1 Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit và cách giải bài tập I LÝ THUYẾT 1 Hàm số lũy thừa + Khái niệm Hàm số y x= , với , được gọi là hàm số lũy thừa + Tập xác định Tập xác định của hàm số l[.]
Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit cách giải tập I LÝ THUYẾT Hàm số lũy thừa + Khái niệm: Hàm số y = x , với , gọi hàm số lũy thừa + Tập xác định: Tập xác định hàm số lũy thừa y = x tùy thuộc vào giá trị Cụ thể: - Với nguyên dương, tập xác định - Với nguyên âm 0, tập xác định \ 0 - Với không nguyên, tập xác định ( 0;+ ) + Đạo hàm: ( x ) = .x −1 u = u(x) ( u ) = .u.u −1 + Sự biến thiên hàm số y = x khoảng ( 0;+ ) Với > 0: Hàm số đồng biến khoảng ( 0;+ ) Với < 0: Hàm số nghịch biến khoảng ( 0;+ ) + Đồ thị hàm số y = x khoảng ( 0;+ ) Đồ thị hàm số lũy thừa y = x qua điểm I(1,1) Hàm số mũ Hàm số có dạng y = a x , a gọi hàm số mũ + Tập xác định: D = + Tập giá trị: T = ( 0; + ) + Sự biến thiên: Khi a > hàm số đồng biến khoảng ( − ; + ) Khi < a < hàm số nghịch biến khoảng ( − ; + ) + Đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang + Đạo hàm: ( a ) = a x x ln a ( e x ) = e x ( a ) = a ln a.u ( e ) = e u u u u u + Bảng biến thiên đồ thị: Với: y = a x , (a > 1) Bảng biến thiên Đồ thị hình sau Với: y = a x , (0 < a < 1) Bảng biến thiên Đồ thị hình sau Hàm số logarit Hàm số có dạng y = loga x ( a 1) Tập xác định: D = ( 0; + ) Tập giá trị: T = Đạo hàm: ( log a x ) = x ln a ( ln x ) = , x > 0; x ( log a u ) = u u ln a ( ln u ) = u u Sự biến thiên: Khi a > hàm số đồng biến khoảng ( 0;+ ) , Khi < a < hàm số nghịch biến khoảng ( 0;+ ) Đồ thị: Đồ thị: Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận đứng II CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tìm tập xác định hàm số A Phương pháp giải - Tìm tập xác định hàm số lũy thừa: y = u ( x ) , Nếu + , hàm số xác định u(x)xác định − Nếu , hàm số xác định u ( x ) = Nếu , hàm số xác định u(x) > - Tìm tập xác định hàm số logarit: a 0,a Dựa vào định nghĩa logarit logab xác định b B Ví dụ minh họa Câu Hàm số y = ( x − ) có tập xác định A D = 2; + ) B D = C D = ( 2; + ) D D = \ 2 Lời giải Chọn C 1 y = x − Vì khơng ngun nên hàm số ( ) xác định x − x Tập xác định hàm số D = ( 2; + ) Câu 2.Cho hàm số y = x −4 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A Đồ thị hàm số có trục đối xứng B Đồ thị hàm số qua điểm(1,1) C Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận D Đồ thị hàm số có tâm đối xứng Lời giải Chọn D * TXĐ: D = \ 0 Ta có: y = x −4 = 1 x D − xD y ( −x ) = = = y ( x ) nên hàm số đã cho 4 x ( −x ) x hàm số chẵn Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng A đúng * Đồ thị hàm số qua điểm (1;1) nên B đúng * Ta có: lim y = TCN: y = 0; lim+ y = + TCĐ: x = x → x →0 Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận nên C đúng Câu Tập xác định hàm số y = ( x − 5x + ) −2019 A ( − ;2 ) ( 3; + ) B.