Bài 3 Nhị thức Newton C BÀI TẬP Bài 1 trang 47 SBT Toán 10 Tập 2 Khai triển các biểu thức sau a) 4 x 3y ; b) 5 3 2x ; c) 5 2 x x ; d) 4 1 3 x x Lời giải a) Theo côn[.]
C BÀI TẬP Bài trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Khai triển biểu thức sau: 12 1 1 + = 81x – 108x + 54 – x + x x x a) x 3y ; b) 2x ; Bài trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Khai triển rút gọn biểu thức x 2x 1 2 c) x ; x Lời giải: Ta có: d) x x (2x + 1)4 = (2x)4 + 4.(2x)3.1 + 6.(2x)2.12 + 4.2x.13 + 14 = 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + Lời giải: Ta có a) Theo cơng thức nhị thức Newton ta có: x 2x 1 x 3y = x4 + 4.x3.3y + 6.x2.(3y)2 + 4.x.(3y)3 + (3y)4 = 16x5 + 32x4 + 24x3 + 8x2 + x – 32x4 – 64x3 – 48x2 – 16x – b) Theo công thức nhị thức Newton ta có: 2x = 35 + 5.34.(–2x) + 10.33.(–2x)2 + 10.32 (–2x)3 + 5.3 (–2x)4 + (–2x)5 = 243 – 810x + 1080x2 – 720x3 + 240x4 – 32x5 2 + 10 x x = 16x5 – 40x3 – 40x2 – 15x – Bài trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm giá trị tham số a để khai triển a x 1 x có số hạng 22x2 c) Theo cơng thức nhị thức Newton ta có: 2 2 x = x + 5.x + 10 x x x = ( x – ) ( 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1) = x4 + 12x3y + 54x2y2 + 108xy3 + 81y4 2 x 1 1 3 x + (3 x ) = (3 x ) + (3 x ) + (3 x ) x x x Bài Nhị thức Newton 2 + x x 2 + x Lời giải: ( + x )4 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + Ta có a x 1 x = ax4 + 4ax3 + 6ax2 + 4ax + a + x5 + 4x4 + 6x3 + 4x2 + x 80 80 32 = x – 10x + 40x – + – x x x = x5 + (a + 4)x4 + (4a + 6)x3 + (6a + 4)x2 + (4a + 1)x + a d) Theo công thức nhị thức Newton ta có: Vậy a = thỏa mãn yêu cầu đề Để khai triển có số hạng 22x2 6a + = 22 hay a = Bài trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Biết khai triển ax 1 , hệ số (2 – x)4 = (–x)4 + 4.( –x)3.2 + (–x)2.22 + (–x).23 + 24 x4 gấp bốn lần hệ số x2 Hãy tìm giá trị tham số a = x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16 Lời giải: ax 1 = (ax)5 + (ax)4 (–1) + 10 (ax)3 (–1) + 10 (ax)2 (–1)3 + 5.(ax).(–1)4 + (–1) = a x – 5a x + 10a x – 10a x + 5ax – = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16 5 4 3 2 5a Hệ số x gấp bốn lần hệ số x nên = (a ≠ 0) hay a2 = hay a = 10a Suy A 2 x 2 x 4 = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16 + x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16 = 2x4 + 48x2 + 32 Vậy A = 2x4 + 48x2 + 32 a = –2 b) A 2,054 1,954 Vậy a = 2 a = –2 1 Bài trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Biết khai triển ax số x hạng không chứa x 24 Hãy tìm giá trị tham số a A = 2.0,054 + 48.0,052 + 32 A ≈ 32,12 Vậy A ≈ 32,12 Lời giải: A = ( + 0,05 )4 + ( – 0,05 )4 1 1 1 1 1 ax = (ax) + 4.( ax) + 6.( ax) + ax + x x x x x Bài trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Bạn An có bánh khác đơi An có cách chọn số bánh (tính trường hợp khơng chọn nào) để mang theo buổi dã ngoại? 4a = a x + 4a x + 6a + + x x Lời giải: Trong khai triển, số hạng không chứa x 24 nên 6a2 = 24 hay a = a = –2 Trường hợp 1: An khơng chọn bánh Có C04 cách Vậy a = a = – Trường hợp 2: An chọn bánh Có C14 cách chọn bánh khác 4 2 Bài trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Cho biểu thức A x x 4 Trường hợp 3: An chọn bánh Có C24 cách chọn bánh khác a) Khai triển rút gọn biểu thức A; Trường hợp 4: An chọn bánh Có C34 cách chọn bánh khác b) Sử dụng kết câu a, tính gần A 2,054 1,954 Trường hợp 5: An chọn bánh Có C44 cách chọn bánh khác Lời giải: Áp