Bài 1 Tọa độ của vectơ A Lý thuyết 1 Tọa độ của vectơ đối với một hệ trục tọa độ 1 1 Trục tọa độ Trục tọa độ (gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O (gọi là điểm gốc) và mộ[.]
Bài Tọa độ vectơ A Lý thuyết Tọa độ vectơ hệ trục tọa độ 1.1 Trục tọa độ Trục tọa độ (gọi tắt trục) đường thẳng xác định điểm O (gọi điểm gốc) vectơ e có độ dài gọi vectơ đơn vị trục Ta kí hiệu trục ( O;e ) e O 1.2 Hệ trục tọa độ ( ( ) gốc O chung hai trục gọi gốc tọa độ Trục ( O; i ) gọi trục hồnh kí hiệu Ox, trục ( O; j ) gọi trục tung kí hiệu Oy Các vectơ i j vectơ đơn vị Ox Oy Hệ trục tọa độ ( O; i, j ) kí hiệu Oxy ) ( ) Hệ trục tọa độ O; i, j gồm hai trục O; i O; j vng góc với Điểm Chú ý: Mặt phẳng mà cho hệ trục tọa độ Oxy gọi mặt phẳng tọa độ Oxy, hay gọi tắt mặt phẳng Oxy 1.3 Tọa độ vectơ Trong mặt phẳng Oxy, cặp số (x; y) biểu diễn a = x i + yj gọi tọa độ vectơ a , kí hiệu a = ( x; y ) , x gọi hoành độ, y gọi tung độ vectơ a Ví dụ: +) Cho a = 3i + j Ta có cặp số (3; 2) tọa độ vectơ a Ta kí hiệu a = ( 3;2 ) Trong hoành độ vectơ a tung độ vectơ a +) Cho p = −5 j = 0i − j Ta có cặp số (0; –5) tọa độ vectơ p Ta kí hiệu p = ( 0; −5) Trong hồnh độ vectơ p –5 tung độ vectơ p Chú ý: • a = ( x; y ) a = xi + yj x = x • Nếu cho a = ( x; y ) b = ( x; y ) a = b y = y Ví dụ: +) Ta có h = ( −1;7 ) h = −1.i + j = − i + j x = +) Ta có a = ( x; y ) b = ( 2; −4 ) Khi a = b y = − Nghĩa là, a = ( 2; −4 ) 1.4 Tọa độ điểm Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm M tùy ý Tọa độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M Nhận xét: • Nếu OM = ( x; y ) cặp số (x; y) tọa độ điểm M, kí hiệu M(x; y), x gọi hồnh độ, y gọi tung độ điểm M • M(x; y) OM = x i + yj Ví dụ: +) Nếu OM = ( −3;8) cặp số (–3; 8) tọa độ điểm M Ta kí hiệu M(–3; 8) Trong –3 hồnh độ điểm M tung độ điểm M +) Cho điểm M(4; 9) OM = 4i + j Chú ý: Hoành độ điểm M cịn kí hiệu xM, tung độ điểm M cịn kí hiệu yM Khi ta viết M(xM; yM) Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm M, N, P biểu diễn hình bên a) Hãy biểu diễn vectơ OM, ON, OP qua hai vectơ i j b) Tìm tọa độ vectơ m,n,p điểm M, N, P Hướng dẫn giải a) Ta có: +) OM = 3i + j +) ON = −3i + j +) OP = 0i − j Vậy OM = 3i + j , ON = −3i + j , OP = 0i − j b) Từ kết câu a), ta có: +) OM = 3i + j OM = ( 3;3) m = OM = ( 3;3) M(3; 3) +) ON = −3i + j ON = ( −3;2 ) n = ON = ( −3;2 ) N(–3; 2) +) OP = 0i − j OP = ( 0; −2 ) p = OP = ( 0; −2 ) P(0; –2) Vậy m = ( 3;3) , n = ( −3;2 ) , p = ( 0; −2 ) M(3; 3), N(–3; 2), P(0; –2) Biểu thức tọa độ phép toán vectơ Cho hai vectơ a = ( a1;a ) , b = ( b1;b2 ) số thực k Khi đó: (1) a + b = ( a1 + b1;a + b2 ) ; (2) a − b = ( a1 − b1;a − b2 ) ; (3) ka = ( ka1;ka ) ; (4) a.b = a1.b1 + a b Ví dụ: Cho hai vectơ a = (10; −8) , b = ( 2;5) a) Tìm tọa độ vectơ a + b , a − b , 2a , a + 4b ( ) b) Tính tích vơ hướng a.b , 2a −4b Hướng dẫn giải a) Với a = (10; −8) , b = ( 2;5) ta có: +) a + b = (10 + 2; −8 + 5) = (12; −3) ; +) a − b = (10 − 2; −8 − 5) = (8; −13) ; +) 2a = ( 2.10;2.( −8) ) = ( 20; −16 ) ; +) 4b = ( 4.2;4.5) = (8;20 ) Ta suy a + 4b = (10 + 8; −8 + 20 ) = (18;12 ) Vậy a + b = (12; −3) , a − b = (8; −13) , 2a = ( 20; −16 ) , a + 4b = (18;12 ) b) Với a = (10; −8) , b = ( 2;5) ta có: +) a.b = 10.2 + ( −8).5 = 20 − 40 = −20 ; +) Từ kết câu a), ta có 2a = ( 20; −16 ) 4b = (8;20 ) Ta suy 2a = ( 20; −16 ) −4b = ( −8; −20 ) ( ) Khi ta có 2a −4b = 20.( −8) + ( −16 ).( −20 ) = −160 + 320 = 160 ( ) Vậy a.b = −20 2a −4b = 160 Áp dụng tọa độ vectơ 3.1 Liên hệ tọa độ điểm tọa độ vectơ mặt phẳng Cho hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) Ta có: AB = ( x B − x A ; yB − yA ) Ví dụ: Cho ba điểm A(2; 5), B(–1; 1), C(5; –7) Tìm tọa độ vectơ AC, CB, BA Hướng dẫn giải Với A(2; 5), B(–1; 1), C(5; –7) ta có: • AC = ( x C − x A ; yC − yA ) = ( − 2; −7 − ) = (3; −12 ) • CB = ( x B − x C ; y B − yC ) = ( −1 − 5;1 − ( −7 ) ) = ( −6;8 ) • BA = ( x A − x B ; y A − y B ) = ( − ( −1) ;5 − 1) = ( 3;4 ) Vậy AC = ( 3; −12 ) , CB = ( −6;8) , BA = ( 3;4 ) 3.2 Tọa độ trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác Cho hai điểm A(xA; yA) B(xB; yB) Tọa độ trung điểm M(xM; yM) đoạn thẳng AB là: xM = xA + xB y + yB , yM = A 2 Cho ∆ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC) Tọa độ trọng tâm G(xG; yG) tam giác ABC là: xG = xA + xB + xC y + y B + yC , yG = A 3 Ví dụ: Cho ∆DEF có tọa độ đỉnh D(3; 1), E(5; 8), F(9; 4) a) Tìm tọa độ trung điểm H cạnh EF b) Tìm tọa độ trọng tâm G ∆DEF Hướng dẫn giải a) Với E(5; 8), F(9; 4): Vì H trung điểm cạnh EF xE + xF + x = = =7 H 2 Ta suy y = yE + yF = + = M 2 Vậy H(7; 6) b) Với D(3; 1), E(5; 8), F(9; 4): Vì G trọng tâm ∆DEF x D + x E + x F + + 17 x = = = G 