sach bai tap toan 10 bai 11 tich vo huong cua hai vecto ket noi tri th

Bài 11 Tích vô hướng của hai vectơ Bài 4 29 SBT Toán 10 trang 65 Tập 1 Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1 a) Gọi M là trung điểm của BC Tính tích vô hướng của các cặp vectơ MA và BA, MA và[.]

Bài 11: Tích vơ hướng hai vectơ Bài 4.29 SBT Toán 10 trang 65 Tập 1: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a) Gọi M trung điểm BC Tính tích vơ hướng cặp vectơ MA BA, MA AC b) Gọi N điểm đối xứng với B qua C Tính tích vơ hướng AM.AN c) Lấy điểm P thuộc đoạn AN cho AP = 3PN Hãy biểu thị vectơ AP,MP theo hai vectơ AB AC Tính độ dài đoạn MP Lời giải a) Tam giác ABC có M trung điểm BC nên đường trung tuyến AM đồng thời đường phân giác đường cao 1  BAM  MAC  BAC  60  30 2 Gọi Ax tia đối tia AM, tia Ay tia đối tia AB   Do MA;BA  xAy  BAM  30  MA;AC  xAC  180  MAC    MA;AC  180  30  150 Khi ta có:  • MA.BA  MA BA cos MA;BA   MA.BA  MA.BA.cos30 Xét tam giác BAM vuông M, theo định lí Pythagoras ta có: 1 MA  BA  BM      2  MA.BA  2 3  2  • MA.AC  MA AC cos MA;AC   MA.AC  MA.AC.cos150  MA.AC   3  2 Vậy MA.BA  3 MA.AC  4 b) • Vì M trung điểm BC nên AB  AC  2AM  AM   AB  AC  • N đối xứng với B qua C nên C trung điểm BN  AB  AN  2AC  AN  2AC  AB Khi AM.AN    AB  AC 2AC  AB    2AB.AC  AB.AB  2AC.AC  AC.AB  2  2AC  AB  AB.AC    2  AC  AB  AB.AC   Mà AB.AC  AB AC cos AB.AC   AB.AC.cosBAC  1.1.cos 60   Do AM.AN  2AC  AB2  AB.AC  1 1   2.12  12   2 2 3   2 Vậy AM.AN  c) • Vì P thuộc đoạn thẳng AN thỏa mãn AP = 3PN  AP  AN  3  AP  AN  2AC  AB 4  3  AP  AC  AB • Ta có: MP  AP  AM  3    AC  AB   AB  AC 2   3 1  AC  AB  AB  AC 2 1 3  3    AC  AC    AB  AB  2 2  4   AC  AB  MP  MP  AC  AB    MP   AC  AB    2 2 25  AC  AC.AB  AB 16  AC2   12  25 AB2  AC.AB 16 25 1  16 2  21 16  MP  21 21  16 21 Vậy AP  AC  AB; MP  AC  AB MP  4 Bài 4.30 SBT Tốn 10 trang 65 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, BC  Gọi M trung điểm AD a) Chứng minh đường thẳng AC BM vng góc với b) Gọi H giao điểm AC, BM Gọi N trung điểm AH P trung điểm CD Chứng minh tam giác NBP tam giác vuông Lời giải a) Đặt AB  a,AD  b a  b  Vì AB ⊥ AD nên a  b  a.b  ABCD hình chữ nhật nên hình bình hành nên ta có: AC  AB  AD  a  b (quy tắc hình bình hành) 1 M trung điểm AD nên AM  AD  b 2 Suy BM  AM  AB  b  a   1  Khi AC.BM  a  b  b  a  2  1  a.b  a.a  b.b  a.b 2 1  0a  b 0 2 a  (do a.b  ) b  12   2 0 Do AC.BM   AC  BM  AC ⊥ BM b) • Xét tam giác ABC vng C, theo định lí Pythagore ta có: AC2 = AB2 + BC2 = +   2 =3  AC  Theo hệ thức lượng tam giác vng ta có: AB2 12   AB = AH.AC  AH  AC 3  AH  : 3 AC 3  AH  AC Khi HC  AC HA   AC 3 Ta có NB  NA  AB (quy tắc ba