Bài tập cuối chương VII A Lý thuyết 1 Tam thức bậc hai – Đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c là các hệ số, a ≠ 0 và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax[.]
Bài tập cuối chương VII A Lý thuyết Tam thức bậc hai – Đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c hệ số, a ≠ x biến số gọi tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Khi thay x giá trị x0 vào f(x), ta f ( x ) = ax 02 + bx + c, gọi giá trị tam thức bậc hai x0 • Nếu f(x0) > ta nói f(x) dương x0 • Nếu f(x0) < ta nói f(x) âm x0 • Nếu f(x) dương (âm) điểm x thuộc khoảng đoạn ta nói f(x) dương (âm) khoảng đoạn Ví dụ: Biểu thức sau tam thức bậc hai? Nếu tam thức bậc hai, xét dấu x = a) f(x) = x2 + 2x4 – 2; b) f(x) = –x2 + 2x – 3; c) f(x) = 3x2 – x Hướng dẫn giải a) Biểu thức f(x) = x2 + 2x4 – khơng phải tam thức bậc hai có chứa x4 b) Biểu thức f(x) = –x2 + 2x – tam thức bậc hai với a = –1, b = c = –3 Khi x = ta có: f(3) = –32 + 2.3 – = = –9 + – = –6 < Do f(x) âm x = c) Biểu thức f(x) = 3x2 – x tam thức bậc hai với a = 3, b = − c = Khi x = ta có: f(3) = 3.32 – = 27 – > Do f(x) dương x = – Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Khi đó: • Nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c nghiệm f(x) b • Biểu thức ∆ = b – 4ac = − ac biệt thức biệt thức rút gọn 2 f(x) Ví dụ: Tìm biệt thức (hoặc biệt thức thu gọn) nghiệm (nếu có) tam thức bậc hai sau: a) f(x) = x2 + 2x – 5; b) f(x) = = –3x2 + 18x – 27; c) f(x) = x + x2 + Hướng dẫn giải a) f(x) = x2 + 2x – có ∆' = 12 – 1.(–5) = > Do f(x) có hai nghiệm phân biệt là: x1 = −1 + x = −1 − Vậy tam thức bậc hai cho có hai nghiệm x1 = −1 + x = −1 − b) f(x) = –3x2 + 18x – 27 f(x) có ∆' = 92 – (‒3).(–27) = Do f(x) có nghiệm kép x = −9 =3 −3 Vậy tam thức bậc hai cho có nghiệm x = c) f(x) = x + x2 + = x2 + x + f(x) có ∆ = 12 – 4.1.1 = –3 < Do f(x) vô nghiệm Vậy tam thức bậc hai cho vơ nghiệm Định lí dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) + Nếu ∆ < f(x) dấu với a với giá trị x + Nếu ∆ = x = − b nghiệm kép f(x) f(x) dấu với a với x 2a khác x0 + Nếu ∆ > x1, x2 hai nghiệm f(x) (x1 < x2) thì: • f(x) trái dấu với a với x khoảng (x1; x2); • f(x) dấu với a với x thuộc hai khoảng (–∞; x1), (x2; +∞) Chú ý: + Để xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0), ta thực bước sau: Bước 1: Tính xác định dấu biệt thức ∆; Bước 2: Xác định nghiệm f(x) (nếu có); Bước 3: Xác định dấu hệ số a; Bước 4: Xác định dấu f(x) + Khi xét dấu tam thức bậc hai, ta dùng biệt thức thu gọn ∆' thay cho biệt thức ∆ Ví dụ: Xét dấu tam thức bậc hai sau: a) f(x) = 3x2 + 6x – 9; b) f(x) = –2x2 + 8x + 10; c) f(x) = 4x2 + 8x + 4; d) f(x) = –3x2 + 2x – Hướng dẫn giải a) f(x) = 3x2 + 6x – f(x) có a = > ∆' = 32 – 3.(–9) = 36 > Khi f(x) có hai nghiệm phân biệt là: x1 = −3 + 36 −3 − 36 = x = = −3 3 Ta có bảng xét dấu f(x) sau: x –∞ f(x) –3 + – Vậy, f(x) dương khoảng (–∞; –3) (1; +∞); f(x) âm khoảng (–3; 1) +∞ + b) f(x) = –2x2 + 8x + 10 f(x) có a = –2 < ∆' = 42 – (–2).10 = 36 > Khi f(x) có hai nghiệm phân biệt là: x1 = −4 + 36 −4 − 36 =5 = −1 x = −2 −2 Ta có bảng xét dấu f(x) sau: x –∞ f(x) –1 – +∞ + – Vậy, f(x) âm khoảng (–∞; –1) (5; +∞); f(x) dương khoảng (–1; 5) c) f(x) = 4x2 + 8x + f(x) có a = > ∆' = 42 – 4.4 = Khi f(x) có nghiệm kép x = −4 = −1 Vậy, f(x) dương với x ≠ –1 d) f(x) = –3x2 + 2x – f(x) có a = –3 < ∆' = 12 – (–3).(–1) = –2 < Vậy f(x) âm với x ∈ ℝ Giải bất phương trình bậc hai ẩn – Bất phương trình bậc hai ẩn x bất phương trình có dạng: ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c > 0, với a ≠ Nghiệm bất phương trình bậc hai giá trị biến x mà thay vào bất phương trình ta bất đẳng thức Ví dụ: Bất phương trình sau bất phương trình bậc hai ẩn? Nếu bất phương trình bậc hai ẩn, x = –2 x = có phải nghiệm bất phương trình hay khơng? a) 2x2 – 7x – 15 < 0; b) – 2x2 + x3 > 0; c) x2 – 4x + ≥ Hướng dẫn giải a) 2x2 – 7x – 15 < Bất phương trình bất phương trình bậc hai ẩn dạng ax2 + bx + c < với a = 2, b = –7, c = –15 • Với x = –2 thay vào bất phương trình ta có: 2.