lý thuyết toán lớp 10 chương 1 mệnh đề và tập hợp kết nối tri thức

Bài 2 Tập hợp và các phép toán trên tập hợp A Lý thuyết 1 Các khái niệm cơ bản về tập hợp 1 1 Tập hợp • Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách sau Cách 1 Liệt kê các phần tử của tập hợp; Các[.]

Bài Tập hợp phép toán tập hợp A Lý thuyết • Tập hợp khơng chứa phần tử gọi tập rỗng, kí hiệu  Ví dụ: Các khái niệm tập hợp + Tập hợp nghiệm phương trình x2 + = tập rỗng; 1.1 Tập hợp + Tập hợp người sống Mặt Trời tập rỗng • Có thể mơ tả tập hợp hai cách sau: 1.2 Tập hợp Cách Liệt kê phần tử tập hợp; • Nếu phần tử tập hợp T phần tử tập hợp S ta nói T tập hợp (tập con) S viết T ⊂ S (đọc T chứa S T tập Cách Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp S)  a ∈ S: phần tử a thuộc tập hợp S - Thay cho T ⊂ S, ta viết S ⊃ T (đọc S chứa T)  a ∉ S: phần tử a khơng thuộc tập hợp S - Kí hiệu T ⊄ S để T không tập S Chú ý: Số phần tử tập hợp S kí hiệu n(S) Nhận xét: Ví dụ: - Từ định nghĩa trên, T tập S mệnh đề sau đúng: - Cho tập hợp A tập hợp số tự nhiên chia hết cho 2, lớn nhỏ 15 + Ta mô tả tập hợp A hai cách sau: - Quy ước tập rỗng tập tập hợp Cách 1: Liệt kê phần tử tập hợp: A = {6; 8; 10; 12; 14}; Cách 2: Chỉ tính chất đặc trưng phẩn tử: A = { n  + Tập hợp A có phần tử, ta viết: n(A) = + 10 thuộc tập hợp A, ta viết 10 ∈ A + 15 không thuộc tập hợp A, ta viết 15 ∉ A ∀ x, x ∈ T ⇒ x ∈ S | n ⁝ 2, < n < 15} • Người ta thường minh họa tập hợp hình phẳng bao quanh đường kín, gọi biểu đồ Ven Minh họa T tập S sau: Ta có bội nhỏ 20 là: 0; 6; 12; 18 T = {0; 6; 12; 18} Vậy S = T Các tập hợp số 2.1 Mối quan hệ tập hợp số Ví dụ: Cho tập hợp: T = {2; 3; 5}, S = {2; 3; 5; 7; 9}, M = {2; 3; 4; 5} - Tập hợp số tự nhiên ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; } - Tập hợp T tập tập hợp S (do phần tử T thuộc S) - Tập hợp số nguyên ℤ gồm số tự nhiên số nguyên âm: - Tập hợp M không tập hợp tập hợp S (do có phần tử thuộc M ℤ = { ; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3} không thuộc S) 1.3 Hai tập hợp - Hai tập hợp S T gọi hai tập hợp phần tử T - Tập hợp số hữu tỉ ℚ gồm số viết dạng phân số a , với a, b ∈ ℤ, b b ≠ phần tử tập hợp S ngược lại Kí hiệu S = T Số hữu tỉ biểu diễn dạng số thập phân hữu hạn vô hạn tuần - Nếu S ⊂ T T ⊂ S S = T hồn Ví dụ: Cho tập hợp: S = {n  | n bội chung 3; n < 20} T = {n  - Tập hợp số thực ℝ gồm số hữu tỉ số vô tỉ Số vô tỉ số thập | n bội 6; n < 20} Ta có: = 2, = ⇒ BCNN(2; 3) = 2.3 = ⇒ BC(2; 3) = B(6) ={0; 6; 12; 18} ⇒ S = {0; 6; 12; 18} phân vơ hạn khơng tuần hồn - Mối quan hệ tập hợp số: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ  ;b   x  | x  b  ;   Ví dụ: Cho tập hợp B = {– 1; 2; 4; 10} - Tập hợp B chứa số – số tự nhiên nên B không tập ℕ + Đoạn - Tập hợp B gồm số nguyên: – 1; 2; 4; 10 nên B tập ℤ - Các số nguyên số hữu tỉ số thực, nên B tập a;b  x  | a  x  b ℚ ℝ 2.2 Các tập thường dùng ℝ - Một số tập thường dùng tập số thực ℝ: + Nửa khoảng + Khoảng: a;b   x  | a  x  b  a;b  x  | a  x  b  a;b   x   a;    a  | a  x  b | x  a a;    x  | x  a  ;b  x  | x  b Ví dụ: Cho tập hợp: A = {5; 7; 8} B = {1; 2; 4; 5; 