Bài 5 Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° Mở đầu trang 33 SGK Toán 10 tập 1 Lời giải Sau bài học này ta sẽ trả lời được Với góc α cho trước, 0o < α < 180o Trên nửa đường tròn đơn vị, vẽ điểm[.]
Bài Giá trị lượng giác góc từ 0° đến 180° a) Nêu nhận xét vị trí điểm M nửa đường tròn đơn vị trường hợp sau: Mở đầu trang 33 SGK Toán 10 tập 1: • α = 90o; • α < 90o; • α > 90o b) Khi 0o < α < 90o, nêu mối quan hệ cos α, sin α với hoành độ tung độ điểm M Lời giải: Lời giải: a) Gọi điểm A có tọa độ A(1; 0) Sau học ta trả lời được: Với góc α cho trước, 0o < α < 180o Trên nửa đường tròn đơn vị, vẽ điểm M(x0; y0) cho xOM = • α = 90o hay AOM = 90o Khi đó, điểm M có tọa độ M(0; 1) Khi đó: sinα = y0; cosα = x0; y0 x0 x tanα = (x0 ≠ 0); cotα = y0 (y0 ≠ 0) Hoạt động trang 34 SGK Tốn 10 tập 1: • α < 90o hay AOM 90o Do đó, điểm M(x0; y0) nằm cung trịn AC (khơng tính điểm C) thỏa mãn < x0 ≤ 1, ≤ y0 < MKO = 90o (MK ⊥ Oy) Do tứ giác MKOH hình chữ nhật Suy OH = |x0| = x0; MH = OK = |y0| = y0 Ta có OM = (bán kính đường trịn đơn vị) Xét ∆MHO vng H, ta có: sin = MH y0 = = y0 OM • α > 90o hay AOM 90o Hay sin α = y0 Do đó, điểm M(x0; y0) nằm cung trịn BC (khơng tính điểm C) thỏa mãn −1 ≤ x0 < Ta lại có: cos = 0, ≤ y0 < b) Khi 0o < α < 90o OH x = = x0 OM Hay cos α = x0 Vậy cos α hoành độ điểm M sin α tung độ điểm M Kẻ MH ⊥ Ox, MK ⊥ Oy (H Ox, H Oy) Khi MOH = Luyện tập trang 35 SGK Tốn 10 tập 1: Tìm giá trị lượng giác góc 120o (H.3.4) Gọi điểm M có tọa độ M(x0; y0) Xét tứ giác MKOH có: HOK = 90o (Ox ⊥ Oy) MHO = 90o (MH ⊥ Ox) Lời giải: Do theo định nghĩa ta có: sin120° = , cos120° = − 2 Suy + tan120o Điểm M nằm nửa đường tròn đơn vị cho xOM 120o Hai điểm N, P tương ứng hình chiếu vng M lên hai trục Ox, Oy ( 2) + cot120o Ta có: OM = (bán kính đường trịn đơn vị) Ta có xOM NOM 180o NOM 180o xOM 180o 120o 60o + sin MON MN OP + cos MON ON MN sin 60o ON OM cos60o ON : 2 cos120o sin120o 3 : 2 Hoạt động trang 36 SGK Toán 10 tập 1: Nêu nhận xét vị trí hai điểm M M’ trục Oy Từ nêu mối quan hệ sin α sin (180o – α), cos α Xét tam giác vng MON, có: MN OM sin120o cos120o cos (180o – α) MN ON Lời giải: Hai điểm M M’ đối xứng với qua trục Oy Ta có điểm M nằm bên trái trục Oy (vì xOM Suy điểm M có tọa độ M ; 2 120o góc tù) Tọa độ hai điểm M M’ là: M(x0; y0), M’(–x0; y0) Ta có: xOM = , xOM ' = 180o − Khi đó: ∙ sin α = y0, cos α = x0 MPO ∙ sin (180o – α) = y0, cos (180o – α) = –x0 hay x0 = – cos (180o – α) Do đó: sin α = sin (180 – α) (= y0), cos α = – cos (180 – α) (= x0) o o 90o NQO OM = ON = (bán kính đường trịn đơn vị) ( POM = QON AOM = NOB = Vậy sin α = sin (180 – α), cos α = – cos (180 – α) o o Luyện tập trang 36 SGK Tốn 10 tập 1: Trong Hình 3.6 hai điểm M, N ứng với hai ) Do ΔNOQ = ΔMOP (cạnh huyền – góc nhọn) góc phụ α 90o – α (xOM = , xON = 90o − ) Chứng minh ΔMOP = Suy OP = OQ (hai cạnh tương ứng) ΔNOQ Từ nêu mối quan hệ cos α sin (90o – α) Ta có: OP = cos α, OQ = sin (90o – α) Do đó: cos α = sin (90o − α) Vận dụng trang 37 SGK Tốn 10 tập 1: Một đu quay có bán kính 75 m, tâm vịng quay độ cao 90 m (H.3.7), thời gian thực vòng quay đu quay 30 phút Nếu người vào cabin vị trí thấp vịng quay, sau 20 phút quay người độ cao mét? Lời giải: Ta có: = AOM; 90o − = AON Dễ thấy: AON = 90o − = 90o − NOB = NOB Xét ∆NOQ ∆MOP có: Lời giải: Giả sử đu quay quay theo chiều kim đồng hồ Do đó, độ cao người là: Gọi M vị trí thấp cabin, M’ vị trí cabin sau 20 phút điểm A, A’, 37,5 + 90 = 127,5 (m) B, H (như hình vẽ) Vậy sau 20 phút quay người độ cao 127,5 m Bài 3.1 trang 37 SGK Toán 10 tập 1: Khơng dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức sau: a) (2sin 30o + cos 135o – 3tan 150o) (cos 180o – cot 60o); b) sin2 90o + cos2 120o + cos2 0o – tan2 60o + cot2 135o; c) cos 60o sin 30o + cos2 30o Chú ý: sin2 α = (sin α)2 , cos2 α = (cos α)2 , tan2 α = (tan α)2 , cot2 α = (cot α)2 Lời giải: Vì vịng quay 30 phút nên sau 20 phút, cabin quãng đường chu vi đường tròn Ta có: cos 135o = – cos 45o; cos 180o = – cos 0o; tan 150o = – tan30o; cot60° = tan 30° A = (2sin30o – cos 45o + 3tan 30o) (– cos 0o – tan 30o) Sau 15 phút, cabin di chuyển từ điểm M đến điểm B, chu vi đường tròn Trong phút tiếp theo, cabin chuyển từ điểm B đến điểm M’ tương ứng đường tròn hay a) Đặt A = (2sin 30o + cos 135o – 3tan 150o) (cos 180o – cot 60o) cung tròn A 'A Do đó: BOM ' = 180o = 60o chu vi Sử dụng bảng lượng giác số góc đặc biệt, ta có: sin 30o = 3 ; tan 30o = ; cos 45o = ; cos 0o = 1; cot 30o = 2 3 Do A 2 2 2 3 3 AOM ' = 90o − 60o = 30o Ta có M 'H = sin 30 OM ' = 75 = 37,5 (m) o 2 3 3 3 2 3 6 3 6 6 b) 2sin (180o – α) cot α – cos (180o – α) tan α cot (180o – α) với 0o < α < 90o Lời giải: b) Đặt B = sin 90 + cos 120 + cos – tan 60 + cot 135 o o o o o Ta có: cos 120o = – cos 60o; cot 135o = – cot 45o cos2 120o = cos2 60o; cot2 135o = cot2 45o Khi B = sin2 90o + cos2 60o + cos2 0o – tan2 60o + cot2 45o Sử dụng bảng lượng giác số góc đặc biệt, ta có: cos 0o = 1; cot 45o = 1; cos60o = Do B 1 12 1 ; tan 60o = ; sin 90o = 12 12 Sử dụng bảng lượng giác số góc đặc biệt, ta có: 1 ; cos30o = ; cos60o = 2 2 Do C 1 2 a) Ta có: sin 100o = sin (180o – 100o) = sin 80o; cos 164o = cos (180o – 16o) = – cos 16o Do sin 100o + sin 80o + cos 16o + cos 164o = sin 80o + sin 80o + cos 16o – cos 16o = 2sin 80o b) Với 0o < α < 90o, ta có: sin (180o – α) = sin α; cos (180o – α) = – cos α; c) Đặt C = cos 60o sin 30o + cos2 30o sin 30o = a) sin 100o + sin 80o + cos 16o + cos 164o; 2 4 Bài 3.2 trang 37 SGK Toán 10 tập 1: Đơn giản biểu thức sau: 6 12 tan (180o – α) = – tan α; cot (180o – α) = – cot α Khi đó, 2sin (180o – α) cot α – cos (180o – α) tan α cot (180o – α) = 2sin α cot α – (– cos α) tan α (– cot α) = 2sin α cot α – cos α tan α cot α = 2sin α cos sin cos – cos α cos sin sin = 2cos α – cos α = cos α Bài 3.3 trang 37 SGK Toán 10 tập 1: Chứng minh hệ thức sau: a) sin2 α + cos2 α = 1; Do