Chương I Mệnh đề và tập hợp Bài 1 Mệnh đề A Lý thuyết 1 Mệnh đề Những khẳng định có tính hoặc đúng hoặc sai được gọi là mệnh đề logic (hay mệnh đề) Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai Một khẳng đị[.]
Chương I Mệnh đề tập hợp Bài Mệnh đề Mệnh đề chứa biến - Mệnh đề chứa biến mệnh đề chưa khẳng định tính sai, cần có giá A Lý thuyết trị cụ thể biến khẳng định tính sai mệnh đề Mệnh đề - Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n P (n) - Những khẳng định có tính hoặc sai gọi mệnh đề logic (hay - Một mệnh đề chứa biến chứa biến nhiều biến mệnh đề) - Mệnh đề khẳng định sai Ví dụ + “18 chia hết cho 9: khơng phải mệnh đề chứa biến khơng có biến - Một khẳng định gọi mệnh đề mệnh đề - Một khẳng định sai gọi mệnh đề sai + “3n chia hết cho 9” mệnh đề chứa biến n Khi n = mệnh đề mệnh - Một mệnh đề vừa vừa sai Chú ý: + Người ta thường sử dùng chữ in hoa P, Q, R, … để kí hiệu mệnh đề đúng, n = mệnh đề mệnh đề sai Mệnh đề phủ định - Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu P đề - Mệnh đề P mệnh đề phủ định P có tính sai trái ngược + Những mệnh đề liên quan đến toán học gọi mệnh đề toán học Nghĩa P P sai, P sai P Ví dụ Nhận xét: + “Số tự nhiên nhỏ số 0” mệnh đề + Thông thường để phủ định mệnh đề, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” “khơng phải” vào trước vị ngữ mệnh đề + “2 số chẵn” mệnh đề Ví dụ + “2 số lẻ” mệnh đề sai + Mệnh đề “4 không chia hết cho 9” mệnh đề phủ định mệnh đề “4 chia + “Hà Nội thủ đô Việt Nam” mệnh đề khơng phải mệnh đề tốn học khơng liên quan đến tốn học + “Số số hữu tỉ” mệnh đề toán học hết cho 9” + Mệnh đề “4 chia hết cho 9” mệnh đề sai nên mệnh đề “4 không chia hết cho Định lí có mệnh đề “Một đường thẳng song song với cạnh tam giác 9” mệnh đề cắt hai cạnh lại” giả thiết, mệnh đề “Đường thẳng định hai cạnh Mệnh đề kéo theo - Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo, đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ” kết luận Mệnh đề đảo Hai mệnh đề tương đương kí hiệu P ⇒ Q - Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q - Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai Chú ý: Mệnh đề đảo mệnh đề không thiết Nhận xét: Ví dụ Cho hai mệnh đề: + Mệnh đề P ⇒ Q phát biểu “P kéo theo Q” “Từ P suy Q” P: “n = 0”; Q: “n số nguyên” + Để xét tính sai mệnh đề P ⇒ Q, ta cần xét trường hợp P Khi “Nếu n = n số nguyên” mệnh đề P Q đó, Q mệnh đề đúng, Q sai mệnh đề sai Ta quen với điều chứng minh nhiều định lí Trung học sở Ví dụ Cho hai mệnh đề: P: “9 chia hết cho 9”; Q: “9 chia hết cho 3” “Nếu n số nguyên n = 0” mệnh đề Q P + Mệnh đề Q P “Nếu n số nguyên n = 0” mệnh đề đảo mệnh đề P Q “Nếu n = n số nguyên” “Nếu chia hết cho chia hết cho 3” mệnh đề kéo theo có dạng P ⇒ Q + Mệnh đề P Q mệnh đề cịn mệnh đề Q P khơng P mệnh đề Q mệnh đề nên mệnh đề kéo theo P ⇒ Q mệnh đề - Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P ta nói P Q hai mệnh đề tương đương, kí hiệu P ⇔ Q (đọc “P tương đương Q” “P - Khi mệnh đề P ⇒ Q định lí, ta nói: P giả thiết, Q kết luận định lí; Q”) - Khi ta nói P điều kiện cần đủ để có Q (hay Q điều