Bài tập cuối chương 3 A Trắc nghiệm Bài 3 12 trang 44 SGK Toán 10 tập 1 Cho tam giác ABC có oB 135 Khẳng định nào sau đây là đúng? a) A 1 S ca 2 B 2 S ac 4 C 2 S bc 4 D 2 S ca 4 b) A a R sin A B 2 R b[.]
Bài tập cuối chương A Trắc nghiệm Bài 3.12 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có B 135o Khẳng định sau đúng? a) A S B S ca 2 ac C S bc D S ca b) A R a sin A B R b C R c D R a c) A a B b2 b sin A c2 2ab a sin B C sin B D b2 = c2 + a2 – 2ca.cos135o Lời giải: Tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c; B 135o a) Diện tích tam giác ABC: S ac.sin B ac.sin135o Chọn D b) Theo định lí sin, ta có: a sin A b sin B c sin C A R a sai R sin A 2R a 2sin A ac b B R b R= = 2sin B Mà sin B = b 2 = b Do B C R c (loại khơng có kiện góc C nên khơng thể tính R theo c) D R a (loại khơng có kiện góc A nên khơng thể tính R theo a) Chọn B c) A a b2 c2 2ab Vì theo định lí cơsin, ta có: a2 = b2 + c2 − 2bc cosA Không đủ kiện để suy ra: a b2 Do A sai B b sin A a sin B Theo định lí sin, ta có: Nên b sin A Do B sai a sin B a sin A b sin B c2 2ab C sin B 2 Vì theo câu a, sin B Do C sai D b2 = c2 + a2 – 2ca cos135o Theo định lý côsin ta có: b2 = c2 + a2 − 2ca cosB (*) Mà B = 135 cosB = cos 135o Thay vào (*) ta được: b2 = c2 + a2 − 2ca cos 135o Do D Chọn D Bài 3.13 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC Khẳng định sau đúng? a) A S abc 4r B r 2S a b c C a2 = b2 + c2 + 2bc cos A D S = r(a + b + c) b) A sin A = sin(B + C) B cos A = cos(B + C) C cos A > D sin A ≤ Lời giải: a) abc 4r A S Ta có S abc Mà r < R nên S 4R abc 4R abc 4r Do A sai B r 2S a b c Ta có: S = pr r = Mà p = r= S p a+b+c S S 2S = = p a+b+c a +b+c Do B C a2 = b2 + c2 + 2bc cos A Sai theo định lí cơsin ta có: a2 = b2 + c2 − 2bc cos A D S = r(a + b + c) Sai S = pr = r a+b+c Chọn B b) A sinA = sin(B + C) Ta có A + B + C = 180o B + C = 180o − A sin(B + C) = sin(180° – A ) = sin A Do đó, đáp án A B cos A = cos(B + C) Sai cos (B + C) = cos(180° – A ) = – cosA (do B + C = 180o − A ) C cos A > ∙ Nếu 0o < A < 90o cos A > ∙ Nếu 90o < A < 180o cos A < Do C không đủ kiện để kết luận D sin A ≤ Ta có: S = bc.sin A Mà b, c > nên sin A > Do D sai Chọn D B Tự luận Bài 3.14 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Tính giá trị biểu thức sau: a) M = sin45o cos45o + sin30o; b) N sin 60o cos30o sin 45o cos45o ; c) P = + tan2 60o; d) Q sin 120o cot 120o Lời giải: a) M = sin45o cos45o + sin30o Ta có: sin 45o = cos 45o = ; sin 30o = 2 Thay vào M, ta được: M b) N 2 2 2 sin 60o cos30o Ta có: sin 60o = 1 sin 45o cos45o 3 ; cos30o = ; sin 45 = cos45 = 2 Thay vào N, ta được: N= 3 2 2 2 c) P = + tan260o 4 Ta có: tan 60o = Thay vào P, ta được: P d) Q sin 120o cot 120o Ta có: sin120o = 3 −1 ; cot120o = Thay vào Q, ta được: Q 3 4 3 Bài 3.15 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có B 10 Tính a, R, S, r Lời giải: 60o ,C 45o , AC = Theo định lí sin: a sin A b sin B c sin C 2R Ta có: + R= b 2sin B Mà b = AC = 10, B = 60o Nên R = = 10 10 = 2sin 60o 2 10 10 = 3 + R= a a = 2R sin A 2sin A Mà R = 10 , A Nên a = 180o B C = 180o – 60o – 45o = 75o 10 sin 75o ≈ 11,15 Diện tích tam giác ABC là: S ab.sin C 11,15.10.sin 45o 39,42 (đvdt) Khi đó: + R= c 2sin C + p= a + b + c 5,58 + 10 + 8,165 14,66 2 c 10 2.sin 45o 10 8,16 + r= S 48,3 2,69 p 14,66 Vậy a ≈ 11,15; R = 10 , c ≈ 8,16, r ≈ 2,69 Bài 3.16 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Chứng minh rằng: a) cosAMB cosAMC 0; b) MA2 + MB2 – AB2 = 2MA.MB.cos AMB MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MC.cos AMC ; c) MA 2 AB2 AC2 BC2 (cơng thức đường trung tuyến) Lời giải: a) Ta có: AMB AMC 180o cosAMB AMC 180o AMB cos 180o AMB cosAMC cosAMB cosAMC Vậy cosAMB cosAMC cosAMC cosAMC 0 (đpcm) b) Áp dụng định lí cơsin ΔAMB, ta có: AB2 = MA2 + MB2 – 2MA.MB.cos AMB MA2 + MB2 – AB2 = 2MA.MB.cos AMB (1) Áp dụng định lí cơsin ΔAMC, ta có: AC2 = MA2 + MC2 – 2MA.MC.cos AMC MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MC.cos AMC (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh c) Từ (1) suy ra: MA2 = AB2 – MB2 + 2MA.MB.cos AMB Từ (2) suy ra: MA2 = AC2 – MC2 + 2MA.MC.cos AMC Cộng vế với vế, ta được: 2MA2 = (AB2 – MB2 + 2MA.MB.cos AMB ) + (AC2 – MC2 + 2MA.MC.cos AMC ) 2MA2 = AB2 + AC2 – MB2 – MC2 + 2MA.MB.cos AMB + 2MA.MC.cos AMC Mà MB BC (do AM trung tuyến) nên: MC 2 BC BC 2MA = AB + AC – – + 2MA.MB.cos AMB + 2MA.MB.cos AMC 2 2 BC 2MA = AB + AC – 2. + 2MA.MB.(cos AMB + cos AMC ) 2 BC2 2MA = AB + AC – 2 2 BC2 AB + AC − 2 MA = 2 BC2 AB + AC − 2 MA = 2 MA 2 AB2 AC2 BC2 (bỏ dịng đi) (cơng thức đường trung tuyến) Bài 3.17 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) Nếu góc A nhọn b2 + c2 > a2; b) Nếu góc A tù b2 + c2 < a2; c) Nếu góc A vng b2 + c2 = a2 Lời giải: Theo định lí cơsin, ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA b2 + c2 – a2 = 2bc.cosA a) Nếu góc A nhọn cosA > 2bccosA > Do đó: b2 + c2 – a2 = 2bc.cosA > Vậy b2 + c2 > a2 (đpcm) b) Nếu góc A tù cosA < 2bccosA < Do đó: b2 + c2 – a2 = 2bc.cosA < Vậy b2 + c2 < a2 (đpcm) c) Nếu góc A vng cosA = 2bccosA = Do đó: b2 + c2 – a2 = 2bc.cosA = Vậy b2 + c2 = a2 (đpcm) Bài 3.18 trang 45 SGK Toán 10 tập 1: Trên biển, tàu B vị trí cách tàu A 53 km hướng N34°E Sau đó, tàu