Bài 2 Giải bất phương trình bậc hai một ẩn A Lý thuyết – Bất phương trình bậc hai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c[.]
Bài Giải bất phương trình bậc hai ẩn –18 < Đây bất đẳng thức A Lý thuyết Do x = nghiệm bất phương trình – Bất phương trình bậc hai ẩn x bất phương trình có dạng: b) – 2x2 + x3 > ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c > 0, Bất phương trình khơng bất phương trình bậc hai ẩn có chứa x3 với a ≠ c) x2 – 4x + ≥ Nghiệm bất phương trình bậc hai giá trị biến x mà thay vào bất Bất phương trình bất phương trình bậc hai ẩn dạng ax2 + bx + c ≥ phương trình ta bất đẳng thức với a = 1, b = –4, c = Ví dụ: Bất phương trình sau bất phương trình bậc hai ẩn? Nếu • Với x = –2 thay vào bất phương trình ta có: bất phương trình bậc hai ẩn, x = –2 x = có phải nghiệm bất phương trình hay khơng? a) 2x2 – 7x – 15 < 0; b) – 2x2 + x3 > 0; c) x2 – 4x + ≥ Hướng dẫn giải a) 2x2 – 7x – 15 < Bất phương trình bất phương trình bậc hai ẩn dạng ax2 + bx + c < với a = 2, b = –7, c = –15 • Với x = –2 thay vào bất phương trình ta có: 2.(–2)2 – 7.(–2) – 15 < < Đây bất đẳng thức sai Do x = –2 khơng nghiệm bất phương trình • Với x = thay vào bất phương trình ta có: 2.3 – 7.3 – 15 < (–2)2 – 4.(–2) + ≥ 15 ≥ Đây bất đẳng thức Do x = –2 nghiệm bất phương trình • Với x = thay vào bất phương trình ta có: 32 – 4.3 + ≥ ≥ Đây bất đẳng thức Do x = nghiệm bất phương trình – Giải bất phương trình bậc hai tìm tập hợp nghiệm bất phương trình Ta giải bất phương trình bậc hai cách xét dấu tam thức bậc hai tương ứng Ví dụ: Giải bất phương trình sau: a) x2 – 3x + < 0; b) –2x2 + 3x – ≥ Hướng dẫn giải a) x2 – 3x + < Xét tam thức bậc hai f(x) = x2 – 3x + Ta có ∆ = (–3)2 – 4.1.2 = > Do f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = x2 = Vì a = > nên ta có bảng xét dấu f(x) sau: x –∞ f(x) + +∞ – c) –x2 + 5x – < d) –x2 + x – ≥ + Dựa vào bảng xét dấu f(x) < x ∈ (1; 2) Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm (1; 2) b) –2x2 + 3x – ≥ Xét tam thức bậc hai f(x) = –2x2 + 3x – Ta có ∆ = 32 – 4.(–2).(–7) = –47 < Hướng dẫn giải Mặt khác a = –2 < a) x2 – 16x + 64 > Do f(x) < với x Khi khơng có giá trị x thỏa mãn f(x) ≥ Vậy bất phương trình cho vô nghiệm B Bài tập tự luyện Bài Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai tương ứng, xác định tập nghiệm bất phương trình bậc hai sau: a) x2 – 16x + 64 > b) x2 – x – 12 ≥ Xét tam thức bậc hai f(x) = x2 – 16x + 64 Dựa vào đồ thị ta thấy f(x) nằm trục hồnh cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x = Do f(x) ≥ với x Xét tam thức bậc hai f(x) = –x2 + 5x – Khi f(x) > x ≠ Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ x1 = Vậy tập nghiệm bất phương trình ℝ \ {8} x2 = b) x2 – x – 12 ≥ Đồ thị f(x) nằm trục hoành x nằm khoảng (1; 4) Do f(x) < x ∈ (1; 4) Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm (1; 4) d) –x2 + x – ≥ Xét tam thức bậc hai f(x) = x2 – x – 12 Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ x1 = –3 x2 = Đồ thị f(x) nằm trục hoành x nằm khoảng (–∞; –3) (4; +∞) Do f(x) ≥ x ≤ –3 x ≥ Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm (–∞; –3) ∪ (4; +∞) c) –x2 + 5x – < Xét tam thức bậc hai f(x) = –x2 + x – Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị nằm hoàn toàn trục hồnh Do f(x) < với x Khi bất phương trình f(x) ≥ x ∈ ∅ Vậy bất phương trình có tập nghiệm ∅ Bài Giải bất phương trình bậc hai sau: a) 6x2 + x – ≤ 0; b) –x2 – x – > 0; c) –2x2 < 2x – 5; d) –x2 ≥ 2x + 1; e) x2 + 2x – ≤ 2x2 – 2x c) –2x2 < 2x – Hướng dẫn giải –2x2 – 2x + < a) 6x2 + x – ≤ Xét tam thức bậc hai f(x) = –2x2 – 2x + có a = –2 < Xét tam thức bậc hai f(x) = 6x2 + x – có a = > Ta có: ∆' = (–1)2 – (–2).5 = 11 > Ta có: ∆ = 12 – 4.6.(–1) = 25 > Do f(x) có hai nghiệm phân biệt là: Do f(x) có hai nghiệm phân biệt là: x1 = x1 = −1 + 25 −1 − 25 −1 = x = = 2.6 2.6 Ta có bảng xét dấu f(x) sau: Ta có bảng xét dấu f(x) sau: x f(x) x −1 –∞ + – Dựa vào bảng xét dấu ta có: f(x) ≤ + 11 −1 − 11 − 11 −1 + 11 = = x = −2 −2 2 −1 x −1 Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm ; 3 b) –x2 – x – > Xét tam thức bậc hai f(x) = –x2 – x – có a = –1 < Ta có: ∆ = (–1)2 – 4.(–1).(–1) = –3 < Do f(x) vơ nghiệm nên f(x) < với x Khi khơng có giá trị x thỏa mãn f(x) > +∞ + −1 − 11 –∞ – f(x) −1 + 11 + +∞ – Dựa vào bảng xét dấu ta có: f(x) < x −1 + 11 −1 − 11 x 2 −1 − 11 −1 + 11 ; + Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm −; 2 d) –x2 ≥ 2x + –x2 – 2x – ≥ Xét tam thức bậc hai f(x) = –x2 – 2x – có a = –1 < Ta có: ' = (–1)2 – (–1).(–1) = Do f(x) có nghiệm kép x = –1 Ta có bảng xét dấu f(x) sau: Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm ∅ x –∞ –1 +∞ – f(x) – Do f(x) có hai nghiệm phân biệt là: Dựa vào bảng xét dấu ta có: t1 = f(x) ≥ x = –1 Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm {–1} + 0,3 − 0,3 0,5 1,5 t = 1 Ta có bảng xét dấu f(x) sau: t e) x2 + 2x – ≤ 2x2 – 2x –∞ f(t) x2 + 2x – – 2x2 + 2x ≤ 0,5 + +∞ 1,5 – + Dựa vào bảng xét dấu ta có: –x + 4x – ≤ f(t) < t ∈ (0,5; 1,5) Xét tam thức bậc hai f(x) = –x + 4x – có a = –1 < Ta có: ∆' = – (–1).(–7) = –3 < Do f(x) < với x Khi f(x) ≤ với x Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm ℝ Bài Một bóng ném thẳng từ độ cao 1,5 mét với vận tốc ban đầu 10 m/s Độ cao bóng so với mặt đất (m) sau t (giây) cho hàm số h(t) = –5t2 + 10t + 1,5 Quả bóng đạt độ cao m khơng? Nếu có bao lâu? Làm trịn kết đến hàng phần mười Hướng dẫn giải Để bóng đạt độ cao m h(t) = –5t2 + 10t + 1,5 > –5t2 + 10t – 3,5 > t2 – 2t + 0,7 < Xét tam thức bậc hai f(x) = t2 – 2t + 0,7 có a = > Ta có ' = (–1)2 – 1.0,7 = 0,3 > Vậy bóng đạt độ cao m khoảng từ 0,5 giây 1,5 giây Bài Phương trình quy phương trình bậc hai A Lý thuyết Phương trình dạng Để giải phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm x = Phương trình dạng ax + bx + c = dx + ex + f Để giải phương trình ax + bx + c = dx + ex + f , ta làm sau: ax + bx + c = dx + e ax + bx + c = dx + e, ta làm sau: Bước 1: Bình phương hai vế phương trình để phương trình: Bước 1: Bình phương hai vế phương trình để phương trình: Bước 2: Giải phương trình nhận Bước ax2 + bx + c = dx2 + ex + f Bước 2: Giải phương trình nhận Bước Bước 3: Thử lại xem giá trị x tìm Bước có thoả mãn phương trình Bước 3: Thử lại xem giá trị x tìm Bước có thoả mãn phương trình cho hay khơng kết luận nghiệm Ví dụ: Giải phương trình sau: cho hay khơng kết luận nghiệm Ví dụ: Giải phương trình sau: x + 3x − = x + + 2x − x = x − (2) Bình phương hai vế phương trình (2) ta có: (1) Bình phương hai vế phương trình (1) ta có: + 2x – x2 = (x – 2)2 x2 + 3x – = x + + 2x – x2 = x2 – 4x + x2 + 2x – = 2x2 – 6x = x = x = –3 2x(x – 3) = • Với x = thay vào phương trình (1) ta được: x = x = 12 + 3.1 − = + = (đúng) • Với x = thay vào phương trình (2) ta được: Do x = nghiệm phương trình (1) • Với x = –3 ta thấy x + = –3 +1 = –2 < nên không tồn Do x = –3 khơng nghiệm phương trình (1) + 2x − x = x − Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải x + 3x − = x + ax2 + bx + c = dx +e + 2.0 − 02 = − = –2 (vô lí) x + Do x = khơng nghiệm phương trình (2) • Với x = thay vào phương trình (2) ta được: + 2.3 − 32 = − = (đúng) −4 −4 −4 −4 − 5. + = −2 − 3. + 12 Do x = nghiệm phương trình (1) Vậy phương trình cho có nghiệm x = 7 (đúng) = 3 B Bài tập tự luyện Do x = Bài Giải phương trình sau: a) x − 5x + = −2x − 3x + 12; b) x − 4x + − −4 nghiệm phương trình (1) Vậy phương trình cho có nghiệm x = ( − x )( 2x − 1) = 0; b) c) x − 2x + = − x x − 4x + − x − 4x + = −4 ( − x )( 2x − 1) = ( − x )( 2x − 1) (2) Hướng dẫn giải Bình phương hai vế phương trình (2) ta có: a) x − 5x + = −2x − 3x + 12 2 (1) Bình phương hai vế phương trình (1) ta có: x – 5x + = –2x – 3x + 12 x2 – 4x + = (6 – x)(2x – 1) x2 – 4x + = 12x – – 2x2 + x 3x – 2x – = 3x2 – 17x + 10 = −4 x = x = x = x = • Với x = ta có x2 – 5x + = 22 – 5.2 + = –10 • Với x = thay vào phương trình (2) ta có: Khi khơng tồn x − 5x + Do x = khơng nghiệm phương trình (1) • Với x = −4 thay vào phương trình (1) ta được: 52 − 4.5 + = ( − )( 2.5 − 1) = (đúng) Do x = nghiệm phương trình cho • Với x = thay vào phương trình (2) ta có:4/33 2 2 − + = − − 1 3 4 = (đúng) 3 Hướng dẫn giải a) x − 3x + = x − (1) Bình phương hai vế phương trình (1) ta có: x2 – 3x + = (x – 1)2 Do x = nghiệm phương trình cho 2 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = 5; 3 c) x − 2x + = − x (3) Bình phương hai vế phương trình (3) ta có: x – 2x + = – x x2 – 3x + = x2 – 2x + –x = –1 x=1 Thay x = vào phương trình (1) ta có: 12 − 3.1 + = − x2 – x + = = (đúng) Do x = nghiệm phương trình (1) 1 x − + = 2 1 (vơ lí x − + với x) 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = b) 