kiện cần P điều kiện đủ để có Q; đủ để có P) Q điều kiện cần để có P Nhận xét: Hai mệnh đề P Q tương đương chúng sai Ví dụ Định lí Ta – lét: “Nếu đường thẳng song song với cạnh tam Ví dụ Cho mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD hình bình hành”; Q: “Tứ giác giác cắt hai cạnh cịn lại đường thẳng định hai cạnh ABCD có hai cặp cạnh đối song song” đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ” “Nếu tứ giác ABCD hình bình hành tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song a) P: “Số 21 chia hết cho 6” song” mệnh đề P Q b) P: “7 số nguyên tố” “Nếu tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song tứ giác ABCD hình bình hành” mệnh đề Q P Hướng dẫn giải a) Mệnh đề phủ định mệnh đề P: “Số 21 chia hết cho 6” P : “Số 21 không chia hết cho 6” Mệnh đề phủ định mệnh đề Hai mệnh đề nên P Q hai mệnh đề tương đương b) Mệnh đề phủ định mệnh đề P: “7 số nguyên tố” P : “7 không Mệnh đề chứa kí hiệu ∀ ∃ số nguyên tố” Mệnh đề phủ định mệnh đề sai - Kí hiệu ∀ đọc “với mọi” Bài Cho tam giác ABC Xét mệnh đề: - Kí hiệu ∃ đọc “tồn tại” - Mệnh đề “∀x ∈ M, P(x)” với x0 ∈ M, P(x0) mệnh đề - Mệnh đề “∃x ∈ M, P(x)” có x0 ∈ M cho P(x0) mệnh đề Ví dụ + Phát biểu “Với số tự nhiên n” kí hiệu n + Phát biểu “Tồn số tự nhiên n” kí hiệu n P: “Tam giác ABC có ba góc nhau” Q: “Tam giác ABC tam giác đều” Hai mệnh đề P Q có tương đương khơng? Nếu có, phát biểu nhiều cách? Hướng dẫn giải P ⇒ Q: “Tam giác ABC có ba góc tam giác ABC tam giác đều” Do mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P: “Tam giác ABC tam giác tam giác ABC có ba góc nhau” + Với x số tự nhiên, mệnh đề “x + > 0” mệnh đề Vậy mệnh đề Do mệnh đề Q ⇒ P “Với x số tự nhiên, x + > 0” mệnh đề P Q hai mệnh đề tương đương hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P + Tồn số nguyên tố n để mệnh đề “Số nguyên tố n chia hết cho 2” mệnh đề Vậy mệnh đề “Tồn số nguyên tố n, số nguyên tố n chia hết cho 2” mệnh đề B Bài tập tự luyện Bài Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau nhận xét tính sai mệnh đề phủ định đó: Phát biểu nhiều cách: - Tam giác ABC có ba góc tương đương tam giác ABC tam giác - Tam giác ABC có ba góc tam giác ABC tam giác + Để tam giác có ba góc nhau, điều kiện cần đủ tam giác ABC tam giác Bài Dùng kí hiệu ∀ ∃ để viết mệnh đề sau: b) “x chia hết cho y”: mệnh đề chứa biến x = y = a) Có số ngun khơng chia hết cho khẳng định đúng, x = y = khẳng định sai b) Mọi số thực cộng với Hướng dẫn giải a) x ,x x b) x , x + = x Bài Phát biểu xét mệnh đề hay sai, viết mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) x , x b) x , x Hướng dẫn giải a) Phát biểu mệnh đề: “Mọi số nguyên có bình phương lớn 0” Đây mệnh đề Mệnh đề phủ định là: “∃x ∈ ℤ, x2 < 0” b) Phát biểu mệnh đề: “Tồn số nguyên nhỏ 0” Đây mệnh đề Mệnh đề phủ định là: “∀x ∈ ℤ, x ≥ 0” Bài Trong câu sau, câu mệnh đề đúng, mệnh đề sai, mệnh đề chứa biến? a) “5 số vô tỉ”; b) “x chia hết cho y”; c) “Số 9999 số đẹp”; d) “x có phải số ngun khơng?” Hướng dẫn giải a) “5 số vô tỉ”: mệnh đề mệnh đề sai khẳng định sai c) “Số 9999 số đẹp”: khơng mệnh đề