Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 4 Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ A Lý thuyết 1 Elip 1 1 Nhận biết elip Cho hai điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2 Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao[.]
Bài Ba đường conic mặt phẳng tọa độ A Lý thuyết Elip 1.1 Nhận biết elip M F2 F1 Cho hai điểm cố định F1, F2 độ dài không đổi 2a lớn F1F2 Elip (E) tập hợp điểm M mặt phẳng cho F1M + F2M = 2a Các điểm F1 F2 gọi tiêu điểm elip Độ dài F1F2 = 2c gọi tiêu cự elip (a > c) 1.2 Phương trình tắc elip y B2 A1 F1 O M(x; y) F2 A2 x B1 Cho elip (E) có tiêu điểm F1 F2 đặt F1F2 = 2c Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho F1(–c; 0) F2(c; 0) Người ta chứng minh được: x y2 M ( x; y ) ( E ) + = (1), a b b = a − c2 Phương trình (1) gọi phương trình tắc elip Chú ý: y B2(0; b) A1( a; 0) F1( c; 0) O F2(c; 0) A2(a; 0) x B1(0; b) • (E) cắt Ox hai điểm A1(–a; 0), A2(a; 0) cắt Oy hai điểm B1(0; –b), B2(0; b) • Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi đỉnh elip • Đoạn thẳng A1A2 = 2a gọi trục lớn, đoạn thẳng B1B2 = 2b gọi trục nhỏ elip • Giao điểm O hai trục gọi tâm đối xứng elip • Nếu M(x; y) ∈ (E) |x| ≤ a, |y| ≥ b Ví dụ: Cho elip (E) có độ dài trục lớn 10, tỉ số tiêu cự độ dài trục lớn a) Tính độ dài trục nhỏ elip b) Viết phương trình tắc elip Hướng dẫn giải a) Ta có độ dài trục lớn 10 Ta suy 2a = 10 Suy a = Theo đề, ta có tỉ số tiêu cự độ dài trục lớn Suy 2c = 2a 2 c = a = 10 = 5 Ta có b = a − c2 = 52 − 42 = Suy 2b = 2.3 = Vậy độ dài trục nhỏ elip (E) b) Ta có a = b = x y2 + = Phương trình tắc elip (E) là: 25 Hypebol 2.1 Nhận biết hypebol Cho hai điểm cố định F1, F2 độ dài không đổi 2a nhỏ F1F2 Hypebol (H) tập hợp điểm M mặt phẳng cho |F1M – F2M| = 2a Các điểm F1 F2 gọi tiêu điểm hypebol Độ dài F1F2 = 2c gọi tiêu cự hypebol (c > a) 2.2 Phương trình tắc hypebol Cho hypebol (H) có tiêu điểm F1 F2 đặt F1F2 = 2c Điểm M thuộc hypebol (H) |F1M – F2M| = 2a Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho F1(–c; 0) F2(c; 0) Người ta chứng minh được: x y2 M ( x; y ) ( H ) − = (2), a b b = c2 − a Phương trình (2) gọi phương trình tắc hypebol Chú ý: • (H) cắt Ox hai điểm A1(–a; 0) A2(a; 0) Nếu ta vẽ hai điểm B1(0; –b) B2(0; b) vào hình chữ nhật OA2PB2 OP = a + b = c • Các điểm A1, A2 gọi đỉnh hypebol • Đoạn thẳng A1A2 = 2a gọi trục thực, đoạn thẳng B1B2 = 2b gọi trục ảo hypebol • Giao điểm O hai trục tâm đối xứng hypebol • Nếu M(x; y) ∈ (H) x ≤ –a x ≥ a Ví dụ: Cho hypebol (H) có tiêu điểm F2(8; 0) (H) qua điểm A(5; 0) Viết phương trình tắc hypebol (H) Hướng dẫn giải x y2 Phương trình tắc (H) có dạng − = , a, b > a b 52 Vì A(5; 0) ∈ (H) nên ta có − = Suy a = a b Do (H) có tiêu điểm F2(8; 0) nên ta có c = Suy b = c2 − a = 64 − 25 = 39 x y2 − = Vậy phương trình tắc (H) 25 39 Parabol 3.1 Nhận biết parabol Cho điểm F đường thẳng ∆ cố định không qua F Parabol (P) tập hợp điểm M cách F ∆ F gọi tiêu điểm ∆ gọi đường chuẩn parabol (P) 3.2 Phương trình tắc parabol Cho parabol (P) có tiêu điểm F đường chuẩn ∆ Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn p, hiển nhiên p > p p Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho F ;0 ∆: x + = 2 Người ta chứng minh được: M(x; y) ∈ (P) ⇔ y2 = 2px (3) Phương trình (3) gọi phương trình tắc parabol Chú ý: • O gọi đỉnh parabol (P) • Ox gọi trục đối xứng parabol (P) • p gọi tham số tiêu parabol (P) • Nếu M(x; y) ∈ (P) x ≥ M’(x; –y) ∈ (P) Ví dụ: Viết phương trình tắc parabol (P), biết (P) có đường chuẩn ∆: x + = Hướng dẫn giải (P) có đường chuẩn ∆: x + = Ta suy