(2;3) C R \ 2;3 D ( − ;2 3; + ) Lời giải Chọn C Vì -2019 số nguyên âm nên hàm số y = ( x − 5x + ) −2019 xác định x x − 5x + x Câu 4.Tìm tập xác định hàm số y = ( x − x − ) A D = B D = ( − ; − 1 2; + ) C D = ( − ; − 1) ( 2; + ) D D = \ −1;2 Lời giải Chọn C Vì khơng ngun nên hàm số y = ( x − x − ) xác định khi: x −1 x2 − x − x TXĐ: D = ( − ; − 1) ( 2; + ) Câu Tập xác định hàm số y = ( x − 27 ) A D = ( 3; + ) B D = C \ 2 D D = 3; + ) Lời giải Chọn A Vì khơng ngun nên hàm số đã cho xác định x − 27 x 27 x Câu Có giá trị nguyên m ( −2018;2018 ) để hàm số y = ( x − 2x − m + 1) 2018 có tập xác định D = A 2017 B Vô số C 2018 D 2016 Lời giải Chọn A Vì 2018 khơng ngun nên hàm số y = ( x − 2x − m + 1) x − 2x − m + , x x m 2018 có tập xác định D = x − 2x + m , x ( x − 1) m , m ( −2018;2018 ) m ( −2018;0 ) mà m nguyên nên m −2017; − 2016; ; − 1 Vậy có 2017 giá trị nguyên m Câu 7: Tìm tập xác định D hàm số y = log ( 2x + 1) 1 A D = − ; − 2 1 B D = ; + 2 C D = ( 0; + ) D D = − ; + Lời giải Chọn D Hàm số y = log ( 2x + 1) có nghĩa 2x + x − Vậy TXĐ D = − ; + Câu 8: Tìm tập xác định D hàm số y = log3 ( x + 3x + ) A D = [-2, -1] B D = ( − ; − ) ( −1; + ) C D = (-2, -1) D D = ( − ; − 2 −1; + ) Lời giải Chọn B x −2 Điều kiện x + 3x + Vậy tập xác định hàm số y = log3 ( x + 3x + ) x −1 là: D = ( − ; − ) ( −1; + ) Câu 9: Hàm số y = log ( − x + 5x − ) có tập xác định là: A (2, 3) B ( − ;2 ) ( 3; + ) C ( − ;2 ) D ( 3;+ ) Lời giải Chọn A Hàm số có nghĩa − x + 5x − < x < Kết luận Vậy tập xác định (2; 3) Câu 10: Tập xác định hàm số y = ln ( x − 1) + ln ( x + 1) là: A (1;+ ) ( ) B − ; C ) D ; + Lời giải Chọn A x − x x Ta có x + x − Kết luận: Vậy tập xác định D 1; Dạng 2: Tính đạo hàm hàm số A Phương pháp giải Hàm số Hàm số lũy thừa Đạo hàm hàm đơn giản Đạo hàm hàm hợp u = u(x) ( x ) = .x −1 ( u ) = .u.u −1 Hàm số mũ ( a ) = a x x ln a ( e x ) = e x Hàm số logarit ( log a x ) = x ln a ( a ) = a ln a.u ( e ) = e u u u u u ( log a u ) = u u ln a ( ln u ) = u u ( ln x ) = , x > 0; x B Ví dụ minh họa Câu Tính đạo hàm hàm số y = ( x + 1) 3 A ( x + 1) 14 B x C ( 2x ) 2 D 3x ( x + 1) Lời giải Chọn D Ta có 1 2 2 y = ( x + 1) = ( x + 1) ( x + 1) = 3x ( x + 1) Câu Cho hàm số y = ( 2x + 4x + 1) Khi đạo hàm y’(0) A B C 12 D 28 Lời giải Chọn A y = ( 2x + 4x + 1) y ( x ) = 3.( 4x + ).( 2x + 4x + 1) 3 −1 y ( ) = Câu Cho hàm số y = ( x + ) Gọi y’’ đạo hàm cấp hai hàm số y tập xác −2 định hàm số Khẳng định sau đúng? A 2y’’ – 3y = B ( y ) − 4y = C 2y’’ + 2y = D y − 6y = Lời giải Chọn D Ta có: y = ( x + ) y = −2 ( x + ) −2 y = ( x + ) −4 −3 Suy y − 6y = ( x + 2) − 6. = ( x + )2 Câu 4: Tính đạo hàm hàm số y = log 2017 ( x + 1) A y = 2x 2017 B y = 2x ( x + 1) ln 2017 C y = ( x + 1) ln 2017 D y = x + ( ) 2 Lời giải Chọn B ( (x + 1) ) ( x + 1) ln 2017 = ( x Ta có y = log 2017 ( x + 1) = 2 2x + 1) ln 2017 Câu 5: Cho hàm số y = 2xe x + 3sin 2x Khi y’(0) có giá trị A B −4 C D 10 Lời giải Chọn A y = 2xe x + 3sin 2x y = ( e x + xe x ) + 6cos 2x y ( ) = Câu 6: Tính đạo hàm hàm số y = A y = − ln 2 1− x B y = ln 2 1− x C y = −2 1− x 1− x D y = 1− x 1− x 1− x 1− x 1− x Lời giải Chọn A y = 1− x ln ( 1− x ) = 1− x ln ( −1) 1− x Hay y = − ln 2 1− x 1− x