Bài 6 Hệ thức lượng trong tam giác Trang 38 Bài 3 7 trang 38 SBT Toán 10 Tập 1 Cho tam giác ABC có A 45 ,C 30 và c = 12 a) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác b) Tính độ dài bán kính đường[.]
Bài Hệ thức lượng tam giác Trang 38 Bài 3.7 trang 38 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có A 45,C 30 c = 12 a) Tính độ dài cạnh cịn lại tam giác b) Tính độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác c) Tính diện tích tam giác d) Tính độ dài đường cao tam giác Lời giải: Xét ABC có A B C 180 B 180 A C 180 45 30 105 Áp dụng định lí sin ta có: Suy ra: a b c sin A sin B sin C • a c 12 sin A sin 45 sin C sin 30 a • b 12 12 2; 2 c 12 sin B sin105 sin C sin 30 b 12 6 Vậy a 12 2;b 6 b) Theo định lí sin ta có R c 2R sin C c 12 12 2sin C 2.sin 30 Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 12 c) Áp dụng cơng thức diện tích tam giác ta có: 1 S bcsin A 6 12.sin 45 2 6 36 36 Vậy diện tích tam giác ABC 36 36 d) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có: 1 S ah a bh b ch c 2 Do đó: • 2S 36 36 2; a 12 2S 36 36 2; • hb b 6 6 • hc 2S 36 36 c 12 Vậy độ dài đường cao ha, hb, hc tam giác ABC h a 2; h b 2; h c Bài 3.8 trang 38 SBT Toán 10 Tập 1: Tam giác ABC có a = 19, b = c = 15 a) Tính cosA b) Tính diện tích tam giác c) Tính độ dài đường cao hc d) Tính độ dài bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Lời giải: a) Áp dụng định lí cơsin cho ABC ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA b c a 62 152 192 5 cosA = 2bc 2.6.15 Vậy cosA = 5 b) Tam giác ABC có a = 19, b = c = 15 Khi đó: • p a b c 19 15 20 2 • p – a = 1; • p – b = 14; • p – c = Áp dụng cơng thức Heron ta có: S p p a p b p c 20.1.14.5 10 14 Vậy diện tích ABC 10 14 c) Áp dụng cơng thức diện tích tam giác ta có: Sb ch c hc 2S 2.10 14 14 c 15 Vậy độ dài đường cao h c 14 d) Áp dụng cơng thức diện tích tam giác ta có: S = pr r S 10 14 14 p 20 Vậy bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC 14 Trang 39 Bài 3.9 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 4, C 60, b = a) Tính góc cạnh cịn lại tam giác b) Tính diện tích tam giác c) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A tam giác Lời giải: Áp dụng định lí cơsin cho ABC ta có: c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC c2 = 42 + 52 – 2.4.5.cos60° = 16 + 25 – 40 c= = 21 21 Áp dụng định lí sin ta có: Do đó: a b c sin A sin B sin C • sin B sin C sin 60 b c 14 21 B 705336 • sin A sin C sin 60 a c 21 A 49624 Vậy c 21;A 49624;B 705336 b) Áp dụng cơng thức tính diện tích tam giác ta có: 1 S absin C 4.5.sin 60 2 Vậy diện tích tam giác ABC c) Áp dụng cơng thức tính độ dài đường trung tuyến phần Nhận xét Ví dụ 3, trang 37, SBT, Tốn 10, Tập ta có: ma2 b c a 2 52 21 42 19 m a 19 Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A tam giác ABC 19 Bài 3.10 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Một tàu cá xuất phát từ đảo A, chạy 50 km theo hướng N24°E đến đảo B để lấy thêm ngư cụ, chuyển hướng N36°W chạy tiếp 130 km đến ngư trường C a) Tính khoảng cách từ vị trí xuất phát A đến C (làm tròn đến hàng đơn theo đơn vị đo kilơmét) b) Tìm hướng từ A đến C (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ) Lời giải: Ba vị trí đảo A, đảo B ngư trường C mơ tả hình vẽ đưới đây: a) Ta có: ABC 90 24 90 36 120 Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC ta có: AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC.cos ABC 1 = 502 + 1302 – 2.50.130 = 25 900 2 AC 10 259 161 km Vậy khoảng cách từ đảo A đến ngư trường C khoảng 161 km b) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có: BC sin BAC AC sin ABC sin BAC sin ABC BC AC sin BAC sin120 130 0,699 161 BAC 44 Do AC có hướng chếch hướng W góc 44° – 24° = 22° so với hướng N Vậy từ A đến C có hướng N20°W Bài 3.11 trang 39 SBT Tốn 10 Tập 1: Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn (Hải Phòng), chạy theo hướng N80°E với vận tốc 20 km/h Sau 30 phút, tàu chuyển sang hướng E20°S giữ nguyên vận tốc chạy tiếp 36 phút đến đảo Cát Bà Hỏi tàu du lịch cách vị trí xuất phát kilômet? Lời giải: Giả sử tàu du lịch xuất phát từ điểm A, chuyển động theo hướng N80°E tới B sau chuyển hướng E20°S tới điểm C hình vẽ Ta có: ABC 180 10 20 150 Tàu chạy từ A