Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 1 Giá trị lượng giác của 1 góc từ 0° đến 180° Bài 1 trang 69 SBT Toán 10 tập 1 Tính giá trị của T = 4cos60° + 2sin135° + 3cot120° Lời giải Sử dụng máy tính cầm tay ta có T = 4cos60° + 2sin135° + 3[.]
Bài 1: Giá trị lượng giác góc từ 0° đến 180° Bài trang 69 SBT Toán 10 tập 1: Tính giá trị T = 4cos60° + 2sin135° + 3cot120° Bài trang 69 SBT Toán 10 tập 1: Tìm góc α ( 0° ≤ α ≤ 180° ) trường hợp sau: ; b) sin α = c) tan α = ; d) cot α = –1 Lời giải Sử dụng máy tính cầm tay ta có: ; a) cos α = T = 4cos60° + 2sin135° + 3cot120° Lời giải T = 1 + + 2 a) Sử dụng máy tính cầm tay, ta có được: α = 150° b) Sử dụng máy tính cầm tay, ta có được: α = 60° T=2+ – Lại có sinα = sin(180° – α ) nên α = 120° Vậy T = + – Vậy α = 60° α = 120° Bài trang 69 SBT Toán 10 tập 1: Chứng minh rằng: a) sin138° = sin42°; b) tan125° = – c) Dựa vào bảng giá trị lượng giác đặc biệt, ta có: tan α = ⇒ α = 150° cot35° Lời giải a) Ta có sinx = sin(180° – x ) nên: sin138° = sin (180° – 138°) = sin42° Vậy sin138° = sin42° b) Ta có tanx = –tan(180° – x ) tanx = cot( 90° – x ) tan125 = –tan(180° – 125° ) = –tan55° = –cot( 90° – 55° ) = –cot35° d) Dựa vào bảng giá trị lượng giác đặc biệt, ta có: cot α = –1 ⇒ α = 135° Vậy α = 135° Vậy tan125° = – cot35° a) Ta có: cos2 x +sin x=1 ⇒ sin2x = – cos2x Bài trang 69 SBT Toán 10 tập 1: Chứng minh tam giác ABC ta có: a) tanB = –tan( A+C); b) sinC = sin ( A+B ) ⇒ sinx = cos x sinx = cos x Vì 0° ≤ x ≤ 90° nên ≤ sinx ≤ Do có sinx = cos x thỏa mãn Lời giải Vậy sinx = cos x a) Trong tam giác ABC có: A + B + C = 180° ⇒ A + C = 180° – B b) Ta có: cos2x + sin2x = Ta có: tanα = –tan(180° – α ) nên ⇒ cos2x = – sin2x tanB = –tan( 180° – B ) = –tan( A+C) ⇒ cosx = sin x cosx = sin x Vậy tanB = –tan( A+C) b) Trong tam giác ABC có: A + B + C = 180° ⇒ A + B = 180° – C Vì 0° ≤ x ≤ 90° nên ≤ cos ≤ Do có cosx = sin x thỏa mãn Vậy cosx = sin x Ta có: sinα = sin(180° – α ) nên sinC = sin(180° – C ) = sin ( A+B ) c) Ta có: tanx = sin x sin x ⇒ tan2x = ( x ≠ 90°) (ĐPCM) cos x cos x d) Ta có: cotx = cos x cos x ⇒ cot2x = ( x ≠ 0°) (ĐPCM) sin x sin x Vậy sinC = sin ( A+B ) Bài trang 69 SBT Toán 10 tập 1: Chứng minh với góc x ( 0° ≤ x ≤ 90°), ta có: a) sinx = cos x ; c) tan2x = 0°) Lời giải sin x ( x ≠ 90°); cos x b) cosx = sin x ; d) cot2x = cos x ( x ≠ sin x Bài trang 69 SBT Toán 10 tập 1: Cho góc x với cosx = S = 4sin2x + 8tan2x Lời giải 1 Tính giá trị biểu thức Sử dụng máy tính cầm tay, ta có: cosx = 1 ⇒ x = 120° ⇒ sinx = tanx = 2 Bài 2: Định lí cơsin định lí sin Bài trang 74 SBT Tốn 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh chưa