Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 2 Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp A Lý thuyết 1 Hoán vị – Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự gọi là một hoán vị các phần tử đó (gọi tắt là hoán vị của[.]
Bài Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp A Lý thuyết Vậy lập 720 số Ta lập số tự nhiên lẻ có chữ số khác từ chữ số 1; 2; 3; 5; 6; Hốn vị • Bước 1: Chọn chữ số hàng đơn vị chữ số lẻ – Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách xếp n phần tử A theo thứ tự gọi hốn vị phần Có cách chọn (chọn chữ số 1; 3; 5; 7) Bước 2: Chọn năm chữ số lại tử (gọi tắt hốn vị A hay n phần tử) Có P5 = 5! cách chọn Kí hiệu Pn số hoán vị n phần tử Từ đó, theo quy tắc nhân, số số tự nhiên lẻ có sáu chữ số khác lập từ – Số hoán vị n phần tử (n ≥ 1) bằng: Pn = n(n – 1)(n – 2)….2 chữ số cho là: 4.5! = 480 (số) Chú ý: Chỉnh hợp + Ta đưa vào kí hiệu n! = n(n – 1)(n – 2)… đọc n giai thừa giai thừa n Khi Pn = n! + Quy ước: 0! = – Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) số nguyên k với ≤ k ≤ n Mỗi cách lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Kí hiệu A kn số chỉnh hợp chập k n phần tử Ví dụ: Có thể lập số có chữ số khác từ chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7? Trong số có số lẻ? – Số chỉnh hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) bằng: Hướng dẫn giải A kn = n(n – 1)(n – 2) ….(n – k + 1) = n! n − ( k )! • Mỗi số tự nhiên có chữ số khác lập từ chữ số 1; 2; 3; 5; 6; hoán vị chữ số Do đó, số số tự nhiên có chữ số khác lập Nhận xét: Mỗi hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần là: tử P6 = 6! = = 720 (số) Ta có Pn = Ann , n ≥ Ví dụ: Trên bàn có 10 cam to nhỏ khác Chọn cam 10 đó, đặt vào giỏ nhựa khác Hỏi có cách chọn cam Hướng dẫn giải Mỗi cách chọn bạn học sinh lớp từ 20 bạn học sinh tổ hợp chập 20 học sinh Do số cách chọn bạn học sinh lớp dự đại hội Đoàn Hướng dẫn giải Thanh niên là: Mỗi cách chọn cam 10 cam đặt vào giỏ nhựa gọi chỉnh hợp chập 10 cam Ta thấy số chỉnh hợp bằng: C520 = 20! = 15 504 (cách) 5!.15! Vậy có 15 504 cách chọn bạn học sinh lớp dự đại hội Đoàn Thanh = 10 = 720 A10 niên Vậy có 720 cách chọn cam Ví dụ: Tính: Tổ hợp a) C11 14 ; – Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi tập gồm k phần tử (1 ≤ k ≤ n) A gọi tổ hợp chập k b) C22 24 + C24 ; n phần tử c) C227 − C26 Kí hiệu Ckn số tổ hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) Hướng dẫn giải – Số tổ hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) bằng: Ckn = n! k!( n − k )! Chú ý: Người ta quy ước C0n = a) C11 14 = 14! 14.13.12.11! 14.13.12 = = = 364 11!.3! 11!.3.2.1 3.2.1 24−2 b) C22 + C224 = C224 + C224 = 2C24 24 + C24 = C24 = 24! 24.23.22! = = 24.23 = 552 2!.22! 2.1.22! Nhận xét: Ckn = Cnn −k (0 ≤ k ≤ n) Ví dụ: Lớp 10A có 20 học sinh Trong tuần sau có bạn cử dự đại hội Đồn Thanh niên Hỏi có cách chọn bạn học sinh lớp dự đại hội Đoàn Thanh niên? c) C227 − C26 = = 27! 26! 27.26.25! 26.25.24! − = − 2!.25! 2!.24! 2.1.25! 2.1.24! 