Bài 2 Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp A Lý thuyết 1 Hoán vị – Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự gọi là một hoán vị các phần tử đó (gọi tắt là hoán vị của[.]
Bài Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp A Lý thuyết Hoán vị – Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách xếp n phần tử A theo thứ tự gọi hốn vị phần tử (gọi tắt hoán vị A hay n phần tử) Kí hiệu Pn số hốn vị n phần tử – Số hoán vị n phần tử (n ≥ 1) bằng: Pn = n(n – 1)(n – 2)….2 Chú ý: + Ta đưa vào kí hiệu n! = n(n – 1)(n – 2)… đọc n giai thừa giai thừa n Khi Pn = n! + Quy ước: 0! = Ví dụ: Có thể lập số có chữ số khác từ chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7? Trong số có số lẻ? Hướng dẫn giải • Mỗi số tự nhiên có chữ số khác lập từ chữ số 1; 2; 3; 5; 6; hoán vị chữ số Do đó, số số tự nhiên có chữ số khác lập là: P6 = 6! = = 720 (số) Vậy lập 720 số Ta lập số tự nhiên lẻ có chữ số khác từ chữ số 1; 2; 3; 5; 6; • Bước 1: Chọn chữ số hàng đơn vị chữ số lẻ Có cách chọn (chọn chữ số 1; 3; 5; 7) Bước 2: Chọn năm chữ số lại Có P5 = 5! cách chọn Từ đó, theo quy tắc nhân, số số tự nhiên lẻ có sáu chữ số khác lập từ chữ số cho là: 4.5! = 480 (số) Chỉnh hợp – Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) số nguyên k với ≤ k ≤ n Mỗi cách lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Kí hiệu A kn số chỉnh hợp chập k n phần tử – Số chỉnh hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) bằng: A kn = n(n – 1)(n – 2) ….(n – k + 1) = n! ( n − k )! Nhận xét: Mỗi hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Ta có Pn = Ann , n ≥ Ví dụ: Trên bàn có 10 cam to nhỏ khác Chọn cam 10 đó, đặt vào giỏ nhựa khác Hỏi có cách chọn cam Hướng dẫn giải Mỗi cách chọn cam 10 cam đặt vào giỏ nhựa gọi chỉnh hợp chập 10 cam Ta thấy số chỉnh hợp bằng: = 10 = 720 A10 Vậy có 720 cách chọn cam Tổ hợp – Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi tập gồm k phần tử (1 ≤ k ≤ n) A gọi tổ hợp chập k n phần tử Kí hiệu Ckn số tổ hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) – Số tổ hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) bằng: Ckn = n! k!( n − k )! Chú ý: Người ta quy ước C0n = Nhận xét: Ckn = Cnn −k (0 ≤ k ≤ n) Ví dụ: Lớp 10A có 20 học sinh Trong tuần sau có bạn cử dự đại hội Đồn Thanh niên Hỏi có cách chọn bạn học sinh lớp dự đại hội Đoàn Thanh niên? Hướng dẫn giải Mỗi cách chọn bạn học sinh lớp từ 20 bạn học sinh tổ hợp chập 20 học sinh Do số cách chọn bạn học sinh lớp dự đại hội Đoàn Thanh niên là: C520 = 20! = 15 504 (cách) 5!.15! Vậy có 15 504 cách chọn bạn học sinh lớp dự đại hội Đồn Thanh niên Ví dụ: Tính: a) C11 14 ; b) C22 24 + C24 ; c) C227 − C26 Hướng dẫn giải a) C11 14 = 14! 14.13.12.11! 14.13.12 = = = 364 11!.3! 11!.3.2.1 3.2.1 24−2 b) C22 + C224 = C224 + C224 = 2C24 24 + C24 = C24 = 24! 24.23.22! = = 24.23 = 552 2!.22! 2.1.22! c) C227 − C26 = = 27! 26! 27.26.25! 26.25.24! − = − 2!.25! 2!.24! 2.1.25! 2.1.24! 