Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 4 Tích vô hướng của hai vectơ A Lý thuyết 1 Góc giữa hai vectơ Cho hai vectơ a và b đều khác 0 Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA a= , OB b= Góc AOB với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai ve[.]
Bài Tích vơ hướng hai vectơ A Lý thuyết Góc hai vectơ Cho hai vectơ a b khác Từ điểm O ta vẽ OA = a , OB = b Góc AOB với số đo từ 0° đến 180° gọi góc hai vectơ a b ( ) Ta kí hiệu góc hai vectơ a b a, b ( ) Nếu a, b = 90 ta nói a b vng góc với nhau, kí hiệu a ⊥ b Chú ý: ( ) ( ) + Từ định nghĩa, ta có a, b = b, a + Góc hai vectơ hướng khác ln 0° + Góc hai vectơ ngược hướng khác 180° + Trong trường hợp có hai vectơ a b ta quy ước số đo góc hai vectơ tùy ý (từ 0° đến 180°) Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có O giao điểm hai đường chéo BAD = 60 Tính số đo góc: ( ) ( ) ( ) ( ) a) OD, CD b) OB, AO c) OC, AC d) OA, AC Hướng dẫn giải a) Vì O giao điểm hai đường chéo nên O trung điểm BD (tính chất hình thoi) Suy OD = BO Mà OD, BO hướng Do OD = BO (1) Vì ABCD hình thoi nên ta có CD // BA CD = BA Mà CD, BA hướng Do CD = BA (2) ( ) ( ) Từ (1) (2), ta suy OD, CD = BO, BA = OBA Vì ABCD hình thoi nên AB = AD Do tam giác ABD cân A Mà BAD = 60 Suy tam giác ABD Do DBA = 60 hay OBA = 60 ( ) Vậy OD, CD = OBA = 60 b) Vì O giao điểm hai đường chéo nên O trung điểm AC (tính chất hình thoi) Do AO = OC Mà AO, OC hướng Do AO = OC ( ) ( ) Ta suy OB, AO = OB, OC = BOC Vì ABCD hình thoi nên hai đường chéo AC BD vng góc với Do BOC = 90 ( ) Vậy OB, AO = BOC = 90 ( ) c) Vì OC, AC hướng nên OC, AC = 0 ( ) d) Vì OA, AC ngược hướng nên OA, AC = 180 Tích vơ hướng hai vectơ Cho hai vectơ a b khác Tích vơ hướng a b số, kí hiệu a.b , xác định công thức: ( ) a.b = a b cos a, b Chú ý: a) Trường hợp có hai vectơ a b , ta quy ước a.b = b) Với hai vectơ a b , ta có a ⊥ b a.b = c) Khi a = b tích vơ hướng a.b kí hiệu a gọi bình phương vơ hướng vectơ a Ta có a = a a cos 0 = a Vậy bình phương vơ hướng vectơ ln bình phương độ dài vectơ Ví dụ: Cho tam giác ABC vng cân A, có AB = AC = a Tính tích vơ hướng: AB.AC, AC.BC, BA.BC Hướng dẫn giải - Tam giác ABC vuông cân A nên AB ⊥ AC Do AB ⊥ AC Vậy AB.AC = ( ) ( ) - Vẽ BD = AC Khi ta có AC, BC = BD, BC = CBD Vì BD = AC nên ta có ABDC hình bình hành Mà BAC = 90 AB = AC (tam giác ABC vuông cân A) Do ABDC hình vng Ta suy đường chéo BC phân giác ABD Do CBD = ABD 90 = = 45 2 ( ) Khi ta có AC, BC = CBD = 45 Tam giác ABC vuông cân A: BC2 = AB2 + AC2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go) ⇔ BC2 = a2 + a2 = 2a2 ⇒ BC = a ( ) Ta có: AC.BC = AC BC cos AC, BC = AC.BC.cos 45 = a.a 2 = a2 - Tam giác ABC cân A Ta suy ACB = ABC Tam giác ABC vuông A: ACB + ABC = 90 2ABC = 90 Do ABC = 45 ( ) Suy BA, BC = ABC = 45 ( ) Ta có BA.BC = BA BC cos BA, BC = BA.BC.cos 45 = a.a 2 = a2 Chú ý: Trong Vật lí, tích vơ hướng F d biểu diễn công A sinh lực F thực độ dịch chuyển d Ta có cơng thức: A = F.d Ví dụ: Một người dùng lực F có độ lớn 150 N kéo thùng gỗ trượt sàn nhà sợi dây có phương hợp góc 45° so với phương ngang Tính cơng sinh lực F thùng gỗ trượt 40 m Hướng dẫn giải Gọi A, d công sinh lực F độ dịch chuyển thùng gỗ Theo đề, ta có lực F hợp với phương ngang (hướng dịch chuyển) góc 45° ( ) Suy F, d = 45 ( ) Ta có A = F.d = F d cos F, d = 150.40.cos 45 = 3000 (J) Vậy công sinh lực F 3000 (J) Tính chất tích vơ hướng Với ba vectơ a, b, c số k, ta có: ( ) ( ka ).b = k ( a.b ) = a.