khơng có tính hoặc sai (do khơng đưa tiêu chí số đẹp) d) “x có phải số nguyên không?”: câu hỏi nên mệnh đề Bài Tập hợp A Lý thuyết Nhắc lại tập hợp - Trong toán học, người ta dùng từ tập hợp để nhóm đối tượng Cách Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp Chú ý: Khi liệt kê phần tử tập hợp, ta có số ý sau đây: + Các phần tử viết theo thứ tự tùy ý + Mỗi phần tử liệt kê lần hoàn toàn xác định Mỗi đối tượng nhóm gọi phần tử tập hợp + Nếu quy tắc xác định phần tử đủ rõ người ta dùng “…” mà khơng thiết viết tất phần tử tập hợp - Người ta thường kí hiệu tập hợp chữ in hoa A, B, C, … kí hiệu phần tử tập hợp chữ in thường a, b, c, … - Có tập hợp ta đếm hết phần tử chúng Những tập hợp gọi tập hợp hữu hạn Chú ý: Đôi khi, để ngắn gọn, người ta dùng từ “tập” thay cho “tập hợp” Ví dụ Cho tập hợp D số tự nhiên chia hết cho lớn nhỏ - Để a phần tử tập hợp A, ta viết a ∈ A (đọc “a thuộc A”) Để 10 Mô tả tập hợp D theo hai cách: a không phần tử tập hợp A, ta viết a ∉ A (đọc “a không thuộc A”) Cách 1: Liệt kê phẩn tử tập hợp: D = {6; 9} Ví dụ Cách 2: Chỉ tính chất đặc trưng phẩn tử: D = {n ∈ ℕ | n ⋮ 3, < n < + Để phần tử tập số tự nhiên ℕ, ta viết ∈ ℕ 10} + Để - không phần tử tập số tự nhiên ℕ, ta viết -1 ∉ ℕ Tập hai tập hợp - Một tập hợp khơng chứa phần tử Tập hợp gọi tập rỗng, - Cho hai tập hợp A B Nếu phần tử A phần tử B ta nói kí hiệu ∅ tập hợp A tập tập hợp B kí hiệu A ⊂ B (đọc A chứa B), - Người ta thường kí hiệu tập hợp số sau: ℕ tập hợp số tự nhiên, B ⊃ A (đọc B chứa A) ℤ tập hợp số nguyên, ℚ tập hợp số hữu tỉ, ℝ tập hợp số thực Ví dụ Muốn kí hiệu phần tử thuộc tập số tự nhiên, ta kí hiệu: ∈ ℕ *Cách xác định tập hợp Cách Liệt kê phần tử tập hợp; Nhận xét: + A ⊂ A ∅ ⊂ A với tập hợp A + Nếu A tập B ta kí hiệu A ⊄ B (đọc A không chứa B B không chứa A) + Nếu A ⊂ B B ⊂ A ta nói A B có quan hệ bao hàm - Trong toán học, người ta thường minh họa tập hợp hình phẳng Nửa khoảng [a; b) {x ∈ ℝ | a ≤ x < b} Nửa khoảng (a; b] {x ∈ ℝ | a < x ≤ b} Nửa khoảng (-∞; a] {x ∈ ℝ | x ≤ a} Nửa khoảng [a; +∞) {x ∈ ℝ | x ≥ a} Khoảng (-∞; a) {x ∈ ℝ | x < a} Khoảng (a; +∞) {x ∈ ℝ | x > a} bao quanh đường cong kín, gọi biểu đồ Ven Chú ý: Giữa tập hợp số quen thuộc (tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỉ, tập số thực), ta có quan hệ bao hàm: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ Ví dụ Cho tập hợp T = {2; 3; 5}; S = {2; 3; 5; 7; 9}; M = {2; 3; 4; 5} + Tập hợp T tập tập hợp S tất phần tử T có phần tử S + Tập hợp M không tập hợp tập hợp S tập M có phần tử không thuộc S - Hai tập hợp A B gọi nhau, kí hiệu A = B, A ⊂ B B ⊂ - Trong kí hiệu trên, kí hiệu - ∞ đọc âm vơ cực (âm vơ cùng), kí hiệu + ∞ A đọc dương vơ cực (dương vơ cùng) Ví dụ Cho tập hợp: T = {n ∈ ℕ | n ⋮ 9, < n < 14} S = {n ∈ ℕ | n ⋮ 3, < Ví dụ n < 10} Cho x thỏa mãn < x ≤ ta kí hiệu x ∈ (2; 6] Tìm phần tử T S ta có T = {9} S = {9} nên T = S Cho x thỏa mãn x ≥ ta kí hiệu x ∈ [7; +∞) Một số tập tập hợp số thực B Bài tập tự luyện - Ta thường sử dụng tập tập số thực sau (a b số thực, a Bài Hãy viết tập hợp sau cách nêu tính chất đặc trưng cho phần