ôn tập chương III A Lý thuyết 1 Hàm số Tập xác định và tập giá trị của hàm số Giả sử x và y là hai đại lượng biến thiên và x nhận giá trị thuộc tập số D Nếu với mỗi giá trị x thuộc D, ta xác định được[.]
Ôn tập chương III A Lý thuyết Hàm số Tập xác định tập giá trị hàm số - Giả sử x y hai đại lượng biến thiên x nhận giá trị thuộc tập số D Nếu với giá trị x thuộc D, ta xác định giá trị tương ứng y thuộc tập hợp số thực ℝ ta có hàm số Ta gọi x biến số y hàm số x Tập hợp D gọi tập xác định hàm số Tập hợp T gồm tất giá trị y (tương ứng với x thuộc D) gọi tập giá trị hàm số Chú ý: + Ta thường dùng kí hiệu f(x) để giá trị y tương ứng với x, nên hàm số viết y = f(x) + Khi hàm số cho công thức mà khơng rõ tập xác định ta quy ước: Tập xác định hàm số y = f(x) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f(x) có nghĩa + Một hàm số cho hai hay nhiều cơng thức Đồ thị hàm số - Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị (C) hàm số tập hợp tất điểm M(x; y) với x ∈ D y = f(x) Chú ý: Điểm M(xM; yM) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) xM ∈ D yM = f(xM) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến - Với hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b), ta nói: + Hàm số đồng biến khoảng (a; b) ∀x1, x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) + Hàm số nghịch biến khoảng (a; b) ∀x1, x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) Nhận xét: + Khi hàm số đồng biến (tăng) khoảng (a; b) đồ thị có dạng lên từ trái sang phải Ngược lại, hàm số nghịch biến (giảm) khoảng (a; b) đồ thị có dạng xuống từ trái sang phải Hàm số bậc hai - Hàm số bậc hai theo biến x hàm số cho công thức có dạng y = f(x) = ax + bx + c với a, b, c số thực a khác Tập xác định hàm số bậc hai ℝ Đồ thị hàm số bậc hai - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = ax + bx + c (với a ≠ 0) parabol (P): + Có đỉnh S với hồnh độ x S = − b , tung độ yS = − ; (Δ = b2 – 4ac) 4a 2a + Có trục đối xứng đường thẳng x = − b (đường thẳng qua đỉnh S song song 2a với trục Oy); + Bề lõm quay lên a > 0, quay xuống a < 0; + Cắt trục tung điểm có tung độ c, tức đồ thị qua điểm có tọa độ (0; c) Chú ý: b + Nếu b = 2b’ (P) có đỉnh S − ; − a a + Nếu phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1; x2 đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c cắt trục hồnh hai điểm có hồnh độ hai nghiệm *Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai: Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (với a ≠ 0): b - Xác định tọa độ đỉnh S − ; − 2a 4a - Vẽ trục đối xứng d đường thẳng x = − b 2a - Tìm tọa độ giao điểm đồ thị với trục tung (điểm A(0; c)) giao điểm đồ thị với trục hồnh (nếu có) b Xác định thêm điểm đối xứng với A qua trục đối xứng d, điểm B − ;c a - Vẽ parabol có đỉnh S, có trục đối xứng d, qua điểm tìm Sự biến thiên hàm số bậc hai - Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (với a ≠ 0), ta có bảng tóm tắt biến thiên hàm số sau: a>0 a 0, hàm số đạt giá trị nhỏ − −b x = hàm số có tập giá trị 4a 2a T = − ; + 4a - Khi a < 0, hàm số đạt giá trị lớn T = −; − 4a Ứng dụng hàm số bậc hai Tầm bay cao bay xa − −b x = hàm số có tập giá trị 4a 2a Trong môn cầu lông, phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân đối phương khơng cầu rơi ngồi biên Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn điểm có tọa độ (0; y 0) điểm xuất phát phương trình quỹ đạo cầu lông rời khỏi mặt vợt là: −g.x y= + tan ( ) x + y0 2v0 cos Trong đó: + g gia tốc trọng trường (thường chọn 9,8 m/s2); + α góc phát cầu (so với phương ngang mặt đất); + v0 vận tốc ban đầu cầu; + y0 khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất Đây hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động cầu lơng parabol Xét trường hợp lặng gió, với vận tốc ban đầu góc phát cầu biết, cầu chuyển động theo quỹ đạo parabol nên sẽ: - Đạt vị trí cao đỉnh parabol, gọi tầm bay cao; - Rơi chạm đất vị trí cách nơi đứng phát cầu khoảng, gọi tầm bay xa B Bài tập tự luyện Bài Tìm tập xác định hàm số sau: a) f ( x ) = 2x + ; b) f ( x ) = + x+3 c) f ( x ) = x + 2022 + x Hướng dẫn giải a) Biểu thức f ( x ) = 2x + có nghĩa ⇔ 2x + ≥ ⇔ 2x ≥ ‒ ⇔ x ≥ − Vậy tập xác định D hàm số D = − ; + b) Biểu thức f ( x ) = + có nghĩa ⇔ x + ≠ ⇔ x ≠ ‒3 x+3 Vậy tập xác định D hàm số D = ℝ\ {‒3} c) Biểu thức y = f ( x ) = x + 2022 + có nghĩa khi: x x + 2022 x −2022 x x Vậy tập xác định hàm số D = [‒2022; +) \{0} Bài Trong hàm số sau đây, hàm số đồng biến, nghịch biến? Tại sao? a) y = f(x) = ‒ 2x + b) y = f(x) = x2 Hướng dẫn giải a) Hàm số y = f(x) = ‒2x + xác định ℝ Xét hai giá trị x1 = x2 = thuộc ℝ, ta có: f(x1) = f(1) = ‒2 + = f(x2) = f(2) = ‒2 + = ‒2 Ta thấy x1 < x2 f(x1) > f(x2) nên hàm số y = f(x) = ‒2x + hàm số nghịch biến ℝ b) Hàm số y = f(x) = x2 xác định ℝ Xét hai giá trị x1 = x2 = thuộc ℝ, ta có: f(x1) = f(1) = 12 = f(x2) = f(2) = 22 = Ta thấy x1 < x2 f(x1) < f(x2) nên hàm số y = f(x) = x2 hàm số đồng biến ℝ Bài Tìm tập xác định vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = |2x + 3| Hướng dẫn giải Tập xác định hàm số D = ℝ 2x + Ta có: y = |2x + 3| = −2x − Ta vẽ đồ thị y = 2x + với x − 3 x nên ta có bảng biến thiên sau: x ‒∞ ‒2 +∞ +∞ +∞ f(x) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ x = ‒2 Bài Một người tập chơi cầu lơng có khuynh hướng phát cầu với góc 45 độ so với mặt đất a) Hãy tính khoảng cách từ vị trí người phát cầu đến vị trí cầu chạm đất, biết cầu rời vợt độ cao 0,9 m so với mặt đất vận tốc ban đầu cầu m/s (bỏ qua sức cản gió quỹ đạo cầu mặt phẳng thẳng đứng, gia tốc trọng trường 9,8 m/s2) b) Giả thiết câu a cho biết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới m Lần phát cầu có hỏng khơng? Cho biết mép lưới cách mặt đất 1,524 m Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ với vị trí rơi cầu thuộc trục hồnh vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung Với g = 9,8 m/s2, góc phát cầu α = 45o, vận tốc ban đầu cầu v0 = m/s, phương trình quỹ đạo cầu là: −g.x y= + tan ( ) x + y0 2v0 cos −9,8.x = + tan 45.x + 0,9 2.92.cos 45 = −9,8.x 2.92 2 =− + 1.x + 0,9 49 x + x + 0,9 (với x ≥ 0) 405 Vị trí cầu rơi chạm đất giao điểm parabol trục hoành nên y = Giải phương trình y = ⇔ − 49 x + x + 0,9 = ta nghiệm x1 ≈ 9,08 (thỏa 405 mãn) x2 ≈ - 0,82 (không thỏa mãn) Giá trị nghiệm cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi đến vị trí cầu rơi chạm đất 9,08 m b) Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, bên mặt lưới điểm rơi không khỏi đường biên phía bên sân đối phương lần phát cầu xem hợp lệ Ta cần so sánh tung độ điểm quỹ đạo (có hồnh độ khoảng cách từ gốc tọa độ đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép lưới để tìm câu trả lời Khi x = 3, ta có y = − 49 + + 0,9 ≈ 2,81 m > 1,524 m 405 Như lần phát cầu thỏa mãn qua lưới Ta có: Điểm bên cách vị trí phát: + 1,98 = 4,98m Điểm bên ngồi cách vị trí phát: + 6,7 = 9,7 m Do vị trí cầu rơi chạm đất 9,08 m, nằm khoảng điểm điểm nên lần phát cầu hợp lệ Vậy với vận tốc xuất phát cầu m/s lần phát hợp lệ Bài Cho vật rơi từ cao xuống với vận tốc ban đầu m/s Viết hàm số biểu thị quãng đường rơi s theo thời gian t vẽ đồ thị hàm số đó, lúc t = 5s vật rơi mét, biết g = 10m/s2, hệ trục tọa độ chọn mốc từ lúc vật bắt đầu rơi, gốc tọa độ vật thời điểm bắt đầu rơi Hướng dẫn giải Gọi vận tốc ban đầu vật v0 = m/s Do vật rơi nên vật chuyển