Bài 1 Dấu của tam thức bậc hai A Lý thuyết 1 Tam thức bậc hai – Đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c là các hệ số, a ≠ 0 và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f([.]
Bài Dấu tam thức bậc hai A Lý thuyết Tam thức bậc hai – Đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c hệ số, a ≠ x biến số gọi tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Khi thay x giá trị x0 vào f(x), ta f ( x ) = ax 02 + bx + c, gọi giá trị tam thức bậc hai x0 • Nếu f(x0) > ta nói f(x) dương x0 • Nếu f(x0) < ta nói f(x) âm x0 • Nếu f(x) dương (âm) điểm x thuộc khoảng đoạn ta nói f(x) dương (âm) khoảng đoạn Ví dụ: Biểu thức sau tam thức bậc hai? Nếu tam thức bậc hai, xét dấu x = a) f(x) = x2 + 2x4 – 2; b) f(x) = –x2 + 2x – 3; c) f(x) = 3x2 – x Hướng dẫn giải a) Biểu thức f(x) = x2 + 2x4 – tam thức bậc hai có chứa x4 b) Biểu thức f(x) = –x2 + 2x – tam thức bậc hai với a = –1, b = c = –3 Khi x = ta có: f(3) = –32 + 2.3 – = = –9 + – = –6 < Do f(x) âm x = c) Biểu thức f(x) = 3x2 – x tam thức bậc hai với a = 3, b = − c = Khi x = ta có: f(3) = 3.32 – = 27 – > Do f(x) dương x = – Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Khi đó: • Nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c nghiệm f(x) b • Biểu thức ∆ = b – 4ac = − ac biệt thức biệt thức rút 2 gọn f(x) Ví dụ: Tìm biệt thức (hoặc biệt thức thu gọn) nghiệm (nếu có) tam thức bậc hai sau: a) f(x) = x2 + 2x – 5; b) f(x) = = –3x2 + 18x – 27; c) f(x) = x + x2 + Hướng dẫn giải a) f(x) = x2 + 2x – có ∆' = 12 – 1.(–5) = > Do f(x) có hai nghiệm phân biệt là: x1 = −1 + x = −1 − Vậy tam thức bậc hai cho có hai nghiệm x1 = −1 + x = −1 − b) f(x) = –3x2 + 18x – 27 f(x) có ∆' = 92 – (‒3).(–27) = Do f(x) có nghiệm kép x = −9 =3 −3 Vậy tam thức bậc hai cho có nghiệm x = c) f(x) = x + x2 + = x2 + x + f(x) có ∆ = 12 – 4.1.1 = –3 < Do f(x) vơ nghiệm Vậy tam thức bậc hai cho vơ nghiệm Định lí dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) + Nếu ∆ < f(x) dấu với a với giá trị x + Nếu ∆ = x = − b nghiệm kép f(x) f(x) dấu với a với 2a x khác x0 + Nếu ∆ > x1, x2 hai nghiệm f(x) (x1 < x2) thì: • f(x) trái dấu với a với x khoảng (x1; x2); • f(x) dấu với a với x thuộc hai khoảng (–∞; x1), (x2; +∞) Chú ý: + Để xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0), ta thực bước sau: Bước 1: Tính xác định dấu biệt thức ∆; Bước 2: Xác định nghiệm f(x) (nếu có); Bước 3: Xác định dấu hệ số a; Bước 4: Xác định dấu f(x) + Khi xét dấu tam thức bậc hai, ta dùng biệt thức thu gọn ∆' thay cho biệt thức ∆ Ví dụ: Xét dấu tam thức bậc hai sau: a) f(x) = 3x2 + 6x – 9; b) f(x) = –2x2 + 8x + 10; c) f(x) = 4x2 + 8x + 4; d) f(x) = –3x2 + 2x – Hướng dẫn giải a) f(x) = 3x2 + 6x – f(x) có a = > ∆' = 32 – 3.