B chuyển động thẳng với vận tốc có độ lớn 30 km/h hướng đông tàu A chuyển động thẳng với vận tốc có độ lớn 50 km/h để gặp tàu B a) Hỏi tàu A cần phải chuyển động theo hướng nào? b) Với hướng chuyển động sau tàu A gặp tàu B? Lời giải: a) Gọi t (giờ) thời gian hai tàu gặp C Tàu B với vận tốc có độ lớn 30 km/h nên quãng đường BC = 30t Tàu A với vận tốc có độ lớn 50 km/h nên quãng đường AC = 50t Theo định lí sin, ta có: a b = sin sin ABC Trong đó: a = BC = 30t, b = AC = 50t, B = 124o , = BAC Khi đó, 30t 50t = sin sin124o 30t.sin124o 3sin124o sin = = 0,497 50t α ≈ 30o α ≈ 150o (loại) Do AC hợp với hướng bắc góc 34o + 30o = 64o Vậy tàu A chuyển động theo hướng N64oE b) Xét tam giác ABC, ta có: A = 30o ; ABC = 124o C = 180o − (A + B) = 180o − (30o + 124o ) = 26o Theo định lí sin, ta có: a c c.sin A = a = sin A sin C sin C Mà a = BC = 30t, c = AB = 53, A = 30; C = 26 53.sin 30o Khi đó, 30t = sin 26o 30t ≈ 60 t ≈ (h) Vậy sau tàu A gặp tàu B Bài 3.19 trang 45 SGK Tốn 10 tập 1: Trên sân bóng chày dành cho nam, vị trí gơn Nhà (Home plate), gơn (First base), gôn 2(Second base), gôn (Third base) bốn đỉnh hình vng có cạnh dài 27,4m Vị trí đứng ném bóng (Pitcher’s mound) nằm đường nối gôn Nhà với gôn cách gôn Nhà 18,44m Tính khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới gơn gơn Lời giải: Kí hiệu gơn Nhà, gơn 1, gơn 2, gơn vị trí ném bóng điểm A, B, C, D, O hình vẽ Khi đó, tứ giác ABCD hình vng với đường chéo CA tia phân giác góc BCD Hay OCD = ACD = 45 Ta có: CD = 27,4 AC = CD = 27,4 ≈ 38,75 OC = AC – OA ≈ 38,75 − 18,44 = 20,31 Xét tam giác OCD, áp dụng định lí cơsin ta có: OD2 = CD2 + CO2 – 2.CD.CO cos ACD Trong CD = 27,4; CO = 20,31; ACD = 45 Khi đó: OD2 = 27,42 + 20,312 – 2.27.20,31 cos45 OD2 ≈ 376,255 OD ≈ 19,4 (m) Xét ΔCOB ΔCOD, có: BC = CD (ABCD hình vng) BCO = DCO = 45 (CA tia phân giác góc BCD) Cạnh CO chung Do ΔCOB = ΔCOD (c.g.c) Suy OB = OD ≈ 19,4 (m) (hai cạnh tương ứng) Vậy khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới gôn gôn khoảng 19,4 m ... cos 135 o Theo định lý cơsin ta có: b2 = c2 + a2 − 2ca cosB (*) Mà B = 135 cosB = cos 135 o Thay vào (*) ta được: b2 = c2 + a2 − 2ca cos 135 o Do D Chọn D Bài 3. 13 trang 44 SGK Toán 10 tập 1:... N= 3 2 2 2 c) P = + tan260o 4 Ta có: tan 60o = Thay vào P, ta được: P d) Q sin 120o cot 120o Ta có: sin120o = 3 −1 ; cot120o = Thay vào Q, ta được: Q 3 4 3 Bài 3. 15 trang 44 SGK Toán 10 tập. .. 5,58 + 10 + 8,165 14,66 2 c 10 2.sin 45o 10 8,16 + r= S 48 ,3 2,69 p 14,66 Vậy a ≈ 11,15; R = 10 , c ≈ 8,16, r ≈ 2,69 Bài 3. 16 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có trung