Toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12

Kiến thức cần nhớ TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ. I.[r]

Kiến thức cần nhớ TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ

I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Oxyz: Gồm trục

' , ' , '

x Ox y Oy z Oz vng góc đơi điểm O, đó:

+Trục

'

x Ox

có vectơ đơn vị: i 1;0;0 

+Trục

'

y Oy

có vectơ đơn vị: j 0;1;0 

+Trục

'

z Oz

có vectơ đơn vị: k 0;0;1 

+

1 i  j k 

  

+ i j i k j k 0    

+ Gốc tọa độ:   0;0;0 O  II.TỌA ĐỘ VECTƠ

1.Định nghĩa:u x y z ; ;  u xi y j zk  

    

2.Công thức:

Trong kg Oxyz,cho:a( ; ; ),a a a1 b ( ; ; )b b b1

 

a/ Tọa độ vectơ tổng:

 1; 2; 3

a b   a b a b a b b/Tích của số thực k với véc tơ:

1

( ; ; )

ka ka ka ka ( k  R )

c/ Hai vectơ bằng nhau:

1

2

3

a b

a b a b

a b            

d/Điều kiện vectơ cùng phương: ,

a b cùng phương  a kb ;b 0

 

1

3

1

2 2

1

3

: ( ; ; 0)

a kb

a

a a

k R a kb hoac b b b

b b b

a kb              

e/Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

1 2 3

a b a b a b a b f/Độ dài vec tơ:

2 2

1

a  a a a g/ Điều kiện 2vectơ vuông góc

ab a b   a b1 1a b2 2a b3 0

h/Góc vectơ a0;b0 :

      cos , a b a b a b       

TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA VECTƠ. ĐN

: kg Oxyz cho ax y z1; ;1 1



, b x y z2; ;2 2



1 1 1

2 2 2

, y z ; z x ; x y

a b

y z z x x y

           

Tính chất: [ , ]a b  b a, 

   

[ , ]a b a

  

[ , ]a b b

  

[ , ]a b a b .sin ,a b

     

a b,  

cùng phương  [ , ]a b 0

  

Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: ,

a b và c đồng phẳng [ , ].a b c    III TỌA ĐỘ ĐIỂM

1 Định nghĩa: M x y z ; ;   OM xi y j zk 

                                                                         

;0;0 ; ; ;0

0; ;0 ; 0; ;

0;0; ; ;0;

M Ox M x M Oxy M x y

M Oy M y M Oyz M y z

M Oz M z M Oxz M x z

   

   

   

Chú ý: Tọa độ của OM



1 2 3

2 2 2

1 3

a b a b a b

a a a b b b

 



   

2 Công thức:

Cho các điểm ( ;A x y zA A; ), ( ;A B x y z ,…B B; )B

a/Tọa độ vectơ:AB(xB  x yA; B  y zA; B  zA)



b/Khoảng cách điểm A,B (độ dài đoạn thẳng AB)

AB = AB



=

2 2

(xB xA) (yB yA) (zB  zA) c/Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng: M trung điểm đoạn AB

; ;

2 2

A B A B A B

x x y y z z

M    

 

d/Tọa độ trọng tâm tam giác G trọng tâm tam giác ABC

; ;

3 3

A B C A B C A B C

x x x y y y z z z

G       

 

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CÔNG THỨC

1 Chứng minh điểm A,B,C thẳng hàng; không thẳng hàng:  điểm A,B,C thẳng hàng

( )

AB AB AB AC AC AC

AB k AC AB cp AC

x y z

x y z

 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

hoặc: điểm A,B,C thẳng hàng 

,

AB AC

  

 

  

3 điểm A,B,C không thẳng hàng  AB



k AC



(AB khong cp AC )

hoặc:3 điểm A,B,C không thẳng hàng  AB AC,  

  

2.D x y z ; ;  là đỉnh hình bình hành ABCD  AD BC

3.Diện tích tam giácABC:

1

,

2

ABC

S  AB AC                            

4.Diện tích hình bình hành ABCD:SABCD  AB AD, 

 

hoặc:SABCD 2SABC  AB AC,

 

