Bài 1 Mệnh đề I Nhận biết Câu 1 Cho các câu sau đây a) Không được vào đây! b) Ngày mai bạn đi học không? c) Chủ tịch Hồ Chí Minh sinh năm 1890 d) 17 chia 3 dư 1 e) 2003 không là số nguyên tố Có bao nh[.]
Bài Mệnh đề I Nhận biết Câu Cho câu sau đây: a) Không vào đây! b) Ngày mai bạn học không? c) Chủ tịch Hồ Chí Minh sinh năm 1890 d) 17 chia dư e) 2003 khơng số ngun tố Có câu mệnh đề? A 2; B 1; C 3; D Hướng dẫn giải Đáp án là: C a) Câu a) khơng phải mệnh đề câu cảm thán khơng khẳng định tính sai b) Câu b) mệnh đề câu hỏi khơng khẳng định tính sai c) Câu c) mệnh đề câu khẳng định tính sai d) Câu d) mệnh đề câu khẳng định tính sai e) Câu e) mệnh đề câu khẳng định tính sai Vậy có câu mệnh đề Câu Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: A Nếu n số nguyên chẵn n2 số nguyên chẵn; B Điều kiện cần đủ để số chia hết cho số phải có chữ số tận 5; C Tổng góc tam giác 360°; D Tam giác có ba cạnh tam giác Hướng dẫn giải Đáp án là: C A Giải sử n = 2k với k ∈ ℤ ⇒ n2 = (2k)2 = 4k2 = 2.2k2 chia hết n2 số chẵn Do mệnh đề B Mệnh đề điều kiện cần đủ để số chia hết cho số phải có chữ số tận Chẳng hạn số 10 có chữ số tận hay số 15 có chữ số tận chia hết cho C Vì tổng góc tam giác 180° nên mệnh đề sai D Mệnh đề tam giác có ba cạnh tam giác Câu Phủ định mệnh đề: “Có số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 11” mệnh đề sau đây: A Mọi số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 11; B Có số tự nhiên có hai chữ số khơng chia hết cho 11; C Mọi số tự nhiên có hai chữ số khơng chia hết cho 11; D Có số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 11 Hướng dẫn giải Đáp án là: C Ta có: Phủ định “có nhất” “mọi” Phủ định “chia hết” “không chia hết” Vậy mệnh đề phủ định mệnh đề cho là: “Mọi số tự nhiên có hai chữ số khơng chia hết cho 11” Câu Cho hai mệnh đề P: “x số chẵn” Q: “x chia hết cho 2” Phát biểu mệnh đề P kéo theo Q A Hoặc x số chẵn x chia hết cho 2; B Nếu x số chẵn x chia hết cho 2; C Nếu x chia hết cho x số chẵn; D x số chẵn x chia hết cho Hướng dẫn giải Đáp án là: B Vì mệnh đề kéo theo phát biểu dạng “Nếu P Q” Nên mệnh đề P kéo theo Q “Nếu x số chẵn x chia hết cho 2” Câu Cho mệnh đề: “x2 – chia hết cho 24 x số nguyên tố lớn 3” Mệnh đề viết lại thành mệnh đề sau đây? A “x2 – chia hết cho 24 tương đương với x số nguyên tố lớn 3”; B “x2 – chia hết cho 24 điều kiện cần đủ để x số nguyên tố lớn 3”; C “x2 – chia hết cho 24 x số nguyên tố lớn 3”; D “x2 – chia hết cho 24 điều kiện đủ để x số nguyên tố lớn 3” Hướng dẫn giải Đáp án là: D Xét mệnh đề: “x2 – chia hết cho 24 x số nguyên tố lớn 3” Đặt: P: “x2 – chia hết cho 24” Q: “x số nguyên tố lớn 3” Ta viết lại mệnh đề đáp án sau: A P tương đương với Q B P điều kiện cần đủ để có Q C P Q D P điều kiện đủ để có Q Đối với mệnh đề P ⟺ Q, ta phát biểu theo số cách sau: + P tương