Bài 2 Định lí côsin và định lí sin A Lý thuyết 1 Định lí côsin trong tam giác Định lí côsin Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có a2 = b2 + c2 – 2bc cosA; b2 = c2 + a2 – 2ca cosB; c2 =[.]
Bài Định lí cơsin định lí sin BC2 = 17 A Lý thuyết BC = 17 Định lí cơsin tam giác Áp dụng hệ định lí cơsin ta có: Định lí cơsin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có: +) cos B = a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB; cos B = c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC Từ định lí cơsin, ta có hệ sau đây: b2 + c2 − a ; 2bc cos B = c2 + a − b2 ; 2ca cos C = a +b −c 2ab 2 2.4 17 17 B 76 17 +) cos C = AC2 + BC2 − AB2 2.AC.BC cos B = cos C = 42 + 17 − 52 cos B = Hệ quả: cos A = AB2 + BC2 − AC2 2.AB.BC 52 + 17 − 42 2.5 17 13 17 C 51 85 Vậy BC = 17, B 76 C ≈ 51° Ví dụ Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = cos A = Tính độ dài cạnh Định lí sin tam giác BC, số đo góc B C (làm trịn số đo góc đến độ) Định lí sin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có: Hướng dẫn giải a b c = = = 2R; sin A sin B sin C Xét tam giác ABC có AB = 4, AC = cos A = , áp dụng định lí cơsin ta có: Trong R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA Từ định lí sin, ta có hệ sau đây: BC2 = 42 + 52 − 2.4.5 Hệ quả: a = 2R.sinA; b = 2R.sinB; c = 2R.sinC; sin A = a b c ;sin B = ;sin C = 2R 2R 2R Vậy C = 80; BC 12,3; AC 9,1 R ≈ 7,1 Các cơng thức tính diện tích tam giác Ví dụ Cho hình vẽ: Cho tam giác ABC Ta kí hiệu: +) BC = a, CA = b, AB = c +) ha, hb, hc độ dài đường cao ứng với cạnh BC, CA, AB +) R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác +) r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Tính cạnh, góc chưa biết bán kính đường trịn ngoại tiếp R tam giác ABC (làm tròn độ dài đến chữ số thập phân thứ nhất) Hướng dẫn giải A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) 1 (1) S = ah a = bh b = ch c ; 2 1 (2) S = ab.sin C = bc.sin A = ac.sin B; 2 C = 180 − A − B C = 180 − 60 − 40 = 80 +) S diện tích tam giác Ta có cơng thức tính diện tích tam giác sau: Xét tam giác ABC có A = 60, B = 40 ta có: Theo định lí sin ta có: +) p nửa chu vi tam giác BC AC AB = = = 2R sin A sin B sin C BC AC 14 = = = 2R sin 60 sin 40 sin 80 14.sin 60 BC = sin 80 12,3 14.sin 40 AC = 9,1 sin 80 14 R = 2.sin 80 7,1 (3) S = abc ; 4R (4) S = pr; (5) S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) (Cơng thức Heron) Ví dụ Tính diện tích S tam giác ABC, bán kính đường trịn nội tiếp r bán kính đường tròn ngoại tiếp R (nếu chưa biết) (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ ba) trường hợp sau: a) A = 30, B = 45, R = ; b) AB = 10, AC = 17, BC = 21 Hướng dẫn giải Mà SABC = pr r = a) SABC 6,148 0,943 p 6,519 Vậy SABC ≈ 6,148 (đơn vị diện tích) r ≈ 0,943 b) Nửa chu vi tam giác ABC là: p = AB + AC + BC 10 + 17 + 21 = = 24 2 Áp dụng cơng thức Heron ta có: SABC = p ( p − AB)( p − AC )( p − BC ) SABC = 24 ( 24 − 10 ) ( 