Toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12

b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC. a) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH.. b) Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB.[r]

Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I.Vectơ phương- vectơ pháp tuyến đường thẳng:

+Vectơ u0 đgl vectơ phương đthẳng  u



có giá song song trùng với đường thẳng 

+Vectơ n0 đgl vectơ pháp tuyến đường thẳng  n vng góc với vectơ cp đường thẳng 

+ Nếu vectơ u vectơ phương đthẳng  ku k( 0) 

cũng vectơ phương đthẳng 

+ Nếu vectơ n vectơ pháp tuyến đthẳng  kn k( 0) 

cũng vectơ pháp tuyến đthẳng 

+ Một đường thẳng có vơ số vectơ phương vô số vectơ pháp tuyến

+ vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng vng góc với nhau

II Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng: a.Định nghĩa:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng qua điểm

 0; 0

M  x y và nhận u u u1; 2 u 0

  

làm vectơ phương Khi đó: Phương trình tham số đường thẳng là:

 

0

x x u t

t R

y y u t

 



 

 



Phương trình tắc đường thẳng là:  

0

1

1

;

x x y y

u u

u u

 

 

b.Liên hệ vectơ phương hệ số góc đường thẳng: +Nếu đường thẳng có vectơ phương u u u1; 2



với u1 0 hệ số góc

đường thẳng 

2

u k

u 

+Nếu đường thẳng  có hệ số góc k  vectơ phương đường thẳng  là u 1;k

III Phương trình tổng quát đường thẳng: a.Định nghĩa:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng qua điểm

 0; 0

M  x y và nhận n a b;  a2 b2 0 

làm vectơ pháp tuyến Khi đó: Phương trình tổng qt đường thẳng có dạng:

 

0

: ( )

0 a x x b y y

ax by c

    



    Chú ý :

+ Mọi đường thẳng có pttq dạng: ax by c  0với  

2 0

a b  , trong đó: na b; 



là vtpt

+Một đthẳng hoàn toàn xác định biết điểm vtpt của nó

Chú ý 2: Các trường hợp đặc biệt:

+ Đường thẳng  song song với trục hoành Ox cắt trục tung điểm

0;  :

M  m   y m

+ Đường thẳng  song song với trục tung Oy cắt trục hoành điểm

 ;0 :

N  n   x n

+ Đường thẳng  cắt với trục hoành Ox điểm A a ;0và cắt trục tung tại điểm B0;b :

x y

a b

   

: Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn. IV Vị trí tương đối hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng 1và 2lần lượt có phương trình tổng qt là:

1:a x b y c1   0

2 :a x b y c2   0

Cách 1: Tọa độ giao điểm 1và 2 (nếu có) nghiệm hệ

phương trình:

1 1 2

0

a x b y c a x b y c

  

 

  

 (*)

+ Nếu hệ (*) có nghiệm (x0;y0) 1cắt 2tại điểm M x y 0; 0

+ Nếu hệ (*) có vơ số nghiệm  1 2

Cách 2:Lập tỉ số nếu: +

1 2

a b

a b  1cắt 2

+

1 1 2

a b c

a b c  1// 2

+

1 1 2

a b c

a b c   1 2 V.Góc hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng 1và 2lần lượt có phương trình tổng

qt là:

1:a x b y c1   0 có vectơ pháp tuyến n1 a b1; 1



2 :a x b y c2   0 có vectơ pháp tuyến n2 a b2; 2



Gọi  

^ 1,

    Khi ta có:

 2

1

1 2 2 2 1 2

cos cos n n; n n

n n

a a b b

a b a b

                                                                

Chú ý : + 1 / /2  1 2thì   ^

0 1,

  

+   1 n1 n2  a a1 b b1 0

                           

+ 1: y k x m  2 :y k x m  2thì    1 k k1 1

VI.Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

a.Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm

 0; 0

M  x y và đường thẳng :ax by c  0 Khi đó:

 

0 2

, ax by c

d M

a b

 

 

Chú ý : + Nếu M   d M , 

+ Nếu 1 / /2 d 1, 2 d A ,2 với A điểm nằm đường thẳng 1

B.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng  biết: a  qua A ( 2;1)và vectơ phương u   2;1



b  qua B (0;4)và vectơ pháp tuyến n 1; 3 



c. qua C (4; 6) và có hệ số góc

2

k 

d  qua hai điểm M  ( 1;4);N 5; 5 

e  qua E (2;1)và song song với trục Ox f  qua F (2; 11) và vng góc với trục Ox

g  qua E  ( 3;1)và song song với trục Ox h  qua H (6;1)và song song với trục Oy

Bài 2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng  biết: a  qua A ( 3; 7) và vectơ pháp tuyến n   2; 1 



b. qua A(2;1)và vectơ phương u 2;7



c  qua hai điểm M (1;4);N 0; 5  d. qua P (4; 3) và có hệ số góc

2

k 

e  cắt trục hoành điểm E (2;0) cắt trục tung điểm F (0; 5) f  qua điểm A2,3và vuông góc với MN biết M  ( 1;4);N 2; 5  g  qua điểm A3;1và song song với trục Ox

h  qua điểm B 3; 1 và vng góc với trục Oy

Bài 3: Viết phương trình tổng qt, tham số, tắc (nếu có) đường thẳng  trường hợp sau:

a)  qua điểm A3;0 B1;3

b)  qua N3;4 vng góc với đường thẳng

1 ' :

