Bài tập cuối chương 4 A Trắc nghiệm Bài 4 27 trang 71 SGK Toán 10 tập 1 Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương? A ( )u 2;3= và 1 v ;6 2 = B ( )a 2;6= và ( )b 1;3 2= C[.]
Bài tập cuối chương A - Trắc nghiệm Bài 4.27 trang 71 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ sau có phương? 1 A u = ( 2;3) v = ;6 2 B a = ( ( ) ) 2;6 b = 1;3 C i = ( 0;1) j = (1;0 ) D c = (1;3) d = ( 2; −6 ) Lời giải 1 +) Xét hai vectơ u = ( 2;3) v = ;6 : 2 Ta có: suy hai vectơ u v không phương Do A sai +) Xét hai vectơ a = Ta có: ( ) ( ) 2;6 b = 1;3 : = = suy hai vectơ a b phương Do B +) Xét hai vectơ i = ( 0;1) j = (1;0 ) : Đây hai vectơ đơn vị nên chúng vuông góc với suy hai vectơ i j khơng phương Do C sai +) Xét hai vectơ c = (1;3) d = ( 2; −6 ) : Ta có: suy hai vectơ c d không phương −6 Do D sai Vậy ta chọn phương án B Bài 4.28 trang 71 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ sau vng góc với nhau? A u = ( 2;3) v = ( 4;6 ) B a = (1; −1) b = ( −1;1) C z = ( a; b ) t = ( − b;a ) D n = (1;1) k = ( 2;0 ) Lời giải +) Xét hai vectơ u = ( 2;3) v = ( 4;6 ) : Ta có: u.v = 2.4 + 3.6 = + 18 = 26 Suy hai vectơ u, v không vng góc Do A sai +) Xét hai vectơ a = (1; −1) b = ( −1;1) : Ta có: a.b = 1.( −1) + ( −1) = −1 + ( −1) = −2 Suy hai vectơ a,b khơng vng góc với Do B sai +) Xét hai vectơ z = ( a; b ) t = ( − b;a ) : Ta có: z.t = a.( −b ) + b.a = −ab + ab = Suy hai vectơ z, t vng góc với Do C +) Xét hai vectơ n = (1;1) k = ( 2;0 ) : Ta có: n.k = 1.2 + 1.0 = + = Suy hai vectơ n, k khơng vng góc Do D sai Vậy ta chọn phương án C Bài 4.29 trang 71 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ sau có độ dài 1? A a = (1;1) B b = (1; −1) 1 C c = 2; 2 −1 D d = ; 2 Lời giải +) Xét vectơ a = (1;1) a = 12 + 12 = Do A sai +) Xét vectơ b = (1; −1) b = 12 + ( −1) = Do B sai 2 17 1 1 +) Xét vectơ c = 2; c = 22 + = Do C sai 2 2 −1 −1 +) Xét vectơ d = ; d = + = Do D 2 2 2 Vậy ta chọn phương án D Bài 4.30 trang 71 SGK Toán 10 tập 1: Góc vectơ a = (1; −1) vectơ b = ( −2;0 ) có số đo bằng: A 90° B 0° C 135° D 45° Lời giải Ta có: a = (1; −1) b = ( −2;0 ) Suy ra: +) a.b = ( −2 ) + ( −1) = −2; +) a = 12 + ( −1) = 2; +) b = ( −2 ) + 02 = ( ) Do đó: cos a,b = a.b = a.b −2 =− 2 ( ) a, b = 135 Vậy ta chọn phương án C Bài 4.31 trang 71 SGK Toán 10 tập 1: Khẳng định sau đúng? ( ) ( ) A a.b c = a b.c ( ) B a.b 2 = a b ( ) C a.b = a b sin a,b ( ) D a b − c = a.b − a.c Lời giải +) Xét phương án A: ( a.b ) c = a b cos ( a, b ) c ; ( ) ( ) a b.c = a b c cos b, c ( ) ( ) Suy a.b c a b.c Do A sai +) Xét phương án B: ( a.b ) ( ) ( ) = a b cos a, b = a b cos a, b 2 2 2 a b = a b ( ) Suy a.b 2 ( ) = a b cos a,b = Do B sai +) Xét phương án C: ( ) ( ) a.b = a b cos a, b a b sin a, b Do C sai +)Xét phương án D: Theo tính chất tích vơ hướng ta có: ( ) a b − c = a.b − a.c (tính chất phân phối phép trừ) Vậy ta chọn phương án D Bài 4.32 trang 71 SGK Toán 10 tập 1: Cho hình vng ABCD có cạnh a Khẳng định sau đúng? ( ) A AB, BD = 45 B AC.BC = a C AC.BD = a 2 D BA.BD = −a Lời giải ABCD hình vng cạnh a nên AB = BC = CD = DA = a; Và BD = AC = AB2 + BC2 = a + a = a Lấy điểm M N cho ABDM, ABNC hình bình hành +) Vì ABDM hình bình hành nên BD = AM ( ) ( ) AB, BD = AB, AM = BAM = 90 + 45 = 135 Do A sai +) Vì ABNC hình bình hành nên AC = BN ( ) ( ) AC, BC = BN, BC = CBN = 45 AC.BC = AC.BC.cosCBF = a 2.a.cos450 = a Do B +) Ta có AC ⊥ BD AC ⊥ BD AC.BD = Do C sai ( ) +) Ta có: BA.BD = BA.BD.cos BA, BD = BA.BD.cos ABD = a.a 2.cos450 = a Do D sai B – Tự luận Bài 4.33 trang 71 SGK Toán 10 tập 1: Trên cạnh BC tam giác ABC lấy điểm M cho MB = 3MC a) Tìm mối liên hệ hai vectơ MB MC b) Biểu thị vectơ AM theo hai vectơ AB AC Lời giải a) Vì điểm M nằm cạnh BC nên hai vectơ MB MC hai vectơ ngược hướng Lại có MB = 3MC nên MB = −3MC Vậy MB = −3MC 3 b) Theo câu a: MB = −3MC MB = 3CM = CB = − BC 4 Ta có: AM = AB + BM = AB − MB ( 3 = AB + BC = AB + AC − AB 4 ) 3 = AB + AC − AB = AB + AC 4 4 (quy tắc ba điểm) Vậy AM = AB + AC 4 Bài 4.34 trang 72 SGK Toán 10 tập 1: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh với điểm M, ta có: MA + MC = MB + MD Lời giải Gọi O giao điểm AC BD Suy O trung điểm AC BD OA + OC = OB + OD = Ta có: +) ( ) (Vì ( ) (Vì MA + MC = MO + OA + MO + OC = 2MO + OA + OC = 2MO OA + OC = ) +) MB + MD = MO + OB + MO + OD = 2MO + OB + OD = 2MO OB + OD = ) Suy MA + MC = MB + MD Vậy MA + MC = MB + MD Bài 4.35 trang 72 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 1), B(‒2; 5) C(‒5; 2) a) Tìm tọa độ vectơ BA BC b) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác vng Tính diện tích chu vi tam giác c) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC d) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác BCAD hình bình hành Lời giải a) Với A(2; 1), B(‒2; 5) C(‒5; 2) ta có: BA = ( 4; −4 ) BC = ( −3; −3) b) Ta có: BA.BC = 4.( −3) + ( −4 ) ( −3) = −12 + 12 = BA ⊥ BC BA ⊥ BC ABC vuông B Do BA = ( 4; −4 ) BA = 42 + ( −4 ) = ; BC = ( −3; −3) BC = ( −3) + ( −3) = Với A(2; 1) C(‒5; 2) ta có: AC = ( −7;1) AC = Diện tích tam giác vng ABC là: ( −7 ) + 12 = 50 = 1 SABC = AB.BC = 2.3 = 12 (đơn vị diện tích) 2 Chu vi tam giác ABC là: AB + BC + AC = + + = 12 (đơn vị độ dài) c) Với A(2; 1), B(‒2; 5) C(‒5; 2) ta có tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là: + ( −2 ) + ( −5 ) −5 = x G = 3 G −5 ; 3 y = + + = G 3 −5 Vậy tọa độ trọng tâm tam giác ABC là: G ; 3 d) Để tứ giác BCAD hình bình hành AC = DB Giả sử D(x; y) điểm cần tìm Với A(2; 1), B(‒2; 5) C(‒5; 2) ta có: AC = ( −7;1) DB = ( −2 − x;5 − y ) −2 − x = −7 x = Do AC = DB D ( 5;4 ) 5 − y = y = Vậy với D(5;4) tứ giác BCAD hình bình hành Bài 4.36 trang 72 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(3; 4), C(‒1; ‒2) D(6; 5) a) Tìm tọa độ vectơ AB CD b) Hãy giải thích vectơ AB CD phương c) Giả sử E điểm có tọa độ (a; 1) Tìm a để vectơ AC BE phương d) Với a tìm được, biểu thị vectơ AE theo vectơ AB AC Lời giải a) Với A(1; 2), B(3; 4), C(‒1; ‒2) D(6; 5) ta có: AB = ( 2; ) CD = ( 7;7 ) b) Xét hai vectơ AB = ( 2; ) CD = ( 7;7 ) : Ta có: 7 = nên hai vectơ AB CD phương 2 Vậy hai vectơ AB CD phương c) Với A(1; 2), B(3; 4), C(‒1; ‒2) E(a; 1) ta có: AC = ( −2; −4 ) BE = ( a − 3; −3) Hai vectơ AC BE phương (‒ 4).