 

 

5 Chứng minh điểm A,B,C,D đồng phẳng, không đồng phẳng 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng AB AC AD,  0

                                         

4 điểmA,B,C,D không đồng phẳng  AB AC AD,  0   

(A,B,C,D là đỉnh tứ diện ABCD) 6.Thể tích tứ diện ABCD:

1

,

6

ABCD

V  AB AC AD

 

  

7.Thể tích hình hợp ABCD.A’B’C’D’:

' ' ' '

'

,

ABCD A B C D

KHOẢNG CÁCH

8.Khoảng cách điểm A,B (độ dài đoạn thẳng AB)

CƠNG THỨC GĨC

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hai vectơ ;a b  

tạo với góc 120 và a 3; b 5

 

Tính: a b ; a b

   

Bài 2: Cho điểm: A1;0; ;  B2;1; ;  C1; 2;3  Tìm toạ độ điểm M cho:

2

AM  AB BC OM 

Bài 3: Choa1; 2;0 , b2;0; 1 

 

, tính cos góc hợp vectơ ,a b   ? Bài 4: Choa1; 2; ,  b2;3; ,  c  1; 2;0 

  

, tìm tọa độ vectơ ,u v  

biết u2a 3b c  , 2v i a   3b c

    

Bài 5: Xét đồng phẳng các vectơ sau: a u4;3; ; v2; 1; ;  w1; 2;1

 

 

b u0;1;2 ; v1; 1;1 ;  w4; 2;3

  

c u3;1;3 ; v2;0;1 ; w4;5;2

  

Bài 6: Tìm m để các vectơ sau đồng phẳng: a u2; 1;1 ;  v1;2;1 ; w m ;3; 1 

  

b u1; 2;3 ; v2;1;m w; 2; ;1m 

  

Bài 7: Tìm m để hai vectơ sau vng góc với nhau: a u1; ;1 ;m  v2;1;3

 

b u1;log 2;3 m v; 2;log 3;32 

 

Bài 8: Cho a2 2; 1; 4  

.Tìm vectơ b 

cùng phương với a 

biết a b  10  

Bài 9:Cho A2;5;3 ; B3;7;4 ; C x y ; ;6, tìm x,y để điểm A, B, C thẳng hàng? AB =

AB



=

2 2

(xB  xA) (yB  yA) (zB  zA)

9.Góc 2vectơ a0;b0 :

   

Gọi  a b,   

 

cos cos ,

a b a b

a b

  

   

 

1 2 3

2 2 2

1 3

a b a b a b

a a a b b b

 



Bài 10: cho tam giác MNP biết: M1;1;1 ; N2;3; ; P7;7;5 Tìm tọa độ điểm Q cho MNPQ là hình bình hành?

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

* Phương trình mặt cầu:

Dạng 1:Mặt cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kính r có phương trình (S):     

2 2 2

x a  y b  z c r Mặt cầu tâm O(0;0;0), bán kính r có phương trình (S): x2y2z2 r2

Dạng 2: (S): x2y2z2 2ax 2by 2cz d  ; điều kiện a2b2c2 d0 là phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính r a2b2c2 d

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình mặt cầu, xác định tâm và bán kính mặt cầu

a x2y2 z22x y   b 3x23y23z2 2x0

c x2y2z28x 2y  d x2y2z2 4x 8y2z 0 e 3x23y23z26x3y15z 0

Bài 2: lập phương trình mặt cầu (S) các trường hợp sau đây: a (S) có tâm (5; 4;3)I  và có bán kính R =

b (S) có tâm (1; 2;3)I  và qua điểm (2;3; 4)A 

c (S) qua điểm ( 1;0; 2); (0; 4;0); ( 3;1;0); (1;1;1)A  B C  D d (S) có tâm (4; 4; 2)I  và qua gốc toạ độ

e (S) có đường kính AB với (2; 3;0); ( 1;1;4)A  B 

Bài 3: Định m để các phương trình sau là phương trình mặt cầu: a x2y2z22mx4my 5mz m  0