Bộ sách Chân Trời Sáng Tạo Chương VII Bất phương trình bậc hai một ẩn Bài 2 Giải phương trình bậc hai một ẩn I Nhận biết Câu 1 Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn? A 3x 2 –[.]
Bộ sách: Chân Trời Sáng Tạo Chương VII Bất phương trình bậc hai ẩn Bài Giải phương trình bậc hai ẩn I Nhận biết Câu Bất phương trình sau bất phương trình bậc hai ẩn? A 3x2 – 12x + ≤ 0; B 2x3 + > 0; C x2 + x – = 0; D –x + > Hướng dẫn giải Đáp án là: A Bất phương trình bậc hai ẩn x bất phương trình có dạng: ax2 + bx + c ≤ 0; ax2 + bx + c < 0; ax2 + bx + c ≥ 0; ax2 + bx + c > với a ≠ Trong bốn phương án A, B, C, D, ta thấy có phương án A có dạng bất phương trình bậc hai ẩn dạng ax2 + bx + c ≤ với a = 3, b = – 12 c = Ta chọn phương án A Câu Giá trị x sau nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn –x2 + 2x + ≥ 0? A x = 5; B x = 2; C x = 7; D x = –1 Hướng dẫn giải Đáp án là: B Bất phương trình –x2 + 2x + ≥ ⦁ Xét phương án A: Vì –52 + 2.5 + = –14 < Nên x = không nghiệm bất phương trình –x2 + 2x + ≥ Do phương án A sai ⦁ Xét phương án B: Vì –22 + 2.2 + = > Nên x = nghiệm bất phương trình –x2 + 2x + ≥ Do phương án B ⦁ Xét phương án C: Vì –72 + 2.7 + = –34 < Nên x = khơng nghiệm bất phương trình –x2 + 2x + ≥ Do ta loại phương án C ⦁ Xét phương án D: Vì –(–1)2 + 2.(–1) + = –2 < Nên x = –1 khơng nghiệm bất phương trình –x2 + 2x + ≥ Do ta loại phương án D Vậy ta chọn phương án B Câu Giá trị m để (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m + ≤ bất phương trình bậc hai ẩn là: A m ≠ –3; B m ≠ –1; C m = 1; D m ≠ Hướng dẫn giải Đáp án là: D Để bất phương trình cho bất phương trình bậc hai ẩn a ≠ Nghĩa là, m – ≠ m ≠ Vậy ta chọn phương án D Câu Cho x2 + 2x – ≤ 2x2 – 5x + Ta đưa bất phương trình dạng: A Bất phương trình bậc hai ẩn x dạng ax2 + bx + c ≤ với a = –1, b = 7, c = –6; B Bất phương trình bậc ẩn x dạng ax + b ≤ với a = –1, b = 6; C Bất phương trình bậc hai ẩn x dạng ax2 + bx + c ≥ với a = –1, b = 7, c = –6; D Bất phương trình bậc hai ẩn x dạng ax2 + bx + c ≤ với a = 1, b = –7, c = Hướng dẫn giải Đáp án là: A Ta có x2 + 2x – ≤ 2x2 – 5x + ⇔ (x2 – 2x2) + (2x + 5x) – – ≤ ⇔ –x2 + 7x – ≤ ⇔ x2 – 7x + ≥ Do ta đưa bất phương trình x2 + 2x – ≤ 2x2 – 5x + dạng: • ax2 + bx + c ≤ 0, với a = –1, b = 7, c = –6 • ax2 + bx + c ≥ 0, với a = 1, b = –7, c = Vậy ta chọn phương án A Câu Cho –2x2 – mx + ≤ (m – 3)x2 – Khẳng định sau đúng? A Với m = ta bất phương trình bậc