tử < b): tập hợp: Tên gọi kí hiệu Tập hợp Tập số thực (-∞; +∞) ℝ Đoạn [a; b] {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} Khoảng (a; b) {x ∈ ℝ | a < x < b} Biểu diễn trục số a) A = {0; 4; 8; 12} b) B = {15; 24; 35; 48} Hướng dẫn giải a) A = {x ∈ ℕ | x ⋮ 4, x < 13} b) B = {n ∈ ℕ | n2 - 1, < n < 8} Bài Hãy viết tập hợp sau cách liệt kê phần tử: a) A = {x2 – | x ∈ ℤ, ‒1 < x < 2}; b) B = {x ∈ ℕ | x ⋮ 5, x < 50} Hướng dẫn giải Bài Dùng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng viết tập hợp sau vẽ chúng trục số: a) {x ∈ ℝ | < x ≤ 12} a) A = {1; 0} b) {x ∈ ℝ | x ≤ ‒ 5} b) B = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45} Hướng dẫn giải Bài Cho A = {2; 6; 4; 5}, B = {2; x}, C = {6; y}, D = {m, n} Tìm x, y, m, n (nếu có) để: a) Kí hiệu: (7; 12] Biểu diễn trục số: a) B = C = D b) C = D ⊂ A y > c) B = D ⊄ A < x < Hướng dẫn giải a) Để B = C tập B phải có phần tử tập C phải có phần tử Do x = y = Khi B = C = {2; 6} Để D = B = C D = {2; 6} Vậy m = 6, n = m = 2, n = b) Để C ⊂ A tập C có phần tử giống phần tử nằm tập A Suy y 2; 4; Mà y > nên y + Nếu y = để D = C C = D = {4; 6} Vậy m = 4, n = m = 6, n = + Nếu y = để D = C C = D = {5; 6} Vậy m = 5, n = m = 6, n = c) Để B ⊄ A x phải khác phần tử 2; 6; 5; Mà < x < Suy x = Khi B = {2; 3} Ta có D = B = {2; 3} Vậy m = 2, n = m = 3, n = b) Kí hiệu: (‒∞; ‒5] Biểu diễn trục số: Ôn tập chương I - Mệnh đề P mệnh đề phủ định P có tính sai trái ngược Nghĩa A Lý thuyết P P sai, P sai P Mệnh đề Nhận xét: - Những khẳng định có tính hoặc sai gọi mệnh đề logic (hay mệnh đề) + Thông thường để phủ định mệnh đề, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” - Mệnh đề khẳng định sai - Một khẳng định gọi mệnh đề - Một khẳng định sai gọi mệnh đề sai - Một mệnh đề vừa vừa sai Chú ý: + Người ta thường sử dùng chữ in hoa P, Q, R, … để kí hiệu mệnh đề + Những mệnh đề liên quan đến toán học gọi mệnh đề toán học Mệnh đề chứa biến - Mệnh đề chứa biến mệnh đề chưa khẳng định tính sai, cần có giá trị cụ thể “khơng phải” vào trước vị ngữ mệnh đề Mệnh đề kéo theo - Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo, kí hiệu P ⇒ Q - Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai Nhận xét: + Mệnh đề P ⇒ Q phát biểu “P kéo theo Q” “Từ P suy Q” + Để xét tính sai mệnh đề P ⇒ Q, ta cần xét trường hợp P Khi đó, Q mệnh đề đúng, Q sai mệnh đề sai Ta quen với điều chứng minh nhiều định lí Trung học sở biến khẳng định tính sai mệnh đề Mệnh đề đảo Hai mệnh đề tương đương - Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n P (n) - Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q - Một mệnh đề chứa biến chứa biến nhiều biến Chú ý: Mệnh đề đảo mệnh đề không thiết Mệnh đề phủ định - Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P ta nói P Q hai mệnh đề tương - Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu P đương, kí hiệu P ⇔ Q (đọc “P tương đương Q” “P Q”) - Khi ta nói P điều kiện cần đủ để có Q (hay Q điều kiện cần đủ để có P) Nhận xét: Hai mệnh đề P Q tương đương chúng sai Chú ý: Khi liệt kê phần tử tập hợp, ta có số ý sau đây: Mệnh đề chứa