Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 6 Hệ thức lượng trong tam giác A Lý thuyết 1 Định lí Côsin Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối[.]
Bài Hệ thức lượng tam giác B A Lý thuyết ? Định lí Cơsin 60° Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C góc tam giác đỉnh A C tương ứng; a, b, c tương ứng độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p nửa chu vi; S diện tích; R, r tương ứng bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp Hướng dẫn giải tam giác Áp dụng Định lí cơsin cho tam giác ABC, ta có: A BC2 = AB2 + AC2 – 2AB AC cos 60o = 22 + 32 – 2.2.3 b c B (cm) Suy BC = a C Định lí Cơsin Trong tam giác ABC: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB Vậy BC = cm Định lí sin Trong tam giác ABC: R Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A 60° AB = cm, AC = cm Tính độ Hướng dẫn giải 2 dài cạnh BC a b c 2R sin A sin B sin C Ví dụ: Cho tam giác ABC có A 120 , B 30 , c = 10 Tính số đo góc C a, b, c = a + b – 2ab.cosC = - Việc tính độ dài cạnh số đo góc tam giác biết số yếu tố tam giác gọi giải tam giác Chú ý: Áp dụng định lí cơsin, sin sử dụng máy tính cầm tay, ta tính (gần đúng) cạnh góc tam giác trường hợp sau: + Biết hai cạnh góc xen + Biết ba cạnh + Biết cạnh hai góc kề Theo Định lí tổng ba góc tam giác, ta có: A B C 180 Ví dụ: Giải tam giác ABC biết b = 12, C 60 , A 100 Suy C 180 (A B) 180 (120 30) 30 Hướng dẫn giải Áp dụng Định lí sin, ta có: a b c 2R sin A sin B sin C a b 10 2R sin120 sin 30 sin 30 Theo định lí tổng ba góc tam giác, ta có: A B C 180 Suy B 180 (A C) 180 (100 60) 20 Áp dụng định lí sin, ta có: Suy ra: 10 a sin120 10 sin 30 10 b sin 30 10 sin 30 R 10 10 2sin 30 Vậy a = 10 ; b = 10; R = 10; C 300 Giải tam giác ứng dụng thực tế a b c sin A sin B sin C a 12 c sin100 sin 20 sin 60 Suy ra: a 12 sin100 34,6 sin 20 c 12 sin 60 30, sin 20 Vậy tam giác ABC có: A 100 , B 20 , C 60 ; a ≈ 34,6 ; b = 12; c ≈ 30,4 Ví dụ: Để đo khoảng cách hai đầu C A hồ nước người ta trực tiếp từ C đến A, người ta tiến hành sau: Chọn điểm B cho đo khoảng cách BC, BA góc BCA Sau đo, ta nhận BC = 5m, BA = 12m, BCA 37 Tính khoảng cách AC (làm tròn kết đến hàng phần trăm) Áp dụng định lí sin, ta có: ⇒ AC = o AC AB sin B sin C 12 AB sin12829' ≈15,61 (m) sin B = sin 37 sin C Vậy khoảng cách AC ≈ 15,61 m B Công thức tính diện tích tam giác 5m 12 m Đối với tam giác ABC: A, B, C góc tam giác đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p nửa chu vi; S diện 37° C A tích; R, r tương ứng bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Ta có cơng thức tính diện tích tam giác ABC sau: +) S = pr = Hướng dẫn giải +) S = 1 bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 +) S = abc 4R Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: BC AB sin A sin C (a b c)r +) Công thức Heron: S = 12 ⇒ sin A sin 370 ⇒ sin A = 5.sin 37o 0,2508 12 p(p a)(p b)(p c) Ví dụ: a) Tính diện