(a – 3) = (‒3) (‒2) ‒ 4a + 12 = 4a = a= a − −3 = −2 −4 Vậy a = hai vectơ AC BE phương d) Với a = 3 E ;1 2 3 1 Với A(1; 2) E ;1 AE = ; −1 2 2 Ta có: AB = ( 2; ) AC = ( −2; −4 ) Tồn hai số thực m n thỏa mãn: AE = mAB + nAC 1 m = = m.2 + n.( −2 ) 2m − 2n = 2 −1 = m.2 + n.( −4 ) 2m − 4n = −1 n = AE = AB + AC Vậy AE = AB + AC Bài 4.37 trang 72 SGK Toán 10 tập 1: Cho vectơ a Chứng minh a (hay viết a ) vectơ đơn vị, hướng với vectơ a a Lời giải Ta thấy a ( ) a nên a a vectơ hướng với vectơ a a Độ dài vectơ a là: a Vậy vectơ 1 a = a a = a a (hay viết a a =1 a a ) vectơ đơn vị, hướng với vectơ a a Bài 4.38 trang 72 SGK Toán 10 tập 1: Cho ba vectơ a, b, u với a = b = a ⊥ b Xét hệ trục Oxy với vectơ đơn vị i = a, j = b Chứng minh rằng: ( ) a) Vectơ u có tọa độ u.a; u.b ( ) ( ) b) u = u.a a + u.b b Lời giải a) Vì i = a a = (1;0 ) Và j = b b = ( 0;1) Gọi tọa độ vectơ u = ( x; y ) Khi đó, ta có: u.a = 1.x + 0.y = x; u.b = 0.x + 1.y = y; ( Suy u = ( x; y ) = u.a;u.b ) ( ) Vậy tọa độ vectơ u u.a; u.b ( ) ( ) b) Ta có: u.a a = x.a mà a = (1;0 ) nên u.a a = ( x;0 ) ( u.b ).b = y.b mà b = ( 0;1) nên ( u.b ).b = ( 0; y ) ( ) ( ) Suy u.a a + u.b b = ( x; y ) Lại có u = ( x; y ) ( ) ( ) Do u = u.a a + u.b b ( ) ( ) Vậy u = u.a a + u.b b Bài 4.39 trang 72 SGK Tốn 10 tập 1: Trên sơng, ca nơ chuyển động thẳng theo hướng S15°E (xem thích Bài 3.8, trang 42) với vận tốc có độ lớn 20km/h Tính vận tốc riêng ca nơ, biết nước sông chảy hướng đông với vận tốc có độ lớn km/h Lời giải Ta mơ tả tốn hình vẽ trên, đó: OE hướng đơng, OS hướng nam, OW hướng tây, ON hướng bắc; OA biểu diễn vectơ vận tốc dòng nước v n OA = v n = ; OB hướng S15°E biểu diễn vectơ vận tốc chuyển động ca nô v cano tạo với OS góc 15° OB = vcano = 20 ; Lấy điểm C cho OABC hình bình hành Khi OC biểu diễn vectơ vận tốc riêng v r ca nơ Vì OB tạo với OS góc 15° nên OB tạo với OA góc 90° ‒ 15° = 75° tức AOB = 75 Xét tam giác OAB có: AB2 = OA2 + OB2 – 2.OA.OB.cos AOB AB2 = 32 + 202 – 2.3.20.cos75° AB ≈ 19,44 Vì OABC hình bình hành nên OC = AB ≈ 19,44 (tính chất hình bình hành) Suy v r = OC = OC 19,44 (km/h) Vậy vận tốc riêng ca nô khoảng 19,44 km/h ... AB 4 ) 3 = AB + AC − AB = AB + AC 4 4 (quy tắc ba điểm) Vậy AM = AB + AC 4 Bài 4. 34 trang 72 SGK Toán 10 tập 1: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh với điểm M, ta có: MA + MC = MB + MD Lời giải. .. AC = DB D ( 5 ;4 ) 5 − y = y = Vậy với D(5 ;4) tứ giác BCAD hình bình hành Bài 4. 36 trang 72 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(3; 4) , C(‒1; ‒2) D(6; 5) a)... – 2.3.20.cos75° AB ≈ 19 ,44 Vì OABC hình bình hành nên OC = AB ≈ 19 ,44 (tính chất hình bình hành) Suy v r = OC = OC 19 ,44 (km/h) Vậy vận tốc riêng ca nô khoảng 19 ,44 km/h