24 − 17 ) ( 24 − 21) = 84 (đơn vị diện tích) Xét tam giác ABC có A = 30, B = 45 ta có: Mà SABC = pr r = A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) C = 180 − A − B Lại có SABC = C = 180 − 30 − 45 = 105 +) AC = 2.R.sinB = 2.3.sin45° = B Bài tập tự luyện = 3; Bài Tính độ dài cạnh góc chưa biết tam giác ABC, diện tích tam giác ABC, bán kính đường trịn ngoại tiếp, bán kính đường trịn nội tiếp đường cao = 2; kẻ từ C tam giác ABC (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) hình sau: +) AB = 2.R.sinC = 2.3.sin105° ≈ 5,796 Theo công thức tính diện tích tam giác ta có: 1 SABC = AB.AC.sin A 5,796.3 2.sin 30 6,148 (đơn vị diện tích) 2 Ta p= có nửa chu AB.AC.BC AB.AC.BC 10.17.21 R= = = 10,625 4R 4S 4.84 Vậy S = 84 (đơn vị diện tích) r = 3,5; R = 10,625 Theo hệ định lí sin ta có: +) BC = 2.R.sinA = 2.3.sin30° = SABC 84 = = 3,5 p 24 vi tam AB + BC + AC 5,796 + + 6,519 2 giác ABC là: SABC = p ( p − AB)( p − AC )( p − BC ) SABC 7,6 ( 7,6 − ) ( 7,6 − 5, 28 ) ( 7,6 − 3,92 ) 10,19 (đơn vị diện tích) Mặt khác SABC = pr r = SABC 10,19 1,34 p 7,6 Lại có SABC = AB.h C (với hC đường cao kẻ từ C đến AB tam giác ABC) Hướng dẫn giải hC = Xét tam giác ABC có B = 60,C = 80 ta có: 2.SABC 2.10,19 3, AB Vậy A = 40; BC ≈ 3,92; AC ≈ 5,28; R ≈ 3,05; r ≈ 1,34; h C ≈ 3,4 S ≈ 10,19 A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) (đơn vị diện tích) A = 180 − B − C Bài Hình bình hành ABCD có AB = a, BC = a BAD = 45 Tính diện A = 180 − 60 − 80 = 40 tích hình bình hành Theo định lí sin ta có: BC AC AB = = = 2R sin A sin B sin C Hướng dẫn giải BC AC = = = 2R sin 40 sin 60 sin 80 6.sin 40 BC = sin 80 3,92 6.sin 60 AC = 5, 28 sin 80 R = 2.sin 80 3,05 Nửa chu vi tam giác ABC là: p = Vì ABCD hình bình hành nên AD = BC (tính chất hình bình hành) Mà BC = a nên AD = a AB + AC + BC + 5, 28 + 3,92 = 7, 2 Áp dụng cơng thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là: Diện tích tam giác ABD là: 1 a2 SABD = AB.AD.sin BAD = a.a 2.sin 45 = (đơn vị diện tích) 2 Do diện tích hình bình hành ABCD là: SABCD = 2SABD = a2 = a (đơn vị diện tích) 1 Diện tích tam giác GEC là: SGEC = GH.EC = 10.15 = 75 ( cm ) 2 Vậy diện tích tam giác GEC 75 cm2 Bài Tam giác ABC vng A có AB = AC = 30 cm Hai đường trung tuyến Bài Vào lúc sáng, hai vận động viên A B xuất phát từ vị trí BE CF cắt G Tính diện tích tam giác GEC O Vận động viên A chạy với vận tốc 13 km/h theo góc so với hướng Bắc Hướng dẫn giải 15°, vận động viên B chạy với vận tốc 12 km/h theo góc so với hướng Bắc 135° (hình vẽ) Tại thời điểm vận động viên A cách vận động viên B khoảng 10 km (làm tròn kết đến phút)? Vì BE trung tuyến tam giác ABC nên E trung điểm AC 1 Do EC = AC = 30 = 15 ( cm ) 2 Hai đường trung tuyến BE CF cắt G nên G trọng tâm tam giác ABC Khi GE = BE (tính chất trọng tâm tam giác) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ G xuống AC Hướng dẫn giải Suy GH // AB Gọi x (x > 0) khoảng thời gian kể từ bắt đầu chạy từ điểm O đến Do Hay GH GE = (định lí Ta – let tam giác ABE) BA BE GH 1 = GH = 30 = 10 ( cm ) BA 3 hai vận động viên cách 10 km Khi đoạn đường mà vận động viên A chạy 13x (km); Đoạn đường mà vận động viên B chạy 12x (km) Theo hình vẽ ta có: AB = 10, OA = 13x, OB = 12x AOB = 135 − 15 = 120 Bài Giải tam giác ứng dụng thực tế Áp dụng định lí cơsin tam giác OAB ta có: AB2 = OA2 + OB2 – 2.OA.OB sin AOB 102 = (13x)2 + (12x)2 – 2.13x.12x.sin120° A Lý thuyết Giải tam giác Giải tam giác tìm số đo cạnh góc cịn lại tam giác ta biết 10 = 169x + 144x − 312x 2 ( ) 10 = 313 − 156 x x2 = 10 313 − 156 yếu tố đủ để xác định tam giác Để giải tam giác, ta thường sử dụng cách hợp lí hệ thức lượng như: định lí sin, x ≈ 0,483 (giờ) (vì x > 0) ≈ 29 phút Vì hai vận động viên bắt đầu chạy từ giờ, thời điểm mà hai vận động viên cách 10 km khoảng: 29 phút Vậy vào khoảng 29 phút hai vận động viên cách 10 km định lí cơsin cơng thức tính diện tích tam giác Ví dụ Giải tam giác ABC biết AB = 45, AC = 32 A = 60 Hướng dẫn giải +) Theo định lí cơsin ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA = 452 + 322 – 2.45.32.cos60° BC2 = 1609 BC ≈ 40,11 +) Theo định lí sin ta có: BC AC = sin A sin B 40,11 32 = sin 60 sin B sin B = 32.sin 60 0,69 40,11 B 44° (không thể xảy trường hợp B 136 A + B 180 ) Xét tam giác ABC có A = 60, B = 44 ta có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) C = 180 − A − B Suy α ≈ 9°23' C = 180 − 60 − 44 = 76 Vậy góc nhìn cầu thủ tới hai cột khung thành khoảng 9°23' Vậy BC ≈ 40,11; B 44 C 76 Áp dụng giải tam giác vào thực tế Ví dụ Từ hai vị trí A B tồ nhà, người ta quan sát đỉnh C núi Biết độ cao AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30°, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15°30' Tính độ cao núi Vận dụng giải tam giác giúp ta giải nhiều toán thực tế, đặc biệt thiết kế xây dựng Ví dụ Một khung thành bóng đá rộng mét Một cầu thủ đứng vị trí cách cột dọc khung thành 26 mét cách cột lại 23 mét, sút vào khung thành Tính góc nhìn cầu thủ tới hai cột khung thành Hướng dẫn giải Vị trí cầu thủ C khung thành AB mơ tả hình vẽ đây: Hướng dẫn giải Ta có BAC = BAH − CAH BAC = 90 − 30 = 60 ABC = 90 + 1530' = 10530' Xét tam giác ABC ta có: BAC + ABC + ACB = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) ACB = 180 − BAC − ABC ACB 180 − 60 − 10530' = 1430' AC Áp dụng định lí sin ta có: sin ABC Gọi α góc nhìn cầu thủ C tới hai cột khung thành A B, tức = ACB Áp dụng hệ định lí cơsin tam giác ABC ta có: cos = AC2 + BC2 − AB2 232 + 262 − 52 = 0,9866 2.AC.BC 2.23.26 AC 70 = sin10530' sin1430' AC = 70.sin10530' sin1430' = AB sin ACB AC ≈ 269,4 (m) thấy điểm C Ta đo khoảng cách AB = 40 m, A = 45 B = 70 Tính khoảng cách Tam giác ACH vng H ta có: CH = AC.sin CAH 269, 4.sin 30 134, ( m ) AC Vậy núi cao khoảng 134,7 m B Bài tập tự luyện Bài Giải tam giác ABC biết AC = 16, A = 60 B = 50 Hướng dẫn giải Xét tam giác ABC có A = 60, B = 50 ta