biết tam giác sau: 3 S = 4sin x + 8tan x = + ( 3) = + 8.3 = 27 2 Vậy S = 27 Bài trang 69 SBT Toán 10 tập 1: Dùng máy tính cầm tay, tính a) sin138°12’24’’; b) cos144°35’12’’; c) tan152°35’44’’ Lời giải Lời giải Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được: a) Áp dụng định lí cơsin ta có: a) sin138°12’24’’ ≈ 0,666 BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos A b) cos144°35’12’’≈ –0,815 BC2 = 102 + 92 – 2.10.9.cos65° c) tan152°35’44’’ ≈ –0,518 BC ≈ 104,929 Bài trang 69 SBT Toán 10 tập 1: Dùng máy tính cầm tay, tìm x, biết: a) cosx = –0,234; b) sinx = 0,812; c) cotx = –0,333 BC ≈ 10,24 (cm) Vậy BC ≈ 10,24 (cm) Lời giải Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được: b) P = 180° – 112° – 34° = 34° a) cosx = –0,234 ⇒ x ≈ 103°31’58’’ Ta có: P = M ⇒ tam giác MNP cân N ⇒ MN = NP = 22 (cm) b) sinx = 0,812 ⇒ x ≈ 54°17’30’’ hay x ≈ 125°42’30’’ Áp dụng định lí sin ta có: c) cotx = –0,333 ⇒ x ≈ 108°25’4’’ ⇒ MP = MP MN NP 22 = = sinN sinP sinM sin 34 22 sin112° ≈ 36,48 (cm) sin 34 Vậy MP ≈ 36,48 cm, MN = 22 cm Theo định lí cơsin: b2 = a2 + c2 – 2accosB Bài trang 74 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC biết cạnh a = 75 cm, B = ⇒ cosB = 82 62 122 a c2 b2 = 2ac 2.8.6 ⇒ cosB = 11 24 80°, C = 40° a) Tính góc, cạnh cịn lại tam giác ABC b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ B = 117°16’46’’ Lời giải Vậy góc lớn tam giác ABC B = 117°16’46’’ a) Ta có: A = 180° – 80° – 40° = 60° Bài trang 75 SBT Toán 10 Tập 1: Tính khoảng cách hai điểm P Q Áp dụng định lí sin ta có: hồ nước ( Hình 7) Cho biết từ điểm O cách hai điểm P Q a 75 b c = = = sinA sinB sinC sin 60 1400m 600m người quan sát nhìn thấy góc 76° ⇒b= 75 sin80° ≈ 85,29 (cm); sin 60 ⇒c= 75 sin40° ≈ 55,67 (cm) sin 60 Vậy AC ≈ 85,29 cm; AB ≈ 55,67 cm A = 60° b) R = 75 a = = 25 (cm) 2.sin 60 2sinA Vậy R = 25 cm Bài trang 75 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm góc lớn tam giác ABC, biết a = Lời giải Áp dụng định lí cơsin: PQ2 = OP2 + OQ2 – 2.OP.OQ.cos O PQ2 = 14002 + 6002 – 2.1400.600.cos76° 8, b = 12, c = PQ = 14002 6002 – 2.1400.600.cos76 Lời giải PQ ≈ 1383,32 (m) Do b cạnh lớn nên B góc lớn Vậy khoảng cách hai điểm PQ PQ ≈ 1383,32 (m) Bài trang 75 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với BC = a; AC = b; AB = (a b c)(a b c) c Chứng minh rằng: + cosA = 2bc S= p.(p a).(p b).(p c) S= 40.(40 24).(40 26).(40 30) S = 80 14 (cm2) Lời giải Vậy diện tích tam giác ABC 80 14 (cm2) Theo định lí cơsin ta có: a2 = b2 + c2 – 2bccosA b) Ta có: S = p.r = 40r = 80 14 b c a 2bc ⇒ cosA = 2 ⇒ r = 14 (cm) Vậy bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC r = 14 cm Ta có: + cosA = + b2 c2 a 2bc = 2bc b c a 2bc = (b c) a 2bc = Bài trang 75 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác MNP có MN = 10, MP = 20 M = 42° (a b c)(a b c) 2bc a) Tính diện tích tam giác MNP Vậy ta có điều phải chứng minh b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Tính diện tích tam giác ONP Bài trang 75 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 24cm, b = 26cm, c Lời giải = 30cm a) Diện tích tam giác MNP là: a) Tính diện tích tam giác ABC S= b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Lời giải a b c 24 26 30 a) Ta có: p = = = 40 2 Áp dụng công thức Heron: 1 MN.MP.sin M = 10.20.sin42° ≈ 67 (đvdt) 2 Vậy diện tích tam giác MNP 67 đvdt b) Lời giải Áp dụng định lí cơsin: Vẽ AH GK vng góc với BC NP2 = MP2 + MN2 – 2.MN.MP.cos M NP2 = 102 + 202 – 2.10.20.cos42° Gọi M chân đường trung tuyến từ A hạ xuống BC Ta có GM = NP = 102 202 – 2.10.20.cos42 đường trung tuyến tam giác) NP ≈ 14,24 Xét tam giác GKM tam giác AHM: Áp dụng định lí sin tam giác MNP, ta có: R = ON = OP = NP 2sinM ≈ 14,24 2sin 42 ≈ 10,64 Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác MNP: NMP góc nội tiếp chắn cung NP ⇒ NMP = Suy SONP = NOP ⇒ NOP = 42°.2 = 84° 1 ON.OP.sin NOP ≈ (10,64)2.sin84° ≈ 56,30 (đvdt) 2 Vậy diện tích tam giác ONP 56,30 đvdt Bài trang 75 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh tam giác GBC, GAB, GAC có diện tích AHM = GKM = 90° AMH = GMK ⇒ tam giác GKM tam giác AHM đồng dạng (g.g) ⇒ GM GK AM AH GK.BC GK SGBC Có = = SABC AH AH.BC Chứng minh tương tự ta được: AM ( tính chất SGBC = SGAB = SGAC = SABC ( ĐPCM) Bài trang 75 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC điểm B’, C’ cạnh AB AC Chứng minh: SABC AB.AC = SAB'C' AB'.AC' Lời giải Ta có: SABC = AB.AC.sin A SAB’C’ = AB’.AC’.sin A AB.AC.sinA SABC ⇒ = SAB'C' AB’.AC’.sinA ⇒ SABC AB.AC (ĐPCM) = SAB'C' AB'.AC' Bài 10 trang 74 SBT Tốn 10 Tập 1: Tính diện tích bề mặt miếng bánh mì kebab hình tam giác có hai cạnh 10cm 12cm góc tạo hai cạnh 35° Lời giải Diện tích bề mặt miếng bánh mì kebab là: S= 10.12.sin35° ≈ 34,4 (cm2) Vậy diện tích bề mặt miếng bánh mì kebab khoảng 34,4 cm2 Bài tập cuối chương IV Có sin60° = cos30° ≠ cos120° Khẳng định D sai A Trắc nghiệm Vậy chọn đáp án D Bài trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Khẳng định sau đúng? Bài trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Bất đẳng thức đúng? A sinα = sin( 180° – α ); A sin90° < sin150°; B cosα = cos( 180° – α ); B sin90°15’ < sin90°30’; C tanα = tan( 180° – α ); C cos90°30’ > cos100°; D cotα = cot( 180° – α ); D cos150° > cos120° Lời giải Lời giải Đáp án A Đáp án