Bài 2 Định lí côsin và định lí sin A Lý thuyết 1 Định lí côsin trong tam giác Định lí côsin Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có a2 = b2 + c2 – 2bc cosA; b2 = c2 + a2 – 2ca cosB; c2 =[.]
Bài Định lí cơsin định lí sin A Lý thuyết Định lí cơsin tam giác Định lí cơsin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB; c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC Từ định lí cơsin, ta có hệ sau đây: Hệ quả: b2 + c2 − a cos A = ; 2bc c2 + a − b2 cos B = ; 2ca a + b2 − c2 cos C = 2ab Ví dụ Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = cos A = Tính độ dài cạnh BC, số đo góc B C (làm trịn số đo góc đến độ) Hướng dẫn giải Xét tam giác ABC có AB = 4, AC = cos A = , áp dụng định lí cơsin ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA BC2 = 42 + 52 − 2.4.5 BC2 = 17 BC = 17 Áp dụng hệ định lí cơsin ta có: AB2 + BC2 − AC2 +) cos B = 2.AB.BC cos B = 42 + 17 − 52 2.4 17 cos B = 17 B 76 17 +) cos C = AC2 + BC2 − AB2 2.AC.BC cos B = cos C = 52 + 17 − 42 2.5 17 13 17 C 51 85 Vậy BC = 17, B 76 C ≈ 51° Định lí sin tam giác Định lí sin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có: a b c = = = 2R; sin A sin B sin C Trong R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Từ định lí sin, ta có hệ sau đây: Hệ quả: a = 2R.sinA; b = 2R.sinB; c = 2R.sinC; sin A = a b c ;sin B = ;sin C = 2R 2R 2R Ví dụ Cho hình vẽ: Tính cạnh, góc chưa biết bán kính đường trịn ngoại tiếp R tam giác ABC (làm tròn độ dài đến chữ số thập phân thứ nhất) Hướng dẫn giải Xét tam giác ABC có A = 60, B = 40 ta có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) C = 180 − A − B C = 180 − 60 − 40 = 80 Theo định lí sin ta có: BC AC AB = = = 2R sin A sin B sin C BC AC 14 = = = 2R sin 60 sin 40 sin 80 14.sin 60 BC = 12,3 sin 80 14.sin 40 AC = 9,1 sin 80 14 R = 7,1 2.sin 80 Vậy C = 80; BC 12,3; AC 9,1 R ≈ 7,1 Các cơng thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC Ta kí hiệu: +) BC = a, CA = b, AB = c +) ha, hb, hc độ dài đường cao ứng với cạnh BC, CA, AB +) R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác +) r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác +) p nửa chu vi tam giác +) S diện tích tam giác Ta có cơng thức tính diện tích tam giác sau: 1 (1) S = ah a = bh b = ch c ; 2 1 (2) S = ab.sin C = bc.sin A = ac.sin B; 2 (3) S = abc ; 4R (4) S = pr; (5) S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) (Công thức Heron) Ví dụ Tính diện tích S tam giác ABC, bán kính đường trịn nội tiếp r bán kính đường trịn ngoại tiếp R (nếu chưa biết) (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ ba) trường hợp sau: a) A = 30, B = 45, R = ; b) AB = 10, AC = 17, BC = 21 Hướng dẫn giải a) Xét tam giác ABC có A = 30, B = 45 ta có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) C = 180 − A − B C = 180 − 30 − 45 = 105 Theo hệ định lí sin ta có: +) BC = 2.R.sinA = 2.3.sin30° = +) AC = 2.R.sinB = 2.3.sin45° = = 3; 2 = 2; +) AB = 2.R.sinC = 2.3.sin105° ≈ 5,796 Theo cơng thức tính diện tích tam giác ta có: 1 SABC = AB.AC.sin A 5,796.3 2.sin 30 6,148 (đơn vị diện tích) 2 Ta p= có nửa chu vi tam AB + BC + AC 5,796 + + 6,519 2 giác ABC là: Mà SABC = pr r = SABC 6,148 0,943 p 6,519 Vậy SABC ≈ 6,148 (đơn vị diện tích) r ≈ 0,943 b) Nửa chu vi tam giác ABC là: p = AB + AC + BC 10 + 17 + 21 = = 24 2 Áp dụng công thức Heron ta có: SABC = p ( p − AB)( p − AC )( p − BC ) SABC = 24 ( 24 − 10 ) ( 24 − 17 ) ( 24 − 21) = 84 (đơn vị diện tích) Mà SABC = pr r = Lại có SABC = SABC 84 = = 3,5 p 24 AB.AC.BC AB.AC.BC 10.17.21 R= = = 