8} Giao tập hợp tập hợp C = A ∩ B = {5; 8}  Kí hiệu + ∞: Đọc dương vô cực (hoặc dương vô cùng) 3.2 Hợp hai tập hợp  Kí hiệu – ∞: Đọc âm vô cực (hoặc âm vô cùng) - Tập hợp gồm phần tử thuộc tập hợp S thuộc tập hợp T gọi hợp hai  a, b gọi đầu mút đoạn, khoảng hay nửa khoảng tập hợp S T, kí hiệu S ∪ T S ∪ T = {x | x ∈ S x ∈ T} Ví dụ: + Ta có: < x ≤ 10 ta viết x ∈ (5; 10] + Ta có: D = {x  | x < 3} = (– ∞; 3) Các phép toán tập hợp 3.1 Giao hai tập hợp Ví dụ: Cho tập hợp: S = {1; 2; 3; 5} T = {2; 4; 6; 7} Tập hợp gồm phần tử thuộc hai tập hợp S T gọi giao hai tập hợp S Tập hợp hợp hai tập hợp K = S ∪ T = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} T, kí hiệu S ∩ T 3.3 Hiệu hai tập hợp S ∩ T = {x | x ∈ S x ∈ T} - Hiệu hai tập hợp S T tập hợp gồm phần tử thuộc S khơng thuộc T, kí hiệu S \ T S \ T = {x | x ∈ S x ∉ T} B Bài tập tự luyện B1 Bài tập tự luận Bài Xác định tập hợp sau biểu diễn chúng trục số a) [– 3; 1) ∪ (0; 4]; b) (− 2; 15) ∪ (3; + ∞); - Nếu T ⊂ S S \ T gọi phần bù T S, kí hiệu CST c) (− 12; 3] ∩ [− 1; 4]; d) ℝ \ (2; + ∞) Hướng dẫn giải a) [– 3; 1) ∪ (0; 4] = [– 3; 4] Chú ý: CsS   b) (− 2; 15) ∪ (3; + ∞) = (− 2; +∞) Ví dụ: Cho tập hợp: S = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 8}; T = {4; 5; 6; 7; 8; 9}; X = {x | x số nguyên dương nhỏ 9} Tìm tập hợp sau: S \ T; T \ S; X \ S Ta có: S \ T = {1; 2; 3}; c) (− 12; 3] ∩ [− 1; 4] = [− 1; 3] T \ S = {6; 9} Ta lại có: X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} d) ℝ \ (2; + ∞) = (− ∞; 2] Vì phần tử tập S thuộc tập X nên S ⊂ X Phần bù S X X \ S = CXS = {6} Bài Hãy viết tập hợp sau cho biết tập hợp có phần tử a) A tập hợp số tự nhiên chia hết cho nhỏ 20 b) A ∩ B = {x | x ∈ A x ∈ B} = {0; 6}; b) B tập hợp tỉnh thuộc vùng Bắc Trung Bộ A ∪ B = {x | x ∈ A x ∈ B} = {0; 2; 3; 4; 6; 8; 9}; Hướng dẫn giải A \ B = {x | x ∈ A x ∉ B} = {3; 9}; a) Các số tự nhiên chia hết cho nhỏ 20 là: 0, 4, 8, 12, 16 B \ A = {x | x ∈ B x ∉ A} = {2; 4; 8} Ta viết tập hợp A cách liệt kê phần tử sau: A = {0; 4; 8; 12; 16} B2 Bài tập trắc nghiệm Tập hợp A có phần tử, ta viết n(A) = Bài Cho A = {0; 1; 2; 3; 4}; B = {2; 3; 4; 5; 6} Tìm tập  A \ B   B \ A  Ngoài ta viết tập hợp A cách tính chất đặc trưng là: A {5; 6}; A = {x  | x ⁝ 4; x < 20} B {1; 2}; b) Các tỉnh thuộc vùng Bắc Trung Bộ là: Thanh Hóa, Nghệ An, Hà Tĩnh, Quảng C {2; 3; 4}; Bình, Quảng Trị D {0; 1; 5; 6} Do đó: B = {Thanh Hóa; Nghệ An; Hà Tĩnh; Quảng Bình; Quảng Trị} Hướng dẫn giải Tập hợp B có phần tử, ta viết n(B) = Đáp án là: D Bài Cho tập hợp: A  x  | x 3, x  10 B  x  | x 2, x  10 a) Viết tập hợp A B cách liệt kê phần tử tập hợp b) Xác định tập hợp A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A Hướng dẫn giải a) Vì A  x  | x 3, x  10 nên A tập hợp số tự nhiên chia hết cho nhỏ 10 Ta có tập hợp A\B tập phần tử thuộc tập A không thuộc tập B nên  A \ B  {0;1} Tập hợp B\A tập phần tử thuộc tập B không thuộc tập A nên  B \ A   {5;6}   A \ B   B \ A   0;1;5;6 Bài Một lớp học có 16 học sinh học giỏi mơn Tốn; 12 học sinh học giỏi môn Văn; học sinh vừa học giỏi mơn Tốn Văn; 19 học sinh khơng học giỏi hai Do