sin2 α + cos2 α = (đpcm) b) + tan = (α ≠ 90o); cos b) Ta có: tan = c) + cot = (0o < α < 180o) sin + tan = + Lời giải: = a) sin (α ≠ 90o) cos sin cos cos sin cos + sin + = cos cos cos Mà theo câu a) ta có: sin2 α + cos2 α = với góc α + tan = (đpcm) cos c) Ta có: cot = + cot = + = Gọi M(x; y) điểm đường tròn đơn vị cho xOM = Ta có: OM = (bán kính đường trịn đơn vị) Gọi N, P tương ứng hình chiếu vng góc M lên trục Ox, Oy 2 x = cos x = cos Ta có: (1) y = sin y = sin cos sin sin cos sin + cos + = sin sin sin Mà theo câu a) ta có: sin2 α + cos2 α = với góc α + cot = (đpcm) sin Bài 3.4 trang 37 SGK Toán 10 tập 1: Cho góc α (0o < α < 180o) thỏa mãn tan α = x = ON x = x = ON Mà (2) 2 y = OP = MN y = y = MN cos o (0 < α < 180o) sin Tính giá trị biểu thức: P = Từ (1) (2) suy ra: sin2 α + cos2 α = ON2 + MN2 = OM2 = (do ∆OMN vuông N) 2sin − 3cos 3sin + 2cos Lời giải: Ta có: + tan = (α ≠ 90o) cos = + 32 = 10 cos cos = Bài Hệ thức lượng tam giác 10 cos = 10 10 Mở đầu trang 38 SGK Toán 10 tập 1: Ngắm Tháp Rùa từ bờ, với dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta xác định khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Vì 0o < α < 180o nên sin α > 10 Mà tan α = > cos α > cos = 10 Lại có: sin α = cos α tan α = 2sin − 3cos = Do P = 3sin + 2cos 10 10 = 10 10 10 − 10 10 + 10 Tháp Rùa Em có biết sao? 10 10 10 10 Lời giải: 10 (2.3 − 3) = 10 = 11 10 (3.3 + 2) 10 Sau ta trả lời được: Đặt cọc tiêu (vật cố định) vị trí đứng, kí hiệu điểm A Sau đó, di chuyển đoạn d (m) đến vị trí B Gọi C vị trí tháp Rùa Vậy với α (0 < α < 180 ) thỏa mãn tan α = P = 11 o o Tại A B xác định góc A góc B tam giác ABC Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh AC Hoạt động trang 38 SGK Toán 10 tập 1: Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hịa) theo hướng đơng với vận tốc 20km/h Sau giờ, tàu chuyển sang hướng Đông Nam giữ nguyên vận tốc tiếp a) Hãy vẽ sơ đồ đường tàu 1,5 kể từ xuất phát (1 km thực tế ứng với cm vẽ) b) Hãy đo trực tiếp vẽ cho biết sau 1,5 kể từ xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong kilômét (số đo gần đúng) c) Nếu sau giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay hướng đơng nam) Trong giờ, tàu di chuyển theo hướng đông từ O đến A với quãng đường là: 20 = 20 (km) tương ứng với 20 cm sơ đồ Trong 0,5 tiếp theo, tàu di chuyển theo hướng đông nam từ A đến B với quãng đường là: 20 0,5 = 10 (km) tương ứng với 10 cm sơ đồ b) Trên sơ đồ, khoảng cách từ cảng đến tàu đoạn OB dài khoảng 28 cm Do đó, khoảng cách từ cảng đến tàu thực tế khoảng 28 km dùng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính xác số đo câu b hay c) Nếu sau giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay hướng đơng nam) không? sơ đồ đường tàu sau: Lời giải: a) Giả sử tàu xuất phát từ điểm O hình Trong giờ, tàu di chuyển từ điểm xuất phát O theo hướng đông đến A với quãng đường OA 20 = 40 (km) tương ứng với 40 cm sơ đồ Hay a2 = BD2 + DC2 (1) b) Xét ΔBDA vng D, ta có: Sau tàu di chuyển từ A theo hướng nam tới vị trí điểm B Ta tính qng BA2 = BD2 + DA2 đường AB biết thời gian di chuyển Suy BD2 = BA2 – DA2 = c2 – DA2 (*) Ta có: AB ⊥ OA nên tam giác OAB vuông A Mà DC = DA + AC = DA + b nên DC2 = (DA + b)2 (**) Khi áp dụng định lí Pythagore ta tính xác OB với OB = OA + AB2 = 1600 + AB2 , ta xác định xác khoảng cách từ điểm B nơi tàu đến tới cảng Vân Phong Thay (*) (**) vào (1), ta được: a2 = c2 – DA2 + (DA + b)2 = c2 – DA2 + DA2 + 2b DA + b2 = c2 + b2 + 2b DA Hoạt động trang 38 SGK Tốn 10 tập 1: Trong Hình 3.8, thực bước Vậy a2 = c2 + b2 + 2b DA (2) sau để thiết lập cơng thức tính a theo b, c giá trị lượng giác góc A c) Xét ΔBDA vng D, ta có: a) Tính a2 theo BD2 CD2 cos = DA DA = c cos α c b) Tính a2 theo b, c DA Mà cos α = cos (180o – A) = − cos A (do góc α góc A bù nhau) c) Tính DA theo c cos A Do DA = − c cos A d) Chứng minh a2 = b2 + c2 – 2bc cos A d) Thay DA = − c cos A vào biểu thức (2), ta được: a2 = c2 + b2 + 2b (− c cos A) = b2 + c2 − 2bc cos A Vậy a2 = b2 + c2 − 2bc cos A (đpcm) Câu hỏi trang 39 SGK Toán 10 tập 1: Định lí Pythagore có phải trường hợp Lời giải a) Xét tam giác BDC vuông D, theo định lý Pythagore ta có: BC2 = BD2 + DC2 đặc biệt định lí cơsin hay khơng? Lời giải: Xét tam giác DBE, ta có: DE = 217 m, EB = 476 m DB = 538 m Nửa chu vi tam giác DBE là: (217 + 476 + 538) : = 615,5 (m) Do đó: SDBE = 615,5.(615,5 − 217).(615,5 − 476).(615,5 − 538) ≈ 51 495,13 (m2) Xét tam giác ABE, ta có: AE = 401 m, EB = 476 m BA = 256 m Từ định lí cosin, ta suy ra: Nửa chu vi tam giác ABE là: (401 + 476 + 256) : = 566,5 (m) cosA b2 c2 a 2bc 52 82 2.5.8 Do đó: Nửa chu vi tam giác ABC là: SABE = 566,5.(566,5 − 401).(566,5 − 476).(566,5 − 256) p= 0,6625 a + b+c 6+5+8 = = 9,5 2 ≈ 51 327,97 (m2) Theo cơng thức Herong, ta có: Diện tích ngũ giác ABCDE là: S = p(p − a)(p − b)(p − c) SABCDE = SCDB + SDBE + SABE ≈ 112 267,7 + 51 495,13 + 51 327,97 = 215 090,8 (m2) = 9,5.(9,5 − 6).(9,5 − 5).(9,5 − 8) ≈ 14,98 Vậy diện tích cơng viên Hịa Bình khoảng 215 090,79 m2 Ta có: S = pr Bài 3.5 trang 42 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c = Tính r= cos A, S, r Lời giải: S 14,98 1,577 p 9,5 Vậy cos A = 0,6625, S ≈ 14,98 đvdt, r ≈ 1,577 Bài 3.6 trang 42 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có a = 10, A Tính R, b, c Lời giải: 45o , B 70o ... 10 Mà tan α = > cos α > cos = 10 Lại có: sin α = cos α tan α = 2sin − 3cos = Do P = 3sin + 2cos 10 10 = 10 10 10 − 10 10 + 10 Tháp Rùa Em có biết sao? 10 10 10 10 Lời giải: 10. .. N) 2sin − 3cos 3sin + 2cos Lời giải: Ta có: + tan = (α ≠ 90o) cos = + 32 = 10 cos cos = Bài Hệ thức lượng tam giác 10 cos = 10 10 Mở đầu trang 38 SGK Toán 10 tập 1:... bảng lượng giác số góc đặc biệt, ta có: sin 30 o = 3 ; tan 30 o = ; cos 45o = ; cos 0o = 1; cot 30 o = 2 3 Do A 2 2 2 3 3 AOM '' = 90o − 60o = 30 o Ta có M ''H = sin 30 OM '' = 75 = 37 ,5 (m) o 2 3 3