C Ta có sin hai góc bù Cơsin, tan cơtan hai góc bù Ta có: đối Vậy khẳng định A Bài trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? sin90° = mà sin150° = ⇒ sin90° > sin150° Vì A sai A cos45° = sin45°; sin90°15’ = 0,99999, sin90°30’ = 0,99996 ⇒ sin90°15’ > sin90°30’ Vì B sai B cos45° = sin135°; cos90°30’ ≈ – 8,72 10-3 , cos100° ≈ – 0,17 ⇒ cos90°30’ > cos100° Vì C C cos30° = sin120°; cos150° = 1 , cos120° = ⇒ cos150° < cos120° Vì D sai 2 D sin60° = cos120° Chọn đáp án C Lời giải Đáp án D cos45° = sin( 90° – 45° ) = sin45° Khẳng định A Bài trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức đúng? A sin150° = ; B cos150° = ; cos45° = sin( 90° – 45° ) = sin45° = sin ( 180° – 45° ) = sin135° Khẳng định B cos30° = sin ( 90° – 30° ) = sin60° = sin ( 180° – 60° ) = sin120° Khẳng định C C tan150° = D cot150° = 1 ; Như đáp án A Bài trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = cm, BC = cm, CA = cm Giá trị cosA là: Lời giải A ; B ; C 2 ; D Đáp án C Sử dụng máy tính cầm tay ta tính sin150° = 1 , cos150° = , tan150° = , cot150° = 2 Vậy khẳng định C Bài trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c Mệnh đề sau đúng? Lời giải A Nếu b2 + c2 – a2 > góc A nhọn; Đáp án A B Nếu b2 + c2 – a2 > góc A tù; Áp dụng hệ định lí cơsin ta có: C Nếu b2 + c2 – a2 < góc A nhọn; cosA = D Nếu b2 + c2 – a2 < góc A vng Vậy chọn đáp án A Lời giải Bài trang 80 SBT Tốn 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = 18 cm Đáp án A có diện tích 64cm2 Giá trị sinA là: Theo định lí cơsin ta có: a2 = b2 + c2 – 2bccosA Nếu b2 + c2 – a2 > hay b2 + c2 > a2 2bccosA > hay cosA > ( b,c cạnh tam giác A nên b,c > ) Khi A < 90° hay góc A nhọn B Nếu b + c – a < hay b + c < a 2bccosA < hay cosA < ( b,c cạnh tam giác 42 92 AC2 AB2 BC2 = = 2.4.9 2AB.AC 2 2 nên b,c > ) Khi A > 90° hay góc A tù ; ; C ; D Lời giải Kẻ GH vng góc với AC G trọng tâm tam giác ABC ⇒ GF = BF Xét tam giác GFH tam giác BFA: GHF BAF = 90° Đáp án D 64.2 2S Ta có: S = AB.AC sinA ⇒ sinA = = AB.AC 18.8 Vậy đáp án D Bài trang 80 SBT Tốn 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vng cân A có AB = AC = GFH BFA (hay chung GFH ) ⇒ tam giác GFH tam giác BFA đồng dạng (g.g) ⇒ GH GF = = ( Tính chất hai tam giác đồng dạng) AB BF 30 cm Hai đường trung tuyến BF CE cắt G Diện tích tam giác GFC là: ⇒ GH = 10 cm A 50 cm2; Lại có FC = AC = 15 cm B 50 cm2; C 75 cm2; ⇒ SGFC = 10.15 = 75 cm2 D 15 105 cm2 Vậy đáp án C Lời giải Bài trang 81 SBT Tốn 10 Tập 1: Tam giác ABC có diện tích S Nếu tăng cạnh BC Đáp án C lên lần đồng thời tăng cạnh CA lên lần giữ nguyên độ lớn góc C diện tích tam giác tạo nên bằng: A 2S; B 3S; C 4S; D 