đó: A = {0; 3; 6; 9} mơn Tốn Văn Hỏi lớp học có học sinh? Vì B  x  | x 2, x  10 nên B tập hợp số tự nhiên chia hết cho nhỏ A 31; 10 B 54; C 39; Do đó: B = {0; 2; 4; 6; 8} D 47 Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải Đáp án là: C Đáp án là: A Gọi A tập hợp gồm học sinh lớp; B tập số học sinh giỏi Toán; C a  a  AB   a   1 a  4 tập số học sinh giỏi Văn; D tập số học sinh không giỏi mơn Tốn Văn Khi n(B) = 16, n(C) = 12, n(B∩C) = 8, n(D) = 19 Số học sinh lớp giỏi hai mơn Toán Văn là: n(B∪C) = n(B) + n(C) - n(B∩C) = 16 + 12 – = 20 Ta có A = (B  C)  D Số học sinh lớp là: n(A) = n(B∪C) + n(D) = 20 + 19 = 39 (học sinh) Được thể biểu đồ Ven sau: Bài Cho hai tập A = [–1 ; 3); B = [a; a + 3] Với giá trị a A  B   a  A  ; a  4 a  B  ; a  4 a  C  ; a  4 a  D  a  4 Bài Mệnh đề Ví dụ 2: A Lý thuyết + “Hà Nội thủ đô Việt Nam” mệnh đề khơng phải mệnh đề tốn Mệnh đề, mệnh đề chứa biến học khơng phải kiện toán học 1.1 Mệnh đề + “Số π số hữu tỉ” mệnh đề tốn học - Những khẳng định có tính sai gọi mệnh đề logic (gọi tắt mệnh đề) 1.2 Mệnh đề chứa biến Những câu không xác định tính sai khơng phải mệnh đề - Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập D - Mỗi mệnh đề phải hoặc sai Một mệnh đề khơng thể vừa vừa sai mà với giá trị biến thuộc vào D ta mệnh đề Ví dụ 1: - Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n P(n); mệnh đề chứa biến x, y P(x, y), Câu “Hoa hồng đẹp loài hoa” câu khẳng định khơng xác … định tính sai nên câu khơng mệnh đề Ví dụ: Câu “Bây giờ?” câu hỏi khơng xác định tính sai nên + “Với giá trị thực biến x, |x| ≥ x”: khơng phải mệnh đề chứa biến vì: câu không mệnh đề Câu “8 + > 9” câu khẳng định xác định tính sai nên câu mệnh đề Câu “Số tỉ số lớn” câu khẳng định nhiên câu mang tính quan điểm cá nhân khơng xác định đước tính sai nên không mệnh đề Chú ý: - Người ta thường sử dụng chữ P, Q, R, … để biểu thị mệnh đề - Những mệnh đề liên quan đến toán học gọi mệnh đề toán học - Những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu cầu khiến khơng phải mệnh đề Ta có |x| ≥ x với giá trị thực biến x nên khẳng định Do phát biểu mệnh đề mệnh đề chứa biến + “5n chia hết cho 2” mệnh đề chứa biến Khi n = mệnh đề mệnh đề đúng, n = mệnh đề mệnh đề sai Mệnh đề phủ định - Để phủ định mệnh đề P, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” “không phải” vào trước vị ngữ mệnh đề P Ta kí hiệu mệnh đề phủ định mệnh đề P P - Mệnh đề P mệnh đề P hai phát biểu trái ngược Nếu P P sai, - Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q cịn P sai P Nhận xét: Mệnh đề đảo mệnh đề không thiết Ví dụ: “5 khơng chia hết cho 3” mệnh đề phủ định mệnh đề “5 chia hết cho Ví dụ: Cho mệnh đề: P: “n = 0”; Q: “n số nguyên” 3”; Mệnh đề kéo theo P ⇒ Q phát biểu là: “Nếu n = n số nguyên” “3 hợp số” mệnh đề phủ định mệnh đề “3 không hợp số” Mệnh đề đảo Q ⇒ P phát biểu “Nếu n số nguyên n = 0” Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo - Mệnh đề P ⇒ Q mệnh đề cịn mệnh đề Q ⇒ P khơng 3.1 Mệnh đề kéo theo Mệnh đề tương đương - Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo kí hiệu P ⇒ Q - Mệnh đề “P Q” gọi mệnh