đương Q; + P điều kiện cần đủ để có Q; + P Q; + P Q Ta thấy cách phát biểu câu D không nằm cách phát biểu lý thuyết nên mệnh đề tương đương câu D sai Câu Cho mệnh đề: “Nếu tứ giác hình thoi tứ giác nội tiếp đường tròn” Mệnh đề đảo mệnh đề là: A “Tứ giác hình thoi tứ giác nội tiếp đường tròn”; B “Trong tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác hình thoi”; C “Nếu tứ giác nội tiếp đường trịn tứ giác hình thoi”; D “Tứ giác hình thoi kéo theo tứ giác nội tiếp đường tròn” Hướng dẫn giải Đáp án là: C Xét mệnh đề “Nếu tứ giác hình thoi tứ giác nội tiếp đường trịn”, ta có: P: “Tứ giác hình thoi” Q: “Trong tứ giác nội tiếp đường tròn” Mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q mệnh đề Q ⇒ P phát biểu sau: “Nếu tứ giác hình vng tứ giác hình thoi” Đối chiếu với đáp án, ta thấy mệnh đề câu C phù hợp Câu Cho mệnh đề: ∀x ∈ ℝ, x < ⇒ x2 < Mệnh đề phát biểu nào? A Tồn số thực x mà số bé bình phương bé 9; B Với số thực x mà số bé bình phương bé 9; C Khơng có số thực x mà số bé bình phương bé 9; D Có số thực x mà số bé bình phương bé Hướng dẫn giải Đáp án là: B Ta có mệnh đề ∀x ∈ ℝ, x < ⇒ x2 < phát biểu sau: Với số thực x mà số bé bình phương bé Đối chiếu với đáp án, ta thấy phương án B hợp lý II Thông hiểu Câu Câu sau mệnh đề chứa biến? A x2 + x – > 0; B < 5; C x số tự nhiên; D x + = 12 Hướng dẫn giải Đáp án là: B A Câu mệnh đề chứa biến câu phụ thuộc vào biến x B Câu B mệnh đề câu khẳng định tính sai Nên câu khơng phải mệnh đề chứa biến C Câu mệnh đề chứa biến câu phụ thuộc vào biến ta có tập D biến x để câu sai D Câu mệnh đề chứa biến câu phụ thuộc vào biến ta có tập D biến x để câu sai Câu Cho mệnh đề chứa biến P(x): x ∈ ℝ: x2 + > 12 Mệnh đề sau đúng? A P(2); B P(1); C P(3); D P(4) Hướng dẫn giải Đáp án là: D Xét bất phương trình (*): x2 + > 12 A Thay x = vào phương trình (*) ta có: 22 + = > 12 (vô lý) Suy mệnh đề sai B Thay x = vào phương trình (*) ta có: 12 + = > 12 (vô lý) Suy mệnh đề sai C Thay x = vào phương trình (*) ta có: 32 + = 11 > 12 (vô lý) Suy mệnh đề sai D Thay x = vào phương trình (*) ta có: 42 + = 18 > 12 (đúng) Suy mệnh đề Câu Mệnh đề phủ định mệnh đề “Có số thực x thỏa mãn điều kiện bình phương số không dương” là: A ∀x ∈ ℝ: x2 > 0; B ∃x ∈ ℝ: x2 ≤ 0; C ∀x ∈ ℝ: x2 ≤ 0; D ∃x ∈ ℝ: x2 > Hướng dẫn giải Đáp án là: A Theo giả thiết, ta có mệnh đề P: "∃x ∈ ℝ: x2 ≤ 0" Ta có: - Phủ định ∃ phải ∀ - Phủ định quan hệ ≤ quan hệ > Vậy mệnh đề phủ định mệnh đề P là: ∀x ∈ ℝ: x2 > Câu Mệnh đề sai? A “Nếu (-3) > (-2) (-3)2 > (-2)2”; B “Nếu số lẻ chia hết cho 2”; C “Nếu 15 chia hết cho 18 chia hết cho 3”; D “Nếu chia hết cho số ngun tố” Hướng dẫn giải Đáp án là: B Mệnh đề kéo theo “ P suy Q” sai P Q sai A Xét mệnh đề “Nếu (-3) > (-2) (-3)2 > (-2)2” có mệnh đề P : “(-3) > (-2)” mệnh đề sai, mệnh đề Q : “(-3)2 > (-2)2” mệnh đề Do