hai ẩn x dạng ax2 + bx + c ≤ (với a > 0) B Với m = ta bất phương trình bậc hai ẩn x dạng ax2 + bx + c ≤ (với a ≠ 0) C Với m = –2 ta bất phương trình bậc hai ẩn x dạng ax2 + bx + c ≤ (với a < 0) D Với m = ta bất phương trình bậc hai ẩn x dạng ax2 + bx + c ≤ (với a > 0) Hướng dẫn giải Đáp án là: A Ta có –2x2 – mx + ≤ (m – 3)x2 – ⇔ [–2 – (m – 3)]x2 – mx + + ≤ ⇔ (1 – m)x2 – mx + ≤ • Với m = 0, ta có bất phương trình (1 – 0)x2 – 0.x + ≤ ⇔ x2 + ≤ Đây bất phương trình bậc hai ẩn x dạng ax2 + bx + c ≤ với a = > Do phương án A • Với m = 1, ta có bất phương trình (1 – 1)x2 – 1.x + ≤ ⇔ –x + ≤ Đây khơng phải bất phương trình bậc hai ẩn x Do phương án B sai • Với m = –2, ta có bất phương trình [1 – (–2)]x2 – (–2)x + ≤ ⇔ 3x2 + 2x + ≤ Đây bất phương trình bậc hai ẩn x dạng ax2 + bx + c ≤ với a = > Do phương án C sai • Với m = 3, ta có bất phương trình (1 – 3)x2 – 3x + ≤ ⇔ –2x2 – 3x + ≤ Đây bất phương trình bậc hai ẩn x dạng ax2 + bx + c ≤ với a = –2 < Do phương án D sai Vậy ta chọn phương án A Câu Cho bất phương trình f(x) = ax2 + bx + c ≤ 0, biết a > f(x) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 cho x1 < x2 Khi tập nghiệm bất phương trình là: A (–∞; x1); B (x2; +∞); C [x1; x2]; D (x1; x2) Hướng dẫn giải Đáp án là: C Theo đề, ta có f(x) = ax2 + bx + c (với a > 0) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 cho x1 < x2 Suy ra: ⦁ f(x) dương với x thuộc hai khoảng (–∞; x1) (x2; +∞); ⦁ f(x) âm với x thuộc khoảng (x1; x2); ⦁ f(x) = x = x1 x = x2 Vậy bất phương trình ax2 + bx + c ≤ có tập nghiệm [x1; x2] Ta chọn phương án C Câu Cho bất phương trình f(x) = ax2 + bx + c > 0, biết a < f(x) có nghiệm kép x0 Khi tập nghiệm bất phương trình là: A (–∞; x0) ∪ (x0; +∞); B ∅; C {x0}; D ℝ Hướng dẫn giải Đáp án là: B Theo đề, ta có f(x) = ax2 + bx + c > (với a < 0) có nghiệm kép x0 Suy ra: ⦁ f(x) âm với x thuộc hai khoảng (–∞; x0) (x0; +∞); ⦁ f(x) = x = x0 Vậy bất phương trình ax2 + bx + c > vơ nghiệm Khi tập nghiệm bất phương trình ax2 + bx + c > là: ∅ Ta chọn phương án B II Thông hiểu Câu Cho f(x) = –x2 – 4x + Có giá trị nguyên x thỏa mãn f(x) ≥ 0? A 5; B 7; C 10; D Vô số Hướng dẫn giải Đáp án là: B Tam thức bậc hai f(x) = –x2 – 4x + có ∆’ = (–2)2 – (–1).5 = > Suy f(x) có hai nghiệm phân biệt là: x1 2 2 5; x 1 1 Ta lại có a = –1 < Do ta có: ⦁ f(x) âm hai khoảng (–∞; –5) (1; +∞); ⦁ f(x) dương khoảng (–5; 1); ⦁ f(x) = x = –5 x = Vì bất phương trình f(x) ≥ có tập nghiệm [–5; 1] Trên đoạn [–5; 1], ta thấy có giá trị nguyên là: –5; –4; –3; –2; –1; 0; Vậy ta chọn phương án B Câu Tập nghiệm bất phương trình x2 – 3x + < là: A (1; 2); B (–∞; 1) ∪ (2; +∞); C (–∞; 1); D (2; +∞) Hướng dẫn giải Đáp án là: A Tam thức bậc hai f(x) = x2 – 3x + có ∆ = (–3)2 – 4.1.2 = > Do f(x) có hai nghiệm phân biệt là: x1 3 3 1; x 2.1 2.1 Ta lại có a = > Do ta có: ⦁ f(x) âm khoảng (1; 2); ⦁ f(x) dương hai khoảng (–∞; 1) (2; +∞); ⦁ f(x) = x = x = Vì bất phương trình x2 – 3x + < có tập nghiệm (1; 2) Ta chọn phương án A Câu Tập nghiệm bất phương trình x2 + > 6x là: A (3; +∞); B ℝ \ {3}; C ℝ; D (–∞; 3) Hướng dẫn giải Đáp án là: B Ta có x2 + > 6x ⇔ x2 – 6x + > Tam thức bậc hai f(x) = x2 – 6x + có ∆’ = (–3)2 – 1.9 = Suy f(x) có nghiệm kép x = Ta lại có a = > Do ta có: ⦁ f(x) dương hai khoảng (–∞; 3) (3; +∞); ⦁ f(x) = x = Vì bất phương trình x2 – 6x + > có tập nghiệm (–∞; 3) ∪ (3; +∞) (hoặc ta viết: ℝ \ {3}) Ta chọn phương án B Câu Tập xác định hàm số y x 2x là: A (1; 3); B (–∞; –1) ∪ (3; +∞); C [–1; –3]; D (–∞; –1] ∪ [3; +∞) Hướng dẫn giải Đáp án là: C Hàm số xác định –x2 + 2x + ≥ Tam thức bậc hai f(x) = –x2 + 2x + có ∆’ = 12 – (–1).3 = > Do f(x) có hai nghiệm phân biệt là: x1 1 1 1; x 1 1 Ta lại có a = –1 < Do ta có: ⦁ f(x) dương khoảng (–1; 3); ⦁ f(x) âm hai khoảng (–∞; –1) (3; +∞); ⦁ f(x) = x = –1 x = Vì bất phương trình –x2 + 2x + ≥ có tập nghiệm [–1; 3] Khi hàm số cho có tập xác định [–1; 3] Ta chọn phương án C Câu Tập xác định hàm số y 2x 2x 8x 12 là: A ℝ; B (2; 6); C ∅; D (–∞; 2) ∪ (6; +∞) Hướng dẫn giải Đáp án là: C Hàm số xác định –2x2 + 8x – 12 > Tam thức bậc hai f(x) = –2x2 + 8x – 12 có ∆’ = 42 – (–2).(–12) = –8 < Do f(x) vơ nghiệm Ta lại có a = –2 < Vì f(x) < 0, với x ∈ ℝ Vậy bất phương trình –2x2 + 8x – 12 > có tập nghiệm ∅ Ta chọn phương án C Câu Cho bất phương trình (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – ≥ Để x = nghiệm bất phương trình m nhận giá trị giá trị sau đây? A m 114 ; 65 B m 114 ; 65 C m 114 ; 65 D m 114 65 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Vì x = nghiệm bất phương trình (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – ≥ nên ta có: (m – 2).62 + 2(2m – 3).6 + 5m – ≥ ⇔ 36(m – 2) + 12(2m – 3) + 5m – ≥ ⇔ 65m – 114 ≥ m 114 65 Vậy m 114 thỏa mãn yêu cầu toán 65 Ta chọn phương án A Câu Cho hàm số bậc hai f(x) có đồ thị hình bên Tập nghiệm bất phương trình f(x) ≥ là: A (–1; 5); B (–∞; –1) ∪ (5; +∞); C (–∞; –1] ∪ [5; +∞); D [–1; 5] Hướng dẫn giải Đáp án là: C Quan sát đồ thị, ta thấy f(x) ≥ x ≤ –1 x ≥ Vì tập nghiệm bất phương trình f(x) ≥ (–∞; –1] ∪ [5; +∞) Ta chọn phương án C Câu Tập nghiệm bất phương trình (2x – 5)(x + 2) ≥ x2 – là: A [–2; 3); B (–∞; –2) ∪ (3; +∞).; C ℝ; D (–∞; –2] ∪ [3; +∞) Hướng dẫn giải Đáp án là: D Ta có (2x – 5)(x + 2) ≥ x2 – ⇔ 2x2 – x – 10 ≥ x2 – ⇔ x2 – x – ≥ Tam thức bậc hai f(x) = x2 – x – có ∆ = (–1)2 – 4.1.(–6) = 25 > Suy f(x) có hai nghiệm phân biệt là: x1 25 25 2; x 2 Ta lại có a = > Vì vậy: ⦁ f(x) dương với x thuộc hai khoảng (–∞; –2) (3; +∞); ⦁ f(x) âm với x thuộc khoảng (–2; 3); ⦁ f(x) = x = –2 x = Vậy bất phương trình x2 – x – ≥ có tập nghiệm (–∞; –2] ∪ [3; +∞) Do ta chọn phương án D III Vận dụng Câu Với giá trị tham số m x = 2m + nghiệm bất phương trình x2 + 2(m – 1)x + m2 – 3m + ≤ 0? A m ≥ 0; B m < 0; C m ∈ ℝ; D m ∈ ∅ Hướng dẫn giải Đáp án là: D Vì x = 2m + nghiệm bất phương trình x2 + 2(m – 1)x + m2 – 3m + ≤ nên ta có: (2m + 3)2 + 2(m – 1)(2m + 3) + m2 – 3m + ≤ ⇔ 4m2 + 12m + + 2(2m2 + m – 3) + m2 – 3m + ≤ ⇔ 9m2 + 11m + ≤ Tam thức bậc hai f(m) = 9m2 + 11m + có ∆ = 112 – 4.9.7 = – 131 < Do f(m) vơ nghiệm Ta lại có am = > Vì f(m) > 0, với m ∈ ℝ Do bất phương trình f(m) = 9m2 + 11m + ≤ vơ nghiệm Vậy khơng có m thỏa mãn u cầu toán Ta chọn phương án D Câu Tập hợp giá trị m để hàm số y định ℝ là: 3m x 2mx m có tập xác A m ; B m ; C m ∈ ∅; D 2 \ 3 Hướng dẫn giải Đáp án là: C Hàm số cho có tập xác định ℝ (2 – 3m)x2 + 2mx + m – > với x ∈ ℝ Đặt f(x) = (2 – 3m)x2 + 2mx + m – Trường hợp 1: a = ⇔ – 3m = ⇔ m = Với m 2 , ta có 0.x .x 3 1 x 0 x 3 Do m khơng thỏa mãn Trường hợp 2: a ≠ Khi f(x) tam thức bậc hai có: ∆’ = m2 – (2 – 3m)(m – 1) = m2 – (–3m2 + 5m – 2) = 4m2 – 5m + Để f(x) > với x ∈ ℝ a > ∆ < 2 3m m (1) 4m – 5m 4m – 5m Ta giải bất phương trình 4m2 – 5m + < sau: Tam thức bậc hai g(m) = 4m2 – 5m + có ∆ = (–5)2 – 4.4.2 = –7 < Do g(m) vơ nghiệm Ta lại có am = > Vì g(m) > 0, với giá trị m ∈ ℝ Do khơng có giá trị m thỏa mãn g(m) = 4m2 – 5m + < Vì khơng có giá trị m để (1) thỏa mãn Kết hợp hai trường hợp, ta thu m ∈ ∅ Vậy ta chọn phương án C Câu Giá trị m để phương trình (m2 – m – 6)x2 – 2(m + 2)x – = có nghiệm? A m ∈ (–∞; –2) \ {3}; B m ∈ (–∞; –2] ∪ [2; +∞); C m ∈ [2; +∞) \ {3}; D m ∈ (–∞; –2) ∪ [2; +∞) \ {3} Hướng dẫn giải Đáp án là: D Phương trình f(x) = (m2 – m – 6)x2 – 2(m + 2)x – = +) Trường hợp 1: a = ⇔ m2 – m – = ⇔ m = m = –2 • Với m = 3, ta có 0.x2 – 2.