dụng quy tắc cộng ta thấy An có: a) Ta có: 4 2 (2 + x) = x + 4.x + 6.x + 4.x.2 + C04 + C24 + C14 + C34 + C44 = ( + )4 = 24 = 16 cách chọn bánh (tính trường hợp khơng chọn nào) để mang theo buổi dã ngoại Bài 1: Quy tắc cộng quy tắc nhân C BÀI TẬP Bài trang 39 SBT Toán 10 Tập 2: Trong hộp có chứa bóng màu trắng đánh số từ đến 8; 10 bóng màu xanh đánh số từ đến 10; 12 bóng màu cam đánh số từ đến 12 Từ hộp này, có cách a) chọn bóng? b) chọn ba bóng có màu khác đôi một? c) chọn hai bóng có màu khác nhau? Lời giải: a) Chọn bóng có ba phương án thực hiện: Phương án 1: Chọn bóng màu trắng, có cách chọn Phương án 2: Chọn bóng màu xanh, có 10 cách chọn Phương án 3: Chọn bóng màu cam, có 12 cách chọn Áp dụng quy tắc cộng, ta có số cách chọn bóng là: + 10 + 12 = 30 cách chọn b) Chọn ba bóng có màu khác đơi có ba cơng đoạn: Cơng đoạn 1: Chọn bóng màu trắng có cách chọn Cơng đoạn 2: Ứng với bóng trắng có 10 chọn bóng màu xanh Cơng đoạn 3: Ứng với bóng xanh trắng chọn, có 12 cách chọn bóng màu cam Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách chọn ba bóng có màu khác đơi là: 8.10.12 = 960 cách chọn c) Áp dụng quy tắc nhân ta có: Chọn bóng màu trắng bóng màu xanh, có 8.10 = 80 cách chọn Chọn bóng màu xanh bóng màu cam, có 10.12 = 120 cách chọn Chọn bóng màu cam bóng màu trắng, có 12.8 = 96 cách chọn Áp dụng quy tắc cộng, ta có số cách chọn hai bóng có màu khác là: Vậy có 125 kết xảy cách chọn địa điểm ba lớp 80 + 120 + 96 = 296 cách chọn Bài trang 39 SBT Toán 10 Tập 2: Mã xác thực (OTP - One Time Password) Bài trang 39 SBT Toán 10 Tập 2: Có ba hộp, hộp thứ chứa cầu ngân hàng gửi vào điện thoại khách hàng cho lần giao dịch dãy dán nhãn A, B; Hộp thứ hai chứa cầu dán nhãn a, b, c; Hộp thứ ba có kí tự từ chữ số từ đến Có thể tạo mã xác thực khác cầu dán nhãn 1, Từ hộp lấy ngẫu nhiên cầu vậy? a) Hãy vẽ sơ đồ hình để thể tất kết xảy Lời giải: b) Có kết xảy ra? Có 10 cách chọn (từ đến 9) cho kí tự mã xác thực Theo quy tắc nhân, số Lời giải: mã xác thực tạo 106 = 000 000 a) Sơ đồ hình thể tất kết xảy ra: b) Chọn ba cầu có màu khác đơi có ba cơng đoạn: Cơng đoạn 1: Chọn cầu hộp thứ có cách chọn Bài trang 39 SBT Toán 10 Tập 2: Tung đồng xu lần liên tiếp ghi lại Công đoạn 2: Ứng với cầu chọn hộp thứ nhất, cầu chọn hộp kết (ví dụ dùng kí hiệu SSNSN để kết lần tung sấp, sấp, thứ hai có cách chọn ngửa, sấp, ngửa) Có kết khác xảy ra? Công đoạn 3: Ứng với hai cầu chọn từ hộp thứ hộp thứ hai, Lời giải: cầu chọn hộp thứ ba có cách chọn Có thể coi việc tung đồng xu lần liên tiếp cơng việc có công đoạn Mỗi công Áp dụng quy tắc nhân, ta có số kết xảy là: 2.3.2 = 12 kết đoạn có phương án thực hiện, tương ứng đồng xu xuất sấp hay ngửa Do Bài trang 39 SBT Tốn 10 Tập 2: Ba lớp trường lên kế hoạch để theo quy tắc nhân, có 2.2.2.2.2 = 32 nhiêu kết khác xảy tung ngoại, lớp chọn năm địa điểm Có kết có đồng xu lần liên tiếp thể xảy cách chọn địa điểm ba lớp? Bài trang 40 SBT Toán 10 Tập 2: Mã số nhân viên cơng ty có kí tự, Lời giải: gồm chữ (từ chữ A, B, C, D, E, F) chữ số (từ Mỗi lớp có cách chọn địa điểm Theo quy tắc nhân, số cách chọn địa điểm ba lớp 5.5.5 = 125 cách chọn các chữ số 0; 1; ; 9) Cơng ty tạo mã số nhân viên theo cách Cơng đoạn 1: Đi từ A đến B có cách chọn này? Công đoạn 2: Ứng với cách chọn đường từ A đến B có cách chọn đường từ B đến D Áp dụng quy tắc nhân, ta có 2.2 = cách chọn đường từ A qua B đến D b) Đi từ A đến B có ba phương án: Phương án 1: Đi từ A đến D qua B, có