Bài 3 Tích của một số với một vectơ A Lý thuyết 1 Tích của một số với một vectơ và các tính chất Cho số k ≠ 0 và a 0 Tích của số k với a 0 là một vectơ, kí hiệu là ka Vectơ ka cùng hướng với a nếu k[.]
Bài Tích số với vectơ A Lý thuyết Tích số với vectơ tính chất Cho số k ≠ a Tích số k với a vectơ, kí hiệu ka Suy DE // AC 2DE = AC Vì k = > nên vectơ cần tìm hướng với DE có độ dài 2DE Ta có AC hướng với DE 2DE = AC Do 2DE = AC Vectơ ka hướng với a k > 0, ngược hướng với a k < có độ dài k.a + Vectơ − CA : Ta quy ước 0a = k0 = Ta có F trung điểm CA Người ta cịn gọi tích số với vectơ tích vectơ với số Do FA = CF = Ví dụ: Cho tam giác ABC có D, E, F trung điểm cạnh AB, BC, CA Tìm CA 1 < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với CA có độ dài CA 2 vectơ bằng: 2DE; − CA; − 2EC Vì k = − Hướng dẫn giải Ta có AF, FC ngược hướng với CA AF = FC = CA Do AF = FC = − CA + Vectơ −2EC : Ta có E trung điểm BC + Vectơ 2DE : Tam giác ABC có D, E trung điểm AB, BC Do DE đường trung bình tam giác ABC Do CB = 2EC Vì k = –2 < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với EC có độ dài 2EC Ta có CB ngược hướng với EC CB = 2EC Do CB = −2EC Tính chất: 3MG + GA + GB + GC = 3MG Với hai vectơ a b bất kì, với số thực h k, ta có: GA + GB + GC = ( ) +) k a + b = ka + kb ; ⇔ G trọng tâm tam giác ABC (đpcm) +) ( h + k ) a = + ka ; Điều kiện để hai vectơ phương +) h ( ka ) = ( hk ) a ; Hai vectơ a b ( b ) phương có số k cho a = kb Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k ≠ để AB = kAC +) 1.a = a ; +) ( −1).a = −a Ví dụ: Ta có: a) ( x + y ) = 6x + 6y ; Chú ý: Cho hai vectơ a b không phương Với c tồn cặp b) ( + x ) u = 3u + xu ; số thực (m; n) cho c = ma + nb ( ) c) −5i = 6.( −5 ) i = −30i ; Ví dụ: Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N, P cho MB = 3MC , NA + 3NC = , PA + PB = d) 2c − 7c = ( − ) c = −5c Ví dụ: Cho tam giác ABC Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC MA + MB + MC = 3MG b) Biểu diễn MN theo AB, AC Hướng dẫn giải c) Chứng minh rằng: điểm M, N, P thẳng hàng Ta có MA + MB + MC = 3MG MG + GA + MG + GB + MG + GC = 3MG a) Biểu diễn MP theo AB, AC Hướng dẫn giải (quy tắc ba điểm) Vậy MP = AB − AC (1) b) Ta có NA + 3NC = NA = −3NC Do NA = −3 NC hay NA = 3NC a) Ta có MB = 3MC MB = MC MB = 3MC Khi ta có AN = AC Mà MB, MC hướng (do k = > 0) Mà NA, NC ngược hướng (do k = ‒3 < 0) Do ba điểm B, C, M thẳng hàng C nằm B, M cho MB = 3MC Do ba điểm A, N, C thẳng hàng N nằm hai điểm A C cho AN = Ta có PA + PB = nên P trung điểm AB Do AP = AB Mà AP, AB hướng Suy AP = AB Ta có: MB = MC + CB MB = MB + CA + AB 3 MB = −AC + AB MB = AB − AC 2 3 Ta có AM = AB + BM = AB − MB = AB − AB + AC = − AB + AC 2 2 1 3 Ta có MP = AP − AM = AB + AB − AC = AB − AC 2 2 Suy AN = AC 3 Ta có MN = AN − AM = AC + AB − AC = AB − AC 2 Vậy MN = AB − AC (2) c) Từ (1), ta suy 2MP = 2AB − 3AC Từ (2), ta suy 4MN = 2AB − 3AC Do ta có 2MP = 4MN hay MP = 2MN Vậy ba điểm M, N, P thẳng hàng B Bài tập tự luyện AC Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD O trung điểm MN Chứng minh OA + OB + OC + OD = Hướng dẫn giải OA + OB + OC + OD = Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC Hãy biểu thị AM theo hai vecto AB AD Hướng dẫn giải Gọi E điểm đối xứng với A qua M Khi M trung điểm BC AE Suy tứ giác ABEC hình bình hành Gọi E F điểm đối xứng với O qua M N Suy M trung điểm AB EO; N trung điểm DC OF Khi tứ giác OAEB OCFD hình bình hành OA + OB = OE (quy tắc hình bình hành hình bình hành OAEB) AB + AC = AE (quy tắc hình bình hành) Mà AE = 2AM (M trung điểm AE) AB + AC = 2AM AM = Xét hình bình hành ABCD có: AC = AB + AD (quy tắc hình bình hành) Và OD + OC = OF (quy tắc hình bình hành hình bình hành OCFD) OA + OB + OC + OD = OE + OF Vì O trung điểm MN nên OM = ON, mà OM = ME, ON = MF Do OE = OF hay O trung điểm EF Suy OE + OF = AB + AC AM = AM = ( AB + AB + AD ) = AB + AB + AD 2AB + AD 2AB AD = + = AB + AD 2 2 Vậy AM = AB + AD Bài Cho tam giác ABC a) Hãy xác định điểm M để MA + MB + 2MC = b) Chứng minh với điểm O, ta có: OA + OB + 2OC = 4OM Vậy điểm M nằm G C cho GM = GC ( ) ( Hướng dẫn giải = OM + MA + OM + MB + 2OM + 2MC a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC suy GA + GB + GC = = OM + OM + 2OM + MA + MB + 2MC Ta có: MA + MB + 2MC = = 4OM + (vì MA + MB + 2MC = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MG + GA + MG + GB + MG + GC = = 4OM MG + GA + MG + GB + 2MG + 2GC = Vậy với điểm O, ta có: OA + OB + 2OC = 4OM ( ) ( ) MG + MG + 2MG + GA + GB + GC + GC = 4MG + GC = (vì GA + GB + GC = ) 4MG = −GC −4GM = −GC GM = GC Do vecto GM hướng với vecto GC GM = GC ) ( b) Ta có: OA + OB + 2OC = OM + MA + OM + MB + OM + MC ) Bài Tích vơ hướng hai vectơ A Lý thuyết Góc hai vectơ Cho hai vectơ a b khác Từ điểm O ta vẽ OA = a , OB = b Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có O giao điểm hai đường chéo BAD = 60 Tính số đo góc: ( ) ( ) ( ) ( ) a) OD, CD b) OB, AO c) OC, AC Góc AOB với số đo từ 0° đến 180° gọi góc hai vectơ a b ( ) Ta kí hiệu góc hai vectơ a b a, b d) OA, AC Hướng dẫn giải ( ) Nếu a, b = 90 ta nói a b vng góc với nhau, kí hiệu a ⊥ b Chú ý: ( ) ( ) + Từ định nghĩa, ta có a, b = b, a + Góc hai vectơ hướng khác ln 0° + Góc hai vectơ ngược hướng khác ln 180° a) Vì O giao điểm hai đường chéo nên O trung điểm BD (tính chất hình thoi) + Trong trường hợp có hai vectơ a b ta quy ước số đo góc hai vectơ tùy ý (từ 0° đến 180°) Suy OD = BO Mà OD, BO hướng Do OD = BO (1) Do BOC = 90 Vì ABCD hình thoi nên ta có CD // BA CD = BA Vậy OB, AO = BOC = 90 Mà CD, BA hướng ( ) ( Do CD = BA (2) ( ) c) Vì OC, AC hướng nên OC, AC = 0 ) ( ) ( ) d) Vì OA, AC ngược hướng nên OA, AC = 180 Từ (1) (2), ta suy OD, CD = BO, BA = OBA Tích vơ hướng hai vectơ Vì ABCD hình thoi nên AB = AD Cho hai vectơ a b khác Do tam giác ABD cân A Tích vơ hướng a b số, kí hiệu a.b , xác định công thức: Mà BAD = 60 ( ) a.b = a b cos a, b Suy tam giác ABD Do DBA = 60 hay OBA = 60 ( Chú ý: a) Trường hợp có hai vectơ a b , ta quy ước a.b = ) Vậy OD, CD = OBA = 60 b) Với hai vectơ a b , ta có a ⊥ b a.b = b) Vì O giao điểm hai đường chéo nên O trung điểm AC (tính chất hình