Ôn tập chương VIII A Lý thuyết 1 Quy tắc cộng – Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc B Phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện không trùng với bất[.]
Ôn tập chương VIII A Lý thuyết Quy tắc cộng – Giả sử cơng việc thực theo phương án A B Phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực khơng trùng với cách phương án A Khi đó, cơng việc thực theo m + n cách Ví dụ: Lớp 10A có 20 học sinh, lớp 10C có 24 học sinh Có cách cử học sinh lớp 10A lớp 10C tham dự đại hội Đồn trường? Hướng dẫn giải Cơng việc cử học sinh có phương án thực hiện: Phương án 1: Cử học sinh lớp 10A, ta có 20 cách Phương án 2: Cử học sinh lớp 10C, ta có 24 cách Ta thấy cách thực phương án B không trùng với cách phương án A Do theo quy tắc cộng, có 20 + 24 = 44 cách cử học sinh lớp 10A lớp 10C tham dự đại hội Đoàn trường Quy tắc nhân – Giả sử công việc chia thành hai công đoạn Cơng đoạn thứ có m cách thực ứng với cách có n cách thực cơng đoạn thứ hai Khi cơng việc thực theo m n cách Ví dụ: Từ nhà An đến trường qua điểm A, B, C Từ nhà An đến điểm A có cách đi, từ điểm A đến điểm B có cách đi, từ điểm B đến điểm C có cách Từ điểm C đến trường học có cách Hỏi có cách từ nhà An đến trường? Hướng dẫn giải Từ nhà An đến trường qua điểm A, B, C, có cơng đoạn: + Công đoạn 1: Từ nhà An đến điểm A có cách + Cơng đoạn 2: Từ điểm A đến điểm B có cách + Cơng đoạn 3: Từ điểm B đến điểm C có cách + Công đoạn 4: Từ điểm C đến trường học có cách Do đó, theo quy tắc nhân, có 2 = 48 cách từ nhà An đến trường Hoán vị – Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách xếp n phần tử A theo thứ tự gọi hoán vị phần tử (gọi tắt hốn vị A hay n phần tử) Kí hiệu Pn số hoán vị n phần tử – Số hoán vị n phần tử (n ≥ 1) bằng: Pn = n(n – 1)(n – 2)….2 Chú ý: + Ta đưa vào kí hiệu n! = n(n – 1)(n – 2)… đọc n giai thừa giai thừa n Khi Pn = n! + Quy ước: 0! = Ví dụ: Có thể lập số có chữ số khác từ chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7? Trong số có số lẻ? Hướng dẫn giải • Mỗi số tự nhiên có chữ số khác lập từ chữ số 1; 2; 3; 5; 6; hoán vị chữ số Do đó, số số tự nhiên có chữ số khác lập là: P6 = 6! = = 720 (số) Vậy lập 720 số Ta lập số tự nhiên lẻ có chữ số khác từ chữ số 1; 2; 3; 5; 6; • Bước 1: Chọn chữ số hàng đơn vị chữ số lẻ Có cách chọn (chọn chữ số 1; 3; 5; 7) Bước 2: Chọn năm chữ số cịn lại Có P5 = 5! cách chọn Từ đó, theo quy tắc nhân, số số tự nhiên lẻ có sáu chữ số khác lập từ chữ số cho là: 4.5! = 480 (số) Chỉnh hợp – Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) số nguyên k với ≤ k ≤ n Mỗi cách lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Kí hiệu A kn số chỉnh hợp chập k n phần tử – Số chỉnh hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) bằng: A kn = n(n – 1)(n – 2) ….