6S Lời giải Đáp án D Diện tích tam giác ABC ban đầu là: S = OB = 2sin A BC.AC.sinC 1 Diện tích tam giác ABC lúc sau là: Ss = 2BC.3AC.sinC = BC.AC.sinC = 6S 2 Ta có –1 ≤ sin A ≤ nên OB lớn sin A = ⟺ A = 90° Khi OB = Đáp án D Vậy đáp án D B Tự luận Bài 10 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Cho xOy = 30° Gọi A B hai điểm di động Bài trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với ba cạnh a, b, c Chứng minh Ox Oy cho AB = Độ dài lớn đoạn OB bằng: rằng: cosA cosB cosC a + b + c a b c 2abc A 1,5; Lời giải B 3; Theo định lí cơsin: a2 = b2 + c2 – 2bccosA C 2 ; ⇒ cosA = D Lời giải ⇒ Đáp án D b2 c2 a 2bc cosA b c a = 2abc a Tương tự ta có: a c2 b2 cosB cosC a b c = = 2abc 2abc c b Như vậy: Theo định lí sin ta có: AB sin O OB sin A 2 sin 30 ⇒ a c2 b2 a c2 b2 cosA cosB cosC b c a = + + 2abc 2abc 2abc a b c cosA cosB cosC a + b + c ( ĐPCM ) a b c 2abc Bài trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC Biết a = 24; b = 36; C = 52° Tính cạnh c hai góc A , B Lời giải Áp dụng định lí cơsin ta có: c2 = a2 + b2 – 2abcos C c2 = 242 + 362 – 2.24.36.cos52° c= 242 362 – 2.24.36.cos52 c ≈ 28,43 Ta có: BPA = 40°, BQA = 52°, BAP = 90°, PQ = 50 m Áp dụng định lí sin ta có: BQP góc kề bù với BQA ⇒ BQP = 180° – 52° = 128° a 28,43 b c = sinA sinB sinC sin 52 Xét tam giác PBQ: PBQ + BQP + BPQ = 180° ⇒ sinA = a : ⇒ sinB = b : 28,43 28,43 = 24 : ≈ 0,665 ⇒ A ≈ 41°40’56’’ sin 52 sin 52 28,43 28,43 = 36 : ≈ 0,998 ⇒ B ≈ 86°22’32’’ sin 52 sin 52 ⇒ PBQ = 180° – 128° – 40° = 12° Áp dụng định lí sin cho tam giác PBQ ta có: PQ BQ 50 50 50 = ⇒ BQ = sinP = sin40° ≈ 154,58 m = sinB sinP sin12 sin12 sin12 Vậy A ≈ 41°40’56’’ B ≈ 86°22’32’’ Xét tam giác ABQ vuông A: AB = BQ sin52° = 154,58 sin52° ≈ 121,81 m Bài trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Hai tàu thủy P Q cách 50 m Từ P Vậy chiều cao tháp hải đăng khoảng 121,81 m Q thẳng hàng với chân A tháp hải đăng AB bờ biển, người ta nhìn chiều cao AB tháp góc BPA = 40° BQA = 52° Tính chiều cao tháp hải đăng Lời giải Ta có hình vẽ sau: Bài trang 81 SBT Tốn 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có A = 99°, b = 6, c = 10 Tính: a) Diện tích tam giác ABC; b) Bán kính đường trịn ngoại tiếp bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Lời giải a) Diện tích tam giác ABC là: S= 1 b.c.sin A = 6.10.sin99° ≈ 29,63 (đvdt) 2 Vậy diện tích tam giác ABC 29,63 đvdt b) Áp dụng định lí cơsin ta có: a2 = b2 + c2 – 2bccosA a2 = 62 + 102 – 2.6.10.cos99° a= 62 102 – 2.6.10.cos99 a ≈ 12,44 Áp dụng định lí sin ta có: ⇒R= a 2R sinA Lời giải Ta có hình vẽ sau: 12,44 a = ≈ 6,30 2sinA 2.sin 99 Nửa chu vi tam giác ABC là: p = Lại có: r = a b c 12,44 10 14,22 2 S 29,63 = ≈ 2,08 p 14,22 Vậy bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 6,30 bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC 2,08 Bài trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Hai máy bay rời sân bay lúc Một Ta có: AOB = 180° – 15° – 45° = 120° máy bay với vận tốc 800 km/h theo hướng lệch so với hướng bắc 15° phía tây Sau hai máy bay bay từ O đến A quãng đường là: 800.3 = 400 km Chiếc lại bay theo hướng lệch so với hướng nam 45° phía tây với vận tốc 600 km/h Hay OA = 400 ( Hình 1) Hỏi hai máy bay cách bao xa sau giờ? Sau hai máy bay bay từ O đến B quãng đường là: 600.3 = 800 km Hay OB = 800 Sau giờ, hai máy bay A, B điểm xuất phát O tạo thành tam giác OAB với OA = 2400 OB = 1800 Áp dụng định lí cơsin cho tam giác OAB ta được: AB2 = OA2 + OB2 – 2.OA.OB.cos AOB AB2 = 24002 + 18002 – 2.1800.2400.cos120° AB = xuống điểm sườn dốc cách chân tháp 33 m Hình Tính chiều dài sợi dây cáp 24002 18002 – 2.1800.2400.cos120 AB ≈ 3650 km Vậy sau hai máy bay cách khoảng 3650 km Bài trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC không vuông Chứng minh rằng: Lời giải tan A c2 a b tan B c b a Lời giải Theo định lí cơsin ta có: a2 = b2 + c2 – 2bcosA ⇒ cosA = b2 c2 a 2bc Tương tự: cosB = a c2 b2 2ac Theo định lí cơsin ta có: ⇒ sinA = a b 2R sinA sinB a b sinB = 2R 2R Ta biểu diễn lại AB độ dài sợi dây cáp AC độ dài tháp Như AC = 42 m, BC = 33 m, CMH = 34°, MHC = 90° Xét tam giác MCH: MCH MHC CMH = 180° ⇒ MCH = 180° – 90° – 34° = 56° ACB MCH hai góc đối đỉnh nên ACB = 56° ( tính chất hai góc đối đỉnh) Ta có: Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC: a a c b 2R c2 a b2 2bc tanA sinA cosB = 2 = (ĐPCM) = 2R b c a 2ac c b2 a b tanB cosA sinB AB2 = AC2 + BC2 – 2.AC.BC.cos ACB Bài trang 81 SBT Tốn 10 Tập 1: Một tháp viễn thơng cao 42 m dựng thẳng AB2 = 422 + 332 – 2.42.33.cos56° đứng sườn dốc 34° so với phương ngang Từ đỉnh tháp người ta neo sợi cáp AB = 422 332 – 2.42.33.cos56 AB ≈ 36,1 m Vậy chiều dài sợi dây cáp khoảng 36,1 m ... M NP2 = 102 + 202 – 2 .10. 20.cos42° Gọi M chân đường trung tuyến từ A hạ xuống BC Ta có GM = NP = 102 202 – 2 .10. 20.cos42 đường trung tuyến tam giác) NP ≈ 14, 24 Xét tam giác GKM tam giác AHM:... 84? ? 1 ON.OP.sin NOP ≈ (10, 64) 2.sin 84? ? ≈ 56,30 (đvdt) 2 Vậy diện tích tam giác ONP 56,30 đvdt Bài trang 75 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh tam giác GBC, GAB, GAC có... 90° – 45 ° ) = sin45° Khẳng định A Bài trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức đúng? A sin150° = ; B cos150° = ; cos45° = sin( 90° – 45 ° ) = sin45° = sin ( 180° – 45 ° )