động nhanh dần Suy hàm số biểu thị quãng đường rơi s theo thời gian t là: s = s0 + v0t + gt Ta thấy hệ trục tọa độ chọn mốc từ lúc vật bắt đầu rơi, gốc tọa độ vật thời điểm bắt đầu rơi nên s0 = 0, thời gian đại lượng không âm nên t ≥ Ta vẽ đồ thị hàm số: s = f(t) = 5t + 5t2 Đồ thị hàm số s = f(t) = 5t + 5t2 hệ trục tọa độ Oxy (trục Oy thay cho Os, Ox thay cho Ot) Parabol có đỉnh S(-0,5; -1,25), trục đối xứng x = -0,5, qua điểm (0; 0) (-1; 0) Đồ thị hàm số: s = f(t) = 5t + 5t2 với t ≥ ta lấy phần x ≥ (P) nên ta có phần đồ thị nét liền hình vẽ Khi t = vật rơi quãng đường là: s = f(5) = 5 + 52 = 150 (m) Vậy sau 5s vật rơi 150 m Bài 10 Một lớp muốn thuê xe khách cho chuyến tham quan với tổng đoạn đường cần di chuyển khoảng từ 300 km đến 450 km, có hai cơng ty tiếp cận để tham khảo giá Cơng ty A có giá khởi đầu 3,5 triệu đồng cộng thêm 000 đồng cho ki-lơ-mét chạy xe Cơng ty B có giá khởi đầu 2,75 triệu đồng cộng thêm 500 đồng cho ki-lơ-mét chạy xe Lớp nên chọn cơng ty để chi phí thấp nhất? Hướng dẫn giải: Đổi 3,5 triệu đồng = 500 000 đồng; 2,75 triệu đồng = 750 000 đồng Gọi x (km) tổng đoạn đường cần di chuyển lớp (300 ≤ x ≤ 450) y chi phí lớp phải trả cho việc thuê xe Ta có với giá trị x có giá trị y nên y hàm số x Đối với cơng ty A, ta có số tiền cần trả biểu diễn theo hàm số: yA = 500 000 + 5000x Vì 300 ≤ x ≤ 450 nên 000 000 ≤ 500 000 + 5000x ≤ 750 000 hay 000 000 ≤ y A ≤ 750 000 Đối với công ty B, ta có số tiền cần trả biểu diễn theo hàm số: yB = 750 000 + 7500x Vì 300 ≤ x ≤ 450 nên 000 000 ≤ 750 000 + 7500x ≤ 125 000 hay 000 000 ≤ y B ≤ 125 000 Ta thấy khoảng chi phí cho việc thuê xe cơng ty A thấp so với khoảng chi phí cho việc thuê xe công ty B với số ki – lô – mét di chuyển Vậy để chi phí thấp lớp nên chọn xe công ty A Bài 11 Khi du lịch đến thành phố St.Louis (Mỹ), ta thấy cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, cổng Arch Giả sử ta lập hệ tọa độ Oxy cho chân cổng qua gốc O hình vẽ (x y tính mét), chân cổng có vị trí tọa độ (162; 0) Biết điểm M cổng có tọa độ (10; 43) Tính chiều cao cổng (tính từ điểm cao cổng xuống mặt đất), làm tròn kết đến hàng đơn vị Hướng dẫn giải: Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy: Cổng Arch có dạng hình parabol nên có dạng: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) (1) Ta có parabol qua gốc tọa độ O(0; 0), điểm M(10; 43) điểm có tọa độ (162; 0) Vì điểm O(0; 0) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = y = vào đồ thị hàm số (1) ta được: = a 02 + b + c ⇔ c = Vì điểm M(10; 43) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 10 y = 43 vào đồ thị hàm số (1) ta được: 43 = a.102 + b.10 + c ⇔ 100a + 10b = 43 (do c = 0) Vì điểm có tọa độ (162; 0) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 162 y = vào đồ thị hàm số (1) ta được: = a.1622 + b 162 + c ⇔ 26 244a + 162b = hay 162a + b = 100a + 10b = 43 100a + 10b = 43 Khi ta có hệ phương trình: 162a + b = b = −162a 100a + 10 ( −162a ) = 43 100a + 10 ( −162a ) = 43 b = − 162a b = −162a 43 a = − 1520 b = 3483 760 ... (1) ta được: = a.1622 + b 162 + c ⇔ 26 244a + 162b = hay 162a + b = ? ?100 a + 10b = 43 ? ?100 a + 10b = 43 Khi ta có hệ phương trình: 162a + b = b = −162a ? ?100 a + 10 ( −162a ) = 43 ? ?100 a + 10. .. được: = a 02 + b + c ⇔ c = Vì điểm M (10; 43) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 10 y = 43 vào đồ thị hàm số (1) ta được: 43 = a .102 + b .10 + c ⇔ 100 a + 10b = 43 (do c = 0) Vì điểm có tọa độ (162;... 0) B(0; 3) Ta có đồ thị sau: Tương tự ta có đồ thị hàm số y = f(x) = - 2x - với x < - phần đồ thị nằm bên trục Ox qua điểm C(-2; 1) D( -3; 3) Kết hợp đồ thị ta có đồ thị hàm số y = |2x + 3| phần