(n – k + 1) = n! ( n − k )! Nhận xét: Mỗi hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Ta có Pn = Ann , n ≥ Ví dụ: Trên bàn có 10 cam to nhỏ khác Chọn cam 10 đó, đặt vào giỏ nhựa khác Hỏi có cách chọn cam Hướng dẫn giải Mỗi cách chọn cam 10 cam đặt vào giỏ nhựa gọi chỉnh hợp chập 10 cam Ta thấy số chỉnh hợp bằng: = 10 = 720 A10 Vậy có 720 cách chọn cam Tổ hợp – Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi tập gồm k phần tử (1 ≤ k ≤ n) A gọi tổ hợp chập k n phần tử Kí hiệu Ckn số tổ hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) – Số tổ hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) bằng: Ckn = n! k!( n − k )! Chú ý: Người ta quy ước C0n = Nhận xét: Ckn = Cnn −k (0 ≤ k ≤ n) Ví dụ: Lớp 10A có 20 học sinh Trong tuần sau có bạn cử dự đại hội Đồn Thanh niên Hỏi có cách chọn bạn học sinh lớp dự đại hội Đoàn Thanh niên? Hướng dẫn giải Mỗi cách chọn bạn học sinh lớp từ 20 bạn học sinh tổ hợp chập 20 học sinh Do số cách chọn bạn học sinh lớp dự đại hội Đoàn Thanh niên là: C520 = 20! = 15 504 (cách) 5!.15! Vậy có 15 504 cách chọn bạn học sinh lớp dự đại hội Đồn Thanh niên Ví dụ: Tính: a) C11 14 ; b) C22 24 + C24 ; c) C227 − C26 Hướng dẫn giải a) C11 14 = 14! 14.13.12.11! 14.13.12 = = = 364 11!.3! 11!.3.2.1 3.2.1 24−2 b) C22 + C224 = C224 + C224 = 2C24 24 + C24 = C24 = 24! 24.23.22! = = 24.23 = 552 2!.22! 2.1.22! c) C227 − C26 = = 27! 26! 27.26.25! 26.25.24! − = − 2!.25! 2!.24! 2.1.25! 2.1.24! 27.26 26.25 26 − = ( 27 − 25 ) = 13.2 = 26 2.1 2.1 Tính số hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp máy tính cầm tay Với số máy tính cầm tay, ta tính tốn nhanh số hốn vị, chỉnh hợp tổ hợp Ví dụ: • Để tính P10 ta ấn liên tiếp phím: 10 SHIFT x −1 ( x!) = Ta nhận kết 628 800 • Để tính A 64 ta ấn liên tiếp phím: SHIFT ( n Pr ) = Ta nhận kết 360 • Để tính C84 ta ấn liên tiếp phím: SHIFT ( nCr ) Ta nhận kết 70 = Nhị thức Newton Hai công thức khai triển: • ( a + b ) = C04a + C14a 3b + C 24a 2b + C34ab3 + C 44b 4 = a + 4a 3b + 6a 2b2 + 4ab3 + b4 ; • ( a + b ) = C50a + C15a 4b + C52a 3b + C35a 2b3 + C54ab + C55b 5 = a + 5a 4b + 10a 3b2 + 10a 2b3 + 5ab4 + b5 Hai công thức gọi công thức nhị thức Newton (gọi tắt nhị thức Newton) (a + b) n ứng với n = n = Chú ý: – Các hệ số khai triển nhị thức Newton (a + b)n với n = 0; 1; 2; 3; … viết thành hàng xếp thành bảng số Bảng số có quy luật: số số cuối hàng 1; tổng số liên tiếp hàng số hàng kế vị trí hai số (được mũi tên bảng) Bảng số dược gọi tam giác Pascal (đặt theo tên nhà tốn học, vật lí học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623 – 1662) Ví dụ: Sử dụng cơng thức nhị thức Newton khai triển biểu thức (a + 2)4 Hướng dẫn giải Theo công thức nhị thức Newton ta có: (a + 2)4 = 1.a4 + 4a3.2 + 6a2.22 + 4a.23 + 24 = a4 + 8a3 + 24a2 + 32a + 16 ( Ví dụ: Khai triển rút gọn biểu thức: + ) + (1 − ) 5 Hướng dẫn giải Theo cơng thức nhị thức Newton ta có: ( • 1+ ) = + 5 + 10 ( 5) + 10 ( 5) + ( 5) + ( 5) = + 5 + 50 + 50 + 125 + 25 = 176 + 80 ( • 1+ ) ( ) ( = + − + 10 − ) ( + 10 − ) ( + − = − 5 + 50 − 50 + 125 − 25 = 176 − 80 Do ta có: ( 1+ ) ( + 1− ) B Bài tập tự luyện = 176 + 80 + 176 − 80 = 352 ) ( + − ) Bài Một giỏ hoa chứa cam táo a) Hỏi có cách chọn cam táo? b) Hỏi có cách chọn cam táo? Hướng dẫn giải a) Chọn cam táo, có phương án chọn: + Phương án 1: Chọn cam cam có cách + Phương