kí hiệu ∀ ∃ + Các phần tử viết theo thứ tự tùy ý - Kí hiệu ∀ đọc “với mọi” + Mỗi phần tử liệt kê lần - Kí hiệu ∃ đọc “tồn tại” + Nếu quy tắc xác định phần tử đủ rõ người ta dùng “…” mà khơng thiết viết - Mệnh đề “∀x ∈ M, P(x)” với x0 ∈ M, P(x0) mệnh đề - Mệnh đề “∃x ∈ M, P(x)” có x0 ∈ M cho P(x0) mệnh đề Nhắc lại tập hợp - Trong toán học, người ta dùng từ tập hợp để nhóm đối tượng hồn tồn xác định Mỗi đối tượng nhóm gọi phần tử tập hợp - Người ta thường kí hiệu tập hợp chữ in hoa A, B, C, … kí hiệu phần tử tập hợp chữ in thường a, b, c, … Chú ý: Đôi khi, để ngắn gọn, người ta dùng từ “tập” thay cho “tập hợp” - Để a phần tử tập hợp A, ta viết a ∈ A (đọc “a thuộc A”) Để a không phần tử tập hợp A, ta viết a ∉ A (đọc “a không thuộc A”) - Một tập hợp khơng chứa phần tử Tập hợp gọi tập rỗng, kí hiệu ∅ - Người ta thường kí hiệu tập hợp số sau: ℕ tập hợp số tự nhiên, ℤ tập hợp số nguyên, ℚ tập hợp số hữu tỉ, ℝ tập hợp số thực *Cách xác định tập hợp tất phần tử tập hợp - Có tập hợp ta đếm hết phần tử chúng Những tập hợp gọi tập hợp hữu hạn Tập hai tập hợp - Cho hai tập hợp A B Nếu phần tử A phần tử B ta nói tập hợp A tập tập hợp B kí hiệu A ⊂ B (đọc A chứa B), B ⊃ A (đọc B chứa A) Nhận xét: + A ⊂ A ∅ ⊂ A với tập hợp A + Nếu A tập B ta kí hiệu A ⊄ B (đọc A không chứa B B không chứa A) + Nếu A ⊂ B B ⊂ A ta nói A B có quan hệ bao hàm - Trong toán học, người ta thường minh họa tập hợp hình phẳng bao quanh đường cong kín, gọi biểu đồ Ven Chú ý: Giữa tập hợp số quen thuộc (tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỉ, tập Cách Liệt kê phần tử tập hợp; số thực), ta có quan hệ bao hàm: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ Cách Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp Một số tập tập hợp số thực - Ta thường sử dụng tập tập số thực sau (a b số thực, a < b): Tên gọi kí hiệu Tập số thực (-∞; +∞) Tập hợp Biểu diễn trục số ℝ A ∪ B = {x| x ∈ A x ∈ B} Tập hợp phần tử thuộc hai tập hợp A B gọi giao hai tập hợp A B, kí hiệu A ∩ B A ∩ B = {x | x ∈ A x ∈ B} Đoạn [a; b] {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} Khoảng (a; b) {x ∈ ℝ | a < x < b} Nửa khoảng [a; b) {x ∈ ℝ | a ≤ x < b} Nhận xét: + Nếu A B hai tập hợp hữu hạn n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) + Đặc biệt, A B khơng có phần tử chung, tức A ∩ B = ∅, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) Nửa khoảng (a; b] {x ∈ ℝ | a < x ≤ b} Nửa khoảng (-∞; a] {x ∈ ℝ | x ≤ a} Nửa khoảng [a; +∞) {x ∈ ℝ | x ≥ a} 11 Hiệu hai tập hợp, phần bù tập - Cho hai tập hợp A B Tập hợp phần tử thuộc A không thuộc B gọi hiệu A B, kí hiệu A\B A\B = {x | x ∈ A x ∉ B} Khoảng (-∞; a) {x ∈ ℝ | x < a} Nếu A tập E hiệu E\A gọi phần bù A E, kí hiệu CEA Khoảng (a; +∞) {x ∈ ℝ | x > a} - Trong kí hiệu trên, kí hiệu - ∞ đọc âm vô cực (âm vô cùng), kí hiệu + ∞ đọc Chú ý: Trong chương sau, để tìm tập hợp hợp, giao, hiệu, phần bù tập tập số thực, ta thường vẽ sơ đồ trục số dương vô cực (dương vô cùng) B Bài tập tự luyện 10 Hợp giao tập hợp Bài Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau nhận xét tính sai mệnh đề - Cho