Câu 7: Cho hàm số y = e x + e − x Tính y (1) = ? A e + e B e − e C −e + e D −e − e Lời giải Chọn A Ta có: y = e x − e − x y = e x + e − x y (1) = e + e 11 Câu 8: Tính đạo hàm hàm số y = 36x +1 A y = 36x +2.2 B y = (6x + 1).36x C y = 36x +2.2ln D y = 36x +1.ln Lời giải Chọn C Ta có: y = 36x +1 y = ( 6x + 1) 36x +1 ln3 = 36x +1 ln3 = 36x +22ln3 Câu 9: Cho hàm số y = ln Hệ thức sau đúng? x +1 A xy + = e y B xe y + y = C xy + e y = D xe y + y = Lời giải Chọn A 1 y = − Ta có y = ln x +1 x +1 x.y + = − ln x x +1 +1= =e = ey x +1 x +1 ) ( Câu 10: Đạo hàm hàm số f ( x ) = ln x + x + a + C ( a ) : A B C x2 + a x + x2 + a x2 + a D x + x + a Lời giải Chọn A 12 Áp dụng công thức: ( ln u ) = ( x + x2 + a ) 1+ x u x +a = f '( x ) = = u x + x2 + a x + x2 + a x2 + a Dạng 3: Khảo sát biến thiên đồ thị hàm số A Phương pháp giải - Sự biến thiên hàm số: Áp dụng tính chất: a) Hàm số lũy thừa y = x khoảng ( 0;+ ) Với > 0: Hàm số đồng biến khoảng ( 0;+ ) Với < 0: Hàm số nghịch biến khoảng ( 0;+ ) b) Hàm số mũ: y = a x ( a 0,a 1) Tập xác định: Nếu a > 1: hàm số đồng biến Nếu < a < 1: hàm số nghịch biến c) Hàm số logarit y = log a x ( a 0,a 1) Tập xác định: ( 0;+ ) Nếu a > 1: hàm số đồng biến ( 0;+ ) Nếu < a < 1: hàm số nghịch biến ( 0;+ ) - Đồ thị hàm số B1: Dựa vào tính đơn điệu hàm số B2: Đồ thị hàm số lũy thừa y = x qua điểm I(1,1) Đồ thị hàm số mũ y = a x qua điểm A (1; a ) Đồ thị hàm số y = log a x qua điểm B ( a;1) B Ví dụ minh họa Câu Hàm số sau nghịch biến tập xác định nó: A y = x B y = x C y = x D y = x − Lời giải Chọn C 13 Hàm số y = x có tập xác định ( 0;+ ) = > nên hàm số đồng biến khoảng ( 0;+ ) Hàm số y = x có tập xác định ( 0;+ ) = > nên hàm số đồng biến khoảng ( 0;+ ) 3 Hàm số y = x có tập xác định ( 0;+ ) = − < nên hàm số nghịch biến khoảng ( 0;+ ) − Hàm số y = x có tập xác định ( 0;+ ) = > nên hàm số đồng biến khoảng ( 0;+ ) Câu Cho ba hàm số y = x , y = x , y = x −2 Khi đồ thị ba hàm số y = x , y = x , y = x −2 A (C3), (C2), (C1) B (C2), (C3), (C1) C (C2), (C1), (C3) D (C1), (C3), (C2) Lời giải Chọn B Nhìn vào đồ thị (C1) ta thấy xuống từ trái sang phải Là đồ thị hàm số nghịch biến nên đồ thị hàm số y = x −2 Vì nên đồ thị hàm số y = x (C2) Do (C3) đồ thị hàm số y = x ; Vậy đáp án là: B Câu 3: Hàm số sau đồng biến tập xác định nó? 14 A y = log (1 − x ) B y = 2017 2− x C y = log ( − x ) 3 D y = x +1 Lời giải Chọn C Hàm số y = log ( − x ) có TXĐ D = ( − ;3) Ta có y = ( − x ) ( − x ).ln 2 = −1 ( − x ).ln 2 , x Câu 4: Hàm số sau nghịch biến tập xác định nó? A y = log e x B y = log x C y = log2 x D y = log x Lời giải Chọn A Xét hàm y = log e x có TXĐ: D 0; Vì e nên y = log e x hàm nghịch biến tập xác định D 3 Câu 5: Cho hàm số y = 4 x − 2x + Trong khẳng định đây, khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến R B Hàm số nghịch biến khoảng ( −;1) 15 C Hàm số đồng biến trên ( −;1) D Hàm số nghịch biến R Lời giải Chọn C 3 y = ( 2x − ) 4 x − 2x + ln ; y = x = Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có hàm số ln đồng biến trên ( − ;1) Câu 