Ôn tập chương IV A Lý thuyết 1 Giá trị lượng giác của một góc Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác đối với góc nhọn cho những góc α bất kì với 0° ≤ α ≤ 180°, ta có định nghĩa sau đây Với mỗi góc α (0° ≤[.]
Ôn tập chương IV A Lý thuyết Giá trị lượng giác góc Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác góc nhọn cho góc α với 0° ≤ α ≤ 180°, ta có định nghĩa sau đây: Với góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định điểm M nửa đường tròn đơn vị cho xOM = Gọi (x0; y0) toạ độ điểm M, ta có: - Tung độ y0 M sin góc α, kí hiệu sinα = y0; - Hồnh độ x0 M cơsin góc α, kí hiệu cosα = x0; - Tỉ số y0 y (x0 ≠ 0) tang góc α, kí hiệu tan = ; x0 x0 - Tỉ số x0 x (y0 ≠ 0) cơtang góc α, kí hiệu cot = y0 y0 Các số sinα, cosα, tanα, cotα gọi giá trị lượng giác góc α Chú ý: a) Nếu α góc nhọn giá trị lượng giác α dương Nếu α góc tù sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0, cotα < b) tanα xác định α ≠ 90° cotα xác định α ≠ 0° α ≠ 180° Quan hệ giá trị lượng giác hai góc bù Với góc α thoả mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta ln có: sin(180° ‒ α) = sinα; cos(180° ‒ α) = ‒cosα; tan(180° ‒ α) = ‒tanα (α ≠ 90°); cot(180° ‒ α) = ‒cotα (0° < α < 180°) Giá trị lượng giác số góc đặc biệt Dưới bảng giá trị lượng giác số góc đặc biệt: α Giá trị 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° sinα 2 3 2 2 cosα 2 2 − tanα 3 || − cotα || 3 − 3 lượng giác − − ‒1 ‒1 − 3 ‒1 − || 2 Chú ý: Trong bảng, kí hiệu “||” để giá trị lượng giác khơng xác định Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị lượng giác góc Có nhiều loại máy tính cầm tay giúp tính nhanh chóng giá trị lượng giác góc Chẳng hạn, ta thực loại máy tính cầm tay sau: Sau mở máy, ẩn liên tiếp phím SHIFT MENU để hình lên bảng lựa chọn Ấn phím để vào chế độ cài đặt đơn vị đo góc Ấn tiếp phím để xác định đơn vị đo góc “độ” Ấn phím MENU để vào chế độ tính tốn hình ảnh đây: 4.1 Tính giá trị lượng giác góc Ví dụ: Sử dụng máy tính cầm tay, tính sin125°, cos50°12', tan160°56'25'', cot100° Hướng dẫn giải - Để tính sin125°, ta bấm liên tiếp phím sau đây: sin ' '' ) = Khi ta kết hình là: Vậy sin125° ≈ 0,81915204429 - Để tính cos50°12', ta bấm liên tiếp phím sau đây: cos ' '' ' '' ) = Khi ta kết hình là: Vậy cos50°12' ≈ 0,64010969948 - Để tính tan160°56'25'', ta bấm liên tiếp phím sau đây: tan ' '' ' '' ' '' ) = Khi ta kết hình là: Vậy tan160°56'25'' ≈ ‒0,345493396426 - Để tính cot100°, ta bấm liên tiếp phím sau đây: Khi ta kết hình là: Vậy cot100° ≈ ‒0,17632698071 4.2 Xác định số đo góc biết giá trị lượng giác góc Ví dụ: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm α (0° < α < 180°) biết sinα = 0,51; cosα = ‒0,7; tan = 2; cotα = 1,7 Hướng dẫn giải - Để tìm α biết sinα = 0,51, ta ấn liên tiếp phím sau đây: SHIFT sin ) = ' '' Khi ta kết hình là: Vậy với sinα = 0,51 α ≈ 30°39'50'' Ta học với 0° < α < 180° sin(180° ‒ α) = sinα nên ngồi giá trị α ≈ 30°39'50'' ta cịn có giá trị α ≈ 180° ‒ 30°39'50'' ≈ 149°20'10'' Ta bấm máy tính sau: ' '' − ' '' ' '' ' '' = - Để tìm α biết cosα = ‒0,7, ta ấn liên tiếp phím sau