(3 + 2)x – = ⇔ –10x – = ⇔ x = Do m = thỏa mãn • Với m = –2, ta có 0.x2 – 2(–2 + 2)x – = ⇔ 0.x – = (vơ nghiệm) Do m = –2 không thỏa mãn +) Trường hợp 2: a ≠ ⇔ m ≠ m ≠ –2 f(x) tam thức bậc hai ẩn x có: ∆’ = (m + 2)2 – (m2 – m – 6).(–4) = m2 + 4m + + 4m2 – 4m – 24 = 5m2 – 20 Phương trình f(x) = có nghiệm ∆’ ≥ ⇔ 5m2 – 20 ≥ Tam thức bậc hai f(m) = 5m2 – 20 có ∆ = 02 – 4.5.(–20) = 400 > Do f(m) có hai nghiệm phân biệt là: m1 = –2, m2 = Ta lại có a = > Vì vậy: ⦁ f(m) dương với m thuộc hai khoảng (–∞; –2) (2; +∞); ⦁ f(m) âm với m thuộc khoảng (–2; 2); ⦁ f(m) = m = –2 m = Do bất phương trình 5m2 – 20 ≥ có tập nghiệm (–∞; –2] ∪ [2; +∞) So với điều kiện m ≠ m ≠ –2, ta nhận m ∈ (–∞; –2) ∪ [2; +∞) \ {3} Kết hợp hai trường hợp, ta thu m ∈ (–∞; –2) ∪ [2; +∞) \ {3} Vậy ta chọn phương án D Câu Lợi nhuận I thu từ việc giảm giá loại xe gắn máy doanh nghiệp tư nhân tam thức bậc hai I(x) = 200x2 – 1400x + 2400, x số tiền giảm giá (triệu đồng) ≤ x ≤ Với số tiền giảm giá doanh nghiệp khơng có lãi? A Dưới triệu đồng; B Từ đến triệu đồng; C Trên triệu đồng; D Giảm giá triệu đồng Hướng dẫn giải Đáp án là: B Tam thức bậc hai I(x) = 200x2 – 1400x + 2400 có: ∆’ = (–700)2 – 200.2400 = 10 000 > Suy I(x) có hai nghiệm phân biệt là: x1 700 10000 700 10000 3; x 4 200 200 Ta lại có a = 200 > ≤ x ≤ Vì ta có bảng xét dấu sau: x f(x) + – + Theo bảng xét dấu ta có: ⦁ I(x) dương với x thuộc hai khoảng [0; 3) (4; 5]; ⦁ I(x) âm với x thuộc khoảng (3; 4); ⦁ I(x) = x = x = Do doanh nghiệp khơng có lãi I(x) ≤ Tức x ∈ [3; 4] Hay ta nói cửa hàng giảm giá từ đến triệu đồng doanh nghiệp khơng có lãi Vậy ta chọn phương án B Câu Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 150 m Để diện tích mảnh đất lớn 650 m2 chiều dài mảnh đất phải: A Lớn 10 m; B Lớn 37,5 m; ... [–2 ; 3); B (–? ??; –2 ) ∪ (3; +∞).; C ℝ; D (–? ??; –2 ] ∪ [3; +∞) Hướng dẫn giải Đáp án là: D Ta có (2x – 5)(x + 2) ≥ x2 – ⇔ 2x2 – x – 10 ≥ x2 – ⇔ x2 – x – ≥ Tam thức bậc hai f(x) = x2 – x – có ∆ = (–1 )2... ∅; D (–? ??; 2) ∪ (6; +∞) Hướng dẫn giải Đáp án là: C Hàm số xác định –2 x2 + 8x – 12 > Tam thức bậc hai f(x) = –2 x2 + 8x – 12 có ∆’ = 42 – (–2 ). (–1 2) = –8 < Do f(x) vơ nghiệm Ta lại có a = –2 < Vì... Hướng dẫn giải Đáp án là: D Phương trình f(x) = (m2 – m – 6)x2 – 2(m + 2)x – = +) Trường hợp 1: a = ⇔ m2 – m – = ⇔ m = m = –2 • Với m = 3, ta có 0.x2 – 2.(3 + 2)x – = ⇔ –1 0x – = ⇔ x = Do