27.26 26.25 26 − = ( 27 − 25 ) = 13.2 = 26 2.1 2.1 Tính số hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp máy tính cầm tay P6 = 6! = 720 cách Với số máy tính cầm tay, ta tính tốn nhanh số hốn vị, chỉnh Vậy có 720 cách xếp học sinh vào ghế trống hợp tổ hợp • Bạn An muốn ngồi vào ghế bên trái nên cịn ghế trống học sinh Ví dụ: • Để tính P10 ta ấn liên tiếp phím: 10 SHIFT x −1 ( x!) P5 = 5! = 120 cách = Vậy bạn An muốn ngồi vào ghế bên trái có 120 cách xếp Ta nhận kết 628 800 • Để tính A 64 ta ấn liên tiếp phím: SHIFT ( n Pr ) = Ta nhận kết 360 • Để tính C ta ấn liên tiếp phím: 8 SHIFT ( nCr ) Do đó, số cách xếp học sinh vào ghế trống là: = Bài Trong đại hội Đồn gồm có 10 ứng viên Người ta cần bầu chủ tịch, phó chủ tịch, ủy viên thư kí Hỏi có khả kết bầu này? Hướng dẫn giải Mỗi cách chọn người số 10 ứng viên để vào vị trí (chủ tịch, phó chủ tịch, ủy viên thư kí) chỉnh hợp chập 10 ứng viên Do có số khả kết bầu là: = A10 10! = 040 4! Vậy có 040 khả kết bầu Ta nhận kết 70 Bài Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên tập hợp số tự nhiên có chữ số B Bài tập tự luyện chia hết cho 10 Hỏi có cách chọn số tự nhiên Bài Có ghế phịng học Hỏi có học sinh ngồi vào có Hướng dẫn giải cách xếp? Nếu có bạn An (có học sinh trên) muốn ngồi Các số tự nhiên có chữ số chia hết cho 10 là: 10; 20; 30; …; 90 vào ghế ngồi bên trái có cách xếp? Do có số tự nhiên có chữ số chia hết cho 10 Hướng dẫn giải Mỗi cách chọn số số tự nhiên tổ hợp chập số tự • Mỗi cách xếp học sinh vào ghế hoán vị học sinh Do đó, nhiên Do đó, số cách chọn số số là: số cách xếp học sinh vào ghế trống là: C39 = b) Chọn viên bi có hai viên bi màu trắng ta chia làm hai công 9! = 84 cách 3!.6! đoạn: Vậy có 84 cách chọn số tự nhiên tập hợp số tự nhiên có chữ số chia Công đoạn 1: chọn viên bi màu trắng 10 viên bi màu trắng tổ hợp hết cho 10 chập 10 Do có C10 = 45 (cách) Bài Sử dụng máy tính cầm tay để tính biểu thức sau: P5 + A83.C74 Công đoạn 1: chọn viên bi 14 viên bi lại tổ hợp chập 14 Hướng dẫn giải Do có C14 = 91 (cách) Ta ấn phím sau: Theo quy tắc nhân ta có: 45.91= 095 cách chọn viên bi có ; Shift ; x −1 ; + ; ; Shift ; × ; 3; × ; ; Shift ; ÷ ; 4; = viên bi màu trắng SHIFT x −1 + SHIFT SHIFT = Ta kết là: 11880 Bài Trong hộp đựng viên bi đỏ, viên bi xanh, 10 viên bi trắng Có cách chọn viên bi trường hợp sau: a) viên bi có màu b) viên bi chọn có hai viên bi màu trắng Hướng dẫn giải a) Có tất cả: + + 10 = 24 viên bi hộp Chọn viên bi tổng số 24 viên bi tổ hợp chập 24 Do số cách chọn viên bi có màu hộp là: C424 = 10626 (cách) Vậy có 10 626 cách chọn viên bi có màu Bài Nhị thức Newton Ví dụ: Sử dụng cơng thức nhị thức Newton khai triển biểu thức (a + 2)4 A Lý thuyết Hướng dẫn giải Hai công thức khai triển: Theo công thức nhị thức Newton ta có: • ( a + b ) = C04a + C14a 3b + C 24a 2b + C34ab3 + C 44b 4 = a + 4a 3b + 6a 2b2 + 4ab3 + b4 ; • ( a + b ) = C50a + C15a 4b + C52a 3b + C35a 2b3 + C54ab + C55b 5 = a + 5a 4b + 10a 3b2 + 10a 2b3 + 5ab4 + b5 Hai công thức gọi công thức nhị thức Newton (gọi tắt nhị thức Newton) ( a + b ) ứng với n = n = (a + 2)4 = 1.a4 + 4a3.2 + 6a2.22 + 4a.23 + 24 = a4 + 8a3 + 