án 2: Chọn táo táo có cách Mỗi cách phương án không trùng với cách phương án Do có + = cách để chọn cam táo b) Chọn cam táo có cơng đoạn: + Cơng đoạn 1: chọn cam có cách + Cơng đoạn 2: chọn táo có cách Theo quy tắc nhân, có = 20 cách chọn cam táo Bài Trong tủ sách lớp Vân có 10 sách Tốn, sách Ngữ Văn sách Tiếng Anh Bạn Vân muốn chọn sách Toán, Ngữ Văn Tiếng Anh để đọc Hỏi Vân có cách chọn? Hướng dẫn giải Chọn sách Toán, sách Tiếng Việt, sách Tiếng Anh có cơng đoạn: + Cơng đoạn 1: Chọn Tốn có 10 cách + Cơng đoạn 2: Chọn Ngữ Văn có cách + Công đoạn 3: Chọn Tiếng Anh có cách Theo quy tắc nhân, Vân có 10 = 400 cách chọn sách Toán, sách Ngữ Văn sách Tiếng Anh Bài Có số tự nhiên có chữ số đó: a) chữ số chữ số chẵn b) chữ số hàng chục hàng trăm chữ số lẻ, chữ số hàng đơn vị chữ số chẵn Hướng dẫn giải Gọi số cần tìm có chữ số abc (với < a < 9; ≤ b, c ≤ 9; a, b, c ∈ ℕ) Ta có a ∈{1; 2; …; 9}; b ∈{0; 1; 2; …; 9} c ∈{0; 1; 2; …; 9} a) Lập số tự nhiên có chữ số chữ số chẵn có cơng đoạn: + Cơng đoạn 1: Chọn chữ số hàng trăm: có cách chọn (chọn chữ số 2; 4; 6; 8) + Công đoạn 2: Chọn chữ số hàng chục: có cách chọn (chọn chữ số 0; 2; 4; 6; 8) + Công đoạn 3: Chọn chữ số hàng đơn vị: có cách chọn (chọn chữ số 0; 2; 4; 6; 8) Theo quy tắc nhân, có 5 = 100 cách chọn Vậy có 100 số tự nhiên có chữ số chữ số chẵn b) Lập số tự nhiên theo u cầu có cơng đoạn: + Cơng đoạn 1: Chọn chữ số hàng trăm: có cách chọn (chọn chữ số 1; 3; 5; 7; 9) + Cơng đoạn 2: Chọn chữ số hàng chục: có cách chọn (chọn chữ số 1; 3; 5; 7; 9) + Công đoạn 3: Chọn chữ số hàng đơn vị: có cách chọn (chọn chữ số 0; 2; 4; 6; 8) Theo quy tắc nhân, có 5 = 125 cách chọn Vậy có 125 số tự nhiên có chữ số mà chữ số hàng chục hàng trăm chữ số lẻ, chữ số hàng đơn vị chữ số chẵn Bài Minh từ nhà đến nhà sách theo đường hình vẽ bên dưới, có đường qua Circle K Highlands Coffee Hỏi Minh có cách từ nhà đến nhà sách? Hướng dẫn giải – Đi từ nhà Minh đến nhà sách phải qua Circle K Highlands Coffee có cơng đoạn: + Công đoạn 1: Đi từ nhà Minh đến Circle K: có cách + Cơng đoạn 2: Đi từ Circle K đến Highlands Coffee: có cách + Công đoạn 3: Đi từ Highlands Coffee đến nhà sách: có cách Do theo quy tắc nhân có = 24 cách từ nhà Minh đến nhà sách Vậy có 24 cách từ nhà Minh đến nhà sách Bài Có ghế phịng học Hỏi có học sinh ngồi vào có cách xếp? Nếu có bạn An (có học sinh trên) muốn ngồi vào ghế ngồi bên trái có cách xếp? Hướng dẫn giải • Mỗi cách xếp học sinh vào ghế hốn vị học sinh Do đó, số cách xếp học sinh vào ghế trống là: P6 = 6! = 720 cách Vậy có 720 cách xếp học sinh vào ghế trống • Bạn An muốn ngồi vào ghế bên trái nên ghế trống học sinh Do đó, số cách xếp học sinh vào ghế trống là: P5 = 5! = 120 cách Vậy bạn An muốn ngồi vào ghế bên trái có 120 cách xếp Bài Trong đại hội Đồn gồm có 10 ứng viên Người ta cần bầu chủ tịch, phó chủ tịch, ủy viên thư kí Hỏi có khả kết bầu này? Hướng dẫn giải Mỗi cách chọn người số 10 ứng viên để vào vị trí (chủ tịch, phó chủ tịch, ủy viên thư kí) chỉnh hợp chập 10 ứng viên Do có số khả kết bầu là: = A10 10! = 040 4! Vậy