mệnh đề kéo theo P ⇒ Q mệnh đề B Xét mệnh đề “Nếu số lẻ chia hết cho 2”; Mệnh đề “3 số lẻ” đúng, nhiên mệnh đề “3 chia hết cho 2” sai Theo lý thuyết “Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai” Nên mệnh đề câu B sai C Xét mệnh đề “Nếu 15 chia hết cho 18 chia hết cho 3” Mệnh đề P: “15 chia hết cho 9” sai Mệnh đề Q: “18 chia hết cho 3” mệnh đề Do mệnh đề C mệnh đề D Xét mệnh đề: “Nếu chia hết cho số nguyên tố” Mệnh đề P: “3 chia hết cho nó” mệnh đề đúng; Mệnh đề Q: “3 số nguyên tố” mệnh đề Do mệnh đề P ⇒ Q Câu Cho mệnh đề sau: Cho tứ giác ABCD, ta có mệnh đề sau: P: “x số nguyên dương” Q: “x2 số nguyên dương” Mệnh đề sau đúng? A P ⟺ Q; B Q ⇒ P; C P ⇒ ; D P ⇒ Q Hướng dẫn giải Đáp án là: D A Xét mệnh đề P ⟹ Q: “Nếu x số nguyên dương x2 số nguyên dương” Mệnh đề bình phương số nguyên dương số nguyên dương (1) Xét mệnh đề đảo Q ⇒ P: “Nếu x2 số nguyên dương x số nguyên dương” Mệnh đề sai x2 số ngun dương x số thực dương số thực âm (2) Từ (1) (2) nên mệnh đề A sai B Mệnh đề Q ⇒ P phát biểu sau: “Nếu x2 số nguyên dương x số nguyên dương” Mệnh đề sai x2 số ngun dương x số thực dương số thực âm C Ta có mệnh đề Mệnh đề P ⇒ : “x2 số nguyên dương” phát biểu sau: “Nếu x số ngun dương x2 khơng phải số ngun dương” Vì với x ngun dương x2 ln ln dương nên mệnh đề sai D Mệnh đề P ⇒ Q phát biểu sau: “Nếu x số nguyên dương x2 số nguyên dương” Mệnh đề bình phương số nguyên dương số nguyên dương Câu Cho mệnh đề sau: … x ∈ ℝ, 4x2 – = Chỗ trống mệnh đề điền kí hiệu đây? A ∀; B ∃; C Cả hai kí hiệu ∀ ∃ được; D Khơng có kí hiệu thỏa mãn Hướng dẫn giải Đáp án là: B Ta có: 4x2 – = (*) ⟺ x2 = ⟺x= x = Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, hay nói cách khác phương trình (*) tồn hai giá trị x x = x = thỏa mãn Vì ta dùng kí hiệu ∃ cho mệnh đề Câu Cho mệnh đề sau: “Trong mặt phẳng, hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ hai đường thẳng song song với nhau” Đáp án cách viết khác với mệnh đề cho? A Trong mặt phẳng, hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ điều kiện cần để hai đường thẳng song song với nhau; B Trong mặt phẳng, hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ tương đương với để hai đường thẳng song song với nhau; C Trong mặt phẳng, hai đường thẳng song song với điều kiện đủ để hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ 3; D Trong mặt phẳng, hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ điều kiện đủ để hai đường thẳng song song với Hướng dẫn giải Đáp án là: D Xét mệnh đề “Trong mặt phẳng, hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ hai đường thẳng song song với nhau” ta có: P: “Trong mặt phẳng, hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ 3” Q: “Hai đường thẳng song song với nhau” Ta thấy mệnh đề có dạng P ⇒ Q phát biểu dạng điều kiện cần, điều kiện đủ sau: + P