Trắc nghiệm toán lớp 10 có đáp án – chân trời sáng tạo bài (4)

Bài 2 Định lí côsin và định lí sin I Nhận biết Câu 1 Cho tam giác ABC bất kì có BC = a, AC = b và AB = c Đẳng thức nào đúng? A b 2 = a 2 + c 2 – ac cosB; B a 2 = b 2 + c 2 + 2bc cosA; C c 2 = b 2 + a[.]

Bài Định lí cơsin định lí sin I Nhận biết Câu Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b AB = c Đẳng thức đúng? A b2 = a2 + c2 – ac.cosB; B a2 = b2 + c2 + 2bc.cosA; C c2 = b2 + a2 + ab.cosC; D c2 = b2 + a2 – 2ab.cosC Hướng dẫn giải Đáp án là: D Theo định lí cơsin ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB; c2 = b2 + a2 – 2ab.cosC Do phương án D Vậy ta chọn phương án D Câu Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a AC = b Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A a  2R; sin A B b  a.sin B sin A C b = 2R.sinA; D c = 2R.sinC Hướng dẫn giải Đáp án là: C Theo định lí sin ta có: Từ a b c    2R Do A sin A sin B sin C a b a a.sin B ta suy b   sin B  Do B sin A sin B sin A sin A Ta có hệ định lí sin: b = 2R.sinB c = 2R.sinC Do C sai D Vậy ta chọn phương án C Câu Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b AB = c Cơng thức tính diện tích tam giác ABC sau đúng: A S = bc.sinA; B S = ac.sinA; C S = bc.sinB; D S = ab.sinB Hướng dẫn giải Đáp án là: A Ta có cơng thức tính diện tích tam giác ABC là: 1 S  bcsin A  acsin B  absin C 2 Do ta chọn phương án A Câu Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b AB = c Gọi ha, hb, hc độ dài đường cao ứng với cạnh BC, CA, AB Biết tam giác ABC có diện tích S Khẳng định sau đúng? A = S ; a B hb = 2S ; b C hc = S ; 2c D = 4S a Hướng dẫn giải Đáp án là: B Ta có cơng thức tính diện tích tam giác ABC là: S= 1 aha = bhb = chc 2 Do ta có: = 2S 2S 2S ; hb = ; hc = c a b Vậy ta chọn phương án B Câu Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b AB = c Gọi R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác; p, S nửa chu vi diện tích tam giác Khẳng định sau đúng? A S = B abc; a  R; sin A b2  c2  a ; C cos B  2bc S D r  p Hướng dẫn giải Đáp án là: D a  c2  b Do C sai Theo hệ định lí cơsin ta có: cos B  2ac Theo định lí sin ta có: a  2R Do B sai sin A Ta có cơng thức tính diện tích tam giác sau: •S= abc Do A sai 4R S • S = pr, suy r  Do D p Vậy ta chọn phương án D Câu Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b AB = c Biết C  120 Khẳng định sau đúng? A c2 = a2 + b2 – ab; B c2 = a2 + b2 + ab; C c2 = a2 + b2 – 3ab; D c2 = a2 + b2 + 3ab Hướng dẫn giải Đáp án là: B Theo định lí cơsin ta có: c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC Mà C  120 nên cosC =   1 Do c2 = a2 + b2 – 2ab    = c2 = a2 + b2 + ab  2 Vậy ta chọn phương án B b  c2 – a  Khi đó: Câu Cho tam giác ABC có 2bc A A  90; B A  90; D A  90; D Khơng thể kết luận số đo góc A Hướng dẫn giải Đáp án là: b2  c2  a Theo hệ định lí cơsin ta có: cos A  2bc b  c2 – a  nên cosA > Mà 2bc Do A  90 Vậy ta chọn phương án A II Thông hiểu Câu ∆ABC có a = 21, b = 17, c = 10 Diện tích tam giác ABC bằng: A 16; B 48; C 24; D 84 Hướng dẫn giải Đáp án là: D Nửa chu vi tam giác ABC là: p a  b  c 21  17  10   24 2 Diện tích tam giác ABC là: SABC  p  p  a  p  