Các bài toán về khoảng cách trong không gian và cách giải I LÝ THUYẾT 1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P) (hoặc đến đường t[.]
Các tốn khoảng cách khơng gian cách giải I LÝ THUYẾT Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng ∆) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) (hoặc đường thẳng ∆) + Kí hiệu khoảng cách từ M đến (P) d (M, (P)) + Kí hiệu khoảng cách từ M đến ∆ d (M, ∆) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song a) Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng ( ) song song với a khoảng cách từ điểm a tới mặt phẳng ( ) cụ thể d ( a, ( ) ) = d ( A, ( ) ) với A thuộc a Ta có: d(a, (α)) = d(A, (α)) = AH với A thuộc a H hình chiếu A lên mặt phẳng (α) b) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng tới mặt phẳng kia, cụ thể d ( ( ) , ( ) ) = d ( M, ( ) ) với M thuộc mặt phẳng ( ) Khoảng cách hai đường thẳng chéo Đường thẳng MN cắt vng góc với a b gọi đường vng góc chung a b Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo Cụ thể: d (a, b) = MN II PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp giải: Khoảng cách từ M(x ;y ;z0 ) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = là: d(M,(P)) = Ax + By0 + Cz + D A +B +C 2 Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + = điểm M (0; 2; 4) Tính d (M; (P)) A B C D Hướng dẫn giải: Ta có d ( M, ( P ) ) = + 2.2 − 2.4 + 12 + 22 + ( −2 ) = Chọn A Khoảng cách hai mặt phẳng song song Phương pháp giải: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng Cụ thể, để tính khoảng cách hai mặt phẳng song song (P) (Q) ta thực bước sau: +) Lấy điểm M thuộc mặt phẳng (P) +) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q) (áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng) Hướng dẫn giải: Ví dụ 2: Khoảng cách hai mặt phẳng song song (P): 4x – 3y + z – = (Q): 12x – 9y + 3z + = A 26 B C 26 D 26 Hướng dẫn giải: Lấy điểm M ( 0;0;2 ) ( P ) d ( ( P ) ; ( Q ) ) = d ( M; ( Q ) ) = 12.0 − 9.0 + 3.2 + 122 + 92 + 32 = 26 Chọn D Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Phương pháp giải: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d qua điểm A có vectơ phương u xác định công thức: AM; u d(M, d) = u Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz khoảng cách từ điểm M (2; 0; x −1 y z − = = 1) đến đường thẳng d : A 12 B C D 12 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua A (1; 0; 2) có vectơ phương u d = (1;2;1) Ta có: MA = ( −1;0;1) Suy MA;u d = ( −2;2; −2 ) Khoảng cách từ điểm M (2; 0; 1) đến đường thẳng d : MA; u d d(M, d) = = ud ( −2 ) + 22 + ( −2 ) 12 + 22 + 12 = x −1 y z − = = là: 12 = Chọn C Khoảng cách hai đường thẳng song song Phương pháp giải: Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng Cụ thể, để tính khoảng cách hai đường thẳng song song d d’ ta thực sau: +) Lấy M thuộc đường thẳng d +) Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng d’ (bằng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng) Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình x = + 4t x = + 2t1 d1 : y = + 2t1 d : y = + 4t z = − 6t z = − 3t thẳng ( t1, t ) Tính khoảng cách hai đường Hướng dẫn giải: Ta lấy M (1; 2; 3) thuộc đường thẳng d Ta có d qua A (3; 2; 5) có vectơ phương u = ( 4;4; −6 ) AM = ( −2;0; −2 ) Khi đó: AM;u = (8; −20; −8) Vì d1 ,d song song nên ta có: 2 AM; u 82 + ( −20 ) + ( −8 ) 561 d ( d1;d ) = d ( M;d ) = = = 2 17 u2 + + ( −6 ) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Phương pháp giải: d qua điểm A có vectơ phương u d d’ qua điểm B có vectơ phương u d ' là: u d ; u d ' AB d(d, d ') = u d ; u d ' Ví dụ 5: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 : x − y +1 z = = −5 x = −2 − t d : y = z = + t A B C 3 D Hướng dẫn giải: Đường thẳng d có vectơ phương u1 = ( 2;3; −5 ) qua điểm M1 ( 7; −1;0 ) Đường thẳng d có vectơ phương u = ( −1;0;1) qua điểm M ( −2;2;3) Ta có: u1;u = ( 3;3;3) , M1M = ( −9;3;3) Khoảng cách hai đường thẳng d d u1;u M1M 3.( −9 ) + 3.3 + 3.3 d ( d1;d ) = = = = 2 3 u1;u + + Chọn D Khoảng cách đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) Phương pháp giải: Khoảng cách đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm M thuộc đường thẳng d đến mặt phẳng (P), cụ thể: | ax M + by M + cz M + d | d ( d, ( P ) ) = d ( M, ( P ) ) = với (P): ax + by + cz + d = a + b2 + c2 x −1 y z + = = Ví dụ 6: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d : mặt 2 phẳng (P): x + 2y – 2z + = Khoảng cách đường thẳng d mặt phẳng (P) A B C D Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M (1; 0; -3) nhận u = ( 2;1;2 ) làm véc tơ phương Mặt phẳng (P) nhận n = (1;2; − ) làm véc tơ pháp tuyến u n = + − = Ta có ( d ) // ( P ) M P ( ) Vậy d( d,( P )) = d ( M, ( P ) ) = + 2.0 − 2.( −3) + 12 + 22 + ( −2 ) = Chọn B III BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu 1: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A (1; 2; 2) đến mặt phẳng ( ) : x + 2y – 2z – = bằng: A B C 13 D Câu 2: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song (P): 2x – y – 2z – = (Q): 2x – y – 2z = = A B C 10 D Câu 3: Tính khoảng cách mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – = đường thẳng x = + t d: y = + 4t z = − t A B C D x = + t Câu 4: Khoảng cách từ điểm E (1; 1; 3) đến đường thẳng d : y = + 3t , t R z = −2 − 5t A 35 B 35 C 35 D Câu 5: Trong không gian Oxyz khoảng cách từ điểm M (3; -4; 1) tới mặt phẳng (Oyz) A B 14 C D Câu 6: Tính khoảng cách h từ điểm A (2; 1; 4) đến đường thẳng x −1 y − z −1 d: = = 1 A h = 11 B h = C h = D h = Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + m = điểm A (1; 1; 1) Khi m nhận giá trị sau để khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) 1? A -2 B -8 C -2 - D Câu 8: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M (1; 3; 2) đến đường thẳng x = + t : y = + t z = −t A B C 2 D Câu 9: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 : x = − 3t d : y = −2 + t z = A 24 185 B 28 185 x −3 y+ z = = −2 C 12 185 D 36 185 Câu 10: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 : x − y +1 z = = −5 x = −2 − t d : y = z = + t A B C 3 D ĐÁP ÁN Câu Đáp án B A B D D C C C C 10 D ... 2x – y – 2z – = (Q): 2x – y – 2z = = A B C 10 D Câu 3: Tính khoảng cách mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – = đường thẳng x = + t d: y = + 4t z = − t A B C D x = + t Câu 4: Khoảng cách. .. −3) + 12 + 22 + ( −2 ) = Chọn B III BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu 1: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A (1; 2; 2) đến mặt phẳng ( ) : x + 2y – 2z – = bằng: A B C 13 D Câu 2: Tính khoảng cách. .. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q) (áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng) Hướng dẫn giải: Ví dụ 2: Khoảng cách hai mặt phẳng song song (P): 4x – 3y + z – = (Q): 12x – 9y