điều kiện đủ để có Q + Q điều kiện cần để có P Do định lý cho phát biểu dạng điều kiện cần, điều kiện đủ là: + Trong mặt phẳng, hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ điều kiện đủ để hai đường thẳng song song với + Trong mặt phẳng, hai đường thẳng song song với điều kiện cần để hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ Đối chiếu với đáp án trên, ta thấy mệnh đề đáp án D cách viết khác mệnh đề cho Câu Kí hiệu X tập hợp tất bạn học sinh x lớp 10A1, P(x) mệnh đề chứa biến “x đạt học sinh giỏi” Mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” khẳng định rằng: A Tất bạn học sinh lớp 10A1 đạt học sinh giỏi; B Bất đạt học sinh giỏi học lớp 10A1; C Có số bạn học lớp 10A1 đạt học sinh giỏi; D Tất bạn học sinh lớp 10A1 không đạt học sinh giỏi Hướng dẫn giải Đáp án là: C Ta có mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” phát biểu sau: “Có số bạn học lớp 10A1 đạt học sinh giỏi” Đối chiếu đáp án, ta thấy đáp án C phù hợp III Vận dụng Câu Cho mệnh đề P: "Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6"? Xét tính sai mệnh đề tìm mệnh đề phủ định mệnh đề A P đúng, B P sai, C P đúng, D P sai, : "∀n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) ⋮ 6"; : "∃n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) ⋮ 6"; : "∃n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) : "∀n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) 6"; 6" Hướng dẫn giải Đáp án là: C Gọi số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2 ⇒ n(n+1)(n+2) Với n = 2k ⇒ 2k(2k+1)(2k+2) chia hết Với n = 2k+1 ⇒ (2k+1)(2k+2)(2k+3) = (2k+1).2(k+1)(2k+3) chia hết ⇒ n(n+1)(n+2) chia hết (1) Với n = 3k ⇒ 3k(3k+1)(3k+2) chia hết Với n = 3k + ⇒ (3k + 1)(3k + 2).3(k + 1) chia hết cho Với n = 3k + ⇒ (3k + 2)(3k + 3)(3k + 4) chia hết ⇒ n(n + 1)(n + 2) chia hết cho (2) Từ (1) (2) ⇒ n(n + 1)(n + 2) chia hết cho Do mệnh đề P Ta có: "Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6" ⟺ P: "∀n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) ⋮ 6" Ta lại có: + Phủ định "∀" "∃" + Phủ định ⋮ Do mệnh đề định P là: : "∃n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) 6" Câu Cho mệnh đề chứa biến P(x) = {x ∈ ℤ : |x2 – 2x – 3| = x2 + |2x + 3|} Trong đoạn [2020; 2021] có giá trị x để mệnh đề chứa biến P(x) mệnh đề đúng? A 2020; B 2021; C 2022; D 2023 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Số giá trị nguyên để mệnh đề P(x) mệnh đề số nghiệm nguyên phương trình |x2 – 2x – 3| = x2 + |2x + 3| (1) + Nếu x ≥ ta có: (1) ⟺ |x2 – 2x – 3| = x2 + |2x + 3| ⇔ ⇔ Mà x ∈ ℤ x ∈ [-2020; 2021] nên x = thỏa mãn + Nếu x < ta có (1) ⟺ |x2 – 2x – 3| = x2 – 2x – Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối, kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm (1) trường hợp này: (1) ⇔ ⇔ ⇔x< Mà x ∈ [-2020;2021] nên