4

x t

d

y t

  



 

Bài 4:Cho tam giác ABC biết A2;0 , B0;4 , (1;3) C Viết phương trình tổng quát

a) Đường cao AH

b) Đường trung trực đoạn thẳng BC c) Đường thẳng AB

d) Đường thẳng qua C song song với đường thẳng AB

Bài 5:Cho điểm A1; 3  Viết phương trình tổng quát đường thẳng  qua

A

a) Vng góc với trục tung

b) song song với đường thẳng d x: 2y 3

Bài 6: Cho tam giác ABC biết A2;1 , B1;0 , (0;3) C a) Viết phương trình tổng quát đường cao AH

b) Viết phương trình tổng quát đường trung trực đoạn thẳng AB c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC

d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A song song với đường thẳng BC.

Bài 7: Tìm tọa độ ba đỉnh tam giác ABC biết:

: 0; :

AB  x y  AC x y 

:

BC  x y 

Bài 8: Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết: ABC có đỉnh

3; 1

A  , đường cao BH : 8x y  10 0 ,đường trung bình song song với BC d : 2x y  0

Bài 9: Cho ABCcân C có A(1;3), đường cao

: 10 0; :

BH x y  AB x y   .Tìm B,C

Bài 10: Cho ABCcó đỉnh A(3;5), đường cao BH : 2x 5y 3 0;đường trung tuyến CM x y:   0; Tìm B phương trình cạnh ABC Bài 11: Cho ABCbiết AB: 4x y  12 0 , đường cao

: 15 0; : 2

BH x y  AH x y  ,viết phương trình hai cạnh cịn lại đường cao thứ ABC

Bài 12 Cho hình chữ nhật 2;0 p F 

Bài 13 Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình  

12

; 2

2 p d F



  

và p 16.Viết phương trình hai cạnh cịn lại biết tâm hình bình hành I3;1 Bài 14 Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau

a) 1:x y  0; 2 :x y  0

b) 1: x 2y 5 0; 2 : 2x4y 10 0

c) 1: 2x 3y 5 0; 2 :x 0

d) 1: 2x3y 4 0; 2 : 4 x 6y 0

Bài 15 Cho hai đường thẳng 1: (m 3)x2y m  0

 2

2 : x my m

      .

a) Xác định vị trí tương đối xác định giao điểm (nếu có) 1 2

các trường hợp m 0;m 1

b) Tìm m để hai đường thẳng song song với

Bài 16 Cho hai đường thẳng 1: 3x y  0, 2 :x y  2 điểm

(0;2)

M

a) Tìm tọa độ giao điểm 1và 2

b) Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt 1 2 A

B cho B trung điểm đoạn thẳng AM Bài 17: Cho hai đường thẳng có phương trình

   2

1: a b x y 1, : a b x ay b

       

,với a2 b2 0 a) Tìm quan hệ a b để 1 2 cắt

b) Tìm điều kiện a b để 1 2 cắt điểm thuộc trục hoành

Bài 18 Cho đường thẳng  

2

1:kx y k 0, : k x 2ky k

         

Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng 1 qua điểm cố định với k

b) 1 cắt 2 Xác định toạ độ giao điểm chúng

a) Tính khoảng cách từ điểm A( 1;3) đến đường thẳng 

b) Tính khoảng cách hai đường thẳng song song  ' : 5x3y 8 Bài 20: Cho đường thẳng có phương trình

1:x y  3 0; 2 :x y  0; 3 :x 2y 0

Tìm tọa độ điểm M nằm 3 cho khoảng cách từ M đến 1 lần

khoảng cách từ M đến 2

Bài 21: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d trường hợp sau:

a) M(1; 1); : d x y  0 b) M(3;2)và d trục 0x c) M( 3;2); 2 x3 d)

2 (5; 2); :

5

x t

M d

y t

  

 

 



Bài 22: Cho hai đường thẳngd1: 2x 3y 5 0; d2 : 3x2y 0 Tìm M

nằm ox cách đềud1 d2

Bài 23: Cho hai đường thẳng d1: 2x 3y 1 0; d2 : 4 x6y 0

a) Chứng minh d1 / / d2

b) Tính diện tích hình vng có đỉnh nằm đường thẳng d1và d2

c) Viết phương trình đường thẳng  song song cách d1và d2

Bài 24 Xác định góc hai đường thẳng trường hợp sau: a)

 

1: 0; :

7

x t

x y t

y t

 

      

  



b)  

'

'

1 '

1

: ; : ,

1 5 2

x t x t

t t

y t y t



  

 

    

    

 



Bài 25 Tìm m để góc hợp hai đường thẳng 1: 3x y  7 :mx y

    góc 300

Bài 26 Tìm cơsin góc đường thẳng 1 2 trường hợp sau:

a/

1

: ; : 2

x t

x y

y t

  

     

  

Bài 27: Cho đường thẳng : 3x 4y 12 0

a) Tìm tọa độ điểm A thuộc và cách gốc tọa độ khoảng bốn b) Tìm điểm B thuộc  cách hai điểm E5;0 , F3; 2 

c) Tìm tọa độ hình chiếu điểm M 1;2 lên đường thẳng  Bài 28:Cho hai đường thẳng

'

1 :x 2y 0; : x t

y t

  

     

 

a) Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm A1;0 qua đường thẳng  b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với ' qua 