đây: SHIFT cos − ) = ' '' Khi ta kết hình là: Vậy với cosα = ‒0,7 α ≈ 134°25'37'' - Để tìm α biết tan = 2, ta ấn liên tiếp phím sau đây: SHIFT tan ) = ' '' Khi ta kết hình là: Vậy với tan = α ≈ 54°44'8'' - Để tìm α biết cotα = 1,7, trước hết ta tính tan = đây: Khi ta kết hình là: , ta ấn liên tiếp phím sau cot Sau ta bấm liên tiếp phím: SHIFT tan Ans ) = ' '' Khi ta kết hình là: Vậy với cotα = 1,7 α ≈ 30°27'56'' Định lí cơsin tam giác Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB; c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC Từ định lí cơsin, ta có hệ sau đây: Hệ quả: b2 + c2 − a cos A = ; 2bc c2 + a − b2 cos B = ; 2ca cos C = a + b2 − c2 2ab Định lí sin tam giác Định lí sin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có: a b c = = = 2R; sin A sin B sin C Trong R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Từ định lí sin, ta có hệ sau đây: Hệ quả: a = 2R.sinA; b = 2R.sinB; c = 2R.sinC; sin A = a b c ;sin B = ;sin C = 2R 2R 2R Các cơng thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC Ta kí hiệu: +) BC = a, CA = b, AB = c +) ha, hb, hc độ dài đường cao ứng với cạnh BC, CA, AB +) R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác +) r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác +) p nửa chu vi tam giác +) S diện tích tam giác Ta có cơng thức tính diện tích tam giác sau: 1 (1) S = ah a = bh b = ch c ; 2 1 (2) S = ab.sin C = bc.sin A = ac.sin B; 2 (3) S = abc ; 4R (4) S = pr; (5) S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) (Công thức Heron) Giải tam giác Giải tam giác tìm số đo cạnh góc cịn lại tam giác ta biết yếu tố đủ để xác định tam giác Để giải tam giác, ta thường sử dụng cách hợp lí hệ thức lượng như: định lí sin, định lí cơsin cơng thức tính diện tích tam giác Áp dụng giải tam giác vào thực tế Vận dụng giải tam giác giúp ta giải nhiều toán thực tế, đặc biệt thiết kế xây dựng B Bài tập tự luyện Bài Tam giác ABC vuông cân A nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Tính tỉ số R r Hướng dẫn giải Giả sử AB = AC = a Xét tam giác ABC vuông cân A, theo định lí Pythagore ta có: BC2 = AB2 + AC2 = a2 + a2 = 2a2 BC = a Do nửa chu vi tam giác ABC p = 2+ AB + AC + BC a + a + a = = a 2 Tam giác ABC vng A nên diện tích tam giác ABC là: 1 a2 S = AB.AC = a.a = 2 Mặt khác S = pr = AB.AC.BC 4R a2 S a AB.AC.BC a.a.a a 2 R = r= = = = = a2 p 4S 2+ 2+ a a R a a a 2+ : = =1+ Do = = a r 2+ 2 a 2+ Vậy R = + r Bài Nhà thầu đất Đức cung cấp kích thước sau qua điện thoại: Khu vườn hình tam giác ABC có CAB = 45 , AC = m, BC = m Nền đất cần phải có độ cao 10 cm a) Giải thích nhà thầu đất Đức cần thêm thơng tin từ khách hàng b) Cần khối lượng đất tối đa (để tạo thành khu đất) khách hàng anh Đức cung cấp thêm thông tin cần thiết? Hướng dẫn giải a) Áp dụng định lí sin với tam giác ABC ta có: BC sin CAB sin CBA = = AC sin CBA AC.sin CAB 8.sin 45 = 0,943 BC CBA 7034' CBA 180 − 7034' 10926' (hình vẽ đây) Như ta có hai gá trị khác góc CBA nên hình tam giác khơng xác định cách Điều giải thích anh Đức cần thêm thông tin khu vườn b) Nền đất khu vườn khối lăng trụ đứng