3 Ta suy y = y D + y E + y F = + + = 13 G 3 17 13 Vậy G ; 3 3.3 Ứng dụng biểu thức tọa độ phép toán vectơ Cho hai vectơ a = ( a1;a ) , b = ( b1;b2 ) hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) Ta có: • a ⊥ b a1b1 + a 2b = ; • a b phương ⇔ a1b2 – a2b1 = 0; • a = a12 + a 22 ; • AB = ( x B − x A ) + ( yB − yA ) ( ) • cos a,b = a.b a.b = ; a1b1 + a b a12 + a 22 b12 + b 22 ( a,b khác ) Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆MNP có M(2; 1), N(–3; –2), P(7; –8) a) Tìm tọa độ H chân đường cao ∆MNP kẻ từ N b) Giải tam giác MNP Hướng dẫn giải M H N a) Với M(2; 1), N(–3; –2), P(7; –8) Gọi H(x; y) Ta có: +) NH = ( x − ( −3) ; y − ( −2 ) ) = ( x + 3; y + ) P +) MH = ( x − 2; y − 1) +) MP = ( − 2; −8 − 1) = ( 5; −9 ) Vì H(x; y) chân đường cao ∆MNP kẻ từ N nên ta có NH ⊥ MP Ta suy NH ⊥ MP Do NH.MP = ⇔ (x + 3).5 + (y + 2).( –9) = ⇔ 5x – 9y – = (1) Ta thấy hai vectơ MH, MP phương ⇔ (x – 2).( –9) – (y – 1).5 = ⇔ –9x – 5y + 23 = (2) 24 x = 5x − 9y − = Từ (1), (2), ta có hệ phương trình: −9x + 5y + 23 = y = 11 24 11 Vậy H ; 7 b) Với M(2; 1), N(–3; –2), P(7; –8) ta có: +) MN = ( −5; −3) NM = ( 5;3) MN = MN = ( −5) + ( −3) 2 = 34 +) MP = ( 5; −9 ) MP = MP = 52 + ( −9 ) = 106 +) NP = (10; −6 ) NP = NP = 102 + ( −6 ) = 34 ( ) MN.MP −5.5 + ( −3) ( −9 ) = 0,033 MN.MP 34 106 ) NM.NP 5.10 + 3.( −6 ) = = NM.NP 17 34.2 34 +) cos M = cos MN, MP = Suy M 887 ( +) cos N = cos NM, NP = Suy N 6156 +) Ta có M + N + P = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) P = 180 − M − N 180 − 887 − 6156 = 2957 Vậy MN = 34, MP = 106, NP = 34, M 887, N 6155, P 2957 B Bài tập tự luyện Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho a = 2i + j , b = 3i + j , c = i + j a) Tìm tọa độ vectơ a, b, c b) Tìm tọa độ u , với u = 2a − 3b + c c) Tìm tọa độ v , với v + a = b − c d) Tìm số thực h, k cho c = ka + hb Hướng dẫn giải a) Ta có: +) a = 2i + j a = ( 2;1) ; +) b = 3i + j b = ( 3;4 ) ; +) c = i + j c = ( 7;2 ) Vậy a = ( 2;1) , b = ( 3;4 ) , c = ( 7;2 ) b) Ta có: +) 2a = ( 2.2;2.1) = ( 4;2 ) +) 3b = ( 3.3;3.4 ) = ( 9;12 ) Ta suy 2a − 3b = ( − 9;2 − 12 ) = ( −5; −10 ) Khi ta có u = 2a − 3b + c = ( −5 + 7; −10 + ) = ( 2; −8) Vậy u = ( 2; −8) c) Ta có b − c = ( − 7;4 − ) = ( −4;2 ) Khi ta có b − c − a = ( −4 − 2;2 − 1) = ( −6;1) Theo đề, ta có: v + a = b − c v = b − c − a = ( −6;1) Vậy