hai tập hợp A B Tập hợp phần tử thuộc A thuộc B gọi hợp hai tập hợp A B, kí hiệu A ∪ B phủ định đó: a) P: “Số 22 chia hết cho 6” b) P: “5 số nguyên tố” Hướng dẫn giải a) Mệnh đề phủ định mệnh đề P: “Số 22 chia hết cho 6” P : “Số 22 không chia hết b) Phát biểu mệnh đề: “Tồn số nguyên lớn 0” Đây mệnh đề cho 6” Mệnh đề phủ định mệnh đề Mệnh đề phủ định là: “∀x ∈ ℤ, x < 0” b) Mệnh đề phủ định mệnh đề P: “5 số nguyên tố” P : “5 không số Bài Trong câu sau, câu mệnh đề đúng, mệnh đề sai, mệnh đề chứa biến? nguyên tố” Mệnh đề phủ định mệnh đề sai a) “4 số vô tỉ” Bài Cho tam giác ABC Xét mệnh đề: b) “5 chia hết cho y” P: “Tam giác ABC có ba góc nhau” c) “Một tứ giác hình thoi có hai đường chéo vng góc với Q: “Tam giác ABC tam giác đều” Hai mệnh đề P Q có tương đương khơng? Nếu có, phát biểu nhiều cách? Hướng dẫn giải P ⇒ Q: “Tam giác ABC có ba góc tam giác ABC tam giác đều” Do trung điểm đường” d) “Hồ Tây thật đẹp!” Hướng dẫn giải a) “4 số vô tỉ”: mệnh đề mệnh đề sai khẳng định sai mệnh đề P ⇒ Q b) “5 chia hết cho y”: mệnh đề chứa biến y = khẳng định đúng, Q ⇒ P: “Tam giác ABC tam giác tam giác ABC có ba góc nhau” Do y = khẳng định sai mệnh đề Q ⇒ P c) “Một tứ giác hình thoi có hai đường chéo vng góc với P Q hai mệnh đề tương đương hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P trung điểm đường”: mệnh đề Phát biểu nhiều cách: d) “Hồ Tây thật đẹp!”: câu cmar thán nên mệnh đề - Tam giác ABC có ba góc tương đương tam giác ABC tam giác - Tam giác ABC có ba góc tam giác ABC tam giác Bài Hãy viết tập hợp sau cách nêu tính chất đặc trưng cho phần tử tập + Để tam giác có ba góc nhau, điều kiện cần đủ tam giác ABC tam giác hợp: Bài Phát biểu xét mệnh đề hay sai, viết mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) A = {0; 3; 6; 9} a) ∀x ∈ ℤ, x2 < b) B = {14; 23; 34; 47} b) ∃x ∈ ℤ, x > Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải a) A = {x ∈ ℕ | x ⋮ 3, x < 10} a) Phát biểu mệnh đề: “Mọi số nguyên có bình phương nhỏ 0” Đây mệnh đề b) B = {n ∈ ℕ | n2 - 2, < n < 8} sai Bài Cho A = {3; 4; 5; 6; 7}, B = {1; x}, C = {7; y}, D = {m, n} Tìm x, y, m, n (nếu Mệnh đề phủ định mệnh đề là: “∃x ∈ ℤ, x2 ≥ 0” có) để: a) B = C = D b) C = D ⊂ A y > B = {0; 6; 12; 18; 24} Suy A ∩ B = {0} b) Ta xác định phần tử tập hợp A tập hợp B Hướng dẫn giải a) Để B = C tập B phải có phần tử tập C phải có phần tử Do x = y = Khi B = C = {1; 7} A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} B = {4} Suy A ∩ B = {4} Bài Cho U = {x ∈ ℕ | < x < 9}, A = {x ∈ U | x bội 4}, B = {x ∈ U | x ước Để D = B = C D = {1; 7} Vậy m = 1, n = m = 7, n = b) Để C ⊂ A tập C có phần tử giống phần tử nằm tập A Suy y 3; 4; 5; Mà y > nên y + Nếu y = để D = C C = D = {7; 5} Vậy m = 5, n = m = 7, n = + Nếu y = để D = C C = D = {7; 6} Vậy m = 7, n = m = 6, n = Bài Dùng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng viết tập hợp sau vẽ tập trục số: 12} Xác định tập hợp A\B, B\A, CUA, CUB, A ∩ B, A ∪ B Hướng dẫn giải Ta xác định phần tử tập hợp U, A, B U = {x ∈ ℕ | < x < 9} = {4; 5; 6; 7; 8} A = {x ∈ U | x bội 4} = {4; 8} B = {x ∈ U | x ước 