tích tam giác ABC biết cạnh b = 14 cm, c = 35 cm A 60o b) Tính diện tích tam giác ABC bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ⇒ A ≈ 14°31’ ABC, biết cạnh a = cm, b = cm, c = cm ⇒ B ≈ 180° – (37° + 14°31’) = 128°29’ Hướng dẫn giải a) Áp dụng cơng thức tính diện tích tam giác ABC, ta có: S= 245 1 bc sin A = 14.35.sin 60° = 14.35 = (cm2) 2 2 Vậy diện tích tam giác ABC là: 245 cm2 Do AC = 925 ≈ 30,4 Mặt khác: BC2 = AB2 + AC2 – AB AC cos A AB2 AC2 BC2 152 925 352 = 0,08 2.AB.AC 2.15 925 a b c 12 b) Ta có nửa chu vi tam giác ABC là: p (cm) 2 ⇒ cos A = Áp dụng cơng thức Heron, ta có diện tích tam giác ABC là: ⇒ A 95 S = p(p a)(p b)(p c) 6.(6 4).(6 5).(6 3) 36 (cm2) ⇒ C 180 (A B) 180 (95 60) 25 Mặt khác: S = abc abc 4.5.3 ⇒R= = 2,5 (cm) 4.6 4R 4S Vậy tam giác ABC có: A 95 ; B 60 ; C 25 S Ta có: S = pr ⇒ r = = = (cm) p AB = 15, AC ≈ 30,4; BC = 35 Vậy diện tích tam giác ABC cm2, bán kính đường trịn ngoại tiếp 2,5 cm; bán Bài 2: Một hồ nước nằm góc tạo hai đường Hãy tính khoảng cách từ B kính đường trịn nội tiếp cm đến C, biết góc tạo hai đường góc A 120° khoảng cách từ A đến B km, khoảng cách từ A đến C km B Bài tập tự luyện B1 Bài tập tự luận Bài 1: Giải tam giác ABC biết AB = 15, BC = 35, B 60 (Độ dài cạnh AC làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, số đo góc A C làm trịn đến độ) Hướng dẫn giải Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC, ta có: AC2 = AB2 + BC2 – AB BC cos B Hướng dẫn giải = 152 + 352 – 15 35 cos 60° = 925 Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos A = 32 + 42 – cos 120° = 37 ⇒ BC = 37 ≈ 6,08 (km) Vậy khoảng cách từ B đến C khoảng 6,08 km Bài 3: Tính diện tích tam giác ABC biết a = 12 cm, b = 15 cm , c = 23 cm Áp dụng hệ định lý cơsin, ta có: cos B Hướng dẫn giải a c2 b2 2ac a b c 12 15 23 50 Ta có p 25 (cm) 2 2 BC2 AB2 AC2 3 cos B 2AB.BC 2.6.3 Áp dụng công thức Heron cho tam giác ABC ta có: Bài Cho tam giác ABC có a = 2, b , c Tính bán kính R đường S= A 2; B ; B2 Bài tập trắc nghiệm C ; Bài Tam giác ABC có AC 3 , AB = 3, BC = Tính số đo góc B D A 60°; Hướng dẫn giải B 45°; Đáp án là: A S = 25.(25 12).(25 15).(25 23) 6500 80,62 (cm2) Vậy diện tích tam giác ABC 80,62 cm D 120° Hướng dẫn giải Đáp án là: A B 60 tròn ngoại tiếp p(p a)(p b)(p c) C 30°; Ta có: cos A Do đó: R b2 c2 a ( 1) 22 A = 45° 2bc 2 6.( 1) a 2sin A 2.sin 45 Bài Tính diện tích tam giác có ba cạnh 5; 12; 13 A 60; B 30; Ôn tập chương A Lý thuyết Giá trị lượng giác góc C 34; Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = nằm phía trục D hoành gọi nửa đường tròn đơn vị Hướng dẫn giải Cho trước góc α, 0° ≤ α ≤ 180° Khi đó, có điểm M(x0; y0) nửa đường Đáp án là: B tròn đơn vị để xOM Nửa chu vi tam giác là: p 12 13 15 Diện tích tam giác là: S p p 5 p 12 p 13 15 15 15 12 15 13 30 - Định nghĩa tỉ số lượng giác góc từ 00 đến 1800 Với góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x0; y0) điểm nửa đường tròn