thoi) c) Khi a = b tích vơ hướng a.b kí hiệu a gọi bình phương vơ Do AO = OC hướng vectơ a Mà AO, OC hướng Ta có a = a a cos 0 = a Vậy bình phương vơ hướng vectơ ln bình phương độ dài vectơ Do AO = OC ( ) ( ) Ta suy OB, AO = OB, OC = BOC Ví dụ: Cho tam giác ABC vng cân A, có AB = AC = a Tính tích vơ hướng: AB.AC, AC.BC, BA.BC Vì ABCD hình thoi nên hai đường chéo AC BD vng góc với Hướng dẫn giải ⇒ BC = a ( ) Ta có: AC.BC = AC BC cos AC, BC = AC.BC.cos 45 = a.a 2 = a2 - Tam giác ABC cân A Ta suy ACB = ABC Tam giác ABC vuông A: ACB + ABC = 90 - Tam giác ABC vuông cân A nên AB ⊥ AC 2ABC = 90 Do AB ⊥ AC Do ABC = 45 Vậy AB.AC = ( ) Suy BA, BC = ABC = 45 ( ) ( ) - Vẽ BD = AC Khi ta có AC, BC = BD, BC = CBD ( ) Ta có BA.BC = BA BC cos BA, BC = BA.BC.cos 45 = a.a Vì BD = AC nên ta có ABDC hình bình hành Mà BAC = 90 AB = AC (tam giác ABC vuông cân A) = a2 Chú ý: Trong Vật lí, tích vơ hướng F d biểu diễn công A sinh lực F thực độ dịch chuyển d Ta có cơng thức: A = F.d Do ABDC hình vng Ví dụ: Một người dùng lực F có độ lớn 150 N kéo thùng gỗ trượt sàn nhà Ta suy đường chéo BC phân giác ABD Do CBD = ABD 90 = = 45 2 ( ) Khi ta có AC, BC = CBD = 45 sợi dây có phương hợp góc 45° so với phương ngang Tính cơng sinh lực F thùng gỗ trượt 40 m Hướng dẫn giải Gọi A, d công sinh lực F độ dịch chuyển thùng gỗ Theo đề, ta có lực F hợp với phương ngang (hướng dịch chuyển) góc 45° Tam giác ABC vng cân A: BC2 = AB2 + AC2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go) ( ) Suy F, d = 45 ⇔ BC2 = a2 + a2 = 2a2 ( ) Ta có A = F.d = F d cos F, d = 150.40.cos 45 = 3000 (J) Vậy công sinh lực F 3000 (J) = AC2 + AB2 − 2.AC.AB.cos BAC Tính chất tích vơ hướng = AC2 + AB2 – 2AC.AB.cosA Với ba vectơ a, b, c số k, ta có: ( Vậy BC2 = AC2 + AB2 – 2AC.AB.cosA hay a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA ) ( ka ).b = k ( a.b ) = a.( kb ) a b + c = a.b + a.c ; a.b = b.a ; Ví dụ: Áp dụng tính chất tích vơ hướng, chứng minh rằng: (a − b) = a − 2a.b + b B Bài tập tự luyện Bài Cho tam giác ABC cạnh a trọng tâm G Tính: a) AB.AC b) AG.AB Hướng dẫn giải ( Hướng dẫn giải ) ( )( ) Ta có: a − b = a − b a − b = a.a − a.b − a.b + b.b = a − 2a.b + b Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta có: (a + b) = a + 2a.b + b ; ( a + b )( a − b ) = a − b2 a) Tam giác ABC nên ta có AB = AC = BC = a BAC = 60 Ví dụ: Cho tam giác ABC có a = BC, b = AC, c = AB Tính cạnh BC theo hai cạnh cịn lại góc A cách sử dụng tính chất vectơ tích vơ hướng hai vectơ ( ) Ta có AB.AC = AB AC cos AB, AC = AB.AC.cos BAC = a.a.cos60 = a2 b) Vì G trọng tâm tam giác ABC Hướng dẫn giải ( ) 2 Ta có BC2 = BC = AC − AB = AC + AB − 2.AC.AB ( = AC2 + AB2 − AC AB cos AC, AB ) Nên AG đường trung tuyến tam giác ABC Do AG đường phân giác đường cao tam giác ABC Ta suy GAB = ( ) MC.AB = MC MB − MA = MC.MB − MC.MA (3) BAC 60 = = 30 2 Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được: MA.BC + MB.CA + MC.AB = Gọi I giao điểm AG BC Vậy ta có điều phải chứng minh Ta suy I trung điểm BC Do BI = Bài Cho hai vectơ a b thỏa mãn a = b = hai vectơ u = a − 