điiểm) Vì N trung điểm AH nên NA  HA 1   NB    AC   AB 2     ab a  a b 6 • Có N trung điểm HA P trung điểm CD, theo kết 4.12, trang 58, Sách giáo khoa Tốn 10, tập một, ta có: AD  HC  2NP  NP  1  NP  AD  HC 2  AD  HC  1  AD  AC 2  1  b ab   a  b  1  5 Khi NB.NP   a  b   a  b   3  6  25 a  a.b  a.b  b 18 36 18 36  25 a  a.b  a.b  b 18 36 18 36  25 a  0 0 b 18 36 18 36  5  18 36  5   18 36  2 (do a.b  ) Do NB.NP   NB  NP  NB ⊥ NP Bài 4.31 SBT Toán 10 trang 65 Tập 1: Cho tam giác ABC có A  90 Dựng phía ngồi tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A ABD ACE Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm BC, BD, CE Chứng minh rằng: a) AM vng góc với DE; b) BE vng góc với CD; c) Tam giác MNP tam giác vuông cân Lời giải a) +) Vì M trung điểm BC nên AB  AC  2AM  AM   AB  AC  +) Theo quy tắc ba điểm ta có: DE  AE  AD  AM.DE     AB  AC AE  AD   AB.AE  AB.AD  AC.AE  AC.AD Mà AB ⊥ AD nên AB.AD   Và AC ⊥ AE nên AC.AE  Do AM.DE   AB.AE  AC.AD  Ta có: • AB.AE  AB.AE.cosBAE Và AC.AD  AC.AD.cosCAD • AB = AD (do ∆ABD vuông cân A) Và AC = AE (do ∆ACE vng cân A) • BAE  BAC  CAE  BAC  90 Và CAD  BAC  BAD  BAC  90  BAE  CAD Do AB.AE  AC.AD  AM.DE    AB.AE  AB.AE   AM  DE b) Ta có: BE  AE  AB CD  AD  AC    BE.CD  AE  AB AD  AC   AE.AD  AE.AC  AB.AD  AB.AC  AE.AD  AB.AC (do AB.AD  AC.AE  )   a) Tính tích vơ hướng a a  b b) Tính số đo góc hai vectơ a a  b Lời giải Gọi ba điểm A, B, C cho AB  a,BC  b Khi a  b  AB  BC  AC Và AB = 6, BC = AC = 10 Xét tam giác ABC có: • AB2 + BC2 = 62 + 82 =100 AC2 = 102 = 100  AB2 + BC2 = AC2 Do tam giác ABC vng B (định lí Pythagore đảo) • cosBAC   AB   AC 10  a) Ta có a a  b  AB.AC  AB.ACcosBAC  6.10  36   Vậy a a  b  36   b) cos a;a  b  cosBAC   BAC  53748   Vậy a;a  b  53748 Bài 4.33 SBT Toán 10 trang 65 Tập 1: Cho tam giác ABC không cân Gọi D, E, F theo thứ tự chân đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng trung điềm cạnh BC, CA, AB Chứng minh MD.BC  NE.CA  PF.AB  Lời giải Gọi H O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC • Vì D, M hình chiếu H O lên BC, nên MD hình chiếu OH giá BC Theo định lí hình chiếu (được giới thiệu phần Nhận xét Ví dụ 2, trang 62, Sách Bài tập Tốn 10, tập một) ta có: OH.BC  MD.BC   MD.BC  OH.BC  OH OC  OB   MD.BC  OH.OC  OH.OB (1) Chứng minh tương tự ta có:  • NE.CA  OH.CA  OH OA  OC  NE.CA  OH.OA  OH.OC  (2)  • PF.AB  OH.AB  OH OB  OA   PF.AB  OH.OB  OH.OA (3) Từ (1), (2) (3) ta có: MD.BC  NE.CA  PF.AB  OH.OC  OH.OB  OH.OA  OH.OC  OH.OB  OH.OA =0 Vậy MD.BC  NE.CA  PF.AB  Bài 4.34 SBT Toán 10 trang 65 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) B(4; 3) a) Tìm toạ độ điểm C thuộc trục hồnh cho tam giác