với đáy tam giác ABC chiều cao không đổi 10 cm, nên khối lượng đất tối đa để tạo khu đất tỉ lệ với diện tích lớn tam giác ABC +) Nếu CBA 7034' ACB 180 − 45 − 7034' 6426' Khi diện tích tam giác ABC là: 1 S = CA.CB.sin ACB 8.6.sin 6426' 21,65 (m2) 2 +) Nếu CBA 10926' ACB 180 − 45 − 10926' 2534' Khi diện tích tam giác ABC là: 1 S = CA.CB.sin ACB 8.6.sin 2634' 10,36 (m2) 2 Khi diện tích lớn tam giác ABC 21,65 m2 Đổi 10 cm = 0,1 m Khối lượng đất tối đa cần khoảng: 21,65 0,1 ≈ 2,165 (m3) Vậy khối lượng đất tối đa cần để tạo thành khu đất khoảng 2,165 m3 Bài Vợ chồng anh Minh xem xét mua mảnh đất Nhân viên nhà đất cung cấp cho họ vẽ chi tiết hình vẽ Tính diện tích mảnh đất số tỉ đồng vợ chồng anh Minh cần dùng để mua đất biết giá đất 25 triệu đồng/ m2 đất (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) Hướng dẫn giải Diện tích mảnh đất diện tích hai tam giác ABD tam giác BCD Ta có: SABD = 1 AB.AD.sin BAD = 12,5.12.sin 75 72, 44 ( m ) 2 Áp dụng định lí cơsin cho tam giác BAD ta có: BD2 = AB2 + AD2 – 2.AB.AD cosBAD BD2 = 12,52 + 122 ‒ 2.12,5.12.cos75° BD ≈ 14,92 (m) Do SBCD = 1 BD.CD.sin BDC 14,92.9.sin 30 33,57 ( m ) 2 Khi diện tích mảnh đất là: S = SABD + SBCD ≈ 72,44 + 33,57 = 106,01 (m2) Số tiền vợ chồng anh Minh cần dùng để mua mảnh đất là: 106,01 25 = 650,25 (triệu đồng) = 2,65025 tỉ đồng ≈ 2,65 tỉ đồng Vậy diện tích mảnh đất khoảng 106,01 m2 số tiền cần dùng mua đất khoảng 2,65 tỉ đồng Bài Tính giá trị biểu thức: a) A = sin30°.cos45°.sin60° ‒ cos120°.tan135°.cot150° b) B = cos0° + cos20° + cos40° + … + cos160° + cos180°; c) C = sin (180 − x ) − cos ( 90 − x ) + sin x – tan x sin ( 90 − x ) Hướng dẫn giải a) A = sin30°.cos45°.sin60° ‒ cos120°.tan135°.cot150° ( 1 A= − − ( −1) − 2 2 A= + A= 6+4 ) b) B = cos0° + cos20° + cos40° + … + cos160° + cos180° B = (cos0° + cos180°) + (cos20° + cos160°) + … + (cos80° + cos100°) B = (cos0° ‒ cos0°) + (cos20° ‒ cos20°) + … + (cos80° ‒ cos80°) (hai góc bù nhau) B = c) C = sin (180 − x ) − cos ( 90 − x ) + sin x – tan x sin ( 90 − x ) C = sin x − sin x + sin x – tan x cos x C = + tan2x ‒ tan2x C = Bài Cho góc α (0° ≤ α ≤ 180°) với tan = − Tính giá trị biểu thức M = cos + cot − Hướng dẫn giải Với tan = − ta có α = 120° Suy ra: sin = 3 ;cos = − ;cot = − 2 Do đó: M = cos + cot − sin 3 M = − + − − 2 3 1 M=− + − 3 M=− Vậy M = − sin Bài Tính độ dài cạnh góc chưa biết tam giác ABC, diện tích tam giác ABC, bán kính đường trịn ngoại tiếp, bán kính đường trịn nội tiếp đường cao kẻ từ C tam giác ABC (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) hình sau: Hướng dẫn giải Xét tam giác ABC có B = 60,C = 80 ta có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) A = 180 − B − C A = 180 − 60 − 80 = 40 Theo định lí sin ta có: BC AC AB = = = 2R sin A sin B sin C BC AC = = = 2R sin 40 sin 60 sin 80 6.sin 40 BC = 3,92 sin 80 6.sin 60 AC = 5, 28 sin 80 R = 2.sin 80 3,05 Nửa chu vi tam giác ABC là: p = AB + AC + BC + 5, 28 + 3,92 = 7, 2 Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là: SABC = p ( p − AB)( p − AC )( p − BC ) SABC 7,6 ( 7,6 − ) ( 7,6 − 5, 28 ) ( 7,6 − 3,92 ) 