(–2)2 – 7.(–2) – 15 < < Đây bất đẳng thức sai Do x = –2 khơng nghiệm bất phương trình • Với x = thay vào bất phương trình ta có: 2.32 – 7.3 – 15 < –18 < Đây bất đẳng thức Do x = nghiệm bất phương trình b) – 2x2 + x3 > Bất phương trình khơng bất phương trình bậc hai ẩn có chứa x3 c) x2 – 4x + ≥ Bất phương trình bất phương trình bậc hai ẩn dạng ax2 + bx + c ≥ với a = 1, b = –4, c = • Với x = –2 thay vào bất phương trình ta có: (–2)2 – 4.(–2) + ≥ 15 ≥ Đây bất đẳng thức Do x = –2 nghiệm bất phương trình • Với x = thay vào bất phương trình ta có: 32 – 4.3 + ≥ ≥ Đây bất đẳng thức Do x = nghiệm bất phương trình – Giải bất phương trình bậc hai tìm tập hợp nghiệm bất phương trình Ta giải bất phương trình bậc hai cách xét dấu tam thức bậc hai tương ứng Ví dụ: Giải bất phương trình sau: a) x2 – 3x + < 0; b) –2x2 + 3x – ≥ Hướng dẫn giải a) x2 – 3x + < Xét tam thức bậc hai f(x) = x2 – 3x + Ta có ∆ = (–3)2 – 4.1.2 = > Do f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = x2 = Vì a = > nên ta có bảng xét dấu f(x) sau: x –∞ f(x) + +∞ – + Dựa vào bảng xét dấu f(x) < x ∈ (1; 2) Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm (1; 2) b) –2x2 + 3x – ≥ Xét tam thức bậc hai f(x) = –2x2 + 3x – Ta có ∆ = 32 – 4.(–2).(–7) = –47 < Mặt khác a = –2 < Do f(x) < với x Khi khơng có giá trị x thỏa mãn f(x) ≥ Vậy bất phương trình cho vơ nghiệm Phương trình dạng Để giải phương trình ax + bx + c = dx + ex + f ax + bx + c = dx + ex + f , ta làm sau: Bước 1: Bình phương hai vế phương trình để phương trình: ax2 + bx + c = dx2 + ex + f Bước 2: Giải phương trình nhận Bước Bước 3: Thử lại xem giá trị x tìm Bước có thoả mãn phương trình cho hay khơng kết luận nghiệm Ví dụ: Giải phương trình sau: x + 3x − = x + Hướng dẫn giải x + 3x − = x + (1) Bình phương hai vế phương trình (1) ta có: x2 + 3x – = x + x2 + 2x – = x = x = –3 • Với x = thay vào phương trình (1) ta được: 12 + 3.1 − = + = (đúng) Do x = nghiệm phương trình (1) • Với x = –3 ta thấy x + = –3 +1 = –2 < nên khơng tồn x + Do x = –3 khơng nghiệm phương trình (1) Vậy phương trình cho có nghiệm x = Phương trình dạng Để giải phương trình ax + bx + c = dx + e ax + bx + c = dx + e, ta làm sau: Bước 1: Bình phương hai vế phương trình để phương trình: ax2 + bx + c = dx +e Bước 2: Giải phương trình nhận Bước Bước 3: Thử lại xem giá trị x tìm Bước có thoả mãn phương trình cho hay khơng kết luận nghiệm Ví dụ: Giải phương trình sau: + 2x − x = x − Hướng dẫn giải + 2x − x = x − (2) Bình phương hai vế phương trình (2) ta có: + 2x – x2 = (x – 2)2 + 2x – x2 = x2 – 4x + 2x2 – 6x = 2x(x – 3) = x = x = • Với x = thay vào phương trình (2) ta được: + 2.0 − 02 = − = –2 (vơ lí) Do x = khơng nghiệm phương trình (2) • Với x = thay vào phương trình (2) ta được: + 2.3 − 32 = − = (đúng) Do x = nghiệm phương trình (1) Vậy phương trình cho có nghiệm x = ... khơng? a) 2x2 – 7x – 15 < 0; b) – 2x2 + x3 > 0; c) x2 – 4x + ≥ Hướng dẫn giải a) 2x2 – 7x – 15 < Bất phương trình bất phương trình bậc hai ẩn dạng ax2 + bx + c < với a = 2, b = ? ?7, c = –15 • Với... dương khoảng (–∞; –3) (1; +∞); f(x) âm khoảng (–3; 1) +∞ + b) f(x) = –2x2 + 8x + 10 f(x) có a = –2 < ∆'' = 42 – (–2) .10 = 36 > Khi f(x) có hai nghiệm phân biệt là: x1 = −4 + 36 −4 − 36 =5 = −1 x... Vậy tam thức bậc hai cho có hai nghiệm x1 = −1 + x = −1 − b) f(x) = –3x2 + 18x – 27 f(x) có ∆'' = 92 – (‒3).(– 27) = Do f(x) có nghiệm kép x = −9 =3 −3 Vậy tam thức bậc hai cho có nghiệm x = c)