12} = {4; 6} {x ∈ ℝ | ‒1 ≤ x ≤ 4} Khi ta có: Hướng dẫn giải A\B = {8} Kí hiệu: [‒1; 4] Biểu diễn trục số: B\A = {6} CUA = {5; 6; 7} CUB = {5; 7; 8} Bài Xác định tập hợp A ∩ B trường hợp sau: A ∩ B = {4}, A ∪ B = {4; 6; 8} a) A = {x ∈ ℕ | x ⋮ 5, x < 30}, B = {x ∈ ℕ | x ⋮ 6, x < 30} Bài Xác định tập hợp sau đây: b) A = {x + | x ∈ ℕ, x < 7}, B = {x - | x ∈ ℕ, < x < 6} a) M = (0; 6] \ (‒∞; 4] Hướng dẫn giải b) N = [‒5; 5] ∩ (‒∞; 3] a) Ta xác định phần tử tập hợp A tập hợp B Hướng dẫn giải A = {0; 5; 10; 15; 20; 25} a) Để xác định tập M, ta vẽ sơ đồ sau đây: +) Tập hợp số học sinh thích mơn Vật lí mơn Hóa học A ∪ B Ta có: tổng số học sinh thích mơn Vật lí mơn Hóa học n(A ∪ B) Suy n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 25 + 15 – 10 = 30 Vậy có 30 học sinh thích hai mơn Vật lí Hố học Từ sơ đồ ta thấy, M = (4; 6] b) Gọi M tập hợp số học sinh lớp 10E b) Để xác định tập N, ta vẽ sơ đồ sau đây: N tập hợp số học sinh khơng thích hai mơn học Vật lí Hố học Do n(N) = Ta có: A ∪ B = CN Số học sinh lớp 10E tổng số học sinh thích hai mơn với số học sinh khơng thích mơn học Do số học sinh lớp 10E là: 30 + = 35 (học sinh) Từ sơ đồ ta thấy, N = [-5; 3] Bài 10 Lớp 10E trường có 25 học sinh thích mơn Vật lí, 15 học sinh thích mơn Hóa học 10 học sinh thích mơn Vật lí Hóa học học sinh khơng thích hai mơn Vật lí Hố học Hỏi lớp 10A có: a) Bao nhiêu học sinh thích mơn Lí mơn Hóa? b) Tất học sinh? Hướng dẫn giải a) Gọi A tập hợp số học sinh thích mơn Vật lí B tập hợp số học sinh thích mơn Hóa học Số phần tử A B n(A) n(B) n (A) = 25, n(B) = 15 Khi đó: +) Tập hợp số học sinh thích mơn Vật lí Hóa học A ∩ B Do n(A ∩ B) = 10 Vậy lớp 10E có 35 học sinh Bài Các phép toán tập hợp Tập hợp phần tử thuộc A không thuộc B gọi hiệu A B, kí hiệu A\B A Lý thuyết A\B = {x | x ∈ A x ∉ B} Hợp giao tập hợp - Cho hai tập hợp A B Nếu A tập E hiệu E\A gọi phần bù A E, kí hiệu CEA Tập hợp phần tử thuộc A thuộc B gọi hợp hai tập hợp A B, kí Chú ý: Trong chương sau, để tìm tập hợp hợp, giao, hiệu, phần bù hiệu A ∪ B tập tập số thực, ta thường vẽ sơ đồ trục số A ∪ B = {x| x ∈ A x ∈ B} Tập hợp phần tử thuộc hai tập hợp A B gọi giao hai tập hợp A B, kí hiệu A ∩ B Ví dụ: + Cho hai tập hợp S = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} T = {4; 5; 6; 7} Hiệu S T S\T = {2; 3; 8; 9} A ∩ B = {x | x ∈ A x ∈ B} Ta thấy T tập S nên phần bù T S là: Nhận xét: CST = S\T = {2; 3; 8; 9} + Nếu A B hai tập hợp hữu hạn n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) + Đặc biệt, A B khơng có phần tử chung, tức A ∩ B = ∅, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) + Xác định tập hợp: B = (7; 12] ∪ (‒∞; 9] Để xác định tập hợp B, ta vẽ sơ đồ sau đây: Ví dụ + Cho hai tập hợp S = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} T = {4; 5; 6; 7} Giao tập hợp tập hợp M = S ∩ T = {4; 5; 6; 7} + Cho hai tập hợp S = {1; 2; 3; 4} T = {5; 6; 7} Từ ta thấy, B = (‒∞; 12] Hợp hai tập hợp S T tập hợp N = S ∪ T = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} B Bài tập tự luyện Hiệu hai tập hợp, phần bù tập Bài Xác định tập hợp A ∩ B trường