27.26 26.25 26 − = ( 27 − 25 ) = 13.2 = 26 2.1 2.1 Tính số hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp máy tính cầm tay Với số máy tính cầm tay, ta tính tốn nhanh số hốn vị, chỉnh hợp tổ hợp Ví dụ: • Để tính P10 ta ấn liên tiếp phím: 10 SHIFT x −1 ( x!) = Ta nhận kết 628 800 • Để tính A 64 ta ấn liên tiếp phím: SHIFT ( n Pr ) = Ta nhận kết 360 • Để tính C84 ta ấn liên tiếp phím: SHIFT ( nCr ) = Ta nhận kết 70 B Bài tập tự luyện Bài Có ghế phịng học Hỏi có học sinh ngồi vào có cách xếp? Nếu có bạn An (có học sinh trên) muốn ngồi vào ghế ngồi bên trái có cách xếp? Hướng dẫn giải • Mỗi cách xếp học sinh vào ghế hốn vị học sinh Do đó, số cách xếp học sinh vào ghế trống là: P6 = 6! = 720 cách Vậy có 720 cách xếp học sinh vào ghế trống • Bạn An muốn ngồi vào ghế bên trái nên ghế trống học sinh Do đó, số cách xếp học sinh vào ghế trống là: P5 = 5! = 120 cách Vậy bạn An muốn ngồi vào ghế bên trái có 120 cách xếp Bài Trong đại hội Đồn gồm có 10 ứng viên Người ta cần bầu chủ tịch, phó chủ tịch, ủy viên thư kí Hỏi có khả kết bầu này? Hướng dẫn giải Mỗi cách chọn người số 10 ứng viên để vào vị trí (chủ tịch, phó chủ tịch, ủy viên thư kí) chỉnh hợp chập 10 ứng viên Do có số khả kết bầu là: = A10 10! = 040 4! Vậy có 040 khả kết bầu Bài Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên tập hợp số tự nhiên có chữ số chia hết cho 10 Hỏi có cách chọn số tự nhiên Hướng dẫn giải Các số tự nhiên có chữ số chia hết cho 10 là: 10; 20; 30; …; 90 Do có số tự nhiên có chữ số chia hết cho 10 Mỗi cách chọn số số tự nhiên tổ hợp chập số tự nhiên Do đó, số cách chọn số số là: C39 = 9! = 84 cách 3!.6! Vậy có 84 cách chọn số tự nhiên tập hợp số tự nhiên có chữ số chia hết cho 10 Bài Sử dụng máy tính cầm tay để tính biểu thức sau: P5 + A83.C74 Hướng dẫn giải Ta ấn phím sau: ; Shift ; x −1 ; + ; ; Shift ; × ; 3; × ; ; Shift ; ÷ ; 4; = SHIFT x −1 + SHIFT SHIFT = Ta kết là: 11880 Bài Trong hộp đựng viên bi đỏ, viên bi xanh, 10 viên bi trắng Có cách chọn viên bi trường hợp sau: a) viên bi có màu b) viên bi chọn có hai viên bi màu trắng Hướng dẫn giải a) Có tất cả: + + 10 = 24 viên bi hộp Chọn viên bi tổng số 24 viên bi tổ hợp chập 24 Do số cách chọn viên bi có màu hộp là: C424 = 10626 (cách) Vậy có 10 626 cách chọn viên bi có màu b) Chọn viên bi có hai viên bi màu trắng ta chia làm hai công đoạn: Công đoạn 1: chọn viên bi màu trắng 10 viên bi màu trắng tổ hợp chập 10 Do có C10 = 45 (cách) Công đoạn 1: chọn viên bi 14 viên bi lại tổ hợp chập 14 Do có C14 = 91 (cách) Theo quy tắc nhân ta có: 45.91= 095 cách chọn viên bi có viên bi màu trắng ... đựng vi? ?n bi đỏ, vi? ?n bi xanh, 10 vi? ?n bi trắng Có cách chọn vi? ?n bi trường hợp sau: a) vi? ?n bi có màu b) vi? ?n bi chọn có hai vi? ?n bi màu trắng Hướng dẫn giải a) Có tất cả: + + 10 = 24 vi? ?n bi... vi? ?n bi hộp Chọn vi? ?n bi tổng số 24 vi? ?n bi tổ hợp chập 24 Do số cách chọn vi? ?n bi có màu hộp là: C424 = 106 26 (cách) Vậy có 10 626 cách chọn vi? ?n bi có màu b) Chọn vi? ?n bi có hai vi? ?n bi màu trắng... ta chia làm hai công đoạn: Công đoạn 1: chọn vi? ?n bi màu trắng 10 vi? ?n bi màu trắng tổ hợp chập 10 Do có C10 = 45 (cách) Công đoạn 1: chọn vi? ?n bi 14 vi? ?n bi lại tổ hợp chập 14 Do có C14 = 91 (cách)