đề tương đương kí hiệu P ⇔ - Các định lí tốn học mệnh đề thường có dạng P ⇒ Q Khi ta Q nói: Nhận xét: P giả thiết định lí, Q kết luận định lí - Nếu hai mệnh đề Q ⇒ P P ⇒ Q hai mệnh đề tương đương P ⇔ “P điều kiện đủ để có Q”, “Q điều kiện cần để có P” Chú ý: Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai Do ta cần xét tính sai mệnh đề P ⇒ Q P Khi đó, Q P ⇒ Q đúng, Q sai Q Khi ta nói “P tương đương với Q” “P điều kiện cần đủ để có Q” “P Q” Ví dụ: Cho mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD hình bình hành”; Q: “Tứ giác ABCD P ⇒ Q sai có hai cặp cạnh đối song song” Ví dụ: Cho mệnh đề: P: “9 chia hết cho 9”; Q: “9 chia hết cho 3” “Nếu tứ giác ABCD hình bình hành tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song “Nếu chia hết cho chia hết cho 3” mệnh đề kéo theo P Q song” mệnh đề P ⇒ Q P mệnh đề Q mệnh đề nên mệnh đề kéo theo P ⇒ Q mệnh đề “Nếu tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song tứ giác ABCD hình bình hành” mệnh đề Q ⇒ P 3.2 Mệnh đề đảo Hai mệnh đề nên P Q hai mệnh đề tương đương Khi mệnh đề P ⇔ Q phát biểu sau: “Tứ giác ABCD hình bình hành tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song” Mệnh đề có chứa kí hiệu ∀ ∃ - Kí hiệu ∀ đọc “với mọi” - Kí hiệu ∃ đọc “có một” “tồn tại” - Cho mệnh đề “ P  x  , x  D ” Hai mệnh đề P Q có tương đương khơng? Nếu có, phát biểu nhiều cách? Hướng dẫn giải + P ⇒ Q: “Nếu tam giác ABC có cạnh tam giác ABC tam giác đều” Đây mệnh đề + Q ⇒ P: “Nếu tam giác ABC tam giác tam giác ABC có cạnh nhau” Đây mệnh đề Do đó: P Q hai mệnh đề tương đương Ta phát biểu mệnh đề P ⇔ Q sau: + Phủ định mệnh đề “ x  D,P  x  ” mệnh đề “ x  D,P  x  ” + “Tam giác ABC có cạnh tương đương với tam giác ABC tam giác + Phủ định mệnh đề “ x  D,P  x  ” mệnh đề “ x  D,P  x  ” + “Tam giác ABC có cạnh tam giác ABC tam giác Chú ý: + “Tam giác ABC có cạnh điều kiện cần đủ để có tam giác ABC + Phát biểu “Với số tự nhiên n” kí hiệu n  + Phát biểu “Tồn số tự nhiên n” kí hiệu n  Ví dụ: Phủ định mệnh đề “ x  , x   ” mệnh đề: “ x  , x   ” đều” đều” tam giác đều” Bài Trong phát biểu đây, phát biểu mệnh đề? a) “Số 150 chia hết cho 3”; b) “x + = 0”; c) “Sách giáo khoa Toán 10 Kết nối tri thức hay”; d) “Tết nguyên đán tết cổ truyền người Việt Nam” B Bài tập tự luyện Hướng dẫn giải B1 Bài tập tự luận a) “Số 150 chia hết cho 3” phát biểu 150 : = 50 nên mệnh đề Bài Cho tam giác ABC Xét mệnh đề: b) “x + = 0” phát biểu chưa thể khẳng định tính sai, phụ thuộc P: “Tam giác ABC có cạnh nhau” vào biến x nên không mệnh đề Q: “Tam giác ABC tam giác đều” c) “Sách giáo khoa Toán 10 Kết nối tri thức hay” phát biểu không khẳng Đáp án là: D định tính sai (tùy thuộc vào ý kiến cá nhân người) nên Phủ định   không mệnh đề Phủ định < ≥ d) “Tết nguyên đán tết cổ truyền người Việt Nam” phát biểu Do phủ định mệnh đề A: “ x nên mệnh đề A: “ x Bài Phát biểu mệnh đề sau lập mệnh đề phủ định dạng kí hiệu: , x2 x , x2 x ” ” Bài Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề có mệnh đề đảo đúng? A Nếu a b chia hết cho c a + b chia hết cho c; a) P(x): “ x  , x  ” B Nếu hai tam giác diện tích nhau; b) Q(x): “ x  , x  ” C Nếu a chia hết cho a chia hết cho 9; Hướng dẫn giải D Nếu số tận số chia hết cho a) Hướng dẫn giải + Phát biểu mệnh đề P(x): “Mọi số ngun có bình phương lớn Đáp án là: C 0” - Mệnh đề đảo A là: Nếu a + b chia hết cho c a b chia hết cho c + Phủ định mệnh đề P(x) P  x  : “ x  , x  ” b) + Phát biểu mệnh đề Q(x): “Có số nguyên nhỏ 0” + Phủ định mệnh đề Q(x) Q  x  : “ x  , x  ” Chọn a = 5, b = 2, c = a + b = + = chia hết cho c = Nhưng không chia hết cho không chia hết cho Do mệnh đề đảo A sai - Mệnh đề đảo B là: Nếu hai tam giác có diện tích hai tam giác B2 Bài tập trắc nghiệm Bài Cho mệnh đề A: “ x , x2 x ” Mệnh đề phủ định A là: A A :"x  ,x  x   0" ; B A :"x  ,x  x   0" ; C A :" x  , x  x   0" ; D A :"  x  , x  x   0" Hướng dẫn giải Hai tam giác ABC MNP có diện tích 12 cm2 Tuy nhiên hai tam giác khơng Do mệnh đề đảo B sai - Mệnh đề đảo C là: “Nếu a chia hết cho a chia hết cho 3” mệnh đề - Mệnh đề đảo D là: “Nếu số chia hết cho số có chữ số tận Ôn tập chương A Lý thuyết 0” Ví dụ số 25 chia hết cho số có tận khơng phải Do Mệnh đề, mệnh đề chứa biến mệnh đề đảo D sai Bài Với giá trị thực x mệnh đề chứa biến P(x): “2x2 – < 0” mệnh đề - Những khẳng định có tính sai gọi mệnh đề logic (gọi tắt mệnh đề) A 0; Những câu khơng xác định tính sai khơng phải mệnh đề B 5; - Mỗi mệnh đề phải hoặc sai Một mệnh đề vừa vừa sai C 1; D 1.1 Mệnh đề Ví dụ 1: Hướng dẫn giải Câu “Hoa hồng đẹp loài hoa” câu khẳng định không xác Đáp án là: A định tính sai nên câu khơng mệnh đề Ta có: P(0) = 2.02 – < hay -1 < (đúng) Do với x = ta mệnh đề P(5) = 2.52 – < hay 49 < (sai) Do với x = ta mệnh đề sai P(1) = 2.12 – < hay < (sai) Do với x = ta mệnh đề sai 4 P( ) =   – < hay 25   sai (sai) Do với x = ta mệnh đề Câu “Bây giờ?” câu hỏi khơng xác định tính sai nên câu không mệnh đề Câu “8 + > 9” câu khẳng định xác định tính sai nên câu mệnh đề Câu “Số tỉ số lớn” câu khẳng định nhiên câu mang tính quan điểm cá nhân khơng xác định đước tính sai nên không mệnh đề Chú ý: - Người ta thường sử dụng chữ P, Q, R, … để biểu thị mệnh đề - Những mệnh đề liên quan đến toán học gọi mệnh đề toán học - Những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu cầu khiến khơng phải mệnh đề Ví dụ 2: - Mệnh đề P mệnh đề P hai phát biểu trái ngược Nếu P P sai, + “Hà Nội thủ Việt Nam” mệnh đề mệnh đề tốn cịn P sai P học khơng phải kiện tốn học Ví dụ: “5 không chia hết cho 3” mệnh đề phủ định mệnh đề “5 chia hết cho + “Số π số hữu tỉ” mệnh đề toán học 3”; 1.2 Mệnh đề chứa biến “3 hợp số” mệnh đề phủ định mệnh đề “3 không hợp số” - Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập D Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo mà với giá trị biến thuộc vào D ta mệnh đề 3.1 Mệnh đề kéo theo - Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n P(n); mệnh đề chứa biến x, y P(x, y), - Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo kí hiệu P ⇒ Q … - Các định lí tốn học mệnh đề thường có dạng P ⇒ Q Khi ta Ví dụ: nói: + “Với giá trị thực biến x, |x| ≥ x”: khơng phải mệnh đề chứa biến vì: P giả thiết định lí, Q kết luận định lí Ta có |x| ≥ x với giá trị