có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) Hướng dẫn giải C = 180 − A − B Xét tam giác ABC có A = 45, B = 70 ta có: C = 180 − 60 − 50 = 70 A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) Theo định lí sin ta có: BC AC AB = = sin A sin B sin C BC 16 AB = = sin 60 sin 50 sin 70 16.sin 60 BC = sin 50 18,1 AB = 16.sin 70 19,6 sin 50 Vậy C = 70, BC 18,1 AB ≈ 19,6 Bài Để đo khoảng cách từ điểm A bờ sông đến gốc C cù lao sông, người ta chọn điểm B bờ với A cho từ A B nhìn C = 180 − A − B C = 180 − 45 − 70 = 65 Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: BC AC AB = = sin A sin B sin C BC AC 40 = = sin 45 sin 70 sin 65 AC = 40.sin 70 41, 47 ( m ) sin 65 Vậy khoảng cách từ A bờ sông đến gốc C khoảng 41,47 m Bài Trên tồ nhà có cột cờ cao m Từ vị trí quan sát A cao m so với mặt đất, nhìn thấy đỉnh B chân C cột cờ góc 45° 40° so với phương nằm ngang (hình vẽ) Tìm chiều cao tồ nhà Suy AC = BC.sin ABC sin BAC = 2.sin 45 16, ( m ) sin 5 Trong tam giác vuông ADC có CD = AC.sin CAD 16, 2.sin 40 10, ( m ) Do CH = CD + DH ≈ 10,4 + ≈ 15,4 (m) Vậy chiều cao nhà khoảng 15,4 m Bài Tam giác ABC có AB = 3, BC = 8, M trung điểm BC, cosAMB = AM > Tính AM giải tam giác ABC biết tam giác ABC tam giác tù Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải Vì M trung điểm BC nên BM = MC = ( ) Từ hình vẽ ta có BAC = 45 − 40 = 5 ABD = 180 − BAD + ADB (định lí tổng ba Do ABD = 45 Suy ra: ABC = ABD = 45 Áp dụng định lí sin tam giác ABC có: Xét tam giác ABM, áp dụng hệ định lí cơsin ta có: cosAMB = góc tam giác) BC sin BAC = AC sin ABC 1 BC = = 2 AM + BM − AB2 2.AM.BM 13 AM + 42 − 32 = 26 2.AM.4 AM + = 40 13 AM 26 13 26 AM − 20 13 AM + = 13 sin BAC = Suy cosAMC = −cosAMB = − ACB = 180 − BAC − ABC ACB 180 − 98 − 60 = 22 AC2 = AM + CM − 2.AM.CM.cosAMC Vậy AM = 13, AC = 7, ABC = 60, BAC 98 ACB 22 13 + − 13.4 − 26 AC2 = 49 AC = Xét tam giác ABM có AB = 3, BM = 4, AM = 13 áp dụng định lí cơsin ta có: cos ABM = AB2 + BM − AM 2.AB.BM cos ABM = 32 + 42 − ( 13 ) 2.3.4 = ABM = 60 ABC = 60 Xét tam giác ABC, áp dụng định lí sin ta có: Xét tam giác ABC ta có: BAC + ABC + ACB = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) 13 26 Xét tam giác AMC, áp dụng định lí cơsin ta có: ( 13 ) 8.sin 60 = 7 Mà tam giác ABC tam giác tù nên BAC 98 Vì AMB AMC hai góc kề bù nên AMB + AMC = 180° AC = sin 60 BAC 82 BAC 98 Do AM = 13 = sin BAC AM = 13 ( tm : AM 3) 13 AM = 13 ( ktm : AM 3) BC sin BAC = AC sin ABC Ôn tập chương IV Nếu α góc tù sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0, cotα < A Lý thuyết b) tanα xác định α ≠ 90° Giá trị lượng giác góc cotα xác định α ≠ 0° α ≠ 180° Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác góc nhọn cho góc α với 0° ≤ α ≤ Quan hệ giá trị lượng giác hai góc bù 180°, ta có định nghĩa sau đây: Với góc α thoả mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta ln có: sin(180° ‒ α) = sinα; cos(180° ‒ α) = ‒cosα; tan(180° ‒ α) = ‒tanα (α ≠ 90°); cot(180° ‒ α) = ‒cotα (0° < α < 180°) Giá trị lượng giác số góc đặc biệt Với góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định điểm M nửa đường tròn Dưới bảng giá trị lượng giác số góc đặc biệt: α đơn vị cho xOM = Gọi (x0; y0) toạ độ điểm M, ta có: Giá trị 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° sinα 2 3 2 2 y0 y (x0 ≠ 0) tang góc α, kí hiệu tan = ; x0 x0 cosα 2 2 − x0 x (y0 ≠ 0) cơtang góc α, kí hiệu cot = y0 y0 tanα 3 || − cotα || 3 − 3 - Tung độ y0 M sin góc α, kí hiệu sinα = y0; - Hồnh độ x0 M cơsin góc α, kí hiệu cosα = x0; - Tỉ số - Tỉ số Các số sinα, cosα, tanα, cotα gọi giá trị lượng giác góc α Chú ý: a) Nếu α góc nhọn giá trị lượng giác α dương lượng giác − − ‒1 ‒1 − 3 ‒1 − || 2 Chú ý: Trong bảng, kí hiệu “||” để giá trị lượng giác không xác định Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị lượng giác góc Có nhiều loại máy tính cầm tay giúp tính nhanh chóng giá trị lượng giác góc Chẳng hạn, ta thực loại máy tính cầm tay sau: Sau mở máy, ẩn liên tiếp phím SHIFT MENU để hình lên bảng lựa Vậy sin125° ≈ 0,81915204429 chọn - Để tính cos50°12', ta bấm liên tiếp phím sau đây: cos ' '' ' '' ) = Khi ta kết hình là: Ấn phím để vào chế độ cài đặt đơn vị đo góc Vậy cos50°12' ≈ 0,64010969948 Ấn tiếp phím để xác định đơn vị đo góc “độ” Ấn phím MENU để vào chế độ tính tốn hình ảnh đây: - Để tính tan160°56'25'', ta bấm liên tiếp phím sau đây: tan ' '' ' '' ' '' ) = Khi ta kết hình là: 4.1 Tính giá trị lượng giác góc Ví dụ: Sử dụng máy tính cầm tay, tính sin125°, cos50°12', tan160°56'25'', cot100° Vậy tan160°56'25'' ≈ ‒0,345493396426 Hướng dẫn giải - Để tính cot100°, ta bấm liên tiếp phím sau đây: - Để tính sin125°, ta bấm liên tiếp phím sau đây: sin ' '' ) = Khi ta kết hình là: Khi ta kết hình là: Khi ta kết hình là: Vậy cot100° ≈ ‒0,17632698071 Vậy với cosα = ‒0,7 α ≈ 134°25'37'' 4.2 Xác định số đo góc biết giá trị lượng giác góc - Để tìm α biết tan = 2, ta ấn liên tiếp phím sau đây: Ví dụ: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm α (0° < α < 180°) biết sinα = 0,51; cosα = ‒0,7; SHIFT tan ) = ' '' tan = 2; cotα = 1,7 Khi ta kết hình là: Hướng dẫn giải - Để tìm α biết sinα = 0,51, ta ấn liên tiếp phím sau đây: SHIFT sin ) = ' '' Khi ta kết hình là: Vậy với tan = α ≈ 54°44'8'' - Để tìm α biết cotα = 1,7, trước hết ta tính tan = đây: Vậy với sinα = 0,51 α ≈ 30°39'50'' Ta học với 0° < α < 180° sin(180° ‒ α) = sinα nên ngồi giá trị α ≈ 30°39'50'' ta cịn có giá trị α ≈ 180° ‒ 30°39'50'' ≈ 149°20'10'' Ta bấm máy tính sau: ' '' − ' '' ' '' ' '' = - Để tìm α biết cosα = ‒0,7, ta ấn liên tiếp phím sau đây: SHIFT cos − ) = ' '' Khi ta kết hình là: , ta ấn liên tiếp phím sau cot Sau ta bấm liên tiếp phím: SHIFT tan Ans ) = ' '' Khi ta kết hình là: a b c = = = 2R; sin A sin B sin C Trong R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Từ định lí sin, ta có hệ sau đây: Hệ quả: a = 2R.sinA; b = 2R.sinB; c = 2R.sinC; sin A = Vậy với cotα = 1,7 