đơn vị cho xOM Khi đó: + sin góc α tung độ y0 điểm M, kí hiệu sin α; + cơsin góc α hồnh độ x0 điểm M, kí hiệu cos α; + Khi α ≠ 90° (hay x0 ≠ 0), tang α y0 , kí hiệu tan α; x0 + Khi α ≠ 0° α ≠ 180° (hay y0 ≠ 0), côtang α x0 , kí hiệu cot α y0 - Từ định nghĩa ta có: tan tan sin cos ( 90); cot ( 0và 180); cos sin ( {0;90;180}) cot - Bảng giá trị lượng giác (GTLG) số góc đặc biệt: 3 Mặt khác, điểm M nằm bên trái trục tung nên M ; 2 Theo định nghĩa giá trị lượng giác ta có: sin 1200 = cos 1200 = tan 1200 = sin1200 cos1200 cot 1200 = cos1200 sin120 Chú ý: Kí hiệu || giá trị lượng giác tương ứng không xác định Ví dụ: Tìm giá trị lượng giác góc 120° Vậy sin 1200 = ; cos 1200 = ; tan 1200 = ; cot 1200 = 2 - Ta dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần giá trị lượng giác góc Ví dụ: Gọi M điểm nửa đường tròn đơn vị cho xOM 1200 Gọi N, K tương ứng hình chiếu vng góc M lên trục Ox, Oy Do xOM 1200 xOK 900 nên KOM 300 MON 600 Từ bảng GTLG số góc đặc biệt: Ta có: cos 600 = cos 300 = 2 - Ta tìm góc biết giá trị lượng giác góc Ví dụ: Các tam giác MOK MON tam giác vuông với cạnh huyền Suy ON = cos MON OM = cos60 = OK = cos MOK OM = cos300.1 = 2 Chú ý: + Khi tìm x biết sin x, máy tính đưa giá trị x ≤ 90° + Muốn tìm x biết cos x, tan x, ta làm tương tự trên, thay phím Ví dụ: tương ứng phím Ta có 30° + 60° = 90° nên góc 30° góc 60° hai góc phụ Mối quan hệ giá trị lượng giác hai góc bù Đối với hai góc bù nhau, α 180° – α, ta có: Khi đó: sin30° = cos60° = sin (180° – α) = sin α; cos (180° – α) = - cos α; tan30° = cot60° = tan (180° – α) = - tan α (α ≠ 90°); cot (180° – α) = - cot α (0° < α < 180°) 3 Định lí cơsin Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C góc tam giác đỉnh tương Chú ý: ứng; a, b, c tương ứng độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p nửa chu - Hai góc bù có sin ; có cơsin , tang, cơtang đối vi; S diện tích; R, r tương ứng bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Ví dụ: Tính giá trị lượng giác góc 135° A Hướng dẫn giải b c Ta có 135° + 45° = 180°, góc 135° góc 45° hai góc bù nhau: B Suy ra: sin135° = sin45° = C Định lí Cơsin Trong tam giác ABC: 2 cos135° = - cos45° = a a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA 2 b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB tan135° = - tan45° = -1 c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC cot135° = - cot45° = -1 Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A 60° AB = cm, AC = cm Tính độ dài cạnh BC 2 Vậy sin135° = ; cos135° = ; tan35° = -1 ; cot135° = -1 2 - Hai góc phụ có sin góc cơsin góc kia, tang góc cơtang góc Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A 60° AB = cm, AC = cm Tính độ dài B cạnh BC ? B 60° A C ? Hướng dẫn giải 60° A C Áp dụng Định lí cơsin cho tam giác ABC, ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB AC cos 600 = 22 + 32 – 2.2.3 (cm) Suy BC = Vậy BC = = Hướng dẫn giải Áp dụng