x ∈ {-2; -3; …; -2020} Do tập nghiệm phương trình S = {0; -2; -3; …; -2020} Vậy có 2020 số nguyên thỏa mãn yêu cầu toán Câu Mệnh đề sau đúng? A "∀n ∈ ℕ, n(n + 1) số phương"; B "∀n ∈ ℕ, n(n + 1) số lẻ"; C "∃n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) số lẻ"; D "∀n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6" Hướng dẫn giải Đáp án là: D Ta có: + Với n = ⇒ n(n + 1) = khơng phải số phương ⇒ A sai + Với n = ⇒ n(n + 1) = số chẵn ⇒ B sai Đặt P = n(n + 1)(n + 2) TH1: n chẵn ⇒ P chẵn TH2: n lẻ ⇒ (n + 1) chẵn ⇒ P chẵn Vậy P chẵn ∀n ∈ ℕ ⇒ C sai Ta có số chia hết cho số chia hết cho ⟹P⋮6⟺ (*) Ở ta chứng minh P chẵn ⇒ P ⋮ (**) P ⋮ TH1: n ⋮ ⇒ P ⋮ TH2: n chia dư ⇒ (n + 2) ⋮ ⇒ P ⋮ TH3: n chia dư ⇒ (n + 1) ⋮ ⇒ P ⋮ Vậy P ⋮ 3, ∀n ∈ ℕ ⇒ P ⋮ Do mệnh đề câu D Câu Mệnh đề sau đúng? A ∀n ∈ ℕ, n2 + không chia hết cho 3; B ∀n ∈ ℝ, n < ⇒ |n| < 3; C ∀n ∈ ℝ, (n – 1)2 ≠ n – 1; D ∃n ∈ ℕ, n2 + chia hết cho Hướng dẫn giải Đáp án là: A A Với số tự nhiên, ta có trường hợp sau: + n = 3k ⇒ n2 + = (3k)2 + chia dư + n = 3k + ⇒ n2 + = (3k + 1)2 + = 9k2 + 6k + chia dư + n = 3k + ⇒ n2 + = (3k + 2)2 + = 9k2 + 12k + + chia dư Vậy mệnh đề “∀n ∈ ℕ, n2 + không chia hết cho 3” mệnh đề B Với n = -4 < 3, ta có |-4| = > Do mệnh đề câu B sai C Với n = ta có: (2 – 1)2 = – = Do mệnh đề câu C sai D Với n = 1, ta có 12 + = khơng chia hết cho Do mệnh đề câu D sai Câu Cho mệnh đề sau: “Nếu x số nguyên tố lớn x2 + 20 hợp số (tức số có ước khác nó)” Đáp án cách viết khác với mệnh đề cho? A Điều kiện cần để x2 + 20 hợp số x số nguyên tố lớn 3; B Điều kiện đủ để x2 + 20 hợp số x số nguyên tố lớn 3; C Điều kiện cần đủ để x2 + 20 hợp số x số nguyên tố lớn 3; D Cả A B Hướng dẫn giải Đáp án là: B Xét mệnh đề “Nếu x số nguyên tố lớn x2 + 20 hợp số” ta có: P: “x số nguyên tố lớn 3” Q: “x2 + 20 hợp số” Ta thấy mệnh đề có dạng P ⇒ Q phát biểu dạng điều kiện cần, điều kiện đủ sau: + Điều kiện cần để có P Q + Điều kiện đủ để có Q P Do định lý cho phát biểu dạng điều kiện cần, điều kiện đủ là: + Điều kiện cần để x số nguyên tố lớn x2 + 20 hợp số + Điều kiện đủ để x2 + 20 hợp số x số nguyên tố lớn Đối chiếu với đáp án trên, ta thấy mệnh đề đáp án B cách viết khác mệnh đề cho ... sinh lớp 10A1 đạt học sinh giỏi; B Bất đạt học sinh giỏi học lớp 10A1; C Có số bạn học lớp 10A1 đạt học sinh giỏi; D Tất bạn học sinh lớp 10A1 không đạt học sinh giỏi Hướng dẫn giải Đáp án là:... sinh giỏi Hướng dẫn giải Đáp án là: C Ta có mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” phát biểu sau: ? ?Có số bạn học lớp 10A1 đạt học sinh giỏi” Đối chiếu đáp án, ta thấy đáp án C phù hợp III Vận dụng Câu Cho mệnh... số nghiệm nguyên phương trình |x2 – 2x – 3| = x2 + |2x + 3| (1) + Nếu x ≥ ta có: (1) ⟺ |x2 – 2x – 3| = x2 + |2x + 3| ⇔ ⇔ Mà x ∈ ℤ x ∈ [-2020; 2021] nên x = thỏa mãn + Nếu x < ta có (1) ⟺ |x2 –