thực biến x nên khẳng định Do phát “P điều kiện đủ để có Q”, “Q điều kiện cần để có P” biểu mệnh đề mệnh đề chứa biến Chú ý: Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai Do ta cần xét tính + “5n chia hết cho 2” mệnh đề chứa biến sai mệnh đề P ⇒ Q P Khi đó, Q P ⇒ Q đúng, Q sai Khi n = mệnh đề mệnh đề đúng, n = mệnh đề mệnh đề P ⇒ Q sai sai Ví dụ: Cho mệnh đề: P: “9 chia hết cho 9”; Q: “9 chia hết cho 3” Mệnh đề phủ định “Nếu chia hết cho chia hết cho 3” mệnh đề kéo theo P Q - Để phủ định mệnh đề P, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” “không phải” vào trước vị ngữ mệnh đề P Ta kí hiệu mệnh đề phủ định mệnh P mệnh đề Q mệnh đề nên mệnh đề kéo theo P ⇒ Q mệnh đề đề P P 3.2 Mệnh đề đảo - Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Nhận xét: Mệnh đề đảo mệnh đề khơng thiết Ví dụ: Cho mệnh đề: P: “n = 0”; Q: “n số nguyên” Mệnh đề kéo theo P ⇒ Q phát biểu là: “Nếu n = n số nguyên” Mệnh đề đảo Q ⇒ P phát biểu “Nếu n số nguyên n = 0” - Mệnh đề P ⇒ Q mệnh đề cịn mệnh đề Q ⇒ P khơng Khi mệnh đề P ⇔ Q phát biểu sau: “Tứ giác ABCD hình bình hành tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song” Mệnh đề có chứa kí hiệu ∀ ∃ - Kí hiệu ∀ đọc “với mọi” - Kí hiệu ∃ đọc “có một” “tồn tại” - Cho mệnh đề “ P  x  , x  D ” Mệnh đề tương đương + Phủ định mệnh đề “ x  D,P  x  ” mệnh đề “ x  D,P  x  ” - Mệnh đề “P Q” gọi mệnh đề tương đương kí hiệu P ⇔ + Phủ định mệnh đề “ x  D,P  x  ” mệnh đề “ x  D,P  x  ” Q Chú ý: Nhận xét: + Phát biểu “Với số tự nhiên n” kí hiệu n  - Nếu hai mệnh đề Q ⇒ P P ⇒ Q hai mệnh đề tương đương P ⇔ Q Khi ta nói “P tương đương với Q” “P điều kiện cần đủ để có Q” “P Q” Ví dụ: Cho mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD hình bình hành”; Q: “Tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song” “Nếu tứ giác ABCD hình bình hành tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song + Phát biểu “Tồn số tự nhiên n” kí hiệu n  Ví dụ: Phủ định mệnh đề “ x  , x   ” mệnh đề: “ x  , x   ” Các khái niệm tập hợp song” mệnh đề P ⇒ Q 6.1 Tập hợp “Nếu tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song tứ giác ABCD hình bình • Có thể mơ tả tập hợp hai cách sau: hành” mệnh đề Q ⇒ P Hai mệnh đề nên P Q hai mệnh đề tương đương Cách Liệt kê phần tử tập hợp; Cách Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp  a ∈ S: phần tử a thuộc tập hợp S - Thay cho T ⊂ S, ta viết S ⊃ T (đọc S chứa T)  a ∉ S: phần tử a khơng thuộc tập hợp S - Kí hiệu T ⊄ S để T không tập S Nhận xét: Chú ý: Số phần tử tập hợp S kí hiệu n(S) - Từ định nghĩa trên, T tập S mệnh đề sau đúng: Ví dụ: - Cho tập hợp A tập hợp số tự nhiên chia hết cho 2, lớn nhỏ 15 - Quy ước tập rỗng tập tập hợp + Ta mô tả tập hợp A hai cách sau: Cách 1: Liệt kê phần tử tập hợp: A = {6; 8; 10; 12; 14}; Cách 2: Chỉ tính chất đặc trưng phẩn tử: A = { n  ∀ x, x ∈ T ⇒ x ∈ S • Người ta thường minh họa tập hợp hình phẳng bao quanh đường kín, gọi biểu đồ Ven | n ⁝ 2, < n < 15} + Tập hợp A có phần tử, ta viết: n(A) = + 10 thuộc tập hợp A, ta viết 10 ∈ A + 15 không thuộc tập hợp A, ta viết 15 ∉ A Minh họa T tập S sau: • Tập