( kb ) a b + c = a.b + a.c ; a.b = b.a ; Ví dụ: Áp dụng tính chất tích vơ hướng, chứng minh rằng: (a − b) = a − 2a.b + b Hướng dẫn giải ( ) ( )( ) Ta có: a − b = a − b a − b = a.a − a.b − a.b + b.b = a − 2a.b + b Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta có: ( a+b ) = a + 2a.b + b ; ( a + b )( a − b ) = a − b2 Ví dụ: Cho tam giác ABC có a = BC, b = AC, c = AB Tính cạnh BC theo hai cạnh cịn lại góc A cách sử dụng tính chất vectơ tích vơ hướng hai vectơ Hướng dẫn giải ( ) 2 Ta có BC2 = BC = AC − AB = AC + AB − 2.AC.AB ( = AC2 + AB2 − AC AB cos AC, AB ) = AC2 + AB2 − 2.AC.AB.cos BAC = AC2 + AB2 – 2AC.AB.cosA Vậy BC2 = AC2 + AB2 – 2AC.AB.cosA hay a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA B Bài tập tự luyện Bài Cho tam giác ABC cạnh a trọng tâm G Tính: a) AB.AC b) AG.AB Hướng dẫn giải a) Tam giác ABC nên ta có AB = AC = BC = a BAC = 60 ( ) a2 Ta có AB.AC = AB AC cos AB, AC = AB.AC.cos BAC = a.a.cos60 = b) Vì G trọng tâm tam giác ABC Nên AG đường trung tuyến tam giác ABC Do AG đường phân giác đường cao tam giác ABC Ta suy GAB = BAC 60 = = 30 2 Gọi I giao điểm AG BC Ta suy I trung điểm BC Do BI = BC a = 2 Tam giác ABI vuông I: AI2 = AB2 – BI2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go) 2 a 3a AI = a − = 2 AI = a Tam giác ABC có G trọng tâm Ta suy AG = a AI = 3 ( ) a a2 Ta có: AG.AB = AG AB cos AG, AB = AG.AB.cosGAB = a.cos30 = Bài Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Chứng minh rằng: MA.BC + MB.CA + MC.AB = Hướng dẫn giải ( ) Ta có MA.BC = MA MC − MB = MA.MC − MA.MB (1) ( ) MB.CA = MB MA − MC = MB.MA − MB.MC (2) ( ) MC.AB = MC MB − MA = MC.MB − MC.MA (3) Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được: MA.BC + MB.CA + MC.AB = Vậy ta có điều phải chứng minh Bài Cho hai vectơ a b thỏa mãn a = b = hai vectơ u = a − 3b v = a + b vng góc với Xác định góc hai vectơ a b Hướng dẫn giải Theo đề ta có: u ⊥ v u.v = ( ) 2 a − 3b a + b = 5 2 a + a.b − 3a.b − 3b = 5 2 13 a − a.b − b = 5 ( ) 13 12 − a b cos a, b − 3.12 = 5 − ( ) 13 13 − 1.1.cos a, b = 5 ( ) cos a, b = −1 ( ) a, b = 180 Vậy góc hai vectơ a b 180° ... hướng hai vectơ Cho hai vectơ a b khác Tích vơ hướng a b s? ??, kí hiệu a.b , xác định công thức: ( ) a.b = a b cos a, b Chú ý: a) Trường hợp có hai vectơ a b , ta quy ước a.b = b) Với hai vectơ... độ lớn 150 N kéo thùng gỗ trượt s? ?n nhà s? ??i dây có phương hợp góc 45° so với phương ngang Tính cơng sinh lực F thùng gỗ trượt 40 m Hướng dẫn giải Gọi A, d công sinh lực F độ dịch chuyển thùng... chuyển) góc 45° ( ) Suy F, d = 45 ( ) Ta có A = F.d = F d cos F, d = 150.40.cos 45 = 3000 (J) Vậy công sinh lực F 3000 (J) Tính chất tích vơ hướng Với ba vectơ a, b, c s? ?? k, ta có: ( ) (