10,625 4R 4S 4.84 Vậy S = 84 (đơn vị diện tích) r = 3,5; R = 10,625 B Bài tập tự luyện Bài Tính độ dài cạnh góc chưa biết tam giác ABC, diện tích tam giác ABC, bán kính đường trịn ngoại tiếp, bán kính đường trịn nội tiếp đường cao kẻ từ C tam giác ABC (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) hình sau: Hướng dẫn giải Xét tam giác ABC có B = 60,C = 80 ta có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) A = 180 − B − C A = 180 − 60 − 80 = 40 Theo định lí sin ta có: BC AC AB = = = 2R sin A sin B sin C BC AC = = = 2R sin 40 sin 60 sin 80 6.sin 40 BC = sin 80 3,92 6.sin 60 AC = 5, 28 sin 80 R = 2.sin 80 3,05 Nửa chu vi tam giác ABC là: p = AB + AC + BC + 5, 28 + 3,92 = 7, 2 Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là: SABC = p ( p − AB)( p − AC )( p − BC ) SABC 7,6 ( 7,6 − ) ( 7,6 − 5, 28 ) ( 7,6 − 3,92 ) 10,19 (đơn vị diện tích) Mặt khác SABC = pr r = SABC 10,19 1,34 p 7,6 Lại có SABC = AB.h C (với hC đường cao kẻ từ C đến AB tam giác ABC) hC = 2.SABC 2.10,19 3, AB Vậy A = 40; BC ≈ 3,92; AC ≈ 5,28; R ≈ 3,05; r ≈ 1,34; h C ≈ 3,4 S ≈ 10,19 (đơn vị diện tích) Bài Hình bình hành ABCD có AB = a, BC = a BAD = 45 Tính diện tích hình bình hành Hướng dẫn giải Vì ABCD hình bình hành nên AD = BC (tính chất hình bình hành) Mà BC = a nên AD = a Diện tích tam giác ABD là: SABD 1 a2 = AB.AD.sin BAD = a.a 2.sin 45 = (đơn vị diện tích) 2 Do diện tích hình bình hành ABCD là: SABCD = 2SABD = a2 = a (đơn vị diện tích) Bài Tam giác ABC vng A có AB = AC = 30 cm Hai đường trung tuyến BE CF cắt G Tính diện tích tam giác GEC Hướng dẫn giải Vì BE trung tuyến tam giác ABC nên E trung điểm AC 1 Do EC = AC = 30 = 15 ( cm ) 2 Hai đường trung tuyến BE CF cắt G nên G trọng tâm tam giác ABC Khi GE = BE (tính chất trọng tâm tam giác) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ G xuống AC Suy GH // AB Do Hay GH GE = (định lí Ta – let tam giác ABE) BA BE GH 1 = GH = 30 = 10 ( cm ) BA 3 1 Diện tích tam giác GEC là: SGEC = GH.EC = 10.15 = 75 ( cm ) 2 Vậy diện tích tam giác GEC 75 cm2 Bài Vào lúc sáng, hai vận động viên A B xuất phát từ vị trí O Vận động viên A chạy với vận tốc 13 km/h theo góc so với hướng Bắc 15°, vận động viên B chạy với vận tốc 12 km/h theo góc so với hướng Bắc 135° (hình vẽ) Tại thời điểm vận động viên A cách vận động viên B khoảng 10 km (làm tròn kết đến phút)? Hướng dẫn giải Gọi x (x > 0) khoảng thời gian kể từ bắt đầu chạy từ điểm O đến hai vận động viên cách 10 km Khi đoạn đường mà vận động viên A chạy 13x (km); Đoạn đường mà vận động viên B chạy 12x (km) Theo hình vẽ ta có: AB = 10, OA = 13x, OB = 12x AOB = 135 − 15 = 120 Áp dụng định lí cơsin tam giác OAB ta có: AB2 = OA2 + OB2 – 2.OA.OB sin AOB 102 = (13x)2 + (12x)2 – 2.13x.12x.sin120° 102 = 169x + 144x − 312x ( ) 102 = 313 − 156 x x2 = 10 313 − 156 x ≈ 0,483 (giờ) (vì x > 0) ≈ 29 phút Vì hai vận động viên bắt đầu chạy từ giờ, thời điểm mà hai vận động viên cách 10 km khoảng: 29 phút Vậy vào khoảng 29 phút hai vận động viên cách 10 km ... lí sin ta có: BC AC AB = = = 2R sin A sin B sin C BC AC 14 = = = 2R sin 60 sin 40 sin 80 14 .sin 60 BC = 12,3 sin 80 14 .sin 40 AC = 9,1 sin 80 14 R = 7,1 2 .sin. .. Theo định lí sin ta có: BC AC AB = = = 2R sin A sin B sin C BC AC = = = 2R sin 40 sin 60 sin 80 6 .sin 40 BC = sin 80 3,92 6 .sin 60 AC = 5, 28 sin 80 R = 2 .sin 80 ... lí sin ta có: +) BC = 2.R.sinA = 2.3 .sin3 0° = +) AC = 2.R.sinB = 2.3 .sin4 5° = = 3; 2 = 2; +) AB = 2.R.sinC = 2.3 .sin1 05° ≈ 5,796 Theo cơng thức tính diện tích tam giác ta có: 1 SABC = AB.AC.sin