Định lí cơsin cho tam giác ABC, ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB AC cos 600 = 22 + 32 – 2.2.3 = 7 cm Suy BC = Định lí sin (cm) cm Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C góc tam giác đỉnh tương Vậy BC = ứng; a, b, c tương ứng độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p nửa chu Giải tam giác ứng dụng thực tế vi; S diện tích; R, r tương ứng bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác tam giác gọi giải tam giác A Chú ý: Áp dụng định lí cơsin, sin sử dụng máy tính cầm tay, ta tính (gần b c B - Việc tính độ dài cạnh số đo góc tam giác biết số yếu tố đúng) cạnh góc tam giác trường hợp sau: a C + Biết hai cạnh góc xen + Biết ba cạnh Định lí Cơsin Trong tam giác ABC: + Biết cạnh hai góc kề a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC Ví dụ: Giải tam giác ABC biết b = 12, C 60 , A 100 Hướng dẫn giải Theo định lí tổng ba góc tam giác, ta có: A B C 180 Suy B 180 (A C) 180 (100 60) 20 Áp dụng định lí sin, ta có: BC AB sin A sin C a b c sin A sin B sin C ⇒ a 12 c sin100 sin 20 sin 60 12 sin A sin 370 ⇒ sin A = 5.sin 370 0, 2508 12 Suy ra: ⇒ A ≈ 14°31’ 12 a sin100 34,6 sin 20 c ⇒ B ≈ 180° – (37° + 14°31’) = 128°29’ 12 sin 60 30, sin 20 Áp dụng định lí sin, ta có: Vậy tam giác ABC có: A 100 , B 20 , C 60 ; a ≈ 34,6 ; b = 12; c ≈ 30,4 ⇒ AC = Ví dụ: Để đo khoảng cách hai đầu C A hồ nước người ta AC AB sin B sin C 12 AB sin12829' ≈15,61 (m) sin B = sin 37 sin C trực tiếp từ C đến A, người ta tiến hành sau: Chọn điểm B cho đo Vậy khoảng cách AC ≈ 15,61 m khoảng cách BC, BA góc BCA Sau đo, ta nhận BC = 5m, BA = 12m, Cơng thức tính diện tích tam giác BCA 370 Tính khoảng cách AC (làm trịn kết đến hàng phần trăm) Đối với tam giác ABC: A, B, C góc tam giác đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p nửa chu vi; S diện B tích; R, r tương ứng bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác 5m 12 m Ta có cơng thức tính diện tích tam giác ABC sau: +) S = pr = 37° A C (a b c)r +) S = 1 bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 +) S = abc 4R Hướng dẫn giải +) Công thức Heron: S = Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: Ví dụ: p(p a)(p b)(p c) a) Tính diện tích tam giác ABC biết cạnh b = 14 cm, c = 35 cm A 600 Áp dụng công thức Heron cho tam giác ABC ta có: b) Tính diện tích tam giác ABC bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác S= ABC, biết cạnh a = cm, b = cm, c = cm p(p a)(p b)(p c) S = 25.(25 12).(25 15).(25 23) 6500 80,62 (cm2) Hướng dẫn giải Vậy diện tích tam giác ABC 80,62 cm2 a) Áp dụng cơng thức tính diện tích tam giác ABC, ta có: 245 1 S = bc sin A = 14.35.sin 60° = 14.35 = (cm2) 2 2 Vậy diện tích tam giác ABC là: 245 cm2 b) Ta có nửa chu vi tam giác ABC là: p Bài Cho A Suy A Áp dụng cơng thức Heron, ta có diện tích tam giác ABC là: S = p(p a)(p b)(p c) 6.(6 4).(6 5).