24a2 + 32a + 16 ( Ví dụ: Khai triển rút gọn biểu thức: + ) + (1 − ) 5 Hướng dẫn giải Theo công thức nhị thức Newton ta có: n ( • 1+ ) = + 5 + 10 ( 5) + 10 ( 5) + ( 5) + ( 5) Chú ý: – Các hệ số khai triển nhị thức Newton (a + b)n với n = 0; 1; 2; 3; … viết thành hàng xếp thành bảng số = + 5 + 50 + 50 + 125 + 25 = 176 + 80 ( • 1+ ) ( ) ( = + − + 10 − ) ( + 10 − ) ( + − = − 5 + 50 − 50 + 125 − 25 = 176 − 80 Bảng số có quy luật: số số cuối hàng 1; tổng Do ta có: số liên tiếp hàng số hàng kế vị trí hai số (được mũi tên bảng) (1 + ) + (1 − ) Bảng số dược gọi tam giác Pascal (đặt theo tên nhà toán học, vật lí B Bài tập tự luyện học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623 – 1662) 5 = 176 + 80 + 176 − 80 = 352 ) ( + − ) Bài Sử dụng công thức nhị thức Newton khai triển biểu thức: Ở có xuất lũy thừa số từ mũ đến mũ nên b = a) (2x + y)4; Ta có khai triển: ( ) b) x − ( x + 2) Hướng dẫn giải Khi x = ta có: Theo cơng thức nhị thức Newton ta có: (1 + ) a) (2x + y)4 = (2x)4 + 4.(2x)3.y + 6.(2x)2.y2 + 4(2x).y3 + y4 35 = C50 + 2.C15 + 22.C52 + 23.C35 + 24.C54 + 25.C55 = 16x4 + 32x3y + 24x2y2 + 8xy3 + y4 243 = C50 + 2.C15 + 22.C52 + 23.C53 + 24.C54 + 25.C55 b) Vậy C50 + 2.C15 + 22.C52 + 23.C35 + 24.C54 + 25.C55 = 243 (x − 5) 5 ( ) ( = x + 5x − + 10x − ) ( + 10x − ) ( + 5x − ) + (− ) 5 = C50 x + C15 x + C52 x 3.22 + C35.x 23 + C54 x.2 + C55.25 = C50 15 + C15 14.2 + C52 13.22 + C35 12.23 + C54 1.2 + C55.25 = x − 5x + 50x − 50 5x + 125x − 25 Bài Tìm hệ số x4 khai triển (2x – 3)5 Bài Khai triển rút gọn biểu thức: (x + 2)4 + (2 – x)4 Từ tính giá trị biểu thức: 2,054 + 1,954 Hướng dẫn giải Theo cơng thức nhị thức Newton ta có: Hướng dẫn giải Theo cơng thức nhị thức Newton ta có: • (x + 2)4 = x4 + 4x3.2 + 6x2.22 + 4x.23 + 24 (2x + 3)5 = (2x)5 + 5(2x)4.(–3) + 10.(2x)3.(–3)2 + 10.(2x)2.(–3)3 + 5.2x.(–3)4 + (– = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16 3)5 • (2 – x)4 = 24 + 4.23.(–x) + 6.22.(–x)2 + 4.2.(–x)3 + (–x)4 = 32x5 – 240x4 + 720x3 – 1080x2 + 810x – 243 Vậy hệ số x khai triển –240 = x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16 Bài Sử dụng công thức nhị thức Newton chứng tỏ rằng: C50 + 2.C15 + 22.C52 + 23.C35 + 24.C54 + 25.C55 = 243 Do ta có: (x + 2)4 + (2 – x)4 = 2x4 + 48x2 + 32 Hướng dẫn giải Với x = 0,05 ta có: Giả sử ta có khai triển (a + b)n với n = 0; 1; 2; … (0,05 + 2)4 + (2 – 0,05)4 Ta thấy biểu thức chứng minh có tổ hợp chập k 5, nên n = = 2.(0,05)4 + 48.(0,05)2 + 32 = 32,1200125 Vậy 2,054 + 1,954 = 32,1200125 Bài Quy tắc cộng quy tắc nhân A Lý thuyết Quy tắc cộng – Giả sử cơng việc thực theo phương án A B Phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực khơng trùng với cách phương án A Khi đó, cơng việc thực theo m + n cách Ví dụ: Lớp 10A có 20 học sinh, lớp 10C có 24 học sinh Có cách cử học sinh lớp 10A lớp 10C tham dự đại hội Đoàn trường? Hướng dẫn giải Cơng việc cử học sinh có phương án thực hiện: Phương án 1: Cử học sinh lớp 10A, ta có 20 cách Phương án 2: Cử học sinh lớp 10C, ta có 24 cách Ta thấy cách thực phương án B không trùng với cách phương án A Do