hợp sau: - Cho hai tập hợp A B a) A = {x ∈ ℕ | x ⋮ 4, x < 30}, B = {x ∈ ℕ | x ⋮ 5, x < 30} b) A = {x2 + | x ∈ ℕ, x < 6}, B = {x3 | x ∈ ℕ, x < 5} A ∩ B = {4; 12}, A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16} c) A = {x ∈ ℕ | x ⋮ 4, 5< x < 7}, B = {x1000 | x ∈ ℕ, x > 5} CU(A ∪ B) = {5; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 18; 19} Hướng dẫn giải CU( A ∩ B) = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19} a) Ta xác định phần tử tập hợp A tập hợp B Bài Xác định tập hợp sau đây: A = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28} B = {0; 5; 10; 15; 20; 25} Suy A ∩ B = {0; 20} b) Ta xác định phần tử tập hợp A tập hợp B A = {1; 2; 5; 10; 17; 26} a) C = (7; 12] ∩ (-∞; 9] b) D = (7; 12] \ (-∞; 9] Hướng dẫn giải a) Để xác định tập C, ta vẽ sơ đồ sau đây: B = {0; 1; 8; 27; 64} Suy A ∩ B = {1} c) Ta xác định phần tử tập hợp A tập hợp B A = ∅ Vậy A ∩ B = ∅ Bài Cho U = {x ∈ ℕ | x < 20}, A = {x ∈ U | x bội 4}, B = {x ∈ U | x ước 12} Xác định tập hợp A\B, B\A, CUA, CUB, CU(A ∪ B), CU( A ∩ B) Hướng dẫn giải Từ sơ đồ ta thấy, C = (7; 9] Ta xác định phần tử tập hợp U, A, B b) Để xác định tập D, ta vẽ sơ đồ sau đây: U = {x ∈ ℕ | x < 20} = {0; 1; 2; 3; 4; …; 19} A = {x ∈ U | x bội 4} = {0; 4; 8; 12; 16} B = {x ∈ U | x ước 12} = {1; 2; 3; 4; 6; 12} Khi ta có: A\B = {0; 8; 16} B\A = {1; 2; 3; 6} CUA = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 18; 19} CUB = {0; 5; 7; 8; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19} Từ sơ đồ ta thấy, D = (9; 12] Bài Lớp 10A trường có 33 học sinh, có 20 học sinh thích mơn Tốn, 18 học sinh thích mơn Ngữ Văn 10 học sinh thích mơn Tốn Ngữ Văn Hỏi lớp 10A có: a) Bao nhiêu học sinh thích mơn Tốn mơn Ngữ Văn? b) Bao nhiêu học sinh khơng thích mơn nào? Hướng dẫn giải a) Gọi A tập hợp số học sinh thích mơn Tốn B tập hợp số học sinh thích mơn Ngữ Văn Số phần tử A B n(A) n(B) n(A) = 20, n(B) = 18 Ta có: +) Tập hợp số học sinh thích mơn Tốn Ngữ Văn A ∩ B nên n(A ∩ B) = 10 +) Tập hợp số học sinh thích mơn Tốn mơn Ngữ Văn A ∪ B Nên tổng số học sinh thích mơn Tốn mơn Ngữ Văn n(A ∪ B) Suy n(A ∪ B) = n(A) + n(B) ‒ n(A ∩ B) = 20 + 18 – 10 = 28 Vậy có 28 học sinh thích mơn Tốn mơn Ngữ Văn b) Số học sinh khơng thích mơn học là: 33 – 28 = (học sinh) Vậy có học sinh khơng thích mơn học hai mơn Tốn mơn Ngữ Văn ... {0; 8; 16 } B\A = {1; 2; 3; 6} CUA = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10 ; 11 ; 13 ; 14 ; 15 ; 17 ; 18 ; 19 } CUB = {0; 5; 7; 8; 9; 10 ; 11 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 } Từ sơ đồ ta thấy, D = (9; 12 ] Bài Lớp 10 A trường... 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10 ; 11 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 } a) Ta xác định phần tử tập hợp A tập hợp B Bài Xác định tập hợp sau đây: A = {0; 4; 8; 12 ; 16 ; 20; 24; 28} B = {0; 5; 10 ; 15 ; 20; 25} Suy A... cho 3” mệnh đề kéo theo có dạng P ⇒ Q + Mệnh đề P Q mệnh đề mệnh đề Q P không P mệnh đề Q mệnh đề nên mệnh đề kéo theo P ⇒ Q mệnh đề - Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P ta nói P Q hai mệnh đề tương