(6 3) 36 (cm2) Mặt khác: S = abc abc 4.5.3 ⇒R= = 2,5 (cm) 4.6 4R 4S Ta có: S = pr ⇒ r = S = = (cm) p Vậy diện tích tam giác ABC cm2, bán kính đường trịn ngoại tiếp 2,5 cm; bán sin sin cos cos 3sin cos sin cos cos cos cos cos (3 1) cos ( 1) cos 1 1 1 1 74 1 1 kính đường trịn nội tiếp cm Vậy A= – B Bài tập tự luyện Bài Tính giá trị biểu thức sau: B1 Bài tập tự luận a) 3sin150° + tan135° + cot45° Bài Tính diện tích tam giác ABC biết a = 12 cm, b = 15 cm , c = 23 cm b) cot135° – tan60° cos230° Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải Ta có p a b c 12 15 23 50 25 (cm) 2 2 Chứng minh A Hướng dẫn giải Ta có tan a b c 12 (cm) 2 3sin cos tan α = sin cos a) 3sin 150° + tan 135° + cot 45° = 3.sin(180° – 30°) + tan(180° – 45°) + cot 45° = 3.sin30° – tan45° + cot45° =3 + (-1) + = 2 b) cot 135° – tan 60° cos2 30° = cot(180° – 45°) – tan60°.cos230° = – cot45° – tan60°.cos230° Hướng dẫn giải = (– 1) – 3 43 = Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos A = 32 + 42 – cos 120° = 37 Bài Cho góc α, biết sin α = Tính giá trị biểu thức A = 4sin2 α + 3cos2 α Hướng dẫn giải ⇒ BC = 37 ≈ 6,08 (km) Vậy khoảng cách từ B đến C khoảng 6,08 km Ta có: Bài Giải tam giác ABC biết AB = 15, BC = 35, B 60 (Độ dài cạnh AC làm tròn A = 4sin2 α + 3cos2 α = (3sin2 α + 3cos2 α) + sin2 α = (sin2 α + cos2 α) + sin2 α Vì cos2 α + sin α = sin α = đến chữ số thập phân thứ nhất, số đo góc A C làm trịn đến độ) Hướng dẫn giải Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC, ta có: 2 Thay vào A ta có: A = + = ; Vậy A = Bài Một hồ nước nằm góc tạo hai đường Hãy tính khoảng cách từ B đến C, biết góc tạo hai đường góc A 120° khoảng cách từ A đến B AC2 = AB2 + BC2 – AB BC cos B = 152 + 352 – 15 35 cos 60° = 925 Do AC = 925 ≈ 30,4 Mặt khác: BC2 = AB2 + AC2 – AB AC cos A km, khoảng cách từ A đến C km ⇒ cos A = ⇒ A 95 AB2 AC2 BC2 152 925 352 = 0,08 2.AB.AC 2.15 925 ⇒ C 180 (A B) 180 (95 60) 25 Vậy sin x 13 Vậy tam giác ABC có: A 95 ; B 60 ; C 25 AB = 15, AC ≈ 30,4; BC = 35 Bài Biết tanα = 2, giá trị biểu thức M 3sin 2cos bằng: 5cos 7sin A ; B2 Bài tập trắc nghiệm Bài Nếu 3cosx + sinx = sinx < giá trị sinx là: B ; 19 A ; 13 B ; 13 D C ; 13 Hướng dẫn giải D 12 13 Đáp án là: B C ; 19 Hướng dẫn giải Cách 1: Vì cos α ≠ nên chia tử mẫu M cho cosα ta có: Đáp án là: A sin 2 3.tan 3.2 cos M sin 7.tan 7.2 19 57 cos Ta có: 3cosx + sinx = (3cosx + sinx)2 = 9cos2x + 12cosx.sinx + 4sin2x = 4(sin2x + cos2x) 5cos2x + 12cosx.sinx = Cách 2: Ta có: tan cosx(5cosx + 12sinx) = cosx 5cosx 12sin x Với cosx = sinx = loại sinx < sin x 5cosx 12sin x 13 Với 5cosx + 12sinx = 0, ta có hệ phương trình: 3cos x 2sin x 12 cosx 13 vào M ta M 3.2cos 2cos 4cos 5cos 7.2cos 19cos 19 Bài Cho cos A cot ; 3 B sin ; sin cos sin 2cos , thay sinα = 2cosα cos góc α thỏa mãn 90° < α < 180° Khi C tan 16 4 ⇔ sin2α = – cos2α = – = – = 25 25 5 D sin Đáp án là: B sin ⇔ sin Ta có sin2α + cos2α = Vì 90° < α < 180° nên sinα > Do sin Hướng dẫn giải 16 4 ⇔ sin2α = – cos2α = – = – = 