b  p  c   24  24  21 24  17  24  10   84 (đơn vị diện tích) Vậy ta chọn phương án D Câu ∆ABC có a = 5, b = 6, c = Bán kính r đường trịn nội tiếp ∆ABC bằng: 858 ; A B ; C ; D Hướng dẫn giải Đáp án là: C Nửa chu vi ∆ABC là: p  a bc 567   2 Diện tích ∆ABC là: S  p  p  a  p  b  p  c     5      6 (đơn vị diện tích) Ta có S = p.r r S 6   p Vậy ta chọn phương án C Câu ∆ABC có AB = 3, AC = A  60 Độ dài bán kính R đường trịn ngoại tiếp ∆ABC bằng: A 3; B 3 ; 3; C D Hướng dẫn giải Đáp án là: A Áp dụng định lí cơsin cho ABC, ta có: BC2 = AB2 + AC2 –2.AB.AC.cosA = 32 + 62 – 2.3.6.cos60° = 27 Suy BC  27  3 Áp dụng định lí sin, ta có Suy R  BC  2R sin A BC 3   2.sin A 2.sin 60 Vậy ta chọn phương án A Câu ∆ABC cạnh a nội tiếp đường trịn bán kính R Khi bán kính R bằng: A a ; B a ; C a ; D a Hướng dẫn giải Đáp án là: C Ta có ∆ABC cạnh a Suy AB = AC = BC = a Nửa chu vi ∆ABC là: p  a  a  a 3a  2 Diện tích ∆ABC là: S  p  p  AB p  AC  p  BC   3a  3a  3a  3a    a   a   a  2    3a a a a a (đơn vị diện tích)   2 2 Ta có S  AB.AC.BC 4R Suy R  AB.AC.BC a.a.a a   4S a 4 Vậy ta chọn phương án C Câu ∆ABC có AB = 5, AC = 10, A  60 Độ dài đường cao ∆ABC bằng: A ; 5; B C 5; D Hướng dẫn giải Đáp án là: C Áp dụng định lí cơsin cho ABC, ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA = 52 + 102 – 2.5.10.cos60° = 75 Suy BC = 75  Diện tích ∆ABC là: 1 25 S  AB.AC.sin A  5.10.sin 60  (đơn vị diện tích) 2 Ta có S  BC.h a Suy h a  2S 2.25   BC 2.5 Vậy ta chọn phương án C Câu Cho hình thoi ABCD có cạnh cm có đường chéo AC = cm Số đo BAD bằng: A 30°; B 45°; C 60°; D 120° Hướng dẫn giải Đáp án là: C B cm cm A cm C D Vì ABCD hình thoi có cạnh cm nên ta có AB = BC = cm AC = cm Áp dụng hệ định lí cơsin cho ABC, ta có:   2 AB2  AC2  BC2   cos BAC    2.AB.AC 2.1 Suy BAC  30 Vì ABCD hình thoi nên đường chéo AC tia phân giác BAD Suy BAD  2BAC  2.30  60 Vậy ta chọn phương án C Câu ∆ABC có AB = 5, AC = BAC  60 Bán kính r đường trịn nội tiếp ∆ABC bằng: A 1; B 2; C 3; D Hướng dẫn giải Đáp án là: C Áp dụng định lí cơsin cho ABC, ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA = 52 + 82 – 2.5.8.cos60° = 49 Suy BC = 49  Diện tích ∆ABC là: 1 S  AB.AC.sin A  5.8.sin 60  10 (đơn vị diện tích) 2 Nửa chu vi ∆ABC là: p AB  AC  BC     10 2 Ta có S = pr r S 10   p 10 Vậy bán kính r đường trịn nội tiếp ∆ABC Do ta chọn phương án C Câu Tam giác nội tiếp đường tròn bán kính R = cm có diện tích bằng: A 13 cm2; B 13 cm2; C 12 cm2; D 15 cm2 Hướng dẫn giải Đáp án là: C Do ∆ABC nên BAC  60 Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta có BC sin BAC  2R ⇔ BC = 2R.sinA = 2.4.sin60° = Vì ∆ABC nên ta có AB = AC = BC = Diện tích ∆ABC là: S AB.AC.BC 3.4 3.4   12 (cm2) 4R 4.4 Do ta chọn phương án C III Vận dụng Câu Cho ∆ABC Nếu tăng cạnh AB lên lần tăng cạnh AC lên lần giữ nguyên độ lớn A diện tích tam giác S’ tạo nên bằng: A 5S; B 10S; C 16S; D 20S Hướng dẫn giải Đáp án là: D Diện tích ∆ABC ban đầu là: S  AB.AC.sin A Khi tăng cạnh AB lên lần tăng cạnh AC lên lần giữ ngun độ lớn A diện tích ∆ABC lúc là: 1 S   4AB. 5AC .sin A  4.5 AB.AC.sin A  20S 2 Vậy ta chọn phương án D Câu ∆ABC vuông cân A nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp ∆ABC Khi tỉ số R bằng: r A  ; B 2 ; C 1 ; D 1 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Giả sử AB = AC = a ∆ABC vuông cân A nên BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pythagore) Do BC2 = a2 + a2 = 2a2 Suy BC  a a2 Diện tích ∆ABC là: S  AB.AC  (đơn vị diện tích) 2 Ta có S  AB.AC.BC 4R R AB.AC.BC a.a.a a   a2 4S Nửa chu vi ∆ABC là:   AB  AC  BC a  a  a a  p   2 Ta có S = p.r   S a2 a  a2 a r  :   p 2 a 2 2 Vì tỉ số   R a a a 2  :  1 r 2 2 a Vậy ta chọn phương án A Câu ∆ABC có AB  6 , BC  , CA  Gọi D chân đường phân giác A Khi số đo ADB bằng: A 45°; B 60°; C 75°; D 90° Hướng dẫn giải Đáp án là: C A B D C Áp dụng hệ định lí cơsin cho ∆ABC, ta có: ⦁ cos BAC  AB2  AC2  BC2      2.AB.AC 6 2 2 Suy BAC  120 ⦁ cos ABC  AB2  BC2  AC2    2   2.AB.BC 6 2 Suy ABC  45 hay ABD  45 Ta có AD tia phân giác BAC 1 Suy BAD  BAC  120  60 2 ∆ABD có: BAD  ABD  ADB  180 (định lí tổng ba góc tam giác)    ADB  180  BAD  ABD  180   60  45   75 Vậy ADB  75 Do ta chọn phương án C Câu Cho ∆ABC khẳng định sau: (I) b2 – c2 = a(b.cosC – c.cosB); (II) (b + c)sinA = a(sinB + sinC); (III) = 2R.sinB.sinC; (IV) S = R.r.(sinA + sinB + sin C); Số khẳng định là: A 1; B 2; C 3; D Hướng dẫn giải Đáp án là: D ⦁ Ta xét khẳng định (I): Áp dụng định lí cơsin cho ∆ABC ta có: b2 – c2 = c2 + a2 – 2ca.cosB – (a2 + b2 – 2ab.cosC) = c2 + a2 – 2ca.cosB – a2 – b2 + 2ab.cosC = c2 – b2 + 2a(b.cosC – c.cosB)  b2 – c2 = c2 – b2 + 2a(b.cosC – c.cosB)  2(b2 – c2) = 2a(b.cosC – c.cosB)  b2 – c2 = a(b.cosC – c.cosB) Do khẳng định (I) ⦁ Ta xét khẳng định (II): Áp dụng hệ định lí sin cho ∆ABC ta có: (b + c)sinA =  2R.sin B  2R.sin C    sin B  sin C  a 2R 2R.a 2R = a(sinB + sinC) Vì khẳng định (II) ⦁ Ta xét khẳng định (III): Áp dụng hệ định lí sin cho ∆ABC ta có: 2R.sinB.sinC = 2R  bc abc  2R 4R a  2S  a b c 2R 2R Vì khẳng định (III) ⦁ Ta xét khẳng định (IV): Áp dụng hệ định lí sin cho ∆ABC ta có: b c   a   R.r.(sinA + sinB + sin C) = R.r.   2R 2R 2R   R.r a b c     R2 2  r abc  r.p  S Vì khẳng định (IV) Vậy có khẳng định đúng, ta chọn phương án D Câu Hai tàu thủy xuất phát từ vị trí A, thẳng theo hai hướng tạo với góc 120° Tàu chạy với vận tốc 30 hải lí/giờ Tàu chạy với vận tốc 25 hải lí/giờ Sau hai giờ, hai tàu cách khoảng: A 47,7 hải lí; B 95,4 hải lí; C 2275 hải lí; D 9100 hải lí Hướng dẫn giải Đáp án là: B C 50 120° A 60 B Giả sử sau hai giờ, tàu đến vị trí điểm B, tàu đến vị trí điểm C Sau hai giờ, tàu 2.30 = 60 (hải lí) Suy AB = 60 Sau hai giờ, tàu hai 2.25 = 50 (hải lí)  ... ∆ABC ta có: b2 – c2 = c2 + a2 – 2ca.cosB – (a2 + b2 – 2ab.cosC) = c2 + a2 – 2ca.cosB – a2 – b2 + 2ab.cosC = c2 – b2 + 2a(b.cosC – c.cosB)  b2 – c2 = c2 – b2 + 2a(b.cosC – c.cosB)  2(b2 – c2)... cơsin cho ABC, ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA = 52 + 102 – 2.5 .10. cos60° = 75 Suy BC = 75  Diện tích ∆ABC là: 1 25 S  AB.AC.sin A  5 .10. sin 60  (đơn vị diện tích) 2 Ta có S  BC.h a Suy... phương án C Câu Cho hình thoi ABCD có cạnh cm có đường chéo AC = cm Số đo BAD bằng: A 30°; B 45°; C 60°; D 120° Hướng dẫn giải Đáp án là: C B cm cm A cm C D Vì ABCD hình thoi có cạnh cm nên ta có