có 040 khả kết bầu Bài Trong hộp đựng viên bi đỏ, viên bi xanh, 10 viên bi trắng Có cách chọn viên bi trường hợp sau: a) viên bi có màu b) viên bi chọn có hai viên bi màu trắng Hướng dẫn giải a) Có tất cả: + + 10 = 24 viên bi hộp Chọn viên bi tổng số 24 viên bi tổ hợp chập 24 Do số cách chọn viên bi có màu hộp là: C424 = 10626 (cách) Vậy có 10 626 cách chọn viên bi có màu b) Chọn viên bi có hai viên bi màu trắng ta chia làm hai công đoạn: Công đoạn 1: chọn viên bi màu trắng 10 viên bi màu trắng tổ hợp chập 10 Do có C10 = 45 (cách) Cơng đoạn 1: chọn viên bi 14 viên bi lại tổ hợp chập 14 Do có C14 = 91 (cách) Theo quy tắc nhân ta có: 45.91= 095 cách chọn viên bi có viên bi màu trắng Bài Sử dụng công thức nhị thức Newton khai triển biểu thức: a) (2x + y)4; ( ) b) x − Hướng dẫn giải Theo cơng thức nhị thức Newton ta có: a) (2x + y)4 = (2x)4 + 4.(2x)3.y + 6.(2x)2.y2 + 4(2x).y3 + y4 = 16x4 + 32x3y + 24x2y2 + 8xy3 + y4 ( b) x − ) ( ) ( = x + 5x − + 10x − ) = x − 5x + 50x − 50 5x + 125x − 25 Bài Tìm hệ số x4 khai triển (2x – 3)5 Hướng dẫn giải Theo công thức nhị thức Newton ta có: ( + 10x − ) ( + 5x − ) ( + − ) (2x + 3)5 = (2x)5 + 5(2x)4.(–3) + 10.(2x)3.(–3)2 + 10.(2x)2.(–3)3 + 5.2x.(–3)4 + (–3)5 = 32x5 – 240x4 + 720x3 – 1080x2 + 810x – 243 Vậy hệ số x4 khai triển –240 Bài 10 Sử dụng công thức nhị thức Newton chứng tỏ rằng: C50 + 2.C15 + 22.C52 + 23.C35 + 24.C54 + 25.C55 = 243 Hướng dẫn giải Giả sử ta có khai triển (a + b)n với n = 0; 1; 2; … Ta thấy biểu thức chứng minh có tổ hợp chập k 5, nên n = Ở có xuất lũy thừa số từ mũ đến mũ nên b = Ta có khai triển: ( x + 2) = C50 x + C15 x + C52 x 3.22 + C35.x 23 + C54 x.2 + C55.25 Khi x = ta có: (1 + ) = C50 15 + C15 14.2 + C52 13.22 + C35 12.23 + C54 1.2 + C55.25 35 = C50 + 2.C15 + 22.C52 + 23.C35 + 24.C54 + 25.C55 243 = C50 + 2.C15 + 22.C52 + 23.C53 + 24.C54 + 25.C55 Vậy C50 + 2.C15 + 22.C52 + 23.C35 + 24.C54 + 25.C55 = 243 Bài 11 Khai triển rút gọn biểu thức: (x + 2)4 + (2 – x)4 Từ tính giá trị biểu thức: 2,054 + 1,954 Hướng dẫn giải Theo công thức nhị thức Newton ta có: • (x + 2)4 = x4 + 4x3.2 + 6x2.22 + 4x.23 + 24 = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16 • (2 – x)4 = 24 + 4.23.(–x) + 6.22.(–x)2 + 4.2.(–x)3 + (–x)4 = x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16 Do ta có: (x + 2)4 + (2 – x)4 = 2x4 + 48x2 + 32 Với x = 0,05 ta có: (0,05 + 2)4 + (2 – 0,05)4 = 2.(0,05)4 + 48.(0,05)2 + 32 = 32,1200125 Vậy 2,054 + 1,954 = 32,1200125 ... + 3)5 = (2x)5 + 5(2x)4.(–3) + 10. (2x)3.(–3)2 + 10. (2x)2.(–3)3 + 5.2x.(–3)4 + (–3)5 = 32x5 – 240x4 + 720x3 – 1 080 x2 + 81 0x – 243 Vậy hệ số x4 khai triển –240 Bài 10 Sử dụng công thức nhị thức... + 125 + 25 = 176 + 80 ( • 1+ ) ( ) ( = + − + 10 − ) ( + 10 − ) ( + − = − 5 + 50 − 50 + 125 − 25 = 176 − 80 Do ta có: ( 1+ ) ( + 1− ) B Bài tập tự luyện = 176 + 80 + 176 − 80 = 352 ) ( + − ) Bài... 10 cam to nhỏ khác Chọn cam 10 đó, đặt vào giỏ nhựa khác Hỏi có cách chọn cam Hướng dẫn giải Mỗi cách chọn cam 10 cam đặt vào giỏ nhựa gọi chỉnh hợp chập 10 cam Ta thấy số chỉnh hợp bằng: = 10