(–9) = 36 > Khi f(x) có hai nghiệm phân biệt là: x1 = −3 − 36 −3 + 36 = −3 = x = 3 Ta có bảng xét dấu f(x) sau: x –∞ f(x) –3 + – Vậy, f(x) dương khoảng (–∞; –3) (1; +∞); f(x) âm khoảng (–3; 1) b) f(x) = –2x2 + 8x + 10 f(x) có a = –2 < ∆' = 42 – (–2).10 = 36 > Khi f(x) có hai nghiệm phân biệt là: x1 = −4 + 36 −4 − 36 =5 = −1 x = −2 −2 +∞ + Ta có bảng xét dấu f(x) sau: –∞ x –1 – f(x) +∞ + – Vậy, f(x) âm khoảng (–∞; –1) (5; +∞); f(x) dương khoảng (–1; 5) c) f(x) = 4x2 + 8x + f(x) có a = > ∆' = 42 – 4.4 = Khi f(x) có nghiệm kép x = −4 = −1 Vậy, f(x) dương với x ≠ –1 d) f(x) = –3x2 + 2x – f(x) có a = –3 < ∆' = 12 – (–3).(–1) = –2 < Vậy f(x) âm với x ∈ ℝ B Bài tập tự luyện Bài Cho đa thức sau, đa thức tam thức bậc hai? Nếu tam thức bậc hai xét dấu tam thức bậc hai a) f ( x ) = 2x − ( ) + x + 1; b) f(x) = x3 – x2 + 1; c) f(x) = –2x2 – 2x – 5; ( ) d) f ( x ) = 3x − x + − x ; e) f(x) = –x2 + 4x – Hướng dẫn giải a) f ( x ) = 2x − ( ) +1 x +1 f(x) tam thức bậc hai có a = Ta có ∆ = − ( ) 0, b = − ( ) +1 , c = 2 + − 2.1 ∆=2+2 +1–4 ∆=2–2 +1= ( ) −1 > = −1 Khi f(x) có hai nghiệm phân biệt là: x1 = +1+ −1 +1− +1 = x = = = 2 2 2 Ta có bảng xét dấu f(x) sau: x f(x) 2 –∞ + +∞ – 2 Vậy, f(x) dương khoảng −; (1; +∞); ;1 f(x) âm khoảng b) f(x) = x3 – x2 + f(x) khơng phải tam thức bậc hai có chứa x3 c) f(x) = –2x2 – 2x – f(x) tam thức bậc hai có a = –2 < 0, b = –2, c = –5 + Ta có ∆' = (–1)2 – (–2).(–5) = –9 < Vậy f(x) âm với x ∈ ℝ ( ) d) f ( x ) = 3x − x + − x f(x) tam thức bậc hai có chứa x4 x3 e) f(x) = –x2 + 4x – f(x) tam thức bậc hai có a = –1 < 0, b = 4, c = –3 Ta có: ∆' = 22 – (–1).(–3) = > Khi f(x) có hai nghiệm phân biệt là: x1 = −2 + −2 − =3 = x = −1 −1 Ta có bảng xét dấu f(x) sau: x –∞ f(x) – +∞ + – Vậy, f(x) âm khoảng (–∞; 1) (3; +∞); f(x) dương khoảng (1; 3) Bài Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai sau đây, lập bảng xét dấu tam thức bậc hai tương ứng a) f(x) = x2 – x + b) f(x) = –3x2 – 2x + c) f(x) = x2 + 4x – Hướng dẫn giải a) f(x) = x2 – x + d) f ( x ) = −2x − 2x − Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số f(x) nằm hoàn toàn (khơng cắt) trục hồnh Do f(x) vơ nghiệm f(x) > với x Ta có bảng xét dấu f(x) sau: x –∞ f(x) +∞ + b) f(x) = –3x2 – 2x + Quan sát hình vẽ ta thấy: 1 • Với x khoảng (–∞; –1) ; + ta thấy đồ thị nằm bên trục hoành 3 1 f(x) < khoảng (–∞; –1) ; + 3 1 • Với x khoảng 1; ta thấy đồ thị nằm bên trục hoành 3 1 f(x) > khoảng 1; 3 Ta có bảng xét dấu f(x) sau: x –∞ – f(x) + +∞ – c) f(x) = x2 + 4x – Quan sát hình vẽ ta thấy: • Với x khoảng (–∞; –5) (1; +∞) ta thấy đồ thị nằm bên trục hoành f(x) > khoảng (–∞; –5) (1; +∞) • Với x khoảng (–5; 1) ta thấy đồ thị nằm bên trục hoành f(x) < khoảng (–5; 1) Ta có bảng xét dấu f(x) sau: x –∞ f(x) d) f ( x ) = −2x − 2x − –5 + +∞ – + Quan sát hình vẽ ta thấy: ) ( ( ) • Với x khoảng −; − − 2; + ta thấy đồ thị nằm bên trục hoành ( ) ( ) f(x) < khoảng −; − − 2; + Ta có bảng xét dấu f(x) sau: x − –∞ f(x) – +∞ – Bài Tổng chi phí để sản xuất x sản phẩm cho biểu thức x2 + 202x + 12 500 (nghìn đồng); giá bán sản phẩm 500 nghìn đồng Số sản phẩm sản xuất phải khoảng bị lỗ, khoảng có lãi? Hướng dẫn giải Vì giá bán sản phẩm 500 nghìn đồng nên với x sản phẩm có doanh thu 500x (nghìn đồng) Do tổng chi phí để sản xuất x sản phầm x2 + 202x + 12 500 (nghìn đồng) nên lợi nhuận thu từ x sản phẩm là: 500x – (x2 + 202x + 12 500) = – x2 + 298x – 12 500 Đặt f(x) = –x2 + 298x – 12 500 Ta có: ∆' = 1492 – (–1)(–12 500) = 701 > Khi f(x) có hai nghiệm phân biệt là: x1 = −149 + 9701 −149 − 9701 247,5 50,5 x = −1 −1 Mặt khác a = –1 < nên ta có bảng xét dấu sau: x –∞ f(x) 50,5 – +∞ 247,5 + – Từ bảng xét dấu ta thấy f(x) > x khoảng (50,5; 247,5); f(x) < x khoảng (–∞; 50,5) (247,5; +∞) Mặt khác, x số sản phẩm nên x nguyên dương Do đó: • Bị lỗ số sản phẩm sản xuất từ đến 50 sản phẩm không nhỏ 248 sản phẩm • Để có lãi số sản phẩm sản xuất phải từ 51 đến 247 sản phẩm Bài Tìm giá trị m để: a) f(x) = –2x2 + (m – 2)x – m + không dương với x ∈ ℝ; b) f(x) = x2 – (m + 2)x + 8m + > với x ∈ ℝ; c) f(x) = mx2 – mx + m + < với x Hướng dẫn giải a) f(x) = –2x2 + (m – 2)x – m + tam thức bậc hai có a = –2 < Do f(x) khơng dương với x ∈ ℝ tức f(x) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ∆≤0 Mà ∆ = (m – 2)2 – 4.(–2).(–m + 4) = m2 – 4m + – 8m + 32 = m2 – 12m + 36 = (m – 6)2 ≥ 0, ∀m Khi ∆ ≤ (m – 6)2 ≤ m – = m = Vậy với m = f(x) khơng dương với x ∈ ℝ b) f(x) = x2 – (m + 2)x + 8m + > tam thức bậc hai có a = > Do f(x) > 0, ∀x ∈ ℝ ∆ < Mà ∆ = [–(m + 2)]2 – 4.(8m + 1) = m2 + 4m + – 32m – = m2 – 28m Khi ∆ < m2 – 28m < m(m – 28) < < m < 28 Vậy với < m < 28 f(x) > 0, ∀x ∈ ℝ c) f(x) = mx2 – mx + m + có a = m • Với m = ta có f(x) = > nên khơng thoả mãn f(x) < với m = không thoả mãn • Với m ≠ 0, f(x) tam thức bậc hai Có ∆ = (– m)2 – 4.m.(m + 3) = m2 – 4m2 – 12m = – 3m2 – 12 a Khi f(x) < với x m m (*) − 3m m + ( ) −3m − 12m Vì m < nên –3m > Do (*) m + < m < –4 Kết hợp điều kiện m ≠ ta có: m < –4 Vậy với m ∈ (–∞; –4) f(x) < với x ... + x + f(x) có ∆ = 12 – 4.1.1 = –3 < Do f(x) vơ nghiệm Vậy tam thức bậc hai cho vô nghiệm Định lí dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) + Nếu ∆ < f(x) dấu với a... f(x) âm với x ∈ ℝ B Bài tập tự luyện Bài Cho đa thức sau, đa thức tam thức bậc hai? Nếu tam thức bậc hai xét dấu tam thức bậc hai a) f ( x ) = 2x − ( ) + x + 1; b) f(x) = x3 – x2 + 1; c) f(x)... 3x2 – x tam thức bậc hai với a = 3, b = − c = Khi x = ta có: f(3) = 3.32 – = 27 – > Do f(x) dương x = – Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Khi đó: • Nghiệm phương trình bậc hai ax2