đến B với vận tốc 20 km/h 30 phút (= 0,5 giờ) nên: AB = 20.0,5 = 10 (km) Tàu chạy từ B đến C với vận tốc 20 km/h 36 phút (= 0,6 giờ) nên: BC = 20.0,6 = 12 (km) Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC ta được: AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC.cos ABC = 102 + 122 – 2.10.12.cos150° 3 = 100 + 144 – 240 = 452 (km) Suy AC 452 21,26 km Vậy tới đảo Cát Bà tàu du lịch cách vị trí xuất phát (bãi biển Đồ Sơn) khoảng 21,26 km Bài 3.12 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Một cổ thụ mọc thẳng đứng bên lề dốc có độ dốc 10° so với phương nằm ngang Từ điểm chân dốc, cách gốc 31 m người ta nhìn đỉnh góc 40° so với phương nằm ngang Hãy tính chiều cao Lời giải: Cây cổ thụ dốc mô tả hình vẽ đây: Vì dốc có độ dốc 10° so với phương nằm ngang, người nhìn nhìn đỉnh góc 40° so với phương nằm ngang nên ta có BAC 40 10 30 Và ACB 90 40 50 Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có: AB sin ACB BC sin BAC BC BC AB sin ACB sin BAC 31 sin 30 20,23 m sin 50 Vậy chiều cao khoảng 20,23 m Bài 3.13 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a b2 c2 ; a) cot A cot B cot C 4S b) m a2 m b2 m c2 a b c2 Lời giải: a) Áp dụng định lí cơsin ta có: cosA = b2 c2 a 2bc (1) Áp dụng cơng thức tính diện tích tam giác ta có: S bc.sin A sin A 2S bc (2) Từ (1) (2) ta có: cos A b c a 2S : cotA = sin A 2bc bc b c2 a bc cot A 2bc 2S b2 c2 a cot A 4S Chứng minh tương tự ta có: a c2 b2 a b2 c2 cot B cot C 4S 4S Do cotA + cotB + cotC b2 c2 a a c2 b2 a b2 c2 4S 4S 4S a b2 c2 4S Vậy cot A cot B cot C a b2 c2 4S b) Áp dụng cơng thức tính độ dài đường trung tuyến ta có: b2 c2 a a b2 c2 a c2 b2 2 mc m ; mb 2 4 a Do đó: ma2 m2b mc2 b c2 a a c2 b a b c2 4 a b2 c2 a b2 c2 a b2 c2 a b2 c2 a b2 c2 Vậy m a2 m b2 m c2 a b c2 Bài 3.14 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A B vng góc Chứng minh rằng: a) a2 + b2 = 5c2; b) cotC= (cot A + cot B) Lời giải: a) Gọi M, N trung điểm cạnh BC, AC Gọi G trọng tâm tam giác ABC 2 Khi AG AM BG BN 3 Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABG vng G (do AM ⊥ BN) có: c2 = AB2 = AG2 + BG2 4 AM BN 9 Mà AM, BN hai đường trung tuyến kẻ từ A B tam giác ABC Do theo cơng thức tính độ dài đường trung tuyến tam giác ta có: a c2 b2 b2 c2 a 2 BN mb AM m 2 4 2 a b2 c2 a a c2 b2 Suy c = 9 4 9 4 b2 c2 a a c2 b2 9 4 a b2 c2 9 a b2 c2 c2 9 9c2 = a2 + b2 + 4c2 5c2 = a2 + b2 b) Theo chứng minh phần a), Bài 3.13 ta có: a b2 c2 cot C 4S Mà 5c2 = a2 + b2 (chứng minh phần a)) 5c c 4c c Do cot C 4S 4S S (1) Mặt khác: b2 c2 a a c2 b cot A cot B 4S 4S cotA + cotB 2c2 c2 4S 2S c2 2(cotA + cotB) S (2) c2 Từ (1) (2) ta có: cotC = 2(cotA + cotB) = S Vậy cotC = 2(cotA + cotB) Bài 3.15 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có góc thoả mãn sin A sin B sin C Tính số đo góc tam giác Lời giải: Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có: a b c 2R sin A sin B sin C sin A a b c ;sin B ;sin C 2R 2R 2R Theo ta có: sin A sin B sin C a b c a b c 2R 2R 2R 2 3 Đặt a b c t Suy a = t; b = 2t; c = t Suy a2 = t2; b = 4t2; c = 3t2 Ta thấy: a2 + c2 = b2 = 4t2 Theo định lí Pythagore đảo ta có tam giác ABC vng B sinB = sin A sin C sin A sin C 2 A 30 C 60 Vậy A 30;B 90 C 60 Bài 3.16 trang 39 SBT Tốn 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có S = 2R2.sin A.sinB Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông Lời giải: Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có: a b c 2R sin A sin B sin C a = 2R.sinA; b = 2R.sinB c = 2R.sinC Theo cơng thức tính diện tích tam giác ta có: S abc 2R sin A . 2R sin B. 2R sin C 4R 4R S 8R 3.sin A.sin B.sin C 4R S = 2R2.sin A.sinB.sinC Mà theo S = 2R2.sin A.sinB Do sinC = C 90 Vậy tam giác ABC vuông C ... 12 c) Áp dụng công th? ??c diện tích tam giác ta có: 1 S bcsin A 6 12.sin 45 2 6 36 36 Vậy diện tích tam giác ABC 36 36 d) Áp dụng công th? ??c diện tích tam giác ta có: 1... 2S 36 36 2; a 12 2S 36 36 2; • hb b 6 ? ?6 • hc 2S 36 36 c 12 Vậy độ dài đường cao ha, hb, hc tam giác ABC h a 2; h b 2; h c Bài 3.8 trang 38 SBT Toán 10 Tập... A 49? ?6? ??24 Vậy c 21;A 49? ?6? ??24;B 7053 36? ?? b) Áp dụng cơng th? ??c tính diện tích tam giác ta có: 1 S absin C 4.5.sin 60 2 Vậy diện tích tam giác ABC c) Áp dụng cơng th? ??c tính