α ≈ 30°27'56'' a b c ;sin B = ;sin C = 2R 2R 2R Định lí cơsin tam giác Các cơng thức tính diện tích tam giác Định lí cơsin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có: Cho tam giác ABC Ta kí hiệu: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; +) BC = a, CA = b, AB = c b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB; c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC Từ định lí cơsin, ta có hệ sau đây: Hệ quả: +) ha, hb, hc độ dài đường cao ứng với cạnh BC, CA, AB +) R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác +) r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác +) p nửa chu vi tam giác +) S diện tích tam giác cos A = b2 + c2 − a ; 2bc cos B = c2 + a − b2 ; 2ca 1 (1) S = ah a = bh b = ch c ; 2 cos C = a + b2 − c2 2ab 1 (2) S = ab.sin C = bc.sin A = ac.sin B; 2 Định lí sin tam giác Định lí sin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có: Ta có cơng thức tính diện tích tam giác sau: (3) S = abc ; 4R 1 a2 S = AB.AC = a.a = 2 (4) S = pr; (5) S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) (Công thức Heron) Mặt khác S = pr = Giải tam giác Giải tam giác tìm số đo cạnh góc cịn lại tam giác ta biết yếu tố đủ để xác định tam giác Để giải tam giác, ta thường sử dụng cách hợp lí hệ thức lượng như: định lí sin, AB.AC.BC 4R a2 S a AB.AC.BC a.a.a a 2 R = r= = = = = a2 p 4S 2+ 2+ a định lí cơsin cơng thức tính diện tích tam giác Áp dụng giải tam giác vào thực tế Vận dụng giải tam giác giúp ta giải nhiều toán thực tế, đặc biệt R Do = r a 2 = a : a = a + =1+ a 2+ 2 a 2+ thiết kế xây dựng Vậy B Bài tập tự luyện Bài Tam giác ABC vuông cân A nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Tính tỉ số R r Hướng dẫn giải Giả sử AB = AC = a R = + r Bài Nhà thầu đất Đức cung cấp kích thước sau qua điện thoại: Khu vườn hình tam giác ABC có CAB = 45 , AC = m, BC = m Nền đất cần phải có độ cao 10 cm a) Giải thích nhà thầu đất Đức cần thêm thông tin từ khách hàng b) Cần khối lượng đất tối đa (để tạo thành khu đất) khách hàng Xét tam giác ABC vuông cân A, theo định lí Pythagore ta có: anh Đức khơng thể cung cấp thêm thông tin cần thiết? BC2 = AB2 + AC2 = a2 + a2 = 2a2 Hướng dẫn giải BC = a 2+ AB + AC + BC a + a + a = = a Do nửa chu vi tam giác ABC p = 2 a) Áp dụng định lí sin với tam giác ABC ta có: BC sin CAB sin CBA = = AC sin CBA AC.sin CAB 8.sin 45 = 0,943 BC Tam giác ABC vuông A nên diện tích tam giác ABC là: CBA 7034' CBA 180 − 7034' 10926' (hình vẽ đây) Bài Vợ chồng anh Minh xem xét mua mảnh đất Nhân viên nhà đất cung cấp cho họ vẽ chi tiết hình vẽ Tính diện tích mảnh đất số tỉ đồng vợ chồng anh Minh cần dùng để mua đất biết giá đất 25 triệu đồng/ m2 đất (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) Như ta có hai gá trị khác góc CBA nên hình tam giác khơng xác định cách Điều giải thích anh Đức cần thêm thơng tin khu vườn b) Nền đất khu vườn khối lăng trụ đứng với đáy tam giác ABC chiều cao không đổi 10 