25 25 sin ⇔ sin Bài Biết tanα = 2, giá trị biểu thức M sin cos , cotα = cos sin góc α thỏa mãn 90° < α < 180° Khi B ; 19 C ; 19 A cot ; D B sin ; Hướng dẫn giải C tan D sin Hướng dẫn giải Đáp án là: B Ta có sin2α + cos2α = 3sin 2cos bằng: 5cos 7sin A ; Vậy đáp án B Bài Cho cos cos sin , cotα = cos sin Vậy đáp án B Vì 90° < α < 180° nên sinα > Do sin ⇒ tanα = ⇒ tanα = Đáp án là: B Cách 1: Vì cos α ≠ nên chia tử mẫu M cho cosα ta có: sin 2 3.tan 3.2 M cos sin 7.tan 7.2 19 57 cos Cách 2: Ta có: tan vào M ta M sin cos sin 2cos , thay sinα = 2cosα cos 3.2cos 2cos 4cos 5cos 7.2cos 19cos 19 Bài Giá trị lượng giác góc từ 00 đến 1800 Bài Nếu 3cosx + sinx = sinx < giá trị sinx là: A ; 13 A Lý thuyết Giá trị lượng giác góc B ; 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = nằm phía C ; 13 Cho trước góc α, 0° ≤ α ≤ 180° Khi đó, có điểm M(x0; y0) nửa D trục hoành gọi nửa đường tròn đơn vị đường tròn đơn vị để xOM 12 13 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Ta có: 3cosx + sinx = (3cosx + sinx)2 = 9cos2x + 12cosx.sinx + 4sin2x = 4(sin2x + cos2x) 5cos2x + 12cosx.sinx = cosx(5cosx + 12sinx) = cosx 5cosx 12sin x Với cosx = sinx = loại sinx < sin x 5cosx 12sin x 13 Với 5cosx + 12sinx = 0, ta có hệ phương trình: 3cos x 2sin x cosx 12 13 Vậy sin x 13 - Định nghĩa tỉ số lượng giác góc từ 0o đến 180o Với góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x0; y0) điểm nửa đường tròn đơn vị cho xOM Khi đó: + sin góc α tung độ y0 điểm M, kí hiệu sin α; + cơsin góc α hồnh độ x0 điểm M, kí hiệu cos α; + Khi α ≠ 90° (hay x0 ≠ 0), tang α y0 , kí hiệu tan α; x0 + Khi α ≠ 0° α ≠ 180° (hay y0 ≠ 0), côtang α - Từ định nghĩa ta có: x0 , kí hiệu cot α y0 tan tan cos sin ( 0và 180); ( 90); cot sin cos Do xOM 120o xOK 90o nên KOM 30o MON 60o Từ bảng GTLG số góc đặc biệt: ( {0;90;180}) cot Ta có: cos 60o = - Bảng giá trị lượng giác (GTLG) số góc đặc biệt: cos 30o = 2 Các tam giác MOK MON tam giác vuông với cạnh huyền Suy ON = cos MON OM = cos60o.1 = OK = cos MOK OM = cos30o.1 = 3 Mặt khác, điểm M nằm bên trái trục tung nên M ; 2 Theo định nghĩa giá trị lượng giác ta có: Chú ý: Kí hiệu || giá trị lượng giác tương ứng khơng xác định sin 120o = Ví dụ: Tìm giá trị lượng giác góc 120° cos 120o = Gọi M điểm nửa đường tròn đơn vị cho xOM 120 Gọi N, K tương o ứng hình chiếu vng góc M lên trục Ox, Oy tan 120o = sin120o cos120o cot 120o = cos120o o sin120 Vậy sin 120o = ; cos 120o = ; tan 120o = ; cot 120o = 2 - Ta dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần giá trị lượng giác Chú ý: góc - Hai góc bù có sin nhau; có cơsin, tang, cơtang đối Ví dụ: Ví dụ: Tính giá trị lượng giác góc 135° Hướng dẫn giải Ta có 135° + 45° = 180°, góc 135° góc 45° hai góc bù nhau: Suy ra: - Ta tìm góc biết giá trị lượng giác góc 2 sin135° = sin45° = Ví dụ: cos135° = – cos45° = tan135° = – tan45° = –1 Chú ý: + Khi tìm x biết sin x, máy tính đưa giá trị x ≤ 90° + Muốn tìm