ABC vng A Tính chu vi diện tích tam giác ABC b) Tìm toạ độ điểm D cho tam giác ABD vuông cân A Lời giải a) Vì tam giác ABC vng A nên AB ⊥ AC hay AB  AC Do AB.AC  Giả sử C(x; 0) điểm thuộc trục hoành Với A(2; 1), B(4; 3) C(x; 0) ta có: AB   2;2  AC   x  2; 1 Khi AB.AC   2(x – 2) + 2(–1) =  2x – – =  2x = x=3 Vậy C(3; 0)  AC  1; 1 Ta có: • AB   2;2   AB  22  22  2 • AC  1; 1  AC  12   1  2 • BC  AB2  AC  2     2  10 (theo định lí Pythagore) Khi chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = 2   10   10 (đơn vị độ dài) Diện tích tam giác ABC là: 1 AB.AC  2  (đơn vị diện tích) 2 b) Tam giác ABD vuông cân A nên AB ⊥ AD AB = AD • Với AB ⊥ AD ta có AB  AD Mà AB  AC (theo câu a) Nên AD phương với AC Gọi D(a; b) tọa độ điểm D cần tìm  AD   a  2;b  1 Mà AC  1; 1 Do AD phương với AC khi: a  b 1  a–2=1–b 1 b–1=2–a (4) • Với AB = AD ta có AB2 = AD2   2    a     b  1 2  = (a – 2)2 + (2 – a)2 (do b – = – a)  = 2.(a – 2)2  (a – 2)2 = a    a   2 a   a  Với a = b – = –  b = –1 ta có điểm D1(4; –1) Với a = b – = –  b = ta có điểm D2(0; 3) Vậy có hai điểm D thỏa mãn yêu cầu đề D1(4; –1) D2(0; 3) Bài 4.35 SBT Toán 10 trang 65 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) C(9; 2) hai đỉnh hình vng ABCD Tìm toạ độ đỉnh B, D, biết tung độ B số âm Lời giải Gọi I giao điểm AC BD Vì ABCD hình vng nên ta có: I trung điểm AC; AC = BD AC ⊥ BD I • I trung điểm AC nên: 1   x I    I(5; 3)   y  3  I Giả sử B(x; y) (y < 0) D(a; b) Vì I trung điểm BD nên ta có: xa  5  a  10  x  D(10 – x; – y)   y  b b   y  3   Với A(1; 4); C(9; 2); B(x; y) D(10 – x; – y) ta có: AC  8; 2  BD  10  2x;6  2y  • AC ⊥ BD  AC  BD  AC.BD   8.(10 – 2x) + (–2).(6 – 2y) =  80 – 16x – 12 + 4y =  4y = 16x – 68  y = 4x – 17 (với y < 0) • AC = BD  AC2 = BD2  82 + (–2)2 = (10 – 2x)2 + (6 – 2y)2  64 + = (10 – 2x)2 + [6 – 2(4x – 17)]2  (10 – 2x)2 + (6 – 8x + 34)2 = 68  (10 – 2x)2 + (40 – 8x)2 = 68  4.(x – 5)2 + 64.(x – 5)2 = 68  (x – 5)2 = x     x   1 x   x  Với x = ta có y = 4.6 – 17 = (không thỏa mãn y < 0) Với x = ta có y = 4.4 – 17 = –1 (thỏa mãn y < 0) Khi ta có điểm B(4; –1) ... AB = 6, BC = AC = 10 Xét tam giác ABC có: • AB2 + BC2 = 62 + 82 =100 AC2 = 102 = 100  AB2 + BC2 = AC2 Do tam giác ABC vng B (định lí Pythagore đảo) • cosBAC   AB   AC 10  a) Ta có a a ... giác vuông cân M Bài 4.32 SBT Toán 10 trang 65 Tập 1: Cho hai vectơ a b thoả mãn a  6, b  a  b  10   a) Tính tích vơ hướng a a  b b) Tính số đo góc hai vectơ a a  b Lời giải Gọi ba điểm... AC  12   1  2 • BC  AB2  AC  2     2  10 (theo định lí Pythagore) Khi chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = 2   10   10 (đơn vị độ dài) Diện tích tam giác ABC là: 1 AB.AC