theo quy tắc cộng, có 20 + 24 = 44 cách cử học sinh lớp 10A lớp 10C tham dự đại hội Đoàn trường Quy tắc nhân – Giả sử công việc chia thành hai công đoạn Công đoạn thứ có m cách thực ứng với cách có n cách thực cơng đoạn thứ hai Khi cơng việc thực theo m n cách Ví dụ: Từ nhà An đến trường qua điểm A, B, C Từ nhà An đến điểm A có cách đi, từ điểm A đến điểm B có cách đi, từ điểm B đến điểm C có cách Từ điểm C đến trường học có cách Hỏi có cách từ nhà An đến trường? Hướng dẫn giải Từ nhà An đến trường qua điểm A, B, C, có cơng đoạn: + Cơng đoạn 1: Từ nhà An đến điểm A có cách + Công đoạn 2: Từ điểm A đến điểm B có cách + Cơng đoạn 3: Từ điểm B đến điểm C có cách Bài Trong tủ sách lớp Vân có 10 sách Toán, sách Ngữ Văn sách Tiếng Anh Bạn Vân muốn chọn sách Toán, Ngữ Văn Tiếng Anh để đọc Hỏi Vân có cách chọn? Hướng dẫn giải Chọn sách Toán, sách Tiếng Việt, sách Tiếng Anh có cơng đoạn: + Cơng đoạn 1: Chọn Tốn có 10 cách + Công đoạn 4: Từ điểm C đến trường học có cách Do đó, theo quy tắc nhân, có 2 = 48 cách từ nhà An đến trường + Công đoạn 2: Chọn Ngữ Văn có cách + Cơng đoạn 3: Chọn Tiếng Anh có cách Theo quy tắc nhân, Vân có 10 = 400 cách chọn sách Toán, B Bài tập tự luyện sách Ngữ Văn sách Tiếng Anh Bài Một giỏ hoa chứa cam táo Bài Có số tự nhiên có chữ số đó: a) Hỏi có cách chọn cam táo? a) chữ số chữ số chẵn b) Hỏi có cách chọn cam táo? b) chữ số hàng chục hàng trăm chữ số lẻ, chữ số hàng đơn vị chữ số Hướng dẫn giải chẵn a) Chọn cam táo, có phương án chọn: Hướng dẫn giải + Phương án 1: Chọn cam cam có cách Gọi số cần tìm có chữ số abc (với < a < 9; ≤ b, c ≤ 9; a, b, c ∈ ℕ) + Phương án 2: Chọn táo táo có cách Ta có a ∈{1; 2; …; 9}; b ∈{0; 1; 2; …; 9} c ∈{0; 1; 2; …; 9} Mỗi cách phương án không trùng với cách phương án a) Lập số tự nhiên có chữ số chữ số chẵn có cơng đoạn: + Cơng đoạn 1: Chọn chữ số hàng trăm: có cách chọn (chọn chữ Do có + = cách để chọn cam táo số 2; 4; 6; 8) b) Chọn cam táo có cơng đoạn: + Cơng đoạn 2: Chọn chữ số hàng chục: có cách chọn (chọn chữ + Công đoạn 1: chọn cam có cách số 0; 2; 4; 6; 8) + Cơng đoạn 3: Chọn chữ số hàng đơn vị: có cách chọn (chọn + Công đoạn 2: chọn táo có cách chữ số 0; 2; 4; 6; 8) Theo quy tắc nhân, có = 20 cách chọn cam táo Theo quy tắc nhân, có 5 = 100 cách chọn Vậy có 100 số tự nhiên có chữ số chữ số chẵn b) Lập số tự nhiên theo yêu cầu có công đoạn: + Công đoạn 1: Chọn chữ số hàng trăm: có cách chọn (chọn chữ số 1; 3; 5; 7; 9) + Công đoạn 2: Chọn chữ số hàng chục: có cách chọn (chọn chữ số 1; 3; 5; 7; 9) + Công đoạn 3: Chọn chữ số hàng đơn vị: có cách chọn (chọn chữ số 0; 2; 4; 6; 8) Theo quy tắc nhân, có 5 = 125 cách chọn Vậy có 125 số tự nhiên có chữ số mà chữ số hàng chục hàng trăm chữ số lẻ, chữ số hàng đơn vị chữ số chẵn Bài Minh từ nhà đến nhà sách theo đường hình vẽ bên dưới, có đường qua Circle K Highlands Coffee Hỏi Minh có cách từ nhà đến nhà sách? Hướng dẫn giải – Đi từ nhà Minh đến nhà sách phải qua Circle K Highlands Coffee có cơng đoạn: + Cơng đoạn 1: Đi từ nhà Minh đến Circle K: có cách + Công đoạn 2: Đi từ Circle K đến Highlands Coffee: có cách + Cơng đoạn 3: Đi từ Highlands Coffee đến nhà sách: có cách Do theo quy tắc nhân có = 24 cách từ nhà Minh đến nhà sách Vậy có 24 cách từ nhà Minh đến nhà sách Ôn tập chương VIII A Lý thuyết Quy tắc cộng – Giả sử cơng việc thực theo phương án A B Phương án A có Hướng dẫn giải Từ nhà An đến trường qua điểm A, B, C, có công đoạn: + Công đoạn 1: Từ nhà An đến điểm A có cách + Cơng đoạn 2: Từ điểm A đến điểm B có cách m cách thực hiện, phương án B có n cách thực khơng trùng với cách phương án A Khi đó, cơng việc thực theo m + n cách + Công đoạn 3: Từ điểm B đến điểm C có cách Ví dụ: Lớp 10A có 20 học sinh, lớp 10C có 24 học sinh Có cách cử học sinh + Công đoạn 4: Từ điểm C đến trường học có cách lớp 10A lớp 10C tham dự đại hội Đoàn trường? Hướng dẫn giải Cơng việc cử học sinh có phương án thực hiện: Phương án 1: Cử học sinh lớp 10A, ta có 20 cách Do đó, theo quy tắc nhân, có 2 = 48 cách từ nhà An đến trường Hốn vị – Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách xếp n phần tử A theo thứ tự gọi hốn vị phần tử (gọi Phương án 2: Cử học sinh lớp 10C, ta có 24 cách tắt hoán vị A hay n phần tử) Ta thấy cách thực phương án B không trùng với cách phương án A Kí hiệu Pn số hốn vị n phần tử Do theo quy tắc cộng, có 20 + 24 = 44 cách cử học sinh lớp 10A lớp 10C – Số hoán vị n phần tử (n ≥ 1) bằng: tham dự đại hội Đoàn trường Pn = n(n – 1)(n – 2)….2 Quy tắc nhân – Giả sử công việc chia thành hai công đoạn Công đoạn thứ có m cách thực ứng với cách có n cách thực cơng đoạn thứ hai Khi cơng việc thực theo m n cách Ví dụ: Từ nhà An đến trường qua điểm A, B, C Từ nhà An đến điểm A có cách đi, từ điểm A đến điểm B có cách đi, từ điểm B đến điểm C có cách Từ điểm C đến trường học có cách Hỏi có cách từ nhà An đến trường? Chú ý: + Ta đưa vào kí hiệu n! = n(n – 1)(n – 2)… đọc n giai thừa giai thừa n Khi Pn = n! + Quy ước: 0! = Ví dụ: Có thể lập số có chữ số khác từ chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7? – Số chỉnh hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) bằng: Trong số có số lẻ? A kn = n(n – 1)(n – 2) ….(n – k + 1) = Hướng dẫn giải • Mỗi số tự nhiên có chữ số khác lập từ chữ số 1; 2; 3; 5; 6; hốn vị chữ số Do đó, số số tự nhiên có chữ số khác lập là: P6 = 6! = = 720 (số) n! ( n − k )! Nhận xét: Mỗi hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Ta có Pn = Ann , n ≥ Ví dụ: Trên bàn có 10 cam to nhỏ khác Chọn cam 10 đó, Vậy lập 720 số đặt vào giỏ nhựa khác Hỏi có cách chọn cam Ta lập số tự nhiên lẻ có chữ số khác từ chữ số 1; 2; 3; 5; 6; Hướng dẫn giải • Bước 1: Chọn chữ số hàng đơn vị chữ số lẻ Mỗi cách chọn cam 10 cam đặt vào giỏ nhựa gọi Có cách chọn (chọn chữ số 1; 3; 5; 7) Bước 2: Chọn năm chữ số lại chỉnh hợp chập 10 cam Ta thấy số chỉnh hợp bằng: = 10 = 720 A10 Có P5 = 5! cách chọn Vậy có 720 cách chọn cam Từ đó, theo quy tắc nhân, số số tự nhiên lẻ có sáu chữ số khác lập từ chữ số Tổ hợp cho là: – Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) 4.5! = 480 (số) Mỗi tập gồm k phần tử (1 ≤ k ≤ n) A gọi tổ hợp chập k n phần Chỉnh hợp tử – Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) số nguyên k với ≤ k ≤ n Kí hiệu Ckn số tổ hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) Mỗi cách lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp – Số tổ hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) bằng: chập k n phần tử Ckn = Kí hiệu A kn số chỉnh hợp chập k n phần tử n! k!