Nhận biết khối đa diện lồi, đều và cách giải I LÝ THUYẾT 1 Khối đa diện lồi Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn luôn thuộc (H) 2 Khối đa diện[.]
Nhận biết khối đa diện lồi, cách giải I LÝ THUYẾT Khối đa diện lồi Khối đa diện (H) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm (H) ln thuộc (H) S B' A' B A D C C' B A C Khối đa diện Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất sau đây: +) Mỗi mặt đa giác n cạnh +) Mỗi đỉnh đỉnh chung p mặt Khối đa diện gọi khối đa diện loại {n; p} Chỉ có năm loại khối đa diện Đó loại {3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3}, {3; 5} Tứ diện Lập phương Bát diện Mười hai (Tám mặt đều) mặt (Thập nhị diện đều) Hai mươi mặt (Nhị thập diện đều) Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại Tứ diện {3; 3} Khối lập phương 12 {4; 3} Bát diện 12 {3; 4} Mười hai mặt 20 30 12 {5; 3} Hai mươi mặt 12 30 20 {3; 5} Lưu ý: Tính đối xứng khối đa diện +) Tứ diện đều: trục đối xứng (đoạn nối trung điểm hai cạnh đối diện): Có mặt đối xứng Mỗi mặt phẳng chứa cạnh trung điểm cạnh đối diện: +) Khối lập phương: Có mặt đối xứng Trong đó: mặt phẳng qua trung điểm cạnh song song với chia khối lập phương thành khối hộp chữ nhật mặt lại chia khối lập phương thành khối lăng trụ tam giác +) Bát diện đều: Bát diện có tất mặt đối xứng Trong đó: mặt chia bát diện thành khối chóp tứ giác mà có tất cạnh mặt đối xứng lại bát diện qua cặp đỉnh đối diện Mỗi cặp đỉnh có mặt phẳng đối xứng +) Mười hai mặt đều: 15 mặt phẳng đối xứng +) Hai mươi mặt đều: 15 mặt phẳng đối xứng 3, Một số kết quan trọng a) Kết 1: Cho khối tứ diện Khi đó: + Các trọng tâm mặt đỉnh tứ diện + Các trung điểm cạnh đỉnh khối bát điện (khối tám mặt đều) b) Kết 2: Tâm mặt khối lập phương đỉnh bát diện c) Kết 3: Tâm mặt bát diện đỉnh hình lập phương d) Kết 4: Hai đỉnh bát diện gọi hai đỉnh đối diện chúng không thuộc cạnh khối Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo khối bát diện Khi đó: + Ba đường chéo cắt trung điểm đường; + Ba đường chéo đơi vng góc với nhau; + Ba đường chéo II PHƯƠNG PHÁP Tính tốn số thơng tin liên quan đến khối đa diện lồi, Phương pháp : Gọi Đ tổng số đỉnh, C tổng số cạnh M tổng mặt khối đa diện loại {n ; p} Ta có: pĐ = 2C = nM +) Xét tứ diện {3; 3} n = 3, p = pĐ=2C=nM nM nM → ⎯⎯⎯⎯→ C = =6 & Đ= = M = p +) Xét khối lập phương {4; 3} n = 4, p = pĐ=2C=nM nM nM → ⎯⎯⎯⎯→ C = = 12 & Đ = = M = p +) Xét bát diện {3; 4} n = 3, p = pĐ=2C=nM nM nM → ⎯⎯⎯⎯→ C = = 12 & Đ = = M = p +) Xét khối mười hai mặt {5; 3} n = 5, p = pĐ=2C=nM nM nM → ⎯⎯⎯⎯→ C = = 30 & Đ = = 20 M = 12 p +) Xét khối hai mươi mặt {3; 5} n = 3, p = pĐ=2C=nM nM nM → ⎯⎯⎯⎯→ C = = 30 & Đ = = 12 p M = 20 III VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Khối mười hai mặt {mỗi mặt ngũ giác đều} có cạnh? A 16 B 18 C 20 D 30 Hướng dẫn giải Khối 12 mặt có số mặt M = 12 Mỗi mặt ngũ giác nên số cạnh