cách (từ ý a) Phương án 2: Đi thẳng từ A đến D, có cách Phương án 3: Đi từ A đến D qua C, có cách (tương tự ý a) Áp dụng quy tắc cộng, có + + = 10 đường từ A đến D Lời giải: Bài trang 40 SBT Toán 10 Tập 2: Tung đồng thời hai xúc xắc khác Có cách chọn chữ cho kí tự ghi lại số chấm xuất xúc xắc Có kết xảy Với kí tự tiếp theo, kí tự có 10 cách chọn từ 10 chữ số 0, 1, 2, , mà tổng số chấm xuất hai mặt bội 5? Theo quy tắc nhân, cơng ty tạo 6.10.10.10 = 6000 mã số nhân viên Bài trang 40 SBT Tốn 10 Tập 2: Có đường nối bốn làng A, B, C, D Hình Có cách chọn đường khác a) từ A qua B đến D? b) từ A đến D? Lời giải: Ta viết (a; b) để kí hiệu kết số chấm xuất hai xúc xắc a b Ta có ≤ a ≤ ≤ b ≤ nên ≤ a + b ≤ 12 Như a + b bội a + b = a + b = 10 Trường hợp a + b = có kết quả: (1; 4), (4; 1), (2; 3), (3; 2) Lưu ý: Mỗi đường qua làng nhiều lần Lời giải: a) Việc từ A qua B đến D bao gồm hai công đoạn: Trường hợp a + b = 10 có kết quả: ( 4; 6), ( 6; 4), (5; 5) Áp dụng quy tắc cộng, ta có + = kết xảy mà tổng số chấm xuất Có cách chọn chữ số hàng đơn vị khác chữ số hàng chục từ chữ số cho hai mặt bội Áp dụng quy tắc nhân ta có 4.4 = 16 số Bài trang 40 SBT Toán 10 Tập 2: Sử dụng chữ số 0; 1; 2; 3; lập Áp dụng quy tắc cộng ta có 16 + = 21 số thỏa mãn yêu cầu đề số tự nhiên Bài 10 trang 40 SBT Toán 10 Tập 2: Một khoá tổ hợp với đĩa quay có 40 vạch số a) có ba chữ số khác nhau? (xem Hình 7) Mật mã khố dãy gồm số, kí hiệu a – b – c, số b) có chữ số khác bé 300? số tự nhiên từ đến 39 Để mở khoá, cần quay mặt số ngược chiều kim đồng c) có chữ số khác bé 100? hồ điểm mốc gặp vạch số a lần thứ ba, quay mặt số theo chiều Lời giải: ngược lại điểm mốc gặp vạch số b lần thứ hai, cuối quay mặt số a) Kí hiệu số có chữ số khác cần lập abc a, b, c chữ số ngược chiều kim đồng hồ điểm mốc gặp vạch số c lần Nếu a, khác từ chữ số cho, a ≠ b, c phải khác đôi một, có cách chọn mật mã cho khố tổ hợp Có cách chọn chữ số a 1, 2, 3, trên? Có cách chọn chữ số b chữ số cho ( b ≠ a ) Có cách chọn chữ số c chữ số cho ( c ≠ b ≠ a ) Áp dụng quy tắc nhân ta có 4.4.3 = 48 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu b) Kí hiệu số có chữ số khác cần lập abc a, b, c chữ số khác từ chữ số cho, a ≠ Vì số < 300 nên a < Có cách chọn chữ số a 1, Có cách chọn chữ số b chữ số cho ( b ≠ a ) Có cách chọn chữ số c chữ số cho ( c ≠ b ≠ a ) Áp dụng quy tắc nhân ta có 2.4.3 = 24 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu Lời giải: c) Kí hiệu n số tự nhiên lập từ chữ số cho, n < 100 Có hai trường Có 40 cách chọn a từ số từ đến 39 hợp sau: Có 39 cách chọn b từ 39 số khác a lại Trường hợp 1: n có chữ số Có số thỏa mãn lập từ chữ số cho Có 38 cách chọn c từ 38 số khác a b cịn lại Trường hợp 2: n có chữ số Áp dụng quy tắc nhân ta có 40.39.38 = 59280 cách chọn mật mã cho khoá tổ hợp Có cách chọn chữ số hàng chục: 1, 2, 3, ... 16 số Bài trang 40 SBT Toán 10 Tập 2: Sử dụng chữ số 0; 1; 2; 3; lập Áp dụng quy tắc cộng ta có 16 + = 21 số thỏa mãn yêu cầu đề số tự nhiên Bài 10 trang 40 SBT Toán 10 Tập 2: Một khoá tổ hợp. .. theo, kí tự có 10 cách chọn từ 10 chữ số 0, 1, 2, , mà tổng số chấm xuất hai mặt bội 5? Theo quy tắc nhân, cơng ty tạo 6 .10. 10 .10 = 6000 mã số nhân viên Bài trang 40 SBT Tốn 10 Tập 2: Có đường... (tính trường hợp khơng chọn nào) để mang theo buổi dã ngoại Bài 1: Quy tắc cộng quy tắc nhân C BÀI TẬP Bài trang 39 SBT Toán 10 Tập 2: Trong hộp có chứa bóng màu trắng đánh số từ đến 8; 10 bóng màu