( n − k )! Chú ý: Người ta quy ước C0n = = 24! 24.23.22! = = 24.23 = 552 2!.22! 2.1.22! Nhận xét: Ckn = Cnn −k (0 ≤ k ≤ n) Ví dụ: Lớp 10A có 20 học sinh Trong tuần sau có bạn cử dự đại hội Đồn Thanh niên Hỏi có cách chọn bạn học sinh lớp dự đại hội Đoàn Thanh niên? c) C227 − C26 = = 27! 26! 27.26.25! 26.25.24! − = − 2!.25! 2!.24! 2.1.25! 2.1.24! 27.26 26.25 26 − = ( 27 − 25 ) = 13.2 = 26 2.1 2.1 Hướng dẫn giải Tính số hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp máy tính cầm tay Mỗi cách chọn bạn học sinh lớp từ 20 bạn học sinh tổ hợp chập 20 Với số máy tính cầm tay, ta tính tốn nhanh số hoán vị, chỉnh hợp học sinh Do số cách chọn bạn học sinh lớp dự đại hội Đoàn Thanh niên là: tổ hợp C520 = Ví dụ: 20! = 15 504 (cách) 5!.15! • Để tính P10 ta ấn liên tiếp phím: Vậy có 15 504 cách chọn bạn học sinh lớp dự đại hội Đoàn Thanh niên 10 SHIFT Ví dụ: Tính: Ta nhận kết 628 800 a) C11 14 ; • Để tính A 64 ta ấn liên tiếp phím: b) C22 24 + C24 ; SHIFT ( n Pr ) c) C227 − C26 14! 14.13.12.11! 14.13.12 = = = 364 11!.3! 11!.3.2.1 3.2.1 • Để tính C84 ta ấn liên tiếp phím: SHIFT 24−2 24 b) C + C = C 22 24 24 = Ta nhận kết 360 Hướng dẫn giải a) C11 14 = x −1 ( x!) = + C = C + C = 2C 24 24 24 ( nCr ) 24 Ta nhận kết 70 = Nhị thức Newton Ví dụ: Sử dụng công thức nhị thức Newton khai triển biểu thức (a + 2)4 Hai công thức khai triển: Hướng dẫn giải • ( a + b ) = C04a + C14a 3b + C 24a 2b + C34ab3 + C 44b Theo công thức nhị thức Newton ta có: = a + 4a 3b + 6a 2b2 + 4ab3 + b4 ; (a + 2)4 = 1.a4 + 4a3.2 + 6a2.22 + 4a.23 + 24 • ( a + b ) = C50a + C15a 4b + C52a 3b + C35a 2b3 + C54ab + C55b 5 = a + 5a b + 10a b + 10a b + 5ab + b 2 = a4 + 8a3 + 24a2 + 32a + 16 ( Ví dụ: Khai triển rút gọn biểu thức: + Hai công thức gọi công thức nhị thức Newton (gọi tắt nhị thức Newton) Hướng dẫn giải (a + b) Theo công thức nhị thức Newton ta có: n ứng với n = n = Chú ý: ( • 1+ ) = + 5 + 10 ( 5) + 10 ( 5) ) + (1 − ) + 5 ( 5) + ( 5) – Các hệ số khai triển nhị thức Newton (a + b)n với n = 0; 1; 2; 3; … viết thành hàng xếp thành bảng số = + 5 + 50 + 50 + 125 + 25 = 176 + 80 ( • 1+ ) ( ) ( = + − + 10 − ) ( + 10 − ) ( + − = − 5 + 50 − 50 + 125 − 25 Bảng số có quy luật: số số cuối hàng 1; tổng số liên tiếp hàng số hàng kế vị trí hai số (được mũi tên bảng) = 176 − 80 Do ta có: (1 + ) + (1 − ) Bảng số dược gọi tam giác Pascal (đặt theo tên nhà toán học, vật lí học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623 – 1662) B Bài tập tự luyện = 176 + 80 + 176 − 80 = 352 ) ( + − ) Bài Một giỏ hoa chứa cam táo Bài Có số tự nhiên có chữ số đó: a) Hỏi có cách chọn cam táo? a) chữ số chữ số chẵn b) Hỏi có cách chọn cam táo? b) chữ số hàng chục hàng trăm chữ số lẻ, chữ số hàng đơn vị chữ số