x biết cos x, tan x, ta làm tương tự trên, thay phím tương ứng phím 2 cot135° = – cot45° = –1 Vậy sin135° = 2 ; cos135° = ; tan135° = –1 ; cot135° = –1 2 - Hai góc phụ có sin góc cơsin góc kia, tang góc cơtang góc Mối quan hệ giá trị lượng giác hai góc bù Đối với hai góc bù nhau, α 180° – α, ta có: Ví dụ: sin (180° – α) = sin α; Ta có 30° + 60° = 90° nên góc 30° góc 60° hai góc phụ cos (180° – α) = – cos α; Khi đó: tan (180° – α) = – tan α (α ≠ 90°); sin30° = cos60° = cot (180° – α) = – cot α (0° < α < 180°) tan30° = cot60° = B Bài tập tự luyện cos cos cos cos (3 1) cos ( 1) cos 1 1 1 1 B1 Bài tập tự luận Bài Cho góc α, biết sin α = Tính giá trị biểu thức A = 4sin2 α + 3cos2 α Hướng dẫn giải 74 1 1 Vậy A= – Ta có: A = 4sin2 α + 3cos2 α = (3sin2 α + 3cos2 α) + sin2 α = (sin2 α + cos2 α) + sin2 α Bài Tính giá trị biểu thức sau: a) 3sin150° + tan135° + cot45° Vì cos α + sin α = sin α = 2 b) cot135° – tan60° cos230° Hướng dẫn giải 2 Thay vào A ta có: A = + = ; Vậy A = a) 3sin 150° + tan 135° + cot 45° = 3.sin(180° – 30°) + tan(180° – 45°) + cot 45° = 3.sin30° – tan45° + cot45° 3sin cos Bài Cho A tan α = sin cos Chứng minh A Hướng dẫn giải Ta có: tan sin sin cos cos 3sin cos Suy A sin cos =3 + (-1) + = 2 b) cot 135° – tan 60° cos2 30° = cot(180° – 45°) – tan60°.cos230° = – cot45° – tan60°.cos230° = (– 1) – 3 43 3 = B2 Bài tập trắc nghiệm Bài Biết tanα = 2, giá trị biểu thức M 3sin 2cos bằng: 5cos 7sin A ; B A cot ; 3 B sin ; C tan D sin ; 19 Hướng dẫn giải C ; 19 Đáp án là: B Ta có: sin2α + cos2α = D 16 4 ⇔ sin2α = – cos2α = – = – = 25 25 5 Hướng dẫn giải Đáp án là: B Cách 1: Vì cos α ≠ nên chia tử mẫu M cho cosα ta có: sin 2 3.tan 3.2 cos M sin 7.tan 7.2 19 57 cos Cách 2: Ta có: tan sin cos sin 2cos , thay sinα = cos 3.2cos 2cos 4cos 2cosα vào M ta M 5cos 7.2cos 19cos 19 Bài Cho cos góc α thỏa mãn 90° < α < 180° Khi sin ⇔ sin Vì 90° < α < 180° nên sinα > Do sin ⇒ tanα = cos sin , cotα = cos sin Vậy đáp án B Bài Nếu 3cosx + sinx = sinx < giá trị sinx là: A ; 13 B ; 13 C ; 13 D 12 13 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Ta có: 3cosx + sinx = (3cosx + sinx)2 = 9cos2x + 12cosx.sinx + 4sin2x = 4(sin2x + cos2x) 5cos2x + 12cosx.sinx = cosx(5cosx + 12sinx) = cosx 5cosx 12sin x Với cosx = sinx = loại sinx < Với 5cosx + 12sinx = 0, ta có hệ phương trình: sin x 5cosx 12sin x 13 3cos x 2sin x cosx 12 13 Vậy sin x 13 ... sin120 10 sin 30 10 b sin 30 10 sin 30 R 10 10 2sin 30 Vậy a = 10 ; b = 10; R = 10; C 30 0 Giải tam giác ứng dụng thực tế a b c sin A sin B sin C a 12 c sin100 sin... tiếp tam giác Ví dụ: Tính giá trị lượng giác góc 135 ° A Hướng dẫn giải b c Ta có 135 ° + 45° = 180°, góc 135 ° góc 45° hai góc bù nhau: B Suy ra: sin 135 ° = sin45° = C Định lí Côsin Trong tam giác. .. xOM Nửa chu vi tam giác là: p 12 13 15 Diện tích tam giác là: S p p 5 p 12 p 13? ?? 15 15 15 12 15 13? ?? 30 - Định nghĩa tỉ số lượng giác góc từ 00 đến 1800