Bài 2 Hàm số bậc hai A Lý thuyết 1 Hàm số bậc hai Hàm số bậc hai theo biến x là hàm số cho bởi công thức có dạng y = f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c là các số thực và a khác 0 Tập xác định của hàm số[.]
Bài Hàm số bậc hai A Lý thuyết Hàm số bậc hai - Hàm số bậc hai theo biến x hàm số cho cơng thức có dạng y = f(x) = ax + bx + c với a, b, c số thực a khác Tập xác định hàm số bậc hai ℝ Ví dụ: +) y = 5x2 + 2x + hàm số bậc hai hàm số cho cơng thức có dạng y = f(x) = ax2 + bx + c với a = ≠ 0, b = 2, c = +) y = 3x3 + x ‒ hàm số bậc hai hàm số có chứa x 3, không cho công thức dạng y = f(x) = ax2 + bx + c Đồ thị hàm số bậc hai - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = ax + bx + c (với a ≠ 0) parabol (P): + Có đỉnh S với hoành độ x S = − b , tung độ yS = − ; (Δ = b2 – 4ac) 4a 2a + Có trục đối xứng đường thẳng x = − b (đường thẳng qua đỉnh S song song 2a với trục Oy); + Bề lõm quay lên a > 0, quay xuống a < 0; + Cắt trục tung điểm có tung độ c, tức đồ thị qua điểm có tọa độ (0; c) Chú ý: b + Nếu b = 2b’ (P) có đỉnh S − ; − a a + Nếu phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1; x2 đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ hai nghiệm Ví dụ: Cho hàm số bậc hai y = x2 + 2x + Ta xác định a = 1; b = 2; c = 1; Δ = b2 – 4ac = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = x + 2x + parabol (P): + Có đỉnh S với hoành độ x S = − b = −1 , tung độ yS = − = ; 2a 4a + Có trục đối xứng d đường thẳng x = ‒1 (đường thẳng qua đỉnh S(‒1; 0) song song với trục Oy); + Bề lõm parabol quay lên a = > 0; + Cắt trục tung điểm có tung độ 1, tức đồ thị qua điểm có toạ độ (0; 1) Đối với hàm số bậc hai y = x2 + 2x + ta thấy hệ số b = số chẵn nên tìm b toạ độ đỉnh S − ; − với a = 1, b' = 1, c = Δ' = b'2 – ac = a a Khi ta tìm S(‒1; 0) *Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai: Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (với a ≠ 0): b - Xác định tọa độ đỉnh S − ; − 2a 4a - Vẽ trục đối xứng d đường thẳng x = − b 2a - Tìm tọa độ giao điểm đồ thị với trục tung (điểm A(0; c)) giao điểm đồ thị với trục hồnh (nếu có) b Xác định thêm điểm đối xứng với A qua trục đối xứng d, điểm B − ;c a - Vẽ parabol có đỉnh S, có trục đối xứng d, qua điểm tìm Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = 2x2 + 3x + Ta có: a = 2; b = 3; c = 1; Δ = b2 – 4ac = Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = 2x2 + 3x + parabol (P): + Có toạ độ đỉnh S với x S = − b 1 = − ; tung độ yS = − = − hay S − ; − ; 2a 4a 8 + Có trục đối xứng đường thẳng x = − với trục Oy); (đường thẳng qua đỉnh S song song + Bề lõm parabol (P) quay lên a = > 0; + Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ 1, tức đồ thị (P) qua điểm có tọa độ (0; 1) Ngồi phương trình 2x2 + 3x + = có hai nghiệm phân biệt x1 = ‒1 x = nên 1 đồ thị hàm số cắt trục hồnh hai điểm có toạ độ (‒1; 0) ;0 2 Ta vẽ đồ thị hàm số y = 2x2 + 3x + hình vẽ đây: Sự biến thiên hàm