Bài 8 Tổng và hiệu của hai vectơ Bài 4 7 SBT Toán 10 trang 50 Tập 1 Cho hai vectơ a và b không cùng phương Chứng minh rằng a b a b a b Lời giải Giả sử ba điểm A, B, C thoả mãn a AB,b BC Kh[.]
Bài Tổng hiệu hai vectơ Bài 4.7 SBT Toán 10 trang 50 Tập 1: Cho hai vectơ a b không phương Chứng minh rằng: a b ab a b Lời giải Giả sử ba điểm A, B, C thoả mãn: a AB, b BC Khi ta có: a b AB BC AC (quy tắc ba điểm) Do đó: +) a AB AB; +) b BC BC; +) a b AC AC Mặt khác: xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức tam giác ta có: AB – BC < AC < AB + BC Hay a b a b a b Vậy a b a b a b Bài 4.8 SBT Toán 10 trang 50 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B C MO cắt cạnh AD N a) Chứng minh O trung điểm MN b) Gọi G trọng tâm tam giác BCD Chứng minh G trọng tâm tam giác MNC Lời giải a) Vì ABCD hình bình hành tâm O Nên O trung điểm AC BD ADO CBO Xét ∆ODN ∆OBM có: OD = OB (do O trung điểm BD), DON BOM (hai góc đối đỉnh), NDO MBO (do ADO CBO ) ∆ODN = ∆OBM (g.c.g) ON = OM (hai cạnh tương ứng) O trung điểm NM Vậy O trung điểm NM b) Vì G trọng tâm ∆BCD nên GB GC GD GM MB GC GN ND (quy tắc hiệu) GM MB GC GN ND GM GC GN MB ND (*) Ta có: O trung điểm NM (câu a), O trung điểm BD (câu a) BMDN hình bình hành BM ND MB ND MB ND Thay vào (*) ta GM GC GN Do GM GC GN G trọng tâm tam giác MNC Vậy G trọng tâm tam giác MNC Bài 4.9 SBT Toán 10 trang 50 Tập 1: Cho tứ giác ABCD a) Chứng minh AB BC CD DA b) Chứng minh AB CD AD CB Lời giải a) Theo quy tắc ba điểm ta có: AB BC CD DA AC CD DA AD DA AA 0 Vậy AB BC CD DA b) Theo quy tắc ba điểm ta có: AB CD AD DB CB BD AD DB CB BD AD CB BD DB AD CB BB AD CB AD CB Vậy AB CD AD CB Bài 4.10 SBT Toán 10 trang 51 Tập 1: Cho tam giác ABC Gọi D, E, F theo thứ tự trung điểm cạnh BC, CA AB a) Xác định vectơ AF – BD CE b) Xác định điểm M thoả mãn AF BD CE MA c) Chứng minh MC AB Lời giải a) Ta có: AF – BD CE AF DB CE AF DB EA (vì E trung điểm AC nên CE EA ) EA AF DB EF DB Vì E, F trung điểm AC, AB Nên EF đường trung bình tam giác ABC EF // BC EF BC Mà D trung điểm BC nên BD BC Xét tứ giác EFBD có: EF // BD, EF BD BC EFBD hình bình hành EF DB Khi đó: AF – BD CE EF DB DB DB 2DB CB (do D trung điểm BC) Vậy AF – BD CE CB b) Điểm M thoả mãn AF BD CE MA Mà AF – BD CE CB (câu a) Nên MA CB Do MABC hình bình hành (theo kết tập 4.3 SGK Toán 10 tập 1) Vậy điểm M thoả mãn tứ giác MABC hình bình hành c) Vì MABC hình bình hành (câu b) Nên MC AB (theo kết tập 4.3 SGK Toán 10 tập 1) Vậy MC AB Bài 4.11 SBT Toán 10 trang 51 Tập 1: Trên Hình 4.7 biểu diễn ba lực F1 , F2 , F3 tác động vào vật vị trí cân A Cho biết F1 30N, F2 40N Tính cường độ lực F3 Lời giải Ta sử dụng vectơ AB, AC, AD AE biểu diễn cho lực F1 , F2 , F3 hợp lực F F1 , F2 (hình vẽ đây) Khi F F1 F2 nên tứ giác ABEC hình bình hành Lại có BAC 90 nên ABEC hình chữ nhật Khi F AE AE AB2 BE2 (định lí Pythagoras) Hay F F1 F2 302 402 50 (N) Do vật vị trí cân A nên hai lực F F3 ngược hướng có cường độ Tức hai vectơ AE AD hai vectơ đối Do cường độ lực F3 F3 F 50 N Vậy cường độ lực F3 50 N Bài 4.12 SBT Toán 10 trang 51 Tập 1: Trên mặt phẳng, chất điểm A chịu tác dụng ba lực F1 , F2 , F3 trạng thái cân Góc hai vectơ F1 , F2 60° Tính độ lớn F3 , biết F1 F2 3N Lời giải Ta sử dụng vectơ AB, AC, AD AE biểu diễn cho lực F1 , F2 , F3 hợp lực F F1 , F2 (hình vẽ đây) Khi F F1 F2 nên tứ giác ABEC hình bình hành Lại có góc hai vectơ F1 , F2 60° nên BAC 60 Suy ECA 180 BAC 180 60 120 Áp dụng định lí Cosin cho tam giác AEC ta có: AE2 = AC2 + EC2 – 2.AC.EC.cos ECA Hay AE AE2 = 36 AE = 2 2 2.2 3.2 3.cos120 Do F N Vì chất điểm A trạng thái cân nên hai lực F F3 ngược hướng có cường độ Tức hai vectơ AE AD hai vectơ đối Do độ lớn lực F3 F3 F N Vậy độ lớn lực F3 N ... vật vị trí cân A nên hai lực F F3 ngược hướng có cường độ Tức hai vectơ AE AD hai vectơ đối Do cường độ lực F3 F3 F 50 N Vậy cường độ lực F3 50 N Bài 4.12 SBT Toán 10 trang 51 Tập 1: Trên... 4.3 SGK Toán 10 tập 1) Vậy điểm M thoả mãn tứ giác MABC hình bình hành c) Vì MABC hình bình hành (câu b) Nên MC AB (theo kết tập 4.3 SGK Toán 10 tập 1) Vậy MC AB Bài 4.11 SBT Tốn 10 trang 51... đây) Khi F F1 F2 nên tứ giác ABEC hình bình hành Lại có góc hai vectơ F1 , F2 60° nên BAC 60 Suy ECA 180 BAC 180 60 120 Áp dụng định lí Cosin cho tam giác AEC ta có: AE2