chẵn Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải a) Chọn cam táo, có phương án chọn: Gọi số cần tìm có chữ số abc (với < a < 9; ≤ b, c ≤ 9; a, b, c ∈ ℕ) + Phương án 1: Chọn cam cam có cách Ta có a ∈{1; 2; …; 9}; b ∈{0; 1; 2; …; 9} c ∈{0; 1; 2; …; 9} + Phương án 2: Chọn táo táo có cách Mỗi cách phương án không trùng với cách phương án a) Lập số tự nhiên có chữ số chữ số chẵn có cơng đoạn: + Cơng đoạn 1: Chọn chữ số hàng trăm: có cách chọn (chọn chữ số 2; 4; 6; 8) Do có + = cách để chọn cam táo + Công đoạn 2: Chọn chữ số hàng chục: có cách chọn (chọn chữ số 0; 2; b) Chọn cam táo có công đoạn: 4; 6; 8) + Công đoạn 3: Chọn chữ số hàng đơn vị: có cách chọn (chọn chữ số 0; + Công đoạn 1: chọn cam có cách + Cơng đoạn 2: chọn táo có cách Theo quy tắc nhân, có = 20 cách chọn cam táo 2; 4; 6; 8) Theo quy tắc nhân, có 5 = 100 cách chọn Vậy có 100 số tự nhiên có chữ số chữ số chẵn b) Lập số tự nhiên theo u cầu có cơng đoạn: Bài Trong tủ sách lớp Vân có 10 sách Toán, sách Ngữ Văn sách Tiếng Anh Bạn Vân muốn chọn sách Toán, Ngữ Văn Tiếng Anh để đọc Hỏi Vân có cách chọn? Hướng dẫn giải Chọn sách Toán, sách Tiếng Việt, sách Tiếng Anh có cơng đoạn: + Cơng đoạn 1: Chọn Tốn có 10 cách + Công đoạn 2: Chọn Ngữ Văn có cách + Cơng đoạn 3: Chọn Tiếng Anh có cách Theo quy tắc nhân, Vân có 10 = 400 cách chọn sách Toán, sách Ngữ Văn sách Tiếng Anh + Công đoạn 1: Chọn chữ số hàng trăm: có cách chọn (chọn chữ số 1; 3; 5; 7; 9) + Công đoạn 2: Chọn chữ số hàng chục: có cách chọn (chọn chữ số 1; 3; 5; 7; 9) + Công đoạn 3: Chọn chữ số hàng đơn vị: có cách chọn (chọn chữ số 0; 2; 4; 6; 8) Theo quy tắc nhân, có 5 = 125 cách chọn Vậy có 125 số tự nhiên có chữ số mà chữ số hàng chục hàng trăm chữ số lẻ, chữ số hàng đơn vị chữ số chẵn Bài Minh từ nhà đến nhà sách theo đường hình vẽ bên dưới, có đường qua Circle K Highlands Coffee Vậy có 720 cách xếp học sinh vào ghế trống • Bạn An muốn ngồi vào ghế bên trái nên cịn ghế trống học sinh Do đó, số cách xếp học sinh vào ghế trống là: P5 = 5! = 120 cách Vậy bạn An muốn ngồi vào ghế bên trái có 120 cách xếp Hỏi Minh có cách từ nhà đến nhà sách? Bài Trong đại hội Đồn gồm có 10 ứng viên Người ta cần bầu chủ tịch, phó chủ tịch, ủy viên thư kí Hỏi có khả kết Hướng dẫn giải bầu này? – Đi từ nhà Minh đến nhà sách phải qua Circle K Highlands Coffee có công đoạn: Hướng dẫn giải + Công đoạn 1: Đi từ nhà Minh đến Circle K: có cách + Công đoạn 2: Đi từ Circle K đến Highlands Coffee: có cách + Cơng đoạn 3: Đi từ Highlands Coffee đến nhà sách: có cách Mỗi cách chọn người số 10 ứng viên để vào vị trí (chủ tịch, phó chủ tịch, ủy viên thư kí) chỉnh hợp chập 10 ứng viên Do có số khả kết bầu là: = A10 10! = 040 4! Do theo quy tắc nhân có = 24 cách từ nhà Minh đến nhà sách Vậy có 040 khả kết bầu Vậy có 24 cách từ nhà Minh đến nhà sách Bài Trong hộp đựng viên bi đỏ, viên bi xanh, 10 viên bi trắng Có bao Bài Có ghế phịng học Hỏi có học sinh ngồi vào có nhiêu cách chọn viên bi trường hợp sau: cách xếp? Nếu có bạn An (có học sinh trên) muốn ngồi vào ghế ngồi a) viên bi có màu bên trái có cách xếp? b) viên bi chọn có hai viên bi màu trắng Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải • Mỗi cách xếp học sinh vào ghế hốn vị học sinh Do đó, số cách a) Có tất cả: + + 10 = 24 viên bi hộp xếp học sinh vào ghế trống là: Chọn viên bi tổng số 24 viên bi tổ hợp chập 24 P6 = 6! = 720 cách Do số cách chọn viên bi có màu hộp là: C424 = 10626 (cách) Vậy có 10 626 cách chọn viên bi có màu (2x + 3)5 = (2x)5 + 5(2x)4.