p = Khi p = 2.4 = Vậy phương trình tắc parabol (P) là: y2 = 16x B Bài tập tự luyện Bài Tìm tiêu điểm đường conic sau: x2 y + = a) Elip (E): 100 64 b) Hypebol (H): x2 y − = c) Parabol (P): y2 = 2x Hướng dẫn giải x2 y a) Phương trình (E) có dạng: + = , với a = 10, b = a b Suy c = a − b = 100 − 64 = Vậy elip (E) có tiêu điểm F1(–6; 0) F2(6; 0) x2 y b) Phương trình (H) có dạng: − = , với a = 2, b = a b Suy c = a + b = + = 13 ( ) Vậy hypebol (H) có tiêu điểm F1 − 13;0 F2 ( ) 13;0 c) Phương trình parabol (P) có dạng: y2 = 2px, với p = Ta suy p = 2 1 Vậy parabol (P) có tiêu điểm F ;0 2 Bài Viết phương trình tắc đường conic trường hợp sau: a) Elip (E) qua điểm B(0; 3) có tiêu cự b) Hypebol (H) qua điểm M(2; 4) có độ dài trục ảo c) Parabol (P) có tiêu điểm F(10; 0) Hướng dẫn giải x y2 a) Phương trình elip (E) có dạng: + = , với a, b > a b Vì B(0; 3) ∈ (E) nên ta có 02 32 + =1 a b2 Suy b = Theo đề, ta có tiêu cự Suy 2c = Nghĩa c = Ta có a = b + c = + = x y2 + = Vậy phương trình elip (E) là: 18 x y2 b) Phương trình hypebol (H) có dạng: − = , với a, b > a b Vì (H) có độ dài trục ảo nên ta có 2b = Suy b = Khi b2 = 16 Vì M(2; 4) ∈ (H) nên ta có 16 − = a 16 =2 a2 a2 = 16 − = a b2 = 2 x y2 − = Vậy phương trình tắc (H) là: 16 c) Parabol (P) có tiêu điểm F(10; 0) nên ta có Suy p = 2.10 = 20 p = 10 Vậy phương trình tắc (P) là: y2 = 40x x y2 Bài Cho elip (E): + = C(2; 0) Tìm A, B thuộc (E), biết A có tung độ dương, A B đối xứng qua trục hoành ∆ABC cân A Hướng dẫn giải Gọi A(x0; y0) với y0 > Vì A, B đối xứng qua trục hồnh nên ta có tọa độ B(x0; –y0) x 02 y02 Vì A ∈ (E) nên ta có + = y02 = − x 02 (1) Với A(x0; y0), B(x0; –y0) C(2; 0) ta có: AB = ( 0; −2y0 ) AC = ( − x ; − y0 ) Vì ∆ABC cân A nên ta có AB2 = AC2 ⇔ (–2y0)2 = (2 – x0)2 + (–y0)2 4y02 = − 4x + x 02 + y02 3y02 = − 4x + x 02 (2) x2 Thế (1) vào (2), ta được: 31 − = − 4x + x 02 x 02 − = − 4x + x 02 x − 4x + = ⇔ x0 = x = x 02 • Với x0 = 2, ta có y = − = − = Suy y0 = 4 Khi A(2; 0) Lúc A ≡ C (mâu thuẫn ba điểm A, B, C tạo thành tam giác) Vậy ta loại trường hợp x0 = x 02 48 =1− = • Với x = , ta có y0 = − Suy y0 = 49 49 7 Vì y0 > nên ta nhận y0 = 2 3 2 3 Vậy A ; ,B ; − thỏa mãn yêu cầu toán 7 7 Bài Một tháp triển lãm có mặt cắt hypebol có phương trình x2 y2 − = 252 402 Biết chiều cao tháp 120 m khoảng cách từ tháp đến tâm đối xứng hypebol khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ đây, tính bán kính bán kính đáy tháp (Làm tròn kết đến hàng phần mười) Hướng dẫn giải Theo ra, khoảng cách từ tháp đến tâm O đáy nên ta có: OA = khoảng cách từ tâm O đến OB OA + OB = 120 m Suy ra: OA = 48 m, OB = 72 m A (0; 48), B(0 ; –72) x2 y2 Thay y = 48 vào phương trình − = , ta được: 25 40 x 482 − =1 252 402 x2 = 525 ⇒ x ≈ 39,1 x ≈ –39,1 Suy bán kính khoảng 39,1 (m) x2 y2 Thay y = –72 vào phương trình − = ta được: 25 40 x (−72) − =1 252 402 x2 = 650 ⇒ x ≈ 51,5 x ≈ –51,5 Suy bán kính đáy khoảng 51,5 (m) Vậy bán kính bán kính đáy tháp triển lãm 39,1 (m) 51,5 (m) ... hợp điểm M c? ?ch F ∆ F gọi tiêu điểm ∆ gọi đường chuẩn parabol (P) 3.2 Phương trình tắc parabol Cho parabol (P) có tiêu điểm F đường chuẩn ∆ Gọi khoảng c? ?ch từ tiêu điểm đến đường chuẩn p, hiển... F2M| = 2a Ch? ??n hệ trục tọa độ Oxy cho F1(–c; 0) F2(c; 0) Người ta ch? ??ng minh được: x y2 M ( x; y ) ( H ) − = (2), a b b = c2 − a Phương trình (2) gọi phương trình tắc hypebol Ch? ? ý: • (H)... dụ: Cho elip (E) có độ dài trục lớn 10, tỉ số tiêu cự độ dài trục lớn a) Tính độ dài trục nhỏ elip b) Viết phương trình tắc elip Hướng dẫn giải a) Ta có độ dài trục lớn 10 Ta suy 2a = 10 Suy