Đang tải... (xem toàn văn)
CÁC BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VECTƠ VÀ CÁCH GIẢI I LÝ THUYẾT 1 Hệ trục tọa độ trong không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm g[.]
CÁC BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VECTƠ VÀ CÁCH GIẢI I LÝ THUYẾT Hệ trục tọa độ không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vng góc với đôi chung điểm gốc O Gọi i, j, k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Oxz) đơi vng góc với gọi mặt phẳng tọa độ 2 Chú ý: i = j = k = i.j = i.k = k.j = Tọa độ vectơ a) Định nghĩa: u = ( x; y; z ) u = xi + y j + zk b) Tính chất: Cho a = (a1;a ;a ), b = (b1;b2 ;b3 ), k ta có: + Tổng hiệu hai vectơ: a b = (a1 b1; a b2 ; a b3 ) + Tích vectơ với số: ka = (ka1; ka ; ka ) ( k ) a1 = b1 + Hai vectơ nhau: a = b a = b a = b + Chú ý: = (0;0;0), i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1) + a phương b (b 0) a = kb (k ) a1 = kb1 a = kb2 a = kb a1 a a = = , (b1 , b , b3 0) b1 b b3 Tọa độ điểm a) Định nghĩa: M(x; y; z) OM = x.i + y.j + z.k (x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ) Chú ý: M ( Oxy ) z = 0; M ( Oyz ) x = 0; M ( Oxz ) y = M Ox y = z = 0; M Oy x = z = 0; M Oz x = y = b) Tính chất: Cho A(x A ; yA ; zA ), B(x B; yB; zB ) AB = (x B − x A ; yB − yA ;z B − z A ) x + x B yA + yB z A + z B + Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M A ; ; 2 + Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: x + x B + x C y A + y B + yC z A + z B + z C G A ; ; 3 + Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD: x + x B + x C + x D y A + y B + yC + y D z A + z B + z C + z C G A ; ; 4 II PHƯƠNG PHÁP GIẢI Sử dụng định nghĩa, tính chất khái niệm có liên quan đến điểm, vectơ bao gồm: tọa độ điểm, vectơ; phép toán vectơ… để tính tổng, hiệu vectơ, tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, tìm điểm vectơ thỏa mãn điều kiện cho trước, … III VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A (1; 2; 0); B (3; -1; 1) C (1; 1; 1) Tính tọa độ trọng tâm G tam giác ABC 5 2 A G ; ; 3 3 2 B G − ; ; 3 3 5 2 C G ; − ; 3 3 5 2 D G ; − ; − 3 3 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác ABC ta có: 5 2 1+ +1 −1+1 +1+1 ; ; Tọa độ trọng tâm G hay G ; ; 3 3 3 Chọn A Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, tìm toạ độ vectơ u = i + 2j − k A u = (1;2; − 1) B u = ( −1;2;1) C u = ( 2;1; − 1) D u = ( −1;1;2 ) Hướng dẫn giải Ta có i = (1;0;0 ) , j = ( 0;1;0 ) ,k = ( 0;0;1) Nên u = i + j − k = (1;0;0) + ( 0;1;0 ) − ( 0;0;1) = (1;2; − 1) Chọn A Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M (0; 1; 2), N (7; 3; 2), P (-5; -3; 2) Tìm tọa độ điểm Q thỏa mãn MN = QP A Q (12; 5; 2) B Q (-12; 5; 2) C Q (-12; -5; 2) D Q (-2; -1; 2) Hướng dẫn giải Ta có: x N − x M = x P − x Q 7 − = −5 − x Q 7 = −5 − x Q x Q = −12 MN = QP y N − y M = y P − y Q 3 − = −3 − y Q 2 = −3 − y Q y Q = −5 z − z = z − z 2 − = − z 0 = − z z = M P Q Q Q N Q Vậy Q (-12 ; -5 ; 2) Chọn C IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu 1: Trong khơng gian Oxyz, tìm toạ độ véctơ u = 5i − 3j + k A u = ( 5; − 3;1) B u = ( −5;3;1) C u = ( 2;1; − 1) D u = ( −1;1;2 ) Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có ba đỉnh A (2; 1; -3), B (4; 2; 1), C (3; 0; 5) G (a; b; c) trọng tâm tam giác ABC Tính giá trị biểu thức P = a.b.c? A P = B P = C P = D P = Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a = (1;2;3) b = 2i − 4k Tính tọa độ vectơ u = a − b A u = ( −1;2;7 ) B u = ( −1;6;3) C u = ( −1;2; −1) D u = ( −1; −2;3) Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 2; 3) Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục Ox A (2; 0; 0) B (1; 0; 0) C (3; 0; 0) D (0; 2; 3) Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2; 3) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (Oxy) A N (-1; -2; -3) B N (1; 2; 0) C N (-1; -2; 3) D N (1; 2; -3) Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm I (-5; 0; 5) trung điểm đoạn MN, biết M (1; -4; 7) Tìm tọa độ điểm N A N ( -10; 4; 3) B N (-2; -2; 6) C N (-11; -4; 3) D N (-11; 4; 3) Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 2), B (7; 3; 2), C (-5; -3; 2) Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn AB = CD A D (2; -1; 2) B D (-12; 5; 2) C D (-12; -5; 2) D D (-2; -1; 2) Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (3; 2; 1), B (1; 1; 2), C (1; 2; -1) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn OM = 2AB − AC A M (-2; 6; -4) B M (2; -6; 4) C M (-2; -6; 4) D M (5; 5; 0) Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ u = ( −1;3; −2 ) v = ( 2;5; −1) Tìm tọa độ véc tơ a = 2u − 3v A a = ( −8;9; −1) B a = ( −8; −9;1) C a = ( 8; −9; −1) D a = ( −8; −9; −1) Câu 10: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành MNPQ có M (2; 0; 0), N (0; -3; 0), P (0; 0; -4) Tìm tọa độ điểm Q A Q (-2; -3; -4) B Q (2; 3; -4) C Q (-2; -3; 4) D Q (4; 4; 2) ĐÁP ÁN Câu 10 Đáp A B A B D D A C D B án ... niệm có liên quan đến điểm, vectơ bao gồm: tọa độ điểm, vectơ; phép tốn vectơ? ?? để tính tổng, hiệu vectơ, tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, tìm điểm vectơ thỏa mãn điều kiện... 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M (0; 1; 2), N (7; 3; 2), P (-5; -3; 2) Tìm tọa độ điểm Q thỏa mãn MN = QP A Q (12; 5; 2) B Q ( -12; 5; 2) C Q ( -12; -5; 2) D Q (-2; -1; 2)... gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành MNPQ có M (2; 0; 0), N (0; -3; 0), P (0; 0; -4) Tìm tọa độ điểm Q A Q (-2; -3; -4) B Q (2; 3; -4) C Q (-2; -3; 4) D Q (4; 4; 2) ĐÁP ÁN Câu 10 Đáp A B A