(–3) + 10.(2x)3.(–3)2 + 10.(2x)2.(–3)3 + 5.2x.(–3)4 + (–3)5 b) Chọn viên bi có hai viên bi màu trắng ta chia làm hai công đoạn: = 32x5 – 240x4 + 720x3 – 1080x2 + 810x – 243 Vậy hệ số x4 khai triển –240 Công đoạn 1: chọn viên bi màu trắng 10 viên bi màu trắng tổ hợp chập Bài 10 Sử dụng công thức nhị thức Newton chứng tỏ rằng: 10 Do có C10 = 45 (cách) C50 + 2.C15 + 22.C52 + 23.C35 + 24.C54 + 25.C55 = 243 Công đoạn 1: chọn viên bi 14 viên bi lại tổ hợp chập 14 Do có Hướng dẫn giải C = 91 (cách) Giả sử ta có khai triển (a + b)n với n = 0; 1; 2; … Theo quy tắc nhân ta có: 45.91= 095 cách chọn viên bi có viên bi Ta thấy biểu thức chứng minh có tổ hợp chập k 5, nên n = 14 màu trắng Ở có xuất lũy thừa số từ mũ đến mũ nên b = Bài Sử dụng công thức nhị thức Newton khai triển biểu thức: Ta có khai triển: a) (2x + y)4; ( ) ( x + 2) b) x − (1 + ) Theo công thức nhị thức Newton ta có: ) ( ) ( = x + 5x − + 10x − ) Bài Tìm hệ số x4 khai triển (2x – 3)5 Theo công thức nhị thức Newton ta có: ( + 10x − = x − 5x + 50x − 50 5x + 125x − 25 Hướng dẫn giải = C50 15 + C15 14.2 + C52 13.22 + C35 12.23 + C54 1.2 + C55.25 243 = C50 + 2.C15 + 22.C52 + 23.C53 + 24.C54 + 25.C55 = 16x4 + 32x3y + 24x2y2 + 8xy3 + y4 5 35 = C50 + 2.C15 + 22.C52 + 23.C35 + 24.C54 + 25.C55 a) (2x + y)4 = (2x)4 + 4.(2x)3.y + 6.(2x)2.y2 + 4(2x).y3 + y4 ( = C50 x + C15 x + C52 x 3.22 + C35.x 23 + C54 x.2 + C55.25 Khi x = ta có: Hướng dẫn giải b) x − 5 ) ( + 5x − ) + (− ) Vậy C50 + 2.C15 + 22.C52 + 23.C35 + 24.C54 + 25.C55 = 243 Bài 11 Khai triển rút gọn biểu thức: (x + 2)4 + (2 – x)4 Từ tính giá trị biểu thức: 2,054 + 1,954 Hướng dẫn giải Theo công thức nhị thức Newton ta có: • (x + 2)4 = x4 + 4x3.2 + 6x2.22 + 4x.23 + 24 = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16 • (2 – x)4 = 24 + 4.23.(–x) + 6.22.(–x)2 + 4.2.(–x)3 + (–x)4 = x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16 Do ta có: (x + 2)4 + (2 – x)4 = 2x4 + 48x2 + 32 Với x = 0,05 ta có: (0,05 + 2)4 + (2 – 0,05)4 = 2.(0,05)4 + 48.(0,05)2 + 32 = 32,1200125 Vậy 2,054 + 1,954 = 32,1200125 ... cơng 9! = 84 cách 3!.6! đoạn: Vậy có 84 cách chọn số tự nhiên tập hợp số tự nhiên có chữ số chia Cơng đoạn 1: chọn viên bi màu trắng 10 viên bi màu trắng tổ hợp hết cho 10 chập 10 Do có C10 = 45... nhân, số số tự nhiên lẻ có sáu chữ số khác lập từ chữ số Tổ hợp cho là: – Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) 4.5! = 480 (số) Mỗi tập gồm k phần tử (1 ≤ k ≤ n) A gọi tổ hợp chập k n phần Chỉnh hợp. .. Các số tự nhiên có chữ số chia hết cho 10 là: 10; 20; 30; …; 90 vào ghế ngồi bên trái có cách xếp? Do có số tự nhiên có chữ số chia hết cho 10 Hướng dẫn giải Mỗi cách chọn số số tự nhiên tổ hợp