mặt n = Áp dụng công thức 2C = nM ta được: 2C = 5.12 suy C = 5.12 = 30 Vạy tổng số cạnh khối mười hai mặt 30 Chọn D Ví dụ 2: Cho đa diện (H) có tất mặt tam giác Khẳng định sau đúng? A Tổng mặt (H) số chẵn B Tổng mặt (H) gấp đôi tổng số đỉnh (H) C Tổng số cạnh (H) số không chia hết cho D Tổng số cạnh (H) gấp đôi tổng số mặt (H) Hướng dẫn giải Gọi tổng số mặt (H) M tổng số cạnh (H) C Vì mặt đa diện tam giác, nên số cạnh mặt n = Áp dụng công thức 2C = nM suy 2C = 3M Suy M số chẵn Chọn A Ví dụ 3: Cho hình đa diện loại {4; 3} cạnh a Gọi S tổng diện tích tất mặt hình đa diện Mệnh đề đúng? A S = 4a B S = 6a C S = 8a D S = 10a Hướng dẫn giải Đa diện loại {4; 3} khối lập phương nên có mặt hình vng cạnh a Diện tích mặt hình lập phương là: S1 = a Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất mặt S = 6S1 = 6a Chọn B IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu 1: Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A Khối tứ diện có cạnh B Khối lập phương có 12 cạnh C Số cạnh khối chóp chẵn D Khối mặt có cạnh Câu Trong khối đa diện lồi với mặt tam giác, gọi C số cạnh M số mặt hệ thức sau đúng? A 2M = 3C B 3M = 2C C 3M = 5C D 2M = C Câu Trong khối đa diện lồi mà đỉnh đỉnh chung ba cạnh, gọi C số cạnh Đ số mặt hệ thức sau đúng? A 3Đ = 2C B 3Đ = C C 4Đ = 3C D C = 2Đ Câu Khối mười hai mặt (mỗi mặt ngũ giác đều) có đỉnh? A 16 B 18 C 20 D 30 Câu Khối hai mươi mặt (mỗi mặt tam giác đều) có cạnh? A 16 B 18 C 20 D 30 Câu Trong loại khối đa diện sau, khối đa diện có số cạnh gấp đơi số đỉnh A Khối hai mươi mặt B Khối lập phương C Khối bát diện D Khối mười hai mặt Câu Trong loại khối đa diện sau, khối đa diện có số đỉnh số mặt A Khối 12 mặt B Khối lập phương C Khối bát diện D Khối tứ diện Câu Mỗi đỉnh bát diện đỉnh chung cạnh? A B C D Câu Cho khối đa diện Khẳng định sau sai A Số đỉnh khối lập phương B Số mặt khối tứ diện C Khối bát diện loại {4;3} D Số cạnh bát diện 12 Câu 10 Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Khối đa diện khối đa diện có tất cạnh B Khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác Câu Đáp án C Khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác cạnh D Có vơ số khối đa diện lồi khơng có số cạnh BẢNG ĐÁP ÁN 10 D B A C D C D B C C ... khối đa diện có tất cạnh B Khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác Câu Đáp án C Khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác cạnh D Có vơ số khối đa diện lồi khơng có số cạnh BẢNG ĐÁP ÁN 10... C Khối bát diện D Khối mười hai mặt Câu Trong loại khối đa diện sau, khối đa diện có số đỉnh số mặt A Khối 12 mặt B Khối lập phương C Khối bát diện D Khối tứ diện Câu Mỗi đỉnh bát diện đỉnh chung... Cho khối đa diện Khẳng định sau sai A Số đỉnh khối lập phương B Số mặt khối tứ diện C Khối bát diện loại {4;3} D Số cạnh bát diện 12 Câu 10 Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Khối đa diện khối đa