hợp không chứa phần tử gọi tập rỗng, kí hiệu  Ví dụ: + Tập hợp nghiệm phương trình x2 + = tập rỗng; + Tập hợp người sống Mặt Trời tập rỗng 6.2 Tập hợp • Nếu phần tử tập hợp T phần tử tập hợp S ta nói T tập hợp (tập con) cỉa S viết T ⊂ S (đọc T chứa S T tập S) Ví dụ: Cho tập hợp: T = {2; 3; 5}, S = {2; 3; 5; 7; 9}, M = {2; 3; 4; 5} - Tập hợp T tập tập hợp S (do phần tử T thuộc S) - Tập hợp M không tập hợp tập hợp S (do có phần tử thuộc M Số hữu tỉ biểu diễn dạng số thập phân hữu hạn vô hạn tuần khơng thuộc S) hồn 6.3 Hai tập hợp - Tập hợp số thực ℝ gồm số hữu tỉ số vô tỉ Số vô tỉ số thập - Hai tập hợp S T gọi hai tập hợp phần tử T phần tử tập hợp S ngược lại Kí hiệu S = T phân vơ hạn khơng tuần hồn - Mối quan hệ tập hợp số: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ - Nếu S ⊂ T T ⊂ S S = T Ví dụ: Cho tập hợp: S = {n  | n bội chung 3; n < 20} T = {n  | n bội 6; n < 20} Ta có: S = {0; 6; 12; 18}; T = {0; 6; 12; 18} Vậy S = T Các tập hợp số Ví dụ: Cho tập hợp B = {– 1; 2; 4; 10} 7.1 Mối quan hệ tập hợp số - Tập hợp B chứa số – số tự nhiên nên B không tập ℕ - Tập hợp số tự nhiên ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; } - Tập hợp B gồm số nguyên: – 1; 2; 4; 10 nên B tập ℤ - Tập hợp số nguyên ℤ gồm số tự nhiên số nguyên âm: - Các số nguyên số hữu tỉ số thực, nên B tập ℚ ℝ ℤ = { ; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3} - Tập hợp số hữu tỉ ℚ gồm số viết dạng phân số ≠ a , với a, b ∈ ℤ, b b 7.2 Các tập thường dùng ℝ - Một số tập thường dùng tập số thực ℝ: + Khoảng:  a;b   x  | a  x  b  a;b  x   a;    a   ;b   x  | a  x  b | x  a a;    x  | x  a  ;b  x  | x  b | x  b  ;    Kí hiệu + ∞: Đọc dương vô cực (hoặc dương vơ cùng)  Kí hiệu – ∞: Đọc âm vô cực (hoặc âm vô cùng) + Đoạn a;b  x  | a  x  b  a, b gọi đầu mút đoạn, khoảng hay nửa khoảng Ví dụ: + Ta có: < x ≤ 10 ta viết x ∈ (5; 10] + Ta có: D = {x  | x < 3} = (– ∞; 3) + Nửa khoảng a;b   x  | a  x  b Các phép toán tập hợp 8.1 Giao hai tập hợp Tập hợp hợp hai tập hợp K = S ∪ T = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Tập hợp gồm phần tử thuộc hai tập hợp S T gọi giao hai tập hợp S 8.3 Hiệu hai tập hợp T, kí hiệu S ∩ T - Hiệu hai tập hợp S T tập hợp gồm phần tử thuộc S không S ∩ T ={x | x ∈ S x ∈ T} thuộc T, kí hiệu S \ T S \ T = {x | x ∈ S x ∉ T} Ví dụ: Cho tập hợp: A = {5; 7; 8} B = {1; 2; 4; 5; 8} Giao tập hợp tập hợp C = A ∩ B = {5; 8} - Nếu T ⊂ S S \ T gọi phần bù T S, kí hiệu CST 8.2 Hợp hai tập hợp - Tập hợp gồm phần tử thuộc tập hợp S thuộc tập hợp T gọi hợp hai tập hợp S T, kí hiệu S ∪ T S ∪ T = {x | x ∈ S x ∈ T} Chú ý: CsS   Ví dụ: Cho tập hợp: S = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 8}; T = {4; 5; 6; 7; 8; 9}; X = {x | x số nguyên dương nhỏ 9} Ví dụ: Cho tập hợp: S = {1; 2; 3; 5} T = {2; 4; 6; 7} Ta có: S \ T = {1; 2; 3}; T \ S = {6; 9} Lại có: X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} Vì phần tử tập S thuộc tập X nên S ⊂ X Phần bù S X X \ S = CXS = {6} B Bài tập tự luyện B1 Bài tập tự luận Bài Phát biểu mệnh đề sau lập mệnh đề phủ định dạng kí hiệu: a) P(x): “ x  , x  ” b) Q(x): “ x  , x  ” Hướng dẫn giải a) + Phát biểu mệnh đề P(x): “Mọi số ngun có bình phương lớn Bài Cho tập hợp: A  x  | x 3, x  10 B  x  | x 2, x  10 0” a) Viết tập hợp A B cách liệt kê phần tử tập hợp + Phủ định mệnh đề P(x) P  x  : “ x  , x  ” b) Xác định tập hợp A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A Hướng dẫn giải a) Vì A  x  | x 3, x  10 nên A tập hợp số tự nhiên chia hết cho nhỏ 10 Do đó: A = {0; 3; 6; 9} Vì B  x  | x 2, x  10 nên B tập hợp số tự nhiên chia hết cho nhỏ 10 Do đó: B = {0; 2; 4; 6; 8} b) A ∩ B = {x | x ∈ A x ∈ B} = {0; 6}; A ∪ B = {x | x ∈ A x ∈ B} = {0; 2; 3; 4; 6; 8; 9}; A \ B = {x | x ∈ A x ∉ B} = {3; 9}; B \ A = {x | x ∈ B x ∉ A} = {2; 4; 8} b) + Phát biểu mệnh đề Q(x): “Có số nguyên nhỏ 0” + Phủ định mệnh đề Q(x) Q  x  : “ x  , x  ” Bài Cho tứ giác ABCD Xét tính sai mệnh đề P ⇒ Q với: a) P: “ABCD hình vng”, Q: “ABCD hình bình hành”; b) P: “ABCD hình thoi”, Q: “ABCD hình chữ nhật” Hướng dẫn giải a) Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu ABCD hình vng ABCD hình bình hành” Mệnh đề mệnh đề b) Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu ABCD hình thoi ABCD hình chữ nhật” Mệnh đề mệnh đề sai Bài Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau xét tính sai mệnh đề phủ định đó: e) (A ∩ B) ⊂ A Bài Dùng kí hiệu ∀ ∃ để viết mệnh đề sau: a) “Số 50 chia hết cho 3” a) Có số ngun khơng chia hết cho b) “Số 10 hợp số” b) Mọi số thực cộng với Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải a) Mệnh đề phủ định mệnh đề “Số 50 chia hết cho 3” “Số 50 không chia hết a) “ x  , x x ” cho 3” Mệnh đề phủ định mệnh đề b) “ x  , x   x ” b) Mệnh đề phủ định mệnh đề “Số 10 hợp số” “Số 10 hợp Bài Cho A = {3; 5}, B = {3; x}, C = {5; y} D = {m; n} Tìm x, y, m, n để A số” Mệnh đề phủ định mệnh đề sai = B = C A  D   Bài Những quan hệ quan hệ sau đúng? Hướng dẫn giải a) A ⊂ (A ∪ B); + Ta có: A = B = C phần tử A thuộc B C b) A ⊂ (A ∩ B); Do đó: x = y = + Để A  D   m n phải khác c) (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B); Bài Xác định tập hợp sau biểu diễn chúng trục số d) (A ∪ B) ⊂ B; a) [– 3; 1) ∪ (0; 4]; e) (A ∩ B) ⊂ A b) (− 2; 15) ∪ (3; + ∞); Hướng dẫn giải c) (− 12; 3] ∩ [− 1; 4]; a) A ⊂ (A ∪ B) A ∪ B chứa tồn phần tử tập hợp A d) b) A ⊂ (A ∩ B) sai A ∩ B chứa phần tử chung A B Hướng dẫn giải Sửa lại (A ∩ B) ⊂ A a) [– 3; 1) ∪ (0; 4] = [– 3; 4] c) (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B) d) (A ∪ B) ⊂ B sai A ∪ B chứa phần tử thuộc A \ (2; + ∞)  ... “không phải” vào trước vị ngữ mệnh đề P Ta kí hiệu mệnh đề phủ định mệnh P mệnh đề Q mệnh đề nên mệnh đề kéo theo P ⇒ Q mệnh đề đề P P 3.2 Mệnh đề đảo - Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q... “3 hợp số” mệnh đề phủ định mệnh đề “3 không hợp số” Mệnh đề đảo Q ⇒ P phát biểu “Nếu n số nguyên n = 0” Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo - Mệnh đề P ⇒ Q mệnh đề mệnh đề Q ⇒ P không 3 .1 Mệnh đề. .. chia hết cho 3” mệnh đề phủ định mệnh đề “5 chia hết cho + “Số π số hữu tỉ” mệnh đề toán học 3”; 1. 2 Mệnh đề chứa biến “3 hợp số” mệnh đề phủ định mệnh đề “3 không hợp số” - Mệnh đề chứa biến câu