số bậc hai - Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (với a ≠ 0), ta có bảng tóm tắt biến thiên hàm số sau: a>0 a 0, hàm số đạt giá trị nhỏ − −b x = hàm số có tập giá trị 4a 2a T = − ; + 4a - Khi a < 0, hàm số đạt giá trị lớn − −b x = hàm số có tập giá trị 4a 2a T = −; − 4a Ví dụ: Lập bảng biến thiên tìm giá trị lớn hàm số y = ‒ x2 + 3x – Hướng dẫn giải Ta xác định tham số: a = ‒1; b = 3; c = ‒2, ∆ = b2 – 4ac = Đỉnh S có tọa độ: x S = − b = ; yS = − = 4a 2a 3 1 Hay S ; 2 4 Vì hàm số bậc hai có a = ‒1 < nên ta có bảng biến thiên sau: x ‒∞ +∞ f(x) ‒∞ Vậy hàm số đạt giá trị lớn ‒∞ x = 4 Ứng dụng hàm số bậc hai Tầm bay cao bay xa Trong môn cầu lông, phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân đối phương khơng cầu rơi biên Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn điểm có tọa độ (0; y 0) điểm xuất phát phương trình quỹ đạo cầu lông rời khỏi mặt vợt là: −g.x y= + tan ( ) x + y0 2v0 cos Trong đó: + g gia tốc trọng trường (thường chọn 9,8 m/s2); + α góc phát cầu (so với phương ngang mặt đất); + v0 vận tốc ban đầu cầu; + y0 khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất Đây hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động cầu lông parabol Xét trường hợp lặng gió, với vận tốc ban đầu góc phát cầu biết, cầu chuyển động theo quỹ đạo parabol nên sẽ: - Đạt vị trí cao đỉnh parabol, gọi tầm bay cao; - Rơi chạm đất vị trí cách nơi đứng phát cầu khoảng, gọi tầm bay xa Ví dụ: Một người tập chơi cầu lơng có khuynh hướng phát cầu với góc 15 độ so với mặt đất a) Hãy tính khoảng cách từ vị trí người phát cầu đến vị trí cầu chạm đất, biết cầu rời vợt độ cao 0,8 m so với mặt đất vận tốc ban đầu cầu 10 m/s (bỏ qua sức cản gió quỹ đạo cầu mặt phẳng thẳng đứng, gia tốc trọng trường 9,8 m/s 2) b) Giả thiết câu a cho biết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới 4,5 m Lần phát cầu có hỏng khơng? Cho biết mép lưới cách mặt đất 1,524 m Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ với vị trị trí rơi cầu thuộc trục hồnh vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung Với g = 9,8 m/s2, góc phát cầu α = 15o, vận tốc ban đầu cầu v0 = 10 m/s, phương trình quỹ đạo cầu là: −g.x y= + tan ( ) x + y0 2v0 cos y= −9,8.x 2.102 ( cos15 ) y=− ( 49 125 + ) 2 + tan15.x + 0,8 ( ) x + − x + 0,8 (với x ≥ 0) Vị trí cầu rơi chạm đất giao điểm parabol trục hoành nên y = Giải phương trình y = ⇔ − ( 49 125 + ) ( ) x + − x + 0,8 = ta nghiệm x1 ≈ 7,21 (thỏa mãn) x2 ≈ ‒2,11 (không thỏa mãn) Giá trị nghiệm cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi đến vị trí cầu rơi chạm đất 7,21 m b) Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, bên mặt lưới điểm rơi khơng khỏi đường biên phía bên sân đối phương lần phát cầu xem hợp lệ Ta cần so sánh tung độ điểm quỹ đạo (có hồnh độ khoảng cách từ gốc tọa độ đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép lưới để tìm câu trả lời Khi x = 4,5 thay vào y = − y=− ( 49 125 + ) ( 49 125 + ( ) ( ) x + − x + 0,8 ta có: ) 4,52 + − 4,5 + 0,8 ≈ 0,942 m < 1,524 m Vậy phát cầu không hợp lệ B Bài tập tự luyện Bài Hàm số sau hàm số bậc hai? a) y = 5x2 + 2x – b) y = x3 + x + c) y = x2 + x +1 d) y = – x – x2 Hướng dẫn giải +) Hàm số y = 5x2 + 2x – hàm số bậc hai hàm số cho cơng thức có dạng y = f(x) = ax2 + bx + c với a = ≠ 0, b = 2, c = ‒1 +) Hàm số y = x3 + x + hàm số bậc hai hàm số có chứa x3, khơng cho cơng thức dạng y = f(x) = ax2 + bx + c +) Hàm số y = x2 + x +1 hàm số bậc hai hàm số chứa x , không cho công thức dạng y = f(x) = ax2 + bx + c +) Hàm số y = – x – x2 hàm số bậc hai hàm số cho cơng thức có dạng y = f(x) = ax2 + bx + c với a = ‒1 ≠ 0, b = ‒1, c = Vậy có hàm số y = 5x2 + 2x – 1, y = – x – x2 hàm số bậc hai Bài Tìm điều kiện m để hàm số y = mx2 + 4mx + hàm số bậc hai Khi m = 1, vẽ đồ thị hàm số xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số Hướng dẫn giải Để hàm số y = mx2 + 4mx + hàm số bậc hai hệ số x2 phải khác ⇔ m ≠ Khi m = (thỏa mãn m ≠ 0) hàm số trở thành: y = x2 + 4x + hàm số bậc hai Khi đồ thị hàm số parabol (P) Vẽ đồ thị: (các tham số a = 1, b' = 2, c = 3, ∆' = b'2 – ac = 1) + Có tọa độ đỉnh S(‒2; ‒1); + Có trục đối xứng d đường thẳng x = ‒2 (đường thẳng qua đỉnh S song song với trục Oy); + Bề lõm parabol quay lên a = > 0; + Đồ thị cắt trục tung điểm A(0; 3) Điểm B đối xứng với A qua trục đối xứng d có tọa độ B(‒4; 3); Phương trình x2 + 4x + = có hai nghiệm phân biệt x1 = ‒3 x2 = ‒1 nên đồ thị cắt trục hồnh hai điểm có toạ độ (‒3; 0) (‒1; 0) Ta có parabol sau: Do a = > nên hàm số nghịch biến khoảng (‒∞; ‒2) đồng biến khoảng (‒ 2; + ∞) Bài Cho hàm số bậc hai y = f(x) = ax2 + bx + c có f(0) = 6, f(1) = 11, f(2) = 18 a) Hãy xác định giá trị hệ số a, b, c b) Lập bảng biến thiên hàm số tìm câu a Hàm số có giá trị lớn hay giá trị nhỏ khơng? Tìm giá trị Hướng dẫn giải a) +) Với f(0) = 6, thay x = vào hàm số ta có: f(0) = a 02 + b + c = ⇔ c = +) Với f(1) = 11, thay x = vào hàm số ta có: f(1) = a 12 + b + c = 11 ⇔ a + b + c = 11 ⇔ a + b = (1) +) Với f(2) = 18, thay x = vào hàm số ta có: f(2) = a 22 + b + c = 18 ⇔ 4a + 2b + c = 18 ⇔ 4a + 2b = 12 ⇔ 2a + b = Trừ theo vế phương trình (2) cho phương trình (1) ta được: a = (2) Suy b = Khi phương trình bậc hai trở thành y = x2 + 4x + b) Xét hàm số y = x2 + 4x + có a = 1, b' = 2, c = ∆' = b'2 – ac = ‒2 Đỉnh S đồ thị hàm số có tọa độ: xS = − b = −2; yS = − = a a Hay S(‒2; 2) Vì hàm số bậc hai có a = > nên ta có bảng biến thiên sau: x ‒∞ ‒2 +∞ +∞ +∞ f(x) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ x = ‒2 Bài Một người tập chơi cầu lơng có khuynh hướng phát cầu với góc 45 độ so với mặt đất a) Hãy tính khoảng cách từ vị trí người phát cầu đến vị trí cầu chạm đất, biết cầu rời vợt độ cao 0,9 m so với mặt đất vận tốc ban đầu cầu m/s (bỏ qua sức cản gió quỹ đạo cầu mặt phẳng thẳng đứng, gia tốc trọng trường 9,8 m/s 2) b) Giả thiết câu a cho biết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới m Lần phát cầu có hỏng không? Cho biết mép lưới cách mặt đất 1,524 m Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ với vị trí rơi cầu thuộc trục hồnh vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung Với g = 9,8 m/s2, góc phát cầu α = 45o, vận tốc ban đầu cầu v0 = m/s, phương trình quỹ đạo cầu là: −g.x y= + tan ( ) x + y0 2v0 cos −9,8.x = + tan 45.x + 0,9 2.92.cos 45 = −9,8.x 2.92 2 =− + 1.x + 0,9 49 x + x + 0,9 (với x ≥ 0) 405 Vị trí cầu rơi chạm đất giao điểm parabol trục hoành nên y = Giải phương trình y = ⇔ − 49 x + x + 0,9 = ta nghiệm x1 ≈ 9,08 (thỏa 405 mãn) x2 ≈ - 0,82 (không thỏa mãn) Giá trị nghiệm cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi đến vị trí cầu rơi chạm đất 9,08 m b) Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, bên mặt lưới điểm rơi khơng khỏi đường biên phía bên sân đối phương lần phát cầu xem hợp lệ Ta cần so sánh tung độ điểm quỹ đạo (có hồnh độ khoảng cách từ gốc tọa độ đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép lưới để tìm câu trả lời Khi x = 3, ta có y = − 49 + + 0,9 ≈ 2,81 m > 1,524 m 405 Như lần phát cầu thỏa mãn qua lưới Ta có: Điểm bên cách vị trí phát: + 1,98 = 4,98m Điểm bên cách vị trí phát: + 6,7 = 9,7 m Do vị trí cầu rơi chạm đất 9,08 m, nằm khoảng điểm điểm nên lần phát cầu hợp lệ Vậy với vận tốc xuất phát cầu m/s lần phát hợp lệ Bài Cho vật rơi từ cao xuống với vận tốc ban đầu m/s Viết hàm số biểu thị quãng đường rơi s theo thời gian t vẽ đồ thị hàm số đó, lúc t = 5s vật rơi mét, biết g = 10m/s2, hệ trục tọa độ chọn mốc từ lúc vật bắt đầu rơi, gốc tọa độ vật thời điểm bắt đầu rơi Hướng dẫn giải Gọi vận tốc ban đầu vật v0 = m/s Do vật rơi nên vật chuyển động nhanh dần Suy hàm số biểu thị quãng đường rơi s theo thời gian t là: s = s0 + v0t + gt Ta thấy hệ trục tọa độ chọn mốc từ lúc vật bắt đầu rơi, gốc tọa độ vật thời điểm bắt đầu rơi nên s0 = 0, thời gian đại lượng không âm nên t ≥ Ta vẽ đồ thị hàm số: s = f(t) = 5t + 5t2 Đồ thị hàm số s = f(t) = 5t + 5t2 hệ trục tọa độ Oxy (trục Oy thay cho Os, Ox thay cho Ot) Parabol có đỉnh S(-0,5; -1,25), trục đối xứng x = -0,5, qua điểm (0; 0) (-1; 0) Đồ thị hàm số: s = f(t) = 5t + 5t2 với t ≥ ta lấy phần x ≥ (P) nên ta có phần đồ thị nét liền hình vẽ Khi t = vật rơi quãng đường là: s = f(5) = 5 + 52 = 150 (m) Vậy sau 5s vật rơi 150 m ... Nếu phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1; x2 đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ hai nghiệm Ví dụ: Cho hàm số bậc hai y = x2 + 2x + Ta xác định a =... hàm số bậc hai y = x + 2x + parabol (P): + Có đỉnh S với hoành độ x S = − b = −1 , tung độ yS = − = ; 2a 4a + Có trục đối xứng d đường thẳng x = ‒1 (đường thẳng qua đỉnh S(‒1; 0) song song với... qua đỉnh S song song + Bề lõm parabol (P) quay lên a = > 0; + Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ 1, tức đồ thị (P) qua điểm có tọa độ (0; 1) Ngồi phương trình 2x2 + 3x + = có hai nghiệm