v = ( −6;1) d) Ta có: +) ka = ( 2k;k ) ; +) hb = ( 3h;4h ) Suy ka + hb = ( 2k + 3h;k + 4h ) Ta có c = ka + hb 22 k = 7 = 2k + 3h 2 = k + 4h h = − Vậy k = 22 ,h = − thỏa yêu cầu toán 5 Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC biết A(–3; 2), B(4; 3) điểm C nằm trục Ox a) Tìm tọa độ trọng tâm G ∆ABC điểm C, biết G nằm trục Oy b) Giải ∆ABC c) Tìm tọa độ trực tâm H ∆ABC Hướng dẫn giải a) Vì C nằm trục Ox nên ta có tọa độ C(xC; 0) Vì G nằm trục Oy nên ta có tọa độ G(0; yG) Ta có G trọng tâm ∆ABC xA + xB + xC −3 + + x C x = = x C = −1 G 3 Ta suy y + y + y + + B C y = A y = yG = G G 3 5 Vậy G 0; , C ( −1;0 ) 3 b) Với A(–3; 2), B(4; 3), C(–1; 0) ta có: +) AB = ( − ( −3) ;3 − ) = ( 7;1) AB = AB = 72 + 12 = +) AC = ( −1 − ( −3) ;0 − ) = ( 2; −2 ) AC = AC = 22 + ( −2 ) = 2 +) BC = ( −1 − 4;0 − 3) = ( −5; −3) BC = BC = ( −5) + ( −3) ( 2 = 34 ) AB.AC 7.2 + 1.( −2 ) = = AB.AC 5 2.2 ) BA.BC BA.BC +) cos A = cos AB, AC = Suy A = 538 ( +) cos B = cos BA, BC = Do cosB = −7.( −5) + ( −1) ( −3) 34 = 19 17 85 Suy B = 2250 +) Ta có A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) C = 180 − A − B 180 − 538 − 2250 = 1042 Vậy AB = 2,AC = 2, BC = 34, A 538, B 2250, C 1042 c) H C B A Gọi H(x; y) BH = ( x − 4; y − 3) CH = ( x + 1; y ) Ta có H(x; y) trực tâm ∆ABC BH ⊥ AC Suy CH ⊥ AB BH.AC = Khi ta có CH.AB = ( x − ) + ( y − 3) ( −2 ) = ( x + 1) + y.1 = 2x − 2y − = 7x + y + = x = − y = − 7 Vậy H − ; − 4 Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho ba vectơ a = (1;2 ) , b = ( −3;1) , c = ( 6;5) Tìm m để u = ma + b phương với c Hướng dẫn giải Ta có ma = ( m;2m ) Ta suy u = ma + b = ( m − 3;2m + 1) Ta có u phương với c ⇔ (m – 3).5 – (2m + 1).6 = ⇔ –7m – 21 = ⇔ m = –3 Vậy m = –3 thỏa yêu cầu toán ... ( 5; −9 ) MP = MP = 52 + ( −9 ) = 106 +) NP = (10; −6 ) NP = NP = 102 + ( −6 ) = 34 ( ) MN.MP −5.5 + ( −3) ( −9 ) = 0,033 MN.MP 34 106 ) NM.NP 5 .10 + 3.( −6 ) = = NM.NP 17 34.2 34... + 2; −8 + 5) = (12; −3) ; +) a − b = (10 − 2; −8 − 5) = (8; −13) ; +) 2a = ( 2 .10; 2.( −8) ) = ( 20; −16 ) ; +) 4b = ( 4.2;4.5) = (8;20 ) Ta suy a + 4b = (10 + 8; −8 + 20 ) = (18;12 ) Vậy a +... vectơ a = (10; −8) , b = ( 2;5) a) Tìm tọa độ vectơ a + b , a − b , 2a , a + 4b ( ) b) Tính tích vơ hướng a.b , 2a −4b Hướng dẫn giải a) Với a = (10; −8) , b = ( 2;5) ta có: +) a + b = (10 + 2;