Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 10 Vectơ trong mặt phẳng tọa độ Mở rộng trang 60 SGK Toán 10 tập 1 Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên một mặt phẳng tọa độ Trong thời gian đó, tâm bão[.]
Bài 10 Vectơ mặt phẳng tọa độ Mở rộng trang 60 SGK Toán 10 tập 1: Một tin dự báo thời tiết thể đường 12 bão mặt phẳng tọa độ Trong thời gian đó, tâm bão di chuyển thẳng từ vị trí có tọa độ (13,8; 108,3) đến vị trí tọa độ (14,1; 106,3) Dựa vào thơng tin trên, liệu ta dự đốn vị trí tâm bão thời điểm khoảng thời gian 12 hay khơng? Lời giải Sau học ta trả lời câu hỏi sau: Gọi M(x; y) vị trí tâm bão thời điểm t khoảng thời gian 12 Do bão di chuyển thẳng từ A(13,8; 108,3) tới vị trí có tọa độ B(14,1; 106,3) nên điểm M thuộc đoạn thẳng AB Theo dự báo, thời điểm t tâm bão khoảng AM là: Hay AM = AM t = AB 12 t AB 12 Vectơ AM hướng với vectơ AB AM = t t AB nên AM = AB 12 12 Ta có: A(13,8; 108,3); B(14,1; 106,3); M(x; y) Suy AM = ( x − 13,8; y − 108,3) , AB = ( 0,3; −2 ) Ta có: AM = t AB 12 t t t x = + 13,8 x − 13,8 = 0,3 x = 0,3 + 13,8 40 12 12 t t y − 108,3 = ( −2 ) y = −2 + 108,3 y = − t + 108,3 12 12 t t M + 13,8; − + 108,3 40 t t Vậy thời điểm t tâm bão điểm M vị trí M + 13,8; − + 108,3 40 Hoạt động trang 60 SGK Toán 10 tập 1: Trên trục số Ox, gọi A điểm biểu diễn số đặt OA = i (H.4.32a) Gọi M điểm biểu diễn số 4, N điểm biểu diễn số − Hãy biểu thị vectơ OM,ON theo vectơ đơn vị i Lời giải Trên hình vẽ ta thấy: +) Vectơ OM hướng với vectơ OA OM = = 4.1 = 4OA Nên OM = 4OA = 4i +) Vectơ ON ngược hướng với vectơ OA ON = 3 = = OA 2 3 Nên ON = − OA = − i 2 Vậy OM = 4i ON = − i Hoạt động trang 61 SGK Toán 10 tập 1: Trong Hình 4.33: a) Hãy biểu thị vectơ OM,ON theo vectơ i, j b) Hãy biểu thị vectơ MN theo vectơ OM,ON từ biểu thị vectơ MN theo vectơ i, j Lời giải Giả sử điểm A, B, C, D biểu diễn hình vẽ Khi OA = 3i; OB = 5j; OC = −2i;OD = j a) OAMB hình bình hành suy OM = OA + OB (quy tắc hình bình hành) Do OM = 3i + 5j OCND hình bình hành suy ON = OC + OD (quy tắc hình bình hành) Do ON = −2i + j b) Ta có: MN = ON − OM (quy tắc ba điểm) ( ) ( ) 5 5 MN = −2i + j − 3i + 5j = −2i + j − 3i − 5j = −2i − 3i + j − 5j = −5i − j 2 2 Vậy MN = ON − OM = −5i − j Luyện tập trang 61 SGK Tốn 10 tập 1: Tìm tọa độ Lời giải Ta có: = 0.i + 0.j = ( 0;0 ) Vậy vectơ có toạ độ (0; 0) Hoạt động trang 61 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho u = ( 2; −3) , v = ( 4;1) ,a = ( 8; −12 ) a) Hãy biểu thị vectơ u, v,a theo vectơ i, j b) Tìm tọa độ vectơ u + v,4u c) Tìm mối liên hệ hai vectơ u,a Lời giải a) Ta có: u = ( 2; −3) u = 2i − 3j; v = ( 4;1) v = 4i + j; a = ( 8; −12 ) a = 8i − 12 j b) Ta có: ( ) ( ) u + v = 2i − 3j + 4i + j = 2i − 3j + 4i + j = 6i − j u + v = ( 6; −2 ) ( ) 4u = 2i − 3j = 8i − 12 j 4u = (8; −12 ) Vậy toạ độ vectơ u + v (6; ‒2) toạ độ vectơ 4u (8; ‒12) c) Ta có a = ( 8; −12 ) 4u = ( 8; −12 ) Suy a = 4u Vậy a = 4u Hoạt động trang 62 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(x0;y0) Gọi P, Q tương ứng hình chiếu vng góc M trục hoành Ox trục tung Oy (H.4.35) a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị OP theo i tính độ dài OP theo x0 b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị OQ theo j tính độ dài OQ theo y0 c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài OM theo x0, y0 d) Biểu thị OM theo vectơ i, j Lời giải a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn cho số x0 nên OP = |x0| = x0 Ta có vectơ OP hướng với vectơ i OP = OP = x0 nên OP = x i Vậy OP = x i b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn cho số y0 nên OQ = |y0| = y0 Ta có vectơ OQ hướng với vectơ j OQ = OQ = y0 nên OQ = y j Vậy OQ = y j c) Xét tam giác OPM vng P, theo định lí Pythagore ta có: OM2 = OP2 + MP2 OM = OP + MP = OP + OQ = x 02 + y 02 Do OM = OM = x 02 + y02 Vậy OM = x 02 + y02 d) Ta có OM = OP + OQ = x i + y j Vậy OM = x i + y j Hoạt động trang 62 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(x; y) N(x'; y') a) Tìm tọa độ vectơ OM,ON b) Biểu thị vectơ MN theo vectơ OM,ON tìm tọa độ MN c) Tìm độ dài vectơ MN Lời giải a) Ta có M(x; y) nên vectơ OM có toạ độ (x; y) N(x'; y') nên vectơ ON có toạ độ (x'; y') b) Ta có: MN = ON − OM (quy tắc ba điểm) Mà tọa độ vectơ ON − OM (x' – x; y' – y) Vậy MN = ( x '− x; y '− y ) c) Độ dài vectơ MN MN = ( x '− x ) + ( y'− y ) Luyện tập trang 63 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(3; 3) a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay khơng? b) Tìm điểm M(x;y) để OABM hình bình hành Lời giải a) Ta có: A(2; 1) suy OA = ( 2;1) B(3; 3) suy OB = ( 3;3) Hai vectơ OA = ( 2;1) ,OB = ( 3;3) khơng phương (vì ) 3 Do điểm O, A, B khơng nằm đường thẳng Vậy ba điểm O, A, B không thẳng hàng b) Các điểm O, A, B khơng thẳng hàng nên tứ giác OABM hình bình hành OA = MB Ta có: OA = ( 2;1) , MB = ( − x;3 − y ) nên 2 = − x x = OA = MB M (1;2 ) = − y y = Vậy điểm cần tìm M(1;2) Vận dụng trang 64 SGK Toán 10 tập 1: Từ thông tin dự báo bão đưa đầu học, xác định tọa độ vị trí M tâm bão thời điểm khoảng thời gian 12 dự báo Trong 12 giờ, tâm bão dự báo di chuyển thẳng từ A(13,8; 108,3) tới vị trí có tọa độ B(14,1; 106,3) Gọi tọa độ M (x;y) Bạn tìm mối liên hệ hai vectơ AM AB thể mối quan hệ theo tọa độ để tìm x; y Lời giải Do bão di chuyển thẳng từ A(13,8; 108,3) tới vị trí có tọa độ B(14,1; 106,3) nên điểm M thuộc đoạn thẳng AB Theo dự báo, thời điểm tâm bão khoảng AM là: AM = = AB 12 Hay AM = AB 3 Vectơ AM hướng với vectơ AB AM = AB nên AM = AB 4 Ta có: A(13,8; 108,3); B(14,1; 106,3); M(x; y) Suy AM = ( x − 13,8; y − 108,3) , AB = ( 0,3; −2 ) Ta có: AM = AB 3 x − 13,8 = 0,3 x = 0,3 + 13,8 y − 108,3 = ( −2 ) y = −2 + 108,3 x = 14,025 M (14,025;106,8) y = 106,8 Vậy thời điểm tâm bão điểm M vị trí M(14,025; 106,8) Bài 4.16 trang 65 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1;3), N(4;2) a) Tính độ dài đoạn thẳng OM, ON, MN b) Chứng minh tam giác OMN vng cân Lời giải a) Ta có: +) M(1;3) OM = (1;3) OM = 12 + 32 = 10 +) N(4;2) ON = ( 4; ) ON = 42 + 22 = 20 = +) M(1;3) N(4;2) nên MN = ( 3; −1) MN = 32 + ( −1) = 10 Vậy OM = 10;ON = MN = 10 ( ) b) Xét tam giác OMN, có: OM = MN = 10 suy tam giác OMN cân M (1) ( Ta có: ON = ) = 20;OM + MN = ( ) ( ) 10 + 10 = 20 ON2 = OM2 + MN2 Theo định lí Pythagore đảo suy tam giác OMN vng M (2) Từ (1) (2) suy tam giác OMN vuông cân M Vậy tam giác OMN vng cân M Bài 4.17 trang 65 SGK Tốn 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a = 3i − j; b = ( 4; −1) điểm M(‒3;6), N(3;‒3) a) Tìm mối liên hệ vectơ MN 2a − b b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay khơng? c) Tìm điểm P(x;y) để OMNP hình bình hành Lời giải a) Ta có: +) a = 3i − j nên a = ( 3; −2 ) 2a = ( 6; −4 ) Có: 2a = ( 6; −4 ) b = ( 4; −1) 2a − b = ( − 4; −4 + 1) 2a − b = ( 2; −3) 2a − b = 2i − 3j +) Có: M(‒3;6) N(3;‒3) MN = ( 6; −9 ) ( ) ( MN = 6i − j = 2i − 3j = 2a − b ( Vậy MN = 2a − b ) ) b) Ta có: +) M(‒3;6) OM = ( −3;6 ) +) N(3;‒3) ON = ( 3; −3) Hai vectơ OM = ( −3;6 ) ,ON = ( 3; −3) khơng phương (vì −3 ) −3 Do điểm O, M, N khơng nằm đường thẳng Vậy ba điểm O, M, N không thẳng hàng c) Các điểm O, M, N khơng thẳng hàng, tứ giác OMNP hình bình hành OM = PN Ta có: M(‒3;6); N(3;‒3) P(x; y) OM = ( −3;6 ) , PN = ( − x; −3 − y ) Do OM = PN −3 = − x x = P ( 6; −9 ) 6 = −3 − y y = −9 Vậy điểm cần tìm P(6;‒9) Bài 4.18 trang 65 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1;3), B(2;4), C(‒3;2) a) Chứng minh ABC ba đỉnh tam giác b) Tìm tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB c) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC d) Tìm điểm D(x; y) để O(0;0) trọng tâm tam giác ABD Lời giải a) Ta có: A(1;3), B(2;4), C(‒3;2) Suy ra: AB = (1;1) , BC = ( −5; −2 ) Hai vectơ AB = (1;1) , BC = ( −5; −2 ) không phương (vì 1 ) −5 −2 Do điểm A, B, C không nằm đường thẳng Vậy ba điểm A, B, C ba đỉnh tam giác b) Gọi M(x1;y1) trung điểm đoạn thẳng AB với A(1;3) B(2;4) Khi ta có: 1+ x = x = 1 M ; 2 2 y = + y = 2 3 7 Vậy M ; trung điểm đoạn thẳng AB 2 2 c) Gọi G(x2;y2) trọng tâm tam giác ABC với A(1;3), B(2;4) C(‒3;2) Khi ta có: + + ( −3) x = x = G ( 0;3) y = 3 + + y = Vậy G(0;3) trọng tâm tam giác ABC d) Để O(0;0) tọa độ trọng tâm tam giác ABD với A(1;3), B(2;4) D(x,y) thì: 1+ + x 0 = x + = x = −3 D ( −3; −7 ) + + y y + = y = − 0 = Vậy D(‒3;‒7) O(0;0) trọng tâm tam giác ABD Bài 4.19 trang 65 SGK Toán 10 tập 1: Sự chuyển động tàu thủy thể mặt phẳng tọa độ sau: Tàu khởi hành từ vị trí A(1;2) chuyển động thẳng với vận tốc (tính theo giờ) biểu thị vectơ v = ( 3;4 ) Xác định vị trí tàu (trên mặt phẳng tọa độ) thời điểm sau khởi hành 1,5 Lời giải Gọi B(x; y) vị trí tàu thủy mặt phẳng toạ độ sau khởi hành 1,5 Tàu khởi hành từ vị trí A chuyển động thẳng với vận tốc (tính theo giờ) biểu thị vectơ v = ( 3; ) , sau 1,5 tàu thuỷ đến B nên AB = 1,5v Mà A(1;2); B(x; y) nên AB = ( x − 1; y − ) Khi đó: AB = 1,5v x − = 1,5.3 x = 1,5.3 + x = 5,5 B ( 5,5;8 ) y − = 1,5.4 y = 1,5.4 + y = Vậy sau khởi hành 1,5 tàu thủy đến vị trí B(5,5; 8) Bài 4.20 trang 65 SGK Tốn 10 tập 1: Trong Hình 4.38, quân mã vị trí có tọa độ (1;2) Hỏi sau nước đi, qn mã đến vị trí nào? Lời giải Cách di chuyển quân mã theo hình chữ L, nước gồm tồng cộng ô (tiến ô quẹo trái/ phải ô ngược lại tiến ô quẹo trái/ phải ngược lại) nên qn mã đến vị trí A, B, C, D, E O bàn cờ hình đây: Tọa độ vị trí là: O(0;0), A(0;4), B(2;4), C(3;3), D(3;1), E(2;0) Vậy sau nước đi, quân mã đến vị trí O(0;0), A(0;4), B(2;4), C(3;3), D(3;1), E(2;0) ... Hoạt động trang 62 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(x; y) N(x''; y'') a) Tìm tọa độ vectơ OM,ON b) Biểu thị vectơ MN theo vectơ OM,ON tìm tọa độ MN c) Tìm độ dài vectơ. .. tập trang 61 SGK Tốn 10 tập 1: Tìm tọa độ Lời giải Ta có: = 0.i + 0.j = ( 0;0 ) Vậy vectơ có toạ độ (0; 0) Hoạt động trang 61 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho u = ( 2; −3)... có tọa độ B(14,1; 106 ,3) Gọi tọa độ M (x;y) Bạn tìm mối liên hệ hai vectơ AM AB thể mối quan hệ theo tọa độ để tìm x; y Lời giải Do bão di chuyển thẳng từ A(13,8; 108 ,3) tới vị trí có tọa độ