cm, nên khối lượng đất tối đa để tạo khu đất tỉ lệ với diện tích lớn tam giác ABC +) Nếu CBA 7034' ACB 180 − 45 − 7034' 6426' Hướng dẫn giải Khi diện tích tam giác ABC là: Diện tích mảnh đất diện tích hai tam giác ABD tam giác BCD 1 S = CA.CB.sin ACB 8.6.sin 6426' 21,65 (m2) 2 Ta có: SABD = +) Nếu CBA 10926' ACB 180 − 45 − 10926' 2534' 1 AB.AD.sin BAD = 12,5.12.sin 75 72, 44 ( m ) 2 Áp dụng định lí cơsin cho tam giác BAD ta có: BD2 = AB2 + AD2 – 2.AB.AD cosBAD Khi diện tích tam giác ABC là: BD2 = 12,52 + 122 ‒ 2.12,5.12.cos75° 1 S = CA.CB.sin ACB 8.6.sin 2634' 10,36 (m2) 2 BD ≈ 14,92 (m) Khi diện tích lớn tam giác ABC 21,65 m Đổi 10 cm = 0,1 m Do SBCD = 1 BD.CD.sin BDC 14,92.9.sin 30 33,57 ( m ) 2 Khối lượng đất tối đa cần khoảng: 21,65 0,1 ≈ 2,165 (m3) Khi diện tích mảnh đất là: Vậy khối lượng đất tối đa cần để tạo thành khu đất khoảng 2,165 m3 S = SABD + SBCD ≈ 72,44 + 33,57 = 106,01 (m2) Số tiền vợ chồng anh Minh cần dùng để mua mảnh đất là: 106,01 25 = 650,25 (triệu đồng) = 2,65025 tỉ đồng ≈ 2,65 tỉ đồng C = sin x − sin x + sin x Vậy diện tích mảnh đất khoảng 106,01 m2 số tiền cần dùng mua đất khoảng 2,65 tỉ – tan x cos x đồng C = + tan2x ‒ tan2x Bài Tính giá trị biểu thức: C = a) A = sin30°.cos45°.sin60° ‒ cos120°.tan135°.cot150° Bài Cho góc α (0° ≤ α ≤ 180°) với tan = − Tính giá trị biểu thức b) B = cos0° + cos20° + cos40° + … + cos160° + cos180°; c) C = sin (180 − x ) − cos ( 90 − x ) + sin x – tan x sin ( 90 − x ) Hướng dẫn giải Với tan = − ta có α = 120° Hướng dẫn giải a) A = sin30°.cos45°.sin60° ‒ cos120°.tan135°.cot150° ( 1 A= − − ( −1) − 2 2 A= M = cos + cot − ) Suy ra: sin = Do đó: M = cos + cot − + 2 6+4 A= b) B = cos0° + cos20° + cos40° + … + cos160° + cos180° B = (cos0° + cos180°) + (cos20° + cos160°) + … + (cos80° + cos100°) 1 M=− + − 3 M=− B = – tan x sin ( 90 − x ) sin 3 M = − + − − 2 3 B = (cos0° ‒ cos0°) + (cos20° ‒ cos20°) + … + (cos80° ‒ cos80°) (hai góc bù nhau) c) C = sin (180 − x ) − cos ( 90 − x ) + sin x 3 ;cos = − ;cot = − 2 3 Vậy M = − sin Bài Tính độ dài cạnh góc chưa biết tam giác ABC, diện tích tam giác ABC, bán kính đường trịn ngoại tiếp, bán kính đường trịn nội tiếp đường cao kẻ từ C tam giác ABC (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) hình sau: Nửa chu vi tam giác ABC là: p = AB + AC + BC + 5, 28 + 3,92 = 7, 2 Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là: SABC = p ( p − AB)( p − AC )( p − BC ) SABC 7,6 ( 7,6 − ) ( 7,6 − 5, 28 ) ( 7,6 − 3,92 ) 10,19 (đơn vị diện tích) Mặt khác SABC = pr r = SABC 10,19 1,34 p 7,6 Lại có SABC = AB.h C (với hC đường cao kẻ từ C đến AB tam giác ABC) Hướng dẫn giải hC = Xét tam giác ABC có B = 60,C = 80 ta có: 2.SABC 2.10,19 3, AB Vậy A = 40; BC ≈ 3,92; AC ≈ 5,28; R ≈ 3,05; r ≈ 1,34; h C ≈ 3,4 S ≈ 10,19 (đơn vị A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) diện tích) A = 180 − B − C Bài Hình bình hành ABCD có AB = a, BC = a BAD = 45 Tính diện tích hình A = 180 − 60 − 80 = 40 bình hành Theo định lí sin ta có: BC AC AB = = = 2R sin A sin B sin C Hướng dẫn giải BC AC = = = 2R sin 40 sin 60 sin 80 6.sin 40 BC = sin 80 3,92 6.sin 60 AC = 5, 28 sin 80 R = 2.sin 80 3,05 Vì ABCD hình bình hành nên AD = BC (tính chất hình bình hành) Mà BC = a nên AD = a Diện tích tam giác ABD là: 1 a2 SABD = AB.AD.sin BAD = a.a 2.sin 45 = (đơn vị diện tích) 2 Do Hay Do diện tích hình bình hành ABCD là: SABCD = 2SABD a2 = = a (đơn vị diện tích) Bài Tam giác ABC vng A có AB = AC = 30 cm Hai đường trung tuyến BE GH GE = (định lí Ta – let tam giác ABE) BA BE GH 1 = GH = 30 = 10 ( cm ) BA 3 1 Diện tích tam giác GEC là: SGEC = GH.EC = 10.15 = 75 ( cm ) 2 Vậy diện tích tam giác GEC 75 cm2 CF cắt G Tính diện tích tam giác GEC Bài Giải tam giác ABC biết AC = 16, A = 60 B = 50 Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải Xét tam giác ABC có A = 60, B = 50 ta có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) C = 180 − A − B C = 180 − 60 − 50 = 70 Theo định lí sin ta có: Vì BE trung tuyến tam giác ABC nên E trung điểm AC 1 Do EC = AC = 30 = 15 ( cm ) 2 Hai đường trung tuyến BE CF cắt G nên G trọng tâm tam giác ABC Khi GE = BE (tính chất trọng tâm tam giác) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ G xuống AC Suy GH // AB BC AC AB = = sin A sin B sin C BC 16 AB = = sin 60 sin 50 sin 70 16.sin 60 BC = sin 50 18,1 AB = 16.sin 70 19,6 sin 50 Vậy C = 70, BC 18,1 AB ≈ 19,6 Bài 10 Trên tồ nhà có cột cờ cao m Từ vị trí quan sát A cao m so với mặt đất, nhìn thấy đỉnh B chân C cột cờ góc 45° 40° so với phương nằm ngang (hình vẽ) Tìm chiều cao nhà Suy AC = BC.sin ABC sin BAC = 2.sin 45 16, ( m ) sin 5 Trong tam giác vng ADC có CD = AC.sin CAD 16, 2.sin 40 10, ( m ) Do CH = CD + DH ≈ 10,4 + ≈ 15,4 (m) Vậy chiều cao nhà khoảng 15,4 m Bài 11 Tam giác ABC có AB = 3, BC = 8, M trung điểm BC, cosAMB = AM > Tính AM giải tam giác ABC biết tam giác ABC tam giác tù Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải Vì M trung điểm BC nên BM = MC = ( ) Từ hình vẽ ta có BAC = 45 − 40 = 5 ABD = 180 − BAD + ADB (định lí tổng ba Do ABD = 45 Suy ra: ABC = ABD = 45 Áp dụng định lí sin tam giác ABC có: Xét tam giác ABM, áp dụng hệ định lí cơsin ta có: cosAMB = góc tam giác) BC sin BAC = AC sin ABC 1 BC = = 2 AM + BM − AB2 2.AM.BM 13 AM + 42 − 32 = 26 2.AM.4 AM + = 40 13 AM 26 13 26 ... cịn lại tam giác ta biết 10 = 169x + 144 x − 312x 2 ( ) 10 = 313 − 156 x x2 = 10 313 − 156 yếu tố đủ để xác định tam giác Để giải tam giác, ta thường sử dụng cách hợp lí hệ thức lượng như:... (Công thức Heron) Mặt khác S = pr = Giải tam giác Giải tam giác tìm số đo cạnh góc cịn lại tam giác ta biết yếu tố đủ để xác định tam giác Để giải tam giác, ta thường sử dụng cách hợp lí hệ thức lượng. .. BAC = 2.sin 45 16, ( m ) sin 5 Trong tam giác vng ADC có CD = AC.sin CAD 16, 2.sin 40 10, ( m ) Do CH = CD + DH ≈ 10, 4 + ≈ 15 ,4 (m) Vậy chiều cao nhà khoảng 15 ,4 m Bài Tam giác ABC có