3b v = a + b BC a = 2 vng góc với Xác định góc hai vectơ a b Tam giác ABI vuông I: AI2 = AB2 – BI2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go) Theo đề ta có: u ⊥ v u.v = 2 a 3a AI = a − = 2 ( ) 2 a − 3b a + b = a AI = 2 a + a.b − 3a.b − 3b = 5 Tam giác ABC có G trọng tâm Ta suy AG = Hướng dẫn giải a AI = 3 ( ) a a2 Ta có: AG.AB = AG AB cos AG, AB = AG.AB.cosGAB = a.cos30 = 2 2 13 a − a.b − b = 5 ( ) 13 12 − a b cos a, b − 3.12 = 5 − Bài Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Chứng minh rằng: MA.BC + MB.CA + MC.AB = Hướng dẫn giải ( ) ( ) 13 13 − 1.1.cos a, b = 5 ( ) cos a, b = −1 ( ) a, b = 180 Ta có MA.BC = MA MC − MB = MA.MC − MA.MB (1) ( ) MB.CA = MB MA − MC = MB.MA − MB.MC (2) Vậy góc hai vectơ a b 180° Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta xác định tổng ba vectơ a, b, c , kí ( ) hiệu a + b + c với a + b + c = a + b + c Chú ý: Cho vectơ tùy ý a = AB ( ) Ta có a + ( −a ) = AB + −AB = AB + BA = AA = Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối vectơ thứ phải Tổng hai vectơ đối vectơ-không: a + ( −a ) = điểm đầu vectơ thứ hai Quy tắc hình bình hành Nếu OACB hình bình hành ta có OA + OB = OC Hiệu hai vectơ Tính chất phép cộng vectơ Phép cộng vectơ có tính chất sau: + Tính chất giao hốn: a + b = b + a ( ) ( ) + Tính chất kết hợp: a + b + c = a + b + c + Với a , ta ln có: a + = + a = a ( ) Cho hai vectơ a b Hiệu hai vectơ a b vectơ a + −b kí hiệu a − b Phép tốn tìm hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có: OB − OA = AB +) 1.a = a ; +) ( −1).a = −a 10 Điều kiện để hai vectơ phương Tính chất vectơ trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác Hai vectơ a b ( b ) phương có số k cho a = kb Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB MA + MB = Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k ≠ để AB = kAC Điểm G trọng tâm tam giác ABC GA + GB + GC = Tích số với vectơ tính chất Cho số k ≠ a Tích số k với a vectơ, kí hiệu ka Vectơ ka hướng với a k > 0, ngược hướng với a k < có độ dài Chú ý: Cho hai vectơ a b không phương Với c tồn k a cặp số thực (m; n) cho c = ma + nb Ta quy ước 0a = k0 = 11 Góc hai vectơ Người ta cịn gọi tích số với vectơ tích vectơ với số Cho hai vectơ a b khác Từ điểm O ta vẽ OA = a , OB = b Tính chất: Với hai vectơ a b bất kì, với số thực h k, ta có: ( ) +) k a + b = ka + kb ; +) ( h + k ) a = + ka ; +) h ( ka ) = ( hk ) a ; Góc AOB với số đo từ 0° đến 180° gọi góc hai vectơ a b ... 25 km/h Suy AB = AB = 25 Ta có độ lớn vận tốc dòng nước 10 km/h Suy BC = BC = 10 Ơn tập chương V Tam giác ABC vng B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go) A Lý thuyết ⇔ AC2 = 252 + 102 = 7 25. .. gọi vectơ- khơng, kí hiệu Chú ý: + Quy ước: vectơ- khơng có độ dài + Vectơ- không phương, hướng với vectơ Hai vectơ a b gọi đối chúng ngược hướng có độ dài, kí hiệu a = −b Khi vectơ b gọi vectơ. .. MC = MB.MA − MB.MC (2) Vậy góc hai vectơ a b 180° Bài Tổng hiệu hai vectơ A Lý thuyết Tổng hai vectơ Ví dụ: Cho điểm A, B, C, D, E, F phân biệt Thực phép cộng vectơ: AC + CD; BC + CB; DC + CE