6: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ln (16x + 1) − ( m + 1) x + m + nghịch biến khoảng ( − ; ) A m ( − ; − 3 B m 3; + ) C m ( − ; − 3) D m −3;3 Lời giải Chọn B Ta có: y = ln (16x + 1) − ( m + 1) x + m + y = 32x − ( m + 1) 16x + Hàm số nghịch biến y , x 32x − ( m + 1) , x 16x + Cách 1: 32x − ( m + 1) , x 16x + 32x − ( m + 1) (16x + 1) , x 16 −16 ( m + 1) x + 32x − ( m + 1) , x (1) m −1 −16 ( m + 1) m −1 m −5 m 2 − 16m − 32m + 240 = 16 − 16 m + ( ) m TH: m = −1 (1) thành x nên m = −1 không thỏa mãn Cách 2: 32x − ( m + 1) , x 16x + 32x m + , x 16x + Ta có: g ( x ) = m + max g ( x ) , với g ( x ) = −512x + 32 (16x + 1) 1 lim g ( x ) = ; g = ; x → 4 ; g ( x ) = x = 32x 16x + 1 1 g − = −4 4 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có max g ( x ) = Do đó: m + m III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tập xác định D hàm số y = ( x − 3x + ) A D = B D = ( − ; − 1) ( −2; + ) \ 1;2 C D = ( − ;1) ( 2; + ) D D = \ −1;2 Câu 2: Hàm số y = ( x − 2x + ) e x có đạo hàm A ( 2x + ) ex C −2xe x B x 2e x Câu 3: Tính đạo hàm hàm số y = 1− x D ( 2x − ) ex 17 A y = − ln 2 1− x 1− x B y = −2 1− x C y = 1− x D y = ln 2 1− x 1− x 1− x 1− x Câu 4: Đạo hàm hàm số y = (2x − 5x + 2)e x là: B ( 2x − x − 3) e x A xe x C 2x 2e x D ( 4x − 5) ex Câu 5: Tập xác định D hàm số y = log ( log x ) A D = B D = ( 0;1) C D = ( 0; + ) D D = (1; + ) Câu 6: Cho hàm số y = log x Tìm khẳng định sai A Hàm số đồng biến ( 0;+ ) B Hàm số nghịch biến ( − ;0 ) C Hàm số có điểm cực tiểu D Đồ thị hàm số có đường tiệm cận Câu 7: Cho ba số a , b , c dương khác Các hàm số y = loga x , y = logb x , y = log c x có đồ thị hình vẽ sau Khẳng định đúng? A a c b Câu 8: Tập xác định y = −2x + 5x − + ln A D = (1;2 C c b a B a b c là: x −1 B D = 1;2 Câu 9: Tìm tập xác định D hàm số y = log A D = ( − ;1) ( 2;10 ) C D = ( − ;10 ) D b c a C D = ( −1;1) D D = ( −1;2 ) 10 − x x − 3x + 2 B D = (1; + ) D D = ( 2;10 ) Câu 10: Đạo hàm hàm số y = log8 ( x − 3x − ) là: 18 A 2x − ( x − 3x − ) ln8 B 2x − ( x − 3x − ) ln C 2x − ( x − 3x − ) D ( x − 3x − ) ln8 2 2 Câu 11: Đạo hàm hàm số y = log ( 2sin x − 1) tập xác định là: A y = −2cos x 2sin x − C y = 2cos x ( 2sin x − 1) ln10 B y = D y = 2cos x 2sin x − −2cos x ( 2sin x − 1) ln10 ( ) Câu 12: Tính đạo hàm hàm số y = ln + x + A y = C y = ( x +1 1+ x +1 ( x +1 1+ x +1 ) ) B y = D y = 1+ x +1 ( x +1 1+ x +1 Bảng đáp án tập tự luyện C B A B D C A A A ) 10 11 12 A C A 19 ... đạo hàm hàm số A Phương pháp giải Hàm số Hàm số lũy thừa Đạo hàm hàm đơn giản Đạo hàm hàm hợp u = u(x) ( x ) = .x −1 ( u ) = .u.u −1 Hàm số mũ ( a ) = a x x ln a ( e x ) = e x Hàm số. .. > 1: hàm số đồng biến ( 0;+ ) Nếu < a < 1: hàm số nghịch biến ( 0;+ ) - Đồ thị hàm số B1: Dựa vào tính đơn điệu hàm số B2: Đồ thị hàm số lũy thừa y = x qua điểm I(1,1) Đồ thị hàm số mũ y =... từ trái sang phải Là đồ thị hàm số nghịch biến nên đồ thị hàm số y = x −2 Vì nên đồ thị hàm số y = x (C2) Do (C3) đồ thị hàm số y = x ; Vậy đáp án là: B Câu 3: Hàm số sau đồng biến tập xác định