10,19 (đơn vị diện tích) Mặt khác SABC = pr r = SABC 10,19 1,34 p 7,6 Lại có SABC = AB.h C (với hC đường cao kẻ từ C đến AB tam giác ABC) hC = 2.SABC 2.10,19 3, AB Vậy A = 40; BC ≈ 3,92; AC ≈ 5,28; R ≈ 3,05; r ≈ 1,34; h C ≈ 3,4 S ≈ 10,19 (đơn vị diện tích) Bài Hình bình hành ABCD có AB = a, BC = a BAD = 45 Tính diện tích hình bình hành Hướng dẫn giải Vì ABCD hình bình hành nên AD = BC (tính chất hình bình hành) Mà BC = a nên AD = a Diện tích tam giác ABD là: 1 a2 SABD = AB.AD.sin BAD = a.a 2.sin 45 = (đơn vị diện tích) 2 Do diện tích hình bình hành ABCD là: SABCD = 2SABD a2 = = a (đơn vị diện tích) Bài Tam giác ABC vng A có AB = AC = 30 cm Hai đường trung tuyến BE CF cắt G Tính diện tích tam giác GEC Hướng dẫn giải Vì BE trung tuyến tam giác ABC nên E trung điểm AC 1 Do EC = AC = 30 = 15 ( cm ) 2 Hai đường trung tuyến BE CF cắt G nên G trọng tâm tam giác ABC Khi GE = BE (tính chất trọng tâm tam giác) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ G xuống AC Suy GH // AB Do Hay GH GE = (định lí Ta – let tam giác ABE) BA BE GH 1 = GH = 30 = 10 ( cm ) BA 3 1 Diện tích tam giác GEC là: SGEC = GH.EC = 10.15 = 75 ( cm ) 2 Vậy diện tích tam giác GEC 75 cm2 Bài Giải tam giác ABC biết AC = 16, A = 60 B = 50 Hướng dẫn giải Xét tam giác ABC có A = 60, B = 50 ta có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) C = 180 − A − B C = 180 − 60 − 50 = 70 Theo định lí sin ta có: BC AC AB = = sin A sin B sin C BC 16 AB = = sin 60 sin 50 sin 70 16.sin 60 BC = sin 50 18,1 AB = 16.sin 70 19,6 sin 50 Vậy C = 70, BC 18,1 AB ≈ 19,6 Bài 10 Trên tồ nhà có cột cờ cao m Từ vị trí quan sát A cao m so với mặt đất, nhìn thấy đỉnh B chân C cột cờ góc 45° 40° so với phương nằm ngang (hình vẽ) Tìm chiều cao tồ nhà Hướng dẫn giải ( ) Từ hình vẽ ta có BAC = 45 − 40 = 5 ABD = 180 − BAD + ADB (định lí tổng ba góc tam giác) Do ABD = 45 Suy ra: ABC = ABD = 45 Áp dụng định lí sin tam giác ABC có: BC sin BAC = AC sin ABC Suy AC = BC.sin ABC sin BAC = 2.sin 45 16, ( m ) sin 5 Trong tam giác vng ADC có CD = AC.sin CAD 16, 2.sin 40 10, ( m ) Do CH = CD + DH ≈ 10,4 + ≈ 15,4 (m) Vậy chiều cao nhà khoảng 15,4 m Bài 11 Tam giác ABC có AB = 3, BC = 8, M trung điểm BC, cosAMB = AM > Tính AM giải tam giác ABC biết tam giác ABC tam giác tù Hướng dẫn giải Vì M trung điểm BC nên BM = MC = 1 BC = = 2 Xét tam giác ABM, áp dụng hệ định lí cơsin ta có: AM + BM − AB2 cosAMB = 2.AM.BM 13 AM + 42 − 32 = 26 2.AM.4 AM + = 40 13 AM 26 13 26 ... ≈ 1 34? ?25''37'''' - Để tìm α biết tan = 2, ta ấn liên tiếp phím sau đây: SHIFT tan ) = '' '''' Khi ta kết hình là: Vậy với tan = α ≈ 54? ?44 ''8'''' - Để tìm α biết cotα = 1,7, trước hết ta tính tan... tan160°56''25'''', ta bấm liên tiếp phím sau đây: tan '' '''' '' '''' '' '''' ) = Khi ta kết hình là: Vậy tan160°56''25'''' ≈ ‒0, 345 49339 642 6 - Để tính cot100°, ta bấm liên tiếp phím sau đây: Khi ta kết hình... = Khi ta kết hình là: Vậy sin125° ≈ 0,819152 044 29 - Để tính cos50°12'', ta bấm liên tiếp phím sau đây: cos '' '''' '' '''' ) = Khi ta kết hình là: Vậy cos50°12'' ≈ 0, 640 109 69 948 - Để tính tan160°56''25'''',