4x + 2x + 10 = 3x + Bình phương hai vế phương trình (2) ta có: Vậy phương trình cho vơ nghiệm 4x2 + 2x + 10 = (3x + 1)2 Bài Giải phương trình sau: 4x2 + 2x + 10 = 9x2 + 6x + a) x − 3x + = x − 1; b) 4x + 2x + 10 = 3x + 1; c) ( x − 1)( 2x − 1) − 2x − = 0; d) x − 3x − 9x + = (2) –5x2 – 4x + = x = x = − • Với x = thay vào phương trình (2) ta có: ( − 1)( 2.0 − 1) = 2.0 + 4.12 + 2.1 + 10 = 3.1 + = (đúng) = (đúng) Do x = nghiệm phương trình (2) Do x = nghiệm phương trình (3) • Với x = − thay vào phương trình (2) ta có: 9 9 9 4. − + 2. − + 10 = 3. − + 5 5 5 Vậy phương trình cho có nghiệm x = ( x − 1)( 2x − 1) − 2x − = ( x − 1)( 2x − 1) = 2x + −7 thay vào phương trình (3) ta có: −7 −7 −7 − 1 − 1 = + = –6 (vơ lí) 22 22 (vơ lí) =− 5 Do x = − khơng nghiệm phương trình (2) c) • Với x = Do x = −7 khơng nghiệm phương trình (3) Vậy phương trình cho có nghiệm x = d) x − 3x − 9x + = x − = 3x − 9x + (3) Bình phương hai vế phương trình (3) ta có: (x – 1)(2x – 1) = (2x + 1)2 2x2 – x – 2x + = 4x2 + 4x + –2x2 – 7x = x = −7 x = • Với x = thay vào phương trình (3) ta có: 3x − 9x + = x − (4) Bình phương hai vế phương trình (4) ta có: 3x2 – 9x + = (x – 2)2 3x2 – 9x + = x2 – 4x + 2x2 – 5x – = x = −1 x = • Với x = thay vào phương trình (4) ta có: 3.32 − 9.3 + = − BC2 = AB2 + AC2 = (đúng) AB2 = BC2 – AC2 Do x = nghiệm phương trình (4) AB2 = (x + 9)2 – x2 −1 thay vào phương trình (4) ta có: • Với x = −1 −1 −1 3. − 9. + = −2 2 2 AB2 = x2 + 18x + 81 – x2 = 18x + 81 AB = 18x + 81 (cm) −5 = (vơ lí) 2 Do x = −1 khơng nghiệm phương trình (4) Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài Tam giác ABC vng A, có cạnh AC ngắn cạnh BC cm Tính Ta có chu vi tam giác ABC là: AB + BC + CA = 18x + 81 + x + + x = 18x + 81 + 2x + (cm) Mà theo chu vi tam giác ABC 70 cm Do ta có: 18x + 81 + 2x + = 70 độ dài ba cạnh tam giác ABC biết chu vi tam giác 70 cm 18x + 81 = 61 – 2x (*) Hướng dẫn giải Bình phương hai vế phương trình ta có: 18x + 81 = (61 – 2x)2 18x + 81 = 3721 – 244x + 4x2 4x2 – 262x + 3640 = x = 20 x = 45,5 Gọi AC = x (cm) (x > 0) Cạnh AC ngắn cạnh BC cm nên BC = x + (cm) Tam giác ABC vuông A, theo định lí Pythagore ta có: • Với x = 20 thay vào phương trình (*) ta có: 18.20 + 81 = 61 – 2.20 21 = 21 (đúng) ... biệt là: x1 = Ví dụ: Bất phương trình sau bất phương trình bậc hai ẩn? Nếu bất −4 + 36 −4 − 36 =5 = −1 x = −2 −2 phương trình bậc hai ẩn, x = –2 x = có phải nghiệm bất phương trình hay khơng? Ta... f(x) âm với x ∈ ℝ • Với x = thay vào bất phương trình ta có: Giải bất phương trình bậc hai ẩn 2.32 – 7. 3 – 15 < – Bất phương trình bậc hai ẩn x bất phương trình có dạng: ax + bx + c ≤ 0, ax + bx... Phương